证明线段和差倍分关系
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。
$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。
求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。
求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。
线段的相等与和、差、倍
第16讲线段的相等与和、差、倍知识框架线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．16.1 线段的大小的比较1.线段的表示（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示：线段可以用表示端点的两个字母A、B表示，记作线段AB．（2）也可以用一个小写英文字母，如图所示：线段可以用小写英文字母a表示，记作线段a．2.线段的大小比较通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”．线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．叠合法如下：将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD叠合．这时端点B可能的位置情况如下表：图形点B的位置符号表示情况一点B在线段CD上（C、D之间）记作：AB < CD（或CD > AB）A BC D(B)(A)知识精讲情况二点B与点D重合记作：AB = CD 情况三点B在线段CD的延长线上记作：AB > CD（或CD < AB）3.如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使AB = a．（1）画射线AC；（2）在射线AC上截取线段AB = a．（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）线段AB就是所要画的线段．4.两点之间的距离：联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离．两点之间，线段最短．【例1】判断题：（1）在“线段AB”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．（）（2）“线段AB”与“线段BA”指的是同一条线段．（）（3）“射线AB”与“射线BA”也指同一条射线．（）（4）射线AB的端点是点A和点B．（）（5）线段AB和线段CD，如果点A和点B落在线段CD内，则AB < CD．（）【例2】过一点可做______条直线，过两点可作_____条直线．【例3】线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点．【例4】如图所示，图中共有______条线段，共有______条射线．A BC D(B)(A)A BC D(B)(A)例题分析如图所示，图中最短的线段是______，最长的线段是______，点B 与线段CD 的位置关系是__________．【例6】下列画图画法的语句正确的是（ ） （A ）画直线AB 、CD 相交于点M ； （B ）直线AB 、CD 相交于点M ；（C ）在射线OC 上截取线段PC = 3厘米； （D ）延长线段AB 到点C ，使BC = AB . 【例7】如图，已知AB < CD ，则AC 与BD 的大小关系是（ ） （A ）AC > BD ； （B ）AC = BD ； （C ）AC < BD ；（D ）不能确定.【例8】如图，已知ABC 中，边AB 的长大于边AC 的长，试用圆规、直尺在线段AB 上画出线段AD ，使AD = AC ．【例9】图中共有几条线段？几条射线？【例10】如图，已知线段AB 、线段CD ．利用圆规和无刻度的直尺比较这两条线段的大小．ABCD ABCD ABCAB C DAB CD已知平面上有4个点，无三点共线，请问，这4个点可以构成多少条线段？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例12】已知一条直线上有4个点，则以这4个点为端点的线段有多少条？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例13】图中共有多少条线段？16.2 画线段的和、差、倍1.线段的和（或差）两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）． 2. 线段的中点 将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．【例1】如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于a b +； （2）画出一条线段，使它等于b a -．【例2】如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于2a ； （2）画出一条线段，使它等于2a b -．【例3】根据图形填空：（1）AD =______+ BC +______= AC + ______= AB + ______； （2）AB = AD -______；（3）AC = AD -______= BC +______．知识精讲例题分析a ba bAB C D如图，已知点C 是线段AB 的中点，则AC =______AB ，AB = 2________= 2_______，12AB =______=______．【例5】如图，已知点C 是线段AB 的中点，AC = 20，BD = 29，则AB =______，DC = ______．【例6】线段AB = 2厘米，延长线段AB 至点C ，使得BC = 2AB ，则AC =_____厘米． 【例7】线段AB = 2厘米，反向延长线段AB 至点C ，使得BC = 3AB ，则AC =_____厘米． 【例8】线段AB = 2005厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ = 1200厘米，线段BP = 1050厘米，那么线段PQ =______厘米． 【例9】如图，线段AD = 90厘米，B 、C 是这条线段上的两点，AC = 70 厘米，且13CD BC =，则AB 的长为______．【例10】如图，已知D 为线段AB 的中点，E 为线段BC 的中点，若AC = 12，EC = 4，求线段AD 的长度．【例11】如图点A 、B 、C 、D 、E 在同一条直线上，已知AB = a ，AD = b ，CD = c ，CE = d ，用含a 、b 、c 、d 的式子表示BC 、DE 的长．A BC AB CD A B C DABC DEABCDE两条长度不等的线段，它们的长度和为a，一条线段的2倍等于另一条线段的3倍，求这两条线段的长度差．（结果用a表示）【例13】已知线段AB，用直尺、圆规作出它的中点C．【例14】两条线段的长度分别为6和8，使这两条线段在同一直线上，并有一个端点重合，求这两条线段的中点所确定的线段的长度．【例15】如图，点A、B、C、D 在同一条直线上，已知12ACCD=，35ABBD=，求AB : BC : CD．【例16】在直线上顺次排列的四个点A、B、C、D满足AB : BC : CD = 2 : 3 : 4，AB的中点M点与CD的中点N点的距离是3厘米，求BC的长．A B如图，线段AB = BC = CD = DE = 1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于多少？16.3 随堂检测1.用叠合法比较线段AB与线段CD的大小，把点A与点C重合，当点B在线段CD上，则AB______CD；若点B在线段CD的延长线上，则AB______CD；如点B与点D重合，则AB______CD．2.把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是_________________．3.判断下列语句是否正确：（1）点A与点B的距离就是线段AB；（）（2）若线段AM与线段BM相等，则M是线段AB的中点．（）4.下列各式中不能表达M为线段AB中点的语句是（）（A）12AM AB=；（B）2AB BM=；（C）AM BM=；（D）AM MB AB+=．