【材料力学课件】02-内力与内力图
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q M x x qL / 2 FS S L
∑m = 0
1 22 1 qx − qLx + M ( x) = 0 2 2 1 M ( x) = qx( L − x) 2
结论 直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截 面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包 括支反力）对该截面矩的代数和。
21
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 1 FSS = qL − qx y 2
FS S
出现极值
M
FSSB = FSSA + qa B A
A
B
A
B
32
分析和讨论
dFSS dM 导出方程 q = 和 FSS = 时考虑了什么外荷载？ dx dx
如果有其它类形的外荷载该如何处理？ 试导出下列情况的平衡微分方程。
t
dFN N = −t dx
t
h
dFN N = −t dx
dM = ht dx
q x x L qL / 2 qL / 2
建立坐标系并取截面。
∑F = 0
y y
1 qL − qx − FSS( x) = 0 2 1 FSS( x) = qL − qx 2
结论 直梁某个横截面上的剪力，其数值等于该截 面左端（或右端）全部横向力（包括支反力）的代 数和。
20
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 1 FSS = qL − qx y 2
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D，内径为 d，求横截面上的轴力。 ，内径为 ，求横截面上的轴力。
h
ρg
h
轴力图 轴力图
FN N
1 1 − ( D 22 − d 22 ) π ρ gh − P − ( D − d ) π ρ gh − P 4 4
P H H
3
本 章 基 本 要 求
准确理解杆件内力的定义和符号规定。 能利用截面法建立内力方程，能迅速求出指定 截面的内力。 深入理解梁中弯矩、剪力和分布荷载之间的微 分关系，并能利用这些关系熟练地画出梁的剪力弯 矩图；能正确画出刚架的内力图。 能正确运用奇异函数写出梁的弯矩方程。
4
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定 定义和符号规定
内力符号规定的原则
在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。
8
轴力的正号 轴力的正号
轴力的负号 轴力的负号
使微元区段有伸长趋势的轴力为正。
9
扭矩的正号
扭矩的负号
FS M
1 M + dM − M − FSSdx − q(dx ) 22 = 0 2 dM FSS = dx
重要公式
∑F = 0
y y
FSS + qdx − ( FSS + dFSS ) = 0 dFSS q= dx
dFSS q= dx
dM FSS = dx
∑m = 0
梁的平衡微分方程 ( differential equations of equilibrium )
于 A 截面上的剪力与 AB 区间内荷载图 截面上的弯矩与 剪力图 区间内剪力图 区间内荷载图 面积的代数和。 面积的代数和。
A
M
注意 此处的 “面积” 位于横轴下方则为负数。
31
剪力弯矩图的规律 均布荷载 均布荷载
q A a B A
二次抛物线 直线
FS S S qa B S A B M
剪力图线穿过横轴：
示四分之一 圆形梁的内 力。
FN = − P sin α N
FS = P cosα S
26
2.3
梁的平衡微分方程及其应用
如何画出如图结构的剪力图和弯矩图？
q qa22/ 2 qa
a
a
a
需要分段写出剪力方程和弯矩方程。
27
控制面
q qa / 2
2 2
qa
分布荷载的起始点和结束点 构成控制面。 集中力或集中力偶矩作用处 的左侧面和右侧面构成控制面。 两个控制面之间的荷载：
t = 3000 20 = 150 N ⋅ mm mm
18
m = 3000 N ⋅ mm
t = 150 N ⋅ mm mm
在 AB 区段取截面，易得扭矩为常数 m。
C 截面处扭矩为零。
在 BC 区段内，扭矩线性地减小。
40 150 T 3000 m A 40 C
19
20
扭矩图
B t
60
x
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 先求支反力。 y
M ++ = M −−
集中力作用处弯矩值是连续的。 集中力作用处弯矩值是连续的。
34
2.3.2 梁承受集中荷载的情况
y F
F m x
− + FS− FS+ S S
集中力
q
− + M− M+
剪力弯矩图规律
FS S F A M
FSS++ − FSS−− = F
A
剪力图产生跃变
弯矩图产生尖角
35
2.3.2 梁承受集中荷载的情况 集中力 偶矩
33
2.3.2 梁承受集中荷载的情况
y F
F m x
− + FS− FS+ x ∆ S S
集中力
q
− + M− M+
∑F = 0