5.找出图中的所有线段，并将它们表示出来．6.已知M是线段AB上的一点，点C是线段AM的中点，点D是线段MB的中点，AM =8厘米，MD = 2厘米，则BC =______厘米．7.已知线段AB = 6 cm，延长AB到C，使12BC AB=，反向延长AB到D，使14AD BD=，则线段CD = ______cm．8.已知线段a、b、c，画出线段AB使122AB a b c=+-．A B C D EA B C D E Facb9. 已知在平面上有10个点，无三点共线，请问这10个点可以构成多少条线段？10. 在直线上有两点A 、B ，它们的距离等于10，在该直线上另有一点P ，P 到A 、B 的距离之和为12，请判断点P 与点A 的位置关系．16.4 课后作业1.下列语句错误的是（ ）（A ）线段AB 和线段BA 是同一条线段； （B ）射线AB 和射线BA 不是同一条射线；（C ）“延长线段AB 到点C ”与“延长线段BA 到点C ”意义相同； （D ）直线不能比较大小.2. 比较下列各图中线段AB 与CD 的大小．3. 如图，直线上有A 、B 、C 三点，图中共有______条射线，______条线段．4. 线段AB =182厘米，点C 是线段AB 的中点，则线段BC =______厘米． 5.延长线段AB 至点C ，使13BC AB ，D 是AC 的中点，若DC = 2厘米，则AB =___厘米．6.已知线段AB ，点D 为线段AB 的中点，延长线段AB 到C ，使点B 为线段AC 的中点，反向延长线段AB 到E ，使得点A 为线段DE 的中点，则BC =______AE ．ABCDABCD7.延长线段AB到C，使AC = 3AB，在AB反向延长线上取一点D，使AD = AB，若E是AB的中点，DE = 7.2 cm，求CD的长．8.如图，已知AE = 14 cm，B为AE上一点，且AB : BE = 3 : 4，C为AE中点，D为BE中点，求线段CD的长．9.已知A、B、C为一直线上三点，且AB = 10 cm，BC = 20 cm，则AC的长度为多少？10.在直线l上有100个点，以这100个点为端点的线段有多少条？。
线段和差倍分的证法
设 ＝ ， ＝ ） ， ，
Ｂ Ｄ ＝五
Ｄ Ｈ ＿ ／ ／
ｌ 、
Ｋ Ｂ ’ 。 即Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ
七、 借助辅助四法 例７ 如图， 在 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， 对角线 Ａ Ｃ平 分 ／ ＿ Ｄ Ａ Ｂ， 若／ ＿Ｄ Ａ Ｂ １ ２ ０ 。 ， ＬＢ与 ＬＤ互补 ， 试证 明 Ａ 曰＋
。
点 曰作 Ｂ Ｅ－ Ｌ Ａ Ｄ交 Ａ Ｄ延长线 于 Ｅ 点 Ｄ为 Ａ Ｅ 中点．
’
．
ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ ＋Ｅ Ｇ＝２ Ａ Ｄ．
求证
Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ ．
注
因题设 中有 平行的条件 ， 可 考虑用此法证．
曰 ．
简证
延长 Ｂ Ｅ、 Ａ Ｃ交 于
Ａ
四、 代 数 法
例 ４ 如图， 已知 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ且 Ａ Ｄ＝
▲ Ａ 数学大｛ ｝ Ｉ 暴 ０ ． １ ▲ Ｉ ｖ； 。 ． 。 ＋ 。 ． 。 ． 。
则Ｄ Ｅ＝Ｃ Ｅ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｅ Ｄ， ＝ Ｂ Ｃ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｂ Ｆ，
．
。Ｌ Ｃ ＢＦ ＝ Ｃ ＤＥ． ． ‘ ． ＤＥ ＝Ｂ Ｆ ．
．
‘ ．
Ａ Ｂ＋ Ａ Ｄ：（ Ａ Ｆ＋ Ｆ） ＋（ Ａ Ｅ— Ｏ Ｅ）＝ Ａ Ｆ＋ Ａ Ｅ，
又 Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｆ ： Ａ Ｃ － ｃ ０ ｓ ６ ｏ 。 ＝ ÷ Ａ ｃ ， ． ． ． Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｃ ．
三、 比 例 法
、
（ ２ ） 设 Ｂ＝ＬＡ Ｃ Ｂ＝ ａ ， 则Ｐ Ｅ＝Ｐ Ｂ・ ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ，
ＰＦ：ＰＣ ・ｓ ｉ ｎ ａ．
‘
Ｄ
线段的和差倍分问题的证明
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
专题11 截长补短模型(解析版)
专题11截长补短模型模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。
其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
图解：已知线段AB 、CD 、EF ，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF 的方法截长法：在线段AB 上，截取AG=CD ，判断线段GB 和线段EF 长度是否相等补短法：延长线段CD 至点H ，使DH=EF ，判断线段AB 和线段GH 长度是否相等【过关练】1．（2022秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC 中，∠B =2∠A ，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【分析】如图，在CA 上截取,CN CB =连接,DN 证明,CBD CND ≌利用全等三角形的性质证明,BD ND =求解9,7,CN AN ==再证明,DN AN =从而可得答案．【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB =连接,DN CD 平分,ACB ∠,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD = (),CBD CND SAS ∴ ≌,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠ ,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠ ,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴=7.BD AN ∴==故选：.B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，5AB =，6CD =，则AC 的长为（）A ．3B ．9C ．11D ．15【答案】C 【分析】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，得到∠B=∠AED ，AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．【详解】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC ，在△ABD 和△AED 中，BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B=∠AED ，∠ADB =∠ADE ，AB=AE ，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB ，∠BDE=2∠ADB ，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB ，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB ，∴∠DEC =∠EDC ，∴CD=CE ，∵5AB =，6CD =，∴AC =AE+CE=AB+CD =5+6=11．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．3．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，连接BD 、CE ，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE 的长为__．【答案】6【分析】在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，易得△ABF ≌△ACE ，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E ，CE=BF ，则有∠D=∠DFB ，然后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，如图所示：AB=AC ，∠FAB=∠EAC ，∴ABF ACE ≌△△，∴BF=EC ，∠BFA=∠E ，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∴∠DFB=∠D ，∴BF=BD ，BD=6，∴CE=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．4．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，20C ∠=︒，AB BD AC +=，则B ∠的度数为_______．【答案】40︒【分析】如图（见解析），在线段AC 上取点E ，使得AE AB =，先根据角平分线的定义得出BAD EAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质得出BD ED =，B AED ∠=∠，然后根据线段的和差、等量代换得出ED CE =，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．【详解】如图，在线段AC 上取点E ，使得AE AB=AD 平分BAC∠BAD EAD\Ð=Ð在ABD △和AED △中，AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD AED SAS ∴≅ BD ED ∴=，B AED∠=∠又AB BD AC AE CE+==+ BD CE∴=ED CE∴=20CDE C ∴∠=∠=︒40AED CDE C ∴∠=∠+∠=︒40B AED ∴∠=∠=︒故答案为：40︒．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知ABC ∆中，60A ∠=︒，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+∠=∠，则DCB ∠的度数是_________．【答案】20°【分析】延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ，证明AEC △是等边三角形，设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ，再证明()△△ADC EBC SAS ≅，即可得到结果．【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∴2=++=+AE AD DB BE AD BD ，∵2=+AC AD BD ，∴AE AC =．∵60A ∠=︒，∴AEC △是等边三角形，∴60∠=∠=︒E ACE ，∵4∠=∠ABC ACD ，∴设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC △与EBC 中，∵AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ADC EBC SAS ≅，∴∠=∠=ACD ECB x ．∵∠=∠+∠ABC E BCE ，∴460=︒+x x ，∴20x =︒，∴60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD ．故答案是20︒．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ABC=40o ，BD 是∠ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则∠ECA=________．【答案】40°【分析】在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD ≌△FBD ，进而可得DF=AD=DE ，由此可证△DEC ≌△DFC ，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．【详解】解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，∠ACB=∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∴∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD ，∴△ABD ≌△FBD ，DE=DA ，∴DF=AD=DE ，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC ，∴△DEC ≌△DFC ，∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为40°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，,AC BC AD =平分BAC ∠交BC 于点D ，若AC CD AB +=，求C ∠的度数．【答案】90C ∠=︒【分析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ，证明ADC ADE △≌△，再证明DE BE =，设B x ∠=，再得到∠=∠=∠=BAC B EDB x ，证明2,C x ∠=然后利用内角和定理求解即可．【详解】解：如图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AD 平分BAC ∠，EAD CAD ∠=∠．∵,==AE AC AD AD ，ADC ADE ∴ ≌，∴,,CD DE AED C =∠=∠∵AC CD AB +=，AE BE AB +=，∴CD BE =，∴DE BE =，∴B EDB ∠=∠．∵AC BC =，∴BAC B =∠∠．设∠=∠=∠=BAC B EDB x ，则2∠=∠+∠==∠AED B EDB x C ．∵在ABC 中，2180x x x ++=︒，解得45x =︒，∴90C ∠=︒．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则AB 的长与AD+BC 的大小关系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定所以BC ＝BF ，所以AB ＝AF+BF ＝AD+BC ；故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.9．已知：如图所示，四边形ABCD 中，,AD BC O 是CD 上一点，且AO 平分,BAD BO ∠平分ABC ∠，若3,4AO BO ==，求四边形ABCD 的面积．【答案】12.【分析】在AB 上截AE AD =，根据SAS 易证AOD AOE ∆∆≌，∠AOD=∠AOE ，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则90AOD BOC AOE BOE ∠+∠=∠+∠=︒，可得BOE BOC ∠=∠，继而证明△BOE ≌△BOC ，可得S 四ABCD =2S △AOB ，即可得出答案．【详解】解：在AB 上截AE AD =，∵AO 平分∠BAD ，∴∠DAO=∠EAO ，在△AOD 和△AOE 中,AD=AE DAO EAO AO AO ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOD AOE ∆∆≌，AOD AOE ∴∠=∠，AD BC ∵‖，AO 平分BAD ∠，BO 平分ABC ∠，∴∠AOB=90°，90AOD BOC AOE BOE ∴∠+∠=∠+∠=︒BOE BOC ∴∠=∠，∵BO 平分∠ABC ，10．（2021秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，若这个四边形的面积是4，则BC +CD 等于（）A ．