y y
FSS++ − FSS−− = F
集中力 F 的作用使剪力在其作用处产生一个增量，增量 的幅度就是 F 。 小量
∑
m=0
1 M ++ − M −− − FSS−−∆ x − F ∆ x = 0 2
∑ F = 0, ∑ F = 0 , ∑ F = 0
x x y y z z
∑M
x x
= 0,
∑M
y y
= 0,
∑M
z z
=0
在杆件的任意局部区段中，所有外力与内力构成平衡力系。
13
方法和步骤
1) 在必要和可能的条件下，先求出约束反力。 2) 在指定的位置，想象用一个截面将杆件切开。 留下一 部份作为研究对象，舍去另一部份。舍去部份对留下部份 的作用就是内力。一般可将这种内力作用的方向假设为正 内力方向（即 设正法）。 设正法）。 3) 留下部份的所有内力、外力（包括约束反力）按照理论 力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式。 4) 求解方程即可得内力。若所得内力为负值，表明实际内 力方向与设想方向相反。
14
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D，内径为 d，求横截面上的轴力。 D，内径为 d，求横截面上的轴力。
h
ρg
h
分析 塔体的自重可简化为沿 轴向的均布荷载。了望台重量 简化为集中力。
H
P H
建立如图的坐标系。 在用截面法分析轴力时， 可考虑取上部为分析对象，这
a FS S
a
a
qa x qa M x qa22/ 2 qa22
分布荷载（包括荷载为零） 集中力 集中力偶矩
两个控制面之间的图形： 直线 曲线 跃变
28
两个控制面之间的典型荷载
y F q m x
分布荷载（包括荷载为零） 集中力 集中力偶矩
建立如图的坐标系
29
2.3.1 梁承受分布荷载的情况
q M+dM FS+dFS dx dx
第二章 内力与内力图
1
Chapter Two
Internal Forces and Their Diagrams
2
本章基本要求 2.1 内力定义和符号规定 内力定义和符号规定 2.2 内力方程及内力图 2.3 梁的平衡微分方程及其应用 2.4 用奇异函数求剪力弯矩方程 本章作业 本章内容小结
4 5 13 27 70 82 83
x
样可以避免求下端的支反力。
由于截面取在了望台上方时无须考虑力 P ，而取在下方 则应考虑力 P ，故应分段分析。
15
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D，内径为 d，求横截面上的轴力。 D，内径为 d，求横截面上的轴力。
h
ρg
x P H FN2 N2
1 A = π( D 22 − d 22 ) 4 0≤ x<h
−1
0
3 (kN )
3kN/ m 3kN/
2kN⋅m 2kN⋅m 1m
− 2.75 2.75 − 3.25 3.25 (kN ) −1 1 −3 3 (kN )
23
2m 3.25 kN
动脑又动笔 动脑又动笔
下列各截面上的弯矩为多少？
P q a 2 a 2
a 2
a 2
P
q L
L
24
分析和讨论
如何分析下列结构中主梁的剪力和弯矩？
q q M x x FqL / 2 S S qL / 2 x qL / 2 M
2 qL 2/ 8
1 M = qx( L − x) 2
FS S
L
动脑又动笔 动脑又动笔
将弯矩和剪力分别 对 x 求导。由此能得到 什么启示？
x
22
动脑又动笔 动脑又动笔
下列各截面上的剪力为多少？
3kN 3kN
−3
1m 1m 1m 1m
使微元区段表面纵线有变为右手螺旋线趋势的扭矩为正。
10
剪力的正号 剪力的正号
剪力的负号 剪力的负号
使微元区段有左上右下错动趋势的剪力为正。
11
弯矩的正号
弯矩的负号
使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。
12
2.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程 依据 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。
2kN 1m 1m 1m
0.5m
2kN
2kN⋅m 2kN⋅m 1m
25
1m
1m
例 计算图示四分之一圆形梁的内力。
M P R P
弯矩 轴力 剪力
M = − PR(1− cosα )
FN = P cos α N
α
FS = P sinα S
动脑又动笔 动脑又动笔
计算图
α
R P
弯矩 轴力 剪力
M = − PR sinα
y F m q m x
− + FS− FS+ x ∆ S S
− + M− M+
∑F = 0
y y
FSS++ = FSS−−
集中力偶矩作用处剪力值是连续的。 集中力偶矩作用处剪力值是连续的。
∑
m=0
M ++ − M −− − FSS−−∆ x − m = 0
M ++ − M −− = m
集中力偶矩 m 的作用使弯矩在其作用处产生一个增量， 增量的幅度就是 m 。
y
z
主矩 Mx 扭矩 T ( torque ) x My 弯矩 My ( bending moment ) y y Mzz 弯矩 Mzz
6
x
2. 杆件内力与变形的关系 拉压 扭转 轴力 FN N 扭矩 T 剪力 FS S
剪切
弯曲