2B ．4C ．D ．∵∠DAB ＝∠BCD ＝90°，∴∠D +∠ABC ＝180°，∵∠ABE +∠ABC ＝180°，∴∠D ＝∠ABE ，11．（2020秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，ABC 与ADC △有一条公共边AC ，且AB=AD ，∠ACB=∠ACD=x ，则∠BAD=________．（用含有x 的代数式表示）【答案】180°-2x【分析】在CD 上截取CE=CB ，证明△ABC ≌△AEC 得AE=AB ，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．【详解】解：在CD 上截取CE=CB ，如图所示，在△ABC 和△AEC 中，CE CB ACE ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AEC(SAS)∴AE=AB ，∠B=∠AEC,∵AB=AD ，∴AD=AE ，∴∠D=∠AED ，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．12．（2021秋·广东佛山·八年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，点D 是线段BC 上一点，∠ADC =90°，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP =OC ，下面的结论：①∠APO =∠ACO ；②∠APO +∠DCO =30°；③AC =AO +AP ；④PO =PC ，其中正确的有______．【答案】①②③④【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO=∠ACO，∠APO+∠DCO=30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC=60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC=PO，∠PCO=60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC，即可得出结果．【详解】解：连接BO，如图1所示：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，又∵OP=OC，∴OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO，∴∠OBP=∠ACO，∴∠APO=∠ACO，故①正确；又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°，∴∠APO+∠DCO=30°，故②正确；∵∠PBC +∠BPC +∠BCP =180°，∠PBC =30°，∴∠BPC +∠BCP =150°，又∵∠BPC =∠APO +∠CPO ，∠BCP =∠BCO +∠PCO ，∠APO +∠DCO =30°，∴∠OPC +∠OCP =120°，又∵∠POC +∠OPC +∠OCP =180°，∴∠POC =60°，又∵OP =OC ，∴△OPC 是等边三角形，∴PC =PO ，∠PCO =60°，故④正确；在线段AC 上截取AE =AP ，连接PE ，如图2所示：∵∠BAC +∠CAP =180°，∠BAC =120°，∴∠CAP =60°，∴△APE 是等边三角形，∴AP =EP ，又∵△OPC 是等边三角形，∴OP =CP ，又∵∠APE =∠APO +∠OPE =60°，∠CPO =∠CPE +∠OPE =60°，∴∠APO =∠EPC ，在△APO 和△EPC 中，AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APO ≌△EPC （SAS ），∴AO =EC ，又∵AC =AE +EC ，AE =AP ，∴AO +AP =AC ，故③正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图（1），在四边形ABCD 中，AB AD =,180B D ︒∠+∠=，E ，F 分别是,BC CD 上的动点，且12EAF BAD ∠=∠，求证：EF BE DF =+．（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E ，F 分别运动到,BC CD 的延长线上时，,,EF BE DF 之间的数量关系是______．B ADC ADC∠+∠=∠+∠B ADF∴∠=∠，在△ABG和△ADF中ABB BG ⎧⎩⎪⎪⎨∠在△EAG 和△EAF 中AG AF EAG EAF AE AE ===⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴EG=EF ，∵BG=DF ，∴EF=BE-BG=BE-DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．14．如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是AB 延长线上一点，N 是CA 延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM ，MN ，CN 之间的数量关系，并给出证明．90MBD ABD ECD ︒∴∠=∠=∠=在△MBD 和△ECD 中，BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△MBD ≌△ECD （SAS ）．∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC ）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB ）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN ．在△MND 与△END 中，ND ND MDN EDN MD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△MND ≌△END （SAS ）．∴MN=NE ．∴CN=NE+CE=MN+BM ．【点睛】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.15．（2023·全国·九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE 与ADG △中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG △≌△理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B ∠、D ∠都不是直角，则当B ∠与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF之间的数量关系．【答案】（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒ ，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE 与ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴ ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF．证明如下：=，如图，延长FD至G，使BE DG【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P 为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，PBM PCH PB PC ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBM ≌△PCH （SAS ），∴PM ＝PH ，∠BPM ＝∠CPH ，∵∠BPM +∠CPN ＝60°，∴∠CPN +∠CPH ＝60°，∴∠MPN ＝∠HPN ，在△MPN 和△HPN 中，PM PH MPN HPN PN PN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MPN ≌△HPN （SAS ），∴MN ＝HN ＝BM +CN ，故答案为：一定成立．