弯矩 M
7
3. 内力的符号规定
在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？
h
x
1 1 − ( D 22 − d 22 ) πρ gH − P − ( D − d ) πρ gH − P 4 4
H x
0≤ x<h h < x ≤ H
1 22 FN1 = − ( D − d 22 )πρgx N1 4 1 F N2 = − ( D 22 − d 22 ) π ρ gx − P N2 4
1. 内力的定义
内力是分布力系。 但是可以将复杂的分布力系 简化为形心上的主矢和主矩。 这种主矢和主矩对于该横截 面引起何种变形效应？
5
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定 定义和符号规定
1. 内力的定义 主矢 Fx 轴力 FN ( axial force ) x 轴力 N Fy 剪力 FSy ( shearing force ) y 剪力 Sy Fzz 剪力 FSz 剪力 Sz
17
例 使用丝锥时每手用力 10N，假定各锥 ，假定各锥 齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。 分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶 矩。人加荷载简化为集中力偶矩。
40 150 20
计算模型如图 作用在丝锥顶部的力偶矩
m = 2 × 150 ×10 = 3000 N ⋅ mm
作用在齿部的平均力偶矩
m A B t C
x
1 22 FN1 + ( D − d 22 )πρgx = 0 N1 4 1 22 FN1 = − ( D − d 22 )πρgx N1 4 h < x ≤ H 1 22 FN2 + ( D − d 22 ) π ρ gx + P = 0 N2 4 1 F N2 = − ( D 22 − d 22 ) π ρ gx − P N2 4 16
36
2.3.2 梁承受集中荷载的情况 集中力 偶矩
y F m q m x
− + FS− FS+ S S
− + M− M+
剪力弯矩图规律
30
控制面 AB 之间只有分布荷载作用
q(x) q(x)
ω
A B FS S
q=
dFS S dx dM dx
FSS( B ) = FSS( A) + q( x )dx
A A
∫
B B A A
B B
ω
A B
FSS =
M ( B ) = M ( A) + FSS(wk.baidu.comx )dx
FS S B S
∫
S
重要结论 直梁 B 截面上的剪力，等 弯矩 截面上的弯矩，等 截面上的剪力，等
∑m = 0
1 22 1 qx − qLx + M ( x) = 0 2 2 1 M ( x) = qx( L − x) 2
结论 直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截 面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包 括支反力）对该截面矩的代数和。
21
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 1 FSS = qL − qx y 2
FS S
出现极值
M
FSSB = FSSA + qa B A
A
B
A
B
32
分析和讨论
dFSS dM 导出方程 q = 和 FSS = 时考虑了什么外荷载？ dx dx
如果有其它类形的外荷载该如何处理？ 试导出下列情况的平衡微分方程。
t
dFN N = −t dx
t
h
dFN N = −t dx
dM = ht dx
q x x L qL / 2 qL / 2
建立坐标系并取截面。
∑F = 0
y y
1 qL − qx − FSS( x) = 0 2 1 FSS( x) = qL − qx 2
结论 直梁某个横截面上的剪力，其数值等于该截 面左端（或右端）全部横向力（包括支反力）的代 数和。
20
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 1 FSS = qL − qx y 2
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D，内径为 d，求横截面上的轴力。 ，内径为 ，求横截面上的轴力。
h
ρg
h
轴力图 轴力图
FN N
1 1 − ( D 22 − d 22 ) π ρ gh − P − ( D − d ) π ρ gh − P 4 4
P H H
3
本 章 基 本 要 求
准确理解杆件内力的定义和符号规定。 能利用截面法建立内力方程，能迅速求出指定 截面的内力。 深入理解梁中弯矩、剪力和分布荷载之间的微 分关系，并能利用这些关系熟练地画出梁的剪力弯 矩图；能正确画出刚架的内力图。 能正确运用奇异函数写出梁的弯矩方程。
4
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定 定义和符号规定
内力符号规定的原则
在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。
8
轴力的正号 轴力的正号
轴力的负号 轴力的负号