（3）解：在AC 上截取CK ＝BM ，连接PK ，如图所示，在△PBM 和△PCK 中，90PBM PCK BM CK ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△PBM ≌△PCK （SAS ），∴PM ＝PK ，∠BPM ＝∠CPK ，∵∠BPM +∠BPN ＝60°，∴∠CPK+∠BPN ＝60°，∴∠KPN ＝60°，∴∠MPN ＝∠KPN ，在△MPN 和△KPN 中，PM PK MPN KPN PN PN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MPN ≌△KPN （SAS ），∴MN ＝KN ，∵KN ＝NC ﹣CK ＝NC ﹣BM ，∴MN ＝NC ﹣BM ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，150BCD ∠=︒，CB CD =，M 、N 分别为AB 、AD 上的动点，且75MCN ∠=︒．求证：MN BM DN =+．【答案】见解析【分析】延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，根据同角的补角相等得CBE CDN ∠=∠，根据SAS 证明CBE CDN ∆≅∆，则BCE DCN ∠=∠，进而证明75ECM MCN ∠=∠=︒，根据SAS 证明ECM NCM ∆≅∆，得到MN ME =，则MN BM BE BM DN =+=+．【详解】证明：延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，CBE CDN ∴∠=∠，在CBE ∆和CDN ∆中，CB CD CBE CDN BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBE CDN SAS ∴∆≅∆，BCE DCN ∴∠=∠，CN CE =，150BCD ∠=︒ ，75MCN ∠=︒，75MCE MCB BCE MCB DCN ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，MCN MCE ∴∠=∠，在ECM ∆和NCM ∆中，MC MC MCN MCE CN CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ECM NCM SAS ∴∆≅∆，MN ME BM BE BM DN ∴==+=+．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ ADG ，再证明 AEF ≌ AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．在 ABE 和 ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABE ≌ ADG （SAS ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝∴∠EOF 12=∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，19．如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．【答案】6【分析】在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，由,,,A B C D 四点共圆得∠ABE ACD =∠，再证明ABE ACD ≅∆，△ADE 是等边三角形，得AD DE AE ==，再由线段的和差关系可得结论．【详解】解：在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，∵180BAD BCD ∠+∠=︒∴,,,A B C D 四点共圆，∴∠ABD ACD=∠∴∠ABE ACD=∠∵△ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60DAE ∠=︒，∴△ABE ACD ≅∆，∠60BAE CAF +∠=︒，∴,BAE CAD BAF CAD ∠=∠∠=∠，∴∠60CAD CAE +∠=︒，即60DAE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形，∴AD DE AE ==，∵=8BD ，2CD =，∴6DE BD BE BD CD =-=-=，∴6AD DE ==．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠ABE ACD =∠是解答此题的关键．20．（2023·全国·九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC =120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，可得AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∠DAE =60°，根据∠BAC +∠BDC =180°，可知∠ABD +∠ACD =180°，则∠ACE +∠ACD =180°，易知△ADE 是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．21．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．AH 22．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在ABC 中，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C ∠=∠．（1）求CDE ∠的度数；（2）求证：AD DE BD +=．【答案】（1）60︒；（2）见解析【分析】（1）由AB BE =，60ABC ∠=︒，可得ABE 为等边三角形，由AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，AED C ∠=∠，可证60CDE AEB ∠=∠=︒（2）延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ，由60BED AED ∠=︒+∠，60BAF C ∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，可证()FBA DBE SAS ≌由=DB FB ，可证FBD 为等边三角形，可得BD FD =，可推出结论，【详解】解：（1）∵AB BE =，60ABC ∠=︒，∴ABE 为等边三角形，∴60BAE AEB ∠=∠=︒，∵AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，∵AED C ∠=∠，∴60CDE AEB ∠=∠=︒（2）如图，延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ，由（1）得ABE 为等边三角形，∴60AEB ABE ∠=∠=︒，∵60BED AEB AED AED ∠=∠+∠=︒+∠，又∵60BAF ABE C C ∠=∠+∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，∴BED BAF ∠=∠，23．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．（1）求∠ADB 的度数；（2）线段DE ，AD ，DC 之间有什么数量关系？请说明理由．【答案】（1）120°；（2）DE ＝AD +CD ，理由见解析根据全等三角形的性质得到∠∴CD＝ME．∵DE＝DM+ME，∴DE＝AD+CD．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．25．（2022秋·全国·八年级专题练习）在ABC 中，AE ，CD 为ABC 的角平分线，AE ，CD 交于点F ．（1）如图1，若=60B ∠︒．①直接写出AFC ∠的大小；②求证：AC AD CE =+．（2）若图2，若90B Ð=°，求证：ACF AFD CEF DEF S S S S =++△△△△．DAF HAF AF AF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△AHF (SAS )，∴∠AFD =∠AFH ，∵∠AFD =∠CFE ，∴∠AFH =∠CFE ，由①可知，∠AFC =120°，∴∠CFE =180°-120°=60°，∴AFH =∠CFE =60°，∴∠CFH =60°，即：∠CFH =∠CFE ，在△CFH 和△CFE 中，CFH CFE CF CF HCF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CFH ≌△CFE (ASA )，∴CE =CH ，∵AC =AH +CH ，∴AC =AD +CE ；（2）证：如图所示，在AC 上取S 、T 两点，使得AD =AS ，CE =CT ，连接SF ，SE ，TF ，TE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠DAF =∠SAF ，在△ADF 和△ASF 中，【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图ABC 中，60,,ABC AD CE ︒∠=分别平分,BAC ACB AD CE ∠∠、、相交于点P ．（1）求CPD ∠的度数；（2）求证：AE CD AC+=【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出；（2）在AC 上截取AF=AE ，先证明△APE ≌△APF （SAS ），再证明△CFP ≌△CDP （ASA ），根据全等三角形的性质证明AE CD AC +=即可．【详解】解：（1）∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，又∵AD 、CE 分别平分∠∠、BAC ACB ，∴12CAD BAC ∠=∠，12ACE ACB ∠=∠∴111()60222CAD ACE BAC ACB BAC ACB ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，又∵∠CPD 是△ACP 的外角，∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，∴∠CPD=60°．（2）如图，在AC 上截取AF=AE ，连接PF ，∵∠CPD=60°，∴∠APC=120°，∠APE=60°∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠BAD=∠CAD ，∠ACE=∠BCE在△APE 与△APF 中27．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC =+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ⊥于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，RtΔRtΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔABD MBD ∴≌，A BMD ∴∠=∠，AD MD =．180BMD CMD ︒∠+∠= ，180C A ︒∠+∠=．C CMD ∴∠=∠．DM DC ∴=，DA DC ∴=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD 平分ABC ∠，NBD CBD ∴∠=∠．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔNBD CBD ∴≌．BND C ∴∠=∠，ND CD =．180NAD BAD ︒∠+∠= ，180C BAD ︒∠+∠=．BND NAD ∴∠=∠，DN DA ∴=，DA DC ∴=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC ︒∠= ．ΔADC ∴为等边三角形．AC AD ∴=，60ADC ︒∠=．180BCD BAD ︒∠+∠= ，36018060120ABC ︒︒︒︒∴∠=--=．18060PBA ABC ︒︒∴∠=-∠=．BP BA = ，ΔABP ∴为等边三角形．60PAB ︒∴∠=，AB AP =．60DAC ︒∠= ，PAB BAC DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即PAC BAD ∠=∠．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔPAC BAD ∴≌．PC BD ∴=，PC BP BC AB BC =+=+ ，AB BC BD ∴+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ⊥于F ，如图3所示．28．等边ABC ∆中，点H 、K 分别在边BC 、AC 上，且AK CH =，连接AH 、BK 交于点F ．（1）如图1，求AFB ∠的度数；图1（2）连接CF ，若90BFC ∠=︒，求BF AF的值；（3）如图2，若点G 为AC 边的中点，连接FG ，且2AF FG =，则BFG ∠的大小是___________．图2【答案】（1）120︒；（2）2；（3）120︒【分析】（1）由ABC ∆是等边三角形，可得出AB AC BC ==，60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，再利用AK CH =，可证()ΔΔABK CAH SAS ≌，得出CAH ABK ∠=∠，由BFH ABK BAF CAH BAF ∠=∠+∠=∠+∠可求出BFH ∠，最后由补角定义求出AFB ∠.（2）在BF 上取点D ，使BD AF =，由120AFB ∠=︒可证150AFC ∠=︒，再利用AB AC =，ABD CAF ∠=∠，BD AF =可证明()ΔΔABD CAF SAS ≌，进而求出150ADB CFA ∠=∠=︒，再用补角的性质得知120AFD ∠=︒，在AFD △中利用外角的性质可求出30FAD ADB AFD ∠=∠-∠=︒，进而证出AFD △为等腰三角形，最后可证出2BF BD DF AF =+=即可求解.（3）延长BF 至E ，使AFE ∆为等边三角形，延长FG 交CE 于T ，可得出()ΔΔABF ACE SAS ≌，进而得出120AEC AFB ∠=∠=︒，利用角的和差得出60FET AFE ∠=︒=∠，则证出//AF EC ，进而证出()ΔΔAFG CTG AAS ≌，再利用2AF FG =，AF EF =证出EFT ∆为等边三角形，进而证出120BFG ∠=︒.【详解】（1）∵ABC ∆是等边三角形，∴AB AC BC ==，60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，在ABK ∆和CAH ∆中，AB CA =，BAK ACH ∠=∠，AK CH =，∴()ΔΔABK CAH SAS ≌，∴CAH ABK ∠=∠，∴60BFH ABK BAF CAH BAF ∠=∠+∠=∠+∠=︒，。
第三讲--线段的和差倍分问题
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。
07和倍问题-线段法
苹果树 = 250×3 = 750棵
二、较复杂的和倍问题（5）
例5、549是甲、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，
则4个数相等。求4个数各是多少？ 分析1：由题意可知丙最小，其他数都可以描述为丙的算术表达式，所以以丙为基准倍数。这样就转
化成了和倍问题，然后再依次还原即可。
鸡蛋之和
72
已知
37
两数和倍关系
分析2、线段图关系： 1倍
第一箱 第二箱
标准形式，可求得调整后的数量分别是24、48,
已知
35
大箱是小箱的ຫໍສະໝຸດ 数2倍取走13个 放进13个
两箱 合计 72个
解题算术式： 第一箱个数 =72÷(1+2)+13 =37个 第二箱个数 =72 - 37 =35个
2倍
二、较复杂的和倍问题（3）
分析2、线段图关系： 3倍
苹果树