使微元区段有伸长趋势的轴力为正。
9
扭矩的正号
扭矩的负号
FS M
1 M + dM − M − FSSdx − q(dx ) 22 = 0 2 dM FSS = dx
重要公式
∑F = 0
y y
FSS + qdx − ( FSS + dFSS ) = 0 dFSS q= dx
dFSS q= dx
dM FSS = dx
∑m = 0
梁的平衡微分方程 ( differential equations of equilibrium )
于 A 截面上的剪力与 AB 区间内荷载图 截面上的弯矩与 剪力图 区间内剪力图 区间内荷载图 面积的代数和。 面积的代数和。
A
M
注意 此处的 “面积” 位于横轴下方则为负数。
31
剪力弯矩图的规律 均布荷载 均布荷载
q A a B A
二次抛物线 直线
FS S S qa B S A B M
剪力图线穿过横轴：
示四分之一 圆形梁的内 力。
FN = − P sin α N
FS = P cosα S
26
2.3
梁的平衡微分方程及其应用
如何画出如图结构的剪力图和弯矩图？
q qa22/ 2 qa
a
a
a
需要分段写出剪力方程和弯矩方程。
27
控制面
q qa / 2
2 2
qa
分布荷载的起始点和结束点 构成控制面。 集中力或集中力偶矩作用处 的左侧面和右侧面构成控制面。 两个控制面之间的荷载：
t = 3000 20 = 150 N ⋅ mm mm
18
m = 3000 N ⋅ mm
t = 150 N ⋅ mm mm
在 AB 区段取截面，易得扭矩为常数 m。
C 截面处扭矩为零。
在 BC 区段内，扭矩线性地减小。
40 150 T 3000 m A 40 C
19
20
扭矩图
B t
60
x
例 求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力 图和弯矩图。 先求支反力。 y
M ++ = M −−
集中力作用处弯矩值是连续的。 集中力作用处弯矩值是连续的。
34
2.3.2 梁承受集中荷载的情况
y F
F m x
− + FS− FS+ S S
集中力
q
− + M− M+
剪力弯矩图规律
FS S F A M
FSS++ − FSS−− = F
A
剪力图产生跃变
弯矩图产生尖角
35
2.3.2 梁承受集中荷载的情况 集中力 偶矩
33
2.3.2 梁承受集中荷载的情况
y F
F m x
− + FS− FS+ x ∆ S S
集中力
q
− + M− M+
∑F = 0
y y
FSS++ − FSS−− = F
集中力 F 的作用使剪力在其作用处产生一个增量，增量 的幅度就是 F 。 小量
∑
m=0
1 M ++ − M −− − FSS−−∆ x − F ∆ x = 0 2
∑ F = 0, ∑ F = 0 , ∑ F = 0
x x y y z z
∑M
x x
= 0,
∑M
y y
= 0,
∑M
z z
=0
在杆件的任意局部区段中，所有外力与内力构成平衡力系。
13
方法和步骤
1) 在必要和可能的条件下，先求出约束反力。 2) 在指定的位置，想象用一个截面将杆件切开。 留下一 部份作为研究对象，舍去另一部份。舍去部份对留下部份 的作用就是内力。一般可将这种内力作用的方向假设为正 内力方向（即 设正法）。 设正法）。 3) 留下部份的所有内力、外力（包括约束反力）按照理论 力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式。 4) 求解方程即可得内力。若所得内力为负值，表明实际内 力方向与设想方向相反。
14
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D，内径为 d，求横截面上的轴力。 D，内径为 d，求横截面上的轴力。
h
ρg
h
分析 塔体的自重可简化为沿 轴向的均布荷载。了望台重量 简化为集中力。
H
P H
建立如图的坐标系。 在用截面法分析轴力时， 可考虑取上部为分析对象，这
a FS S
a
a
qa x qa M x qa22/ 2 qa22
分布荷载（包括荷载为零） 集中力 集中力偶矩
两个控制面之间的图形： 直线 曲线 跃变
28
两个控制面之间的典型荷载
y F q m x
分布荷载（包括荷载为零） 集中力 集中力偶矩
建立如图的坐标系
29
2.3.1 梁承受分布荷载的情况
q M+dM FS+dFS dx dx
第二章 内力与内力图
1
Chapter Two
Internal Forces and Their Diagrams
2
本章基本要求 2.1 内力定义和符号规定 内力定义和符号规定 2.2 内力方程及内力图 2.3 梁的平衡微分方程及其应用 2.4 用奇异函数求剪力弯矩方程 本章作业 本章内容小结
4 5 13 27 70 82 83
x
样可以避免求下端的支反力。
由于截面取在了望台上方时无须考虑力 P ，而取在下方 则应考虑力 P ，故应分段分析。
15
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D，内径为 d，求横截面上的轴力。 D，内径为 d，求横截面上的轴力。
h
ρg
x P H FN2 N2
1 A = π( D 22 − d 22 ) 4 0≤ x<h
−1
0
3 (kN )
3kN/ m 3kN/
2kN⋅m 2kN⋅m 1m
− 2.75 2.75 − 3.25 3.25 (kN ) −1 1 −3 3 (kN )
23
2m 3.25 kN
动脑又动笔 动脑又动笔
下列各截面上的弯矩为多少？
P q a 2 a 2
a 2
a 2
P
q L
L
24
分析和讨论
如何分析下列结构中主梁的剪力和弯矩？
q q M x x FqL / 2 S S qL / 2 x qL / 2 M
2 qL 2/ 8
1 M = qx( L − x) 2
FS S
L
动脑又动笔 动脑又动笔
将弯矩和剪力分别 对 x 求导。由此能得到 什么启示？
x
22
动脑又动笔 动脑又动笔
下列各截面上的剪力为多少？
3kN 3kN
−3
1m 1m 1m 1m
使微元区段表面纵线有变为右手螺旋线趋势的扭矩为正。
10
剪力的正号 剪力的正号
剪力的负号 剪力的负号
使微元区段有左上右下错动趋势的剪力为正。
11
弯矩的正号
弯矩的负号
使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。
12
2.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程 依据 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。
2kN 1m 1m 1m
0.5m
2kN
2kN⋅m 2kN⋅m 1m
25
1m
1m
例 计算图示四分之一圆形梁的内力。
M P R P
弯矩 轴力 剪力
M = − PR(1− cosα )
FN = P cos α N
α
FS = P sinα S
动脑又动笔 动脑又动笔
计算图
α
R P
弯矩 轴力 剪力
M = − PR sinα
y F m q m x
− + FS− FS+ x ∆ S S
− + M− M+
∑F = 0
y y
FSS++ = FSS−−
集中力偶矩作用处剪力值是连续的。 集中力偶矩作用处剪力值是连续的。
∑
m=0
M ++ − M −− − FSS−−∆ x − m = 0
M ++ − M −− = m
集中力偶矩 m 的作用使弯矩在其作用处产生一个增量， 增量的幅度就是 m 。
y
z
主矩 Mx 扭矩 T ( torque ) x My 弯矩 My ( bending moment ) y y Mzz 弯矩 Mzz
6
x
2. 杆件内力与变形的关系 拉压 扭转 轴力 FN N 扭矩 T 剪力 FS S
剪切
弯曲
弯矩 M
7
3. 内力的符号规定
在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？
h
x
1 1 − ( D 22 − d 22 ) πρ gH − P − ( D − d ) πρ gH − P 4 4
H x
0≤ x<h h < x ≤ H
1 22 FN1 = − ( D − d 22 )πρgx N1 4 1 F N2 = − ( D 22 − d 22 ) π ρ gx − P N2 4
1. 内力的定义
内力是分布力系。 但是可以将复杂的分布力系 简化为形心上的主矢和主矩。 这种主矢和主矩对于该横截 面引起何种变形效应？
5
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定 定义和符号规定
1. 内力的定义 主矢 Fx 轴力 FN ( axial force ) x 轴力 N Fy 剪力 FSy ( shearing force ) y 剪力 Sy Fzz 剪力 FSz 剪力 Sz
17
例 使用丝锥时每手用力 10N，假定各锥 ，假定各锥 齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。 分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶 矩。人加荷载简化为集中力偶矩。
40 150 20
计算模型如图 作用在丝锥顶部的力偶矩
m = 2 × 150 ×10 = 3000 N ⋅ mm
作用在齿部的平均力偶矩
m A B t C
x
1 22 FN1 + ( D − d 22 )πρgx = 0 N1 4 1 22 FN1 = − ( D − d 22 )πρgx N1 4 h < x ≤ H 1 22 FN2 + ( D − d 22 ) π ρ gx + P = 0 N2 4 1 F N2 = − ( D 22 − d 22 ) π ρ gx − P N2 4 16
36
2.3.2 梁承受集中荷载的情况 集中力 偶矩
y F m q m x
− + FS− FS+ S S
− + M− M+
剪力弯矩图规律
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控制面 AB 之间只有分布荷载作用
q(x) q(x)
ω
A B FS S
q=
dFS S dx dM dx
FSS( B ) = FSS( A) + q( x )dx
A A
∫
B B A A
B B
ω
A B
FSS =
M ( B ) = M ( A) + FSS(wk.baidu.comx )dx
FS S B S
∫
S
重要结论 直梁 B 截面上的剪力，等 弯矩 截面上的弯矩，等 截面上的剪力，等