橘子树
1倍多7棵
梨树
1倍
苹果树+橘 子数与梨树
之和
苹果树+橘 子数是梨树
倍数
合计
1257 棵
1250
未知
标准形式
未知
？ =4倍
转化 转化
解题算术式：
苹果树和橘子树
合计起来是梨树 的3+1=4倍， 还多7棵。
梨 树=（1257-7）÷(1+4) = 250棵
橘子树 = 250 + 7 = 257棵
2、差倍问题 两个数之差等于12，其中一个数是另一个数的3倍。这两个数各是多少？
3、和差问题 两个数之和等于24，其中一个数比另一个数大12。这两个数各是多少？
解决和倍、差倍与和差问题的方法一般用线段图比较直观，并确定一个数据为标准量或基准倍数。
三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)
四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。
（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。
“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。
数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系
数形结合，以线段图理解两数的和差及倍数关系
数形结合是一种常用的数学思维方式，通过将数学概念与图形进行结合，可以更直观
地理解各种数学关系和定理。
在数学中，我们经常需要理解两个数之间的和差关系以及倍
数关系，并且数形结合可以提供更直观的方式来理解这些关系。
我们来看两个数的和差关系。
假设有两个数a和b，他们的和可以表示为a+b，差可以表示为a-b。
为了更好地理解这个关系，我们可以将两个数用线段来表示。
假设a和b分别对应线段AB和BC，那么线段AC的长度就代表了a+b的值，而线段AB和BC的长度之差就代表了a-b的值。
图形上的和差关系还可以帮助我们理解加减法的运算性质。
当我们将两个线段相加时，线段的长度会相加，这反映了数学中的加法运算性质。
同样，当我们将一个线段减去另一
个线段时，线段的长度会减少，这反映了数学中的减法运算性质。
线段的和差倍分问题一
线段的和、差、倍、分问题（一）1．数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算。
2．线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论。
3．对于比较复杂的，可设某个线段为x，找出等量关系，列一元一次方程求解。
4．结论：已知线段AB，点C是线段AB上任意．．一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则MN=12 AB．证明：由于点M是AC中点，所以MC= 12AC，由于点N是BC中点，则CN=12BC，而MN=MC+CN=1 2（AC+AB）=12AB。
典型例题例1 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么AC两点之间的距离为（）A、2cmB、6cmC、2或6cmD、无法确定分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．解：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图：AC=AB-BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4-2=2cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：AC=AB+BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4+2=6cm．例2 如果A，B，C在同一条直线上，线段AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，那么M、N两点之问的距离是（）A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、8cm或4cm分析：根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分①点C不在线段AB，②点C在线段AB上两种情况进行讨论求解．解：∵AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，∴BM=12AB=12×6=3cm，BN=12BC=12×2=1cm，①如图1，点C在线段AB的延长线上时，MN=BM+BN=3+1=4cm，②如图2，点C在线段AB上时，MN=BM-BN=3-1=2cm，综上所述，M、N两点之问的距离是4cm或2cm．例3 如图，线段AC=6 cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．分析：因为点M是AC的中点，则有MC=AM= 12AC，又因为CN：NB=1：2，则有CN= 13BC，故MN=MC+NC 可求．解：∵M是AC的中点，∴MC=AM=12AC=12×6=3cm，又∵CN：NB=1：2，∴CN=13BC=13×15=5cm，∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm．答：MN的长为8cm．强化训练：1．已知线段AB=8cm，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则线段MN= ．2．如图，线段AB=12cm，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，MN的长为cm，如果AM=4cm，BN的长为cm．3．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A、7cmB、3cmC、7cm或3cmD、5cm4．如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，M是AB的中点，N是DC的中点，MN=a，BC=b，那么AD等于（）A、a+bB、a+2bC、2b-aD、2a-b5．C，D是线段AB上任意两点，M，N分别是AC，BD的中点，若CD=a，MN=b，则AB的长为（）A、2b-aB、b-aC、2b+aD、以上均不对6．已知AB=10cm，在AB的延长线上取一点C，使AC=16cm，则线段AB的中点与AC的中点的距离为A、5cmB、4cmC、3cmD、2cm7．若M是AB的中点，C是MB上任意一点，那么与MC相等的是（）A、12（AC-BC）B、12（AC+BC）C、AC-12BC D、BC-128．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（）A、3：4B、2：3C、3：5D、1：29．C为线段AB上一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点；若AB=26cm ，AM=6cm。
证明线段之间关系的技巧
证明线段之间数量关系的技巧证明两线段相等★1.两全等三角形中对应边相等。
★2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形三线合一。
★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。
6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
2.*证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧证明两条直线互相垂直★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
★8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
★11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
★4.三角形的中位线平行于第三边。
中考数冲刺几何题型专项突破：专题一截长补短证明线段和差倍分等问题
中考数冲刺几何题型专项突破专题一截长补短证明线段和差倍分问题【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法：如图2,在EF上截取EG=AB,在证明GF = CD即可；补短法：如图3,延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH = EF即可.【类型】一、截长截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BM OA DFC ( SAS),则MC=FC=FG , △ BCM^ DCF ,可得△ MCF为等腰直角三角形，又可证△ CFE=45 , △ CFG=90 ,△ CFGS MCF, Fg CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF , 于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF ；可得△ BFC=\ BDC=45 ，得△ MCF=90 ；于是△ BM OA DFC (AAS ), BM=DF ,又得△ BMC^DFC=135于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BCD和厶MCF。
方法三：如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△ DFK，可证得△ DFC=\ KFG=135 ，所以△ DFCX A KFG（SAS），所以KG=DC=BC ，△FKG=A FDC=A CBF，KGA BC，得四边形BCGK 为平行四边形，BK=CG ，于是BF=BK+KF=CG+DF.方法四:如图3所示，在BF上截取BK=CG ,可得四边形BCGK为平行四边形,BC=GK=DC , BC A KG ,△GKF=A CBF=A CDF,根据四边形BCFD为圆的内接四边形,可证得△ BFC=45，△ DFC=\ KFG，于是△ DCFX A KGF （AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BDC 和^ KDF。
和倍差倍和差问题
和倍、差倍、和差问题一、熟练掌握线段图画法二、熟练掌握解答倍数问题※线段图画法画线段图非常非常非常重要，是解决中常用的一种思考策略，它能将题中抽象关系以形象的方式表达出，更清楚地反映数量关系。
画线段图不会浪费时间，越复杂的题目越需要画图，可以说，会不会画图决定着你的解题能力，决定分数！※和倍、差倍、和差问题公式和倍问题：两数之和÷（倍数+ 1）=小数差倍问题：两数之差÷（倍数- 1）=小数和差问题：（和+ 差）÷ 2 =大数（和- 差）÷ 2 =小数稍复杂的倍数问题可能包含两个状态，我们一般抓住倍数的那个状态。
●和倍问题线段图1.甲班和乙班共有图书160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（和倍）2.甲班和乙班共有图书210本。
甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本？（和倍）3.甲班和乙班共有图书150本。
甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本？（和倍）4.甲班和乙班共有图书150本。
甲班的图书给乙班20本后，两班就一样多，甲班和乙班原来各有图书多少本？（和倍）●差倍问题线段图1.甲班的图书比乙班多160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（差倍）2.甲班的图书比乙班多160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本？（差倍）3.甲班的图书比乙班多160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本？（差倍）●和差问题线段图甲班和乙班共有图书160本。
甲班的图书本数比乙班的多20本，甲班和乙班各有图书多少本？（和差）和倍问题习题（一）1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红和妈妈各几岁？2．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍多4岁,小红和妈妈各几岁？3．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍少1岁,小红和妈妈各几岁？4．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍多4本,大书的本数有几本,小单线的书有几本？5．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍少5本,大书的本数有几本,小单线的书有几本？6．师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个;师、徒各生产几个?7．一块长方形木板,长是宽的2倍,周长是54厘米.这个长方形木板的面积是多少平方厘米？8．一块长方形木板,长是宽的3倍少1厘米,周长是54厘米.这个长方形木板的面积是多少平方厘米？9．甲乙两个冷藏库原来共存肉92吨,从甲库运出28吨后,乙库存肉比甲库的4倍少6吨,甲库原来存肉几吨,乙库原来存肉几吨？10．甲乙两个冷藏库原来共存肉92吨,从甲库运出10吨给乙后,乙库存肉比甲库的4倍少3吨,甲库原来存肉几吨,乙库原来存肉几吨？11．小红有30支铅笔,小兰有45支铅笔,小兰给小红几支后,小红的支数是小兰的2倍？12．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,弟弟给姐姐多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍?13．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,弟弟花掉多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍?14．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,姐姐再得到多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍?15．三个饲养场共养140头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍,三个饲养场各养牛多少头?16．三个饲养场共养160头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍多6头,三个饲养场各养牛多少头?17．三个饲养场共养180头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第一饲养场的3倍,三个饲养场各养牛多少头?18．有两筐苹果共重78千克，如果从甲筐中取出14千克放入乙筐，则此时甲筐重量和乙筐相等，求两筐原来各有多少千克？19．有两筐苹果共重78千克，如果从甲筐中取出14千克放入乙筐，则此时甲筐重量比乙筐的2倍少12千克，求两筐原来各有多少千克？20．甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？21．已知甲、乙、丙三个数的和是135，乙是甲的2倍，丙是乙的3倍，求甲、乙、丙三个数分别是多少？22．甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？23．甲、乙、丙三数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？和倍问题习题（二）24．两个数相除商是8，被除数、除数与商的和是170，求被除数、除数是多少？25．两个数相除商是6余数是7，被除数、除数、商与余数的和是125，求被除数、除数是多少？26．两数相除，商是3，余数是1，被除数、除数、商与余数的和是89。
44线段及角的和差倍分计算
如图4，线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别 是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长．
图4 解：设AC，CD，DB的长分别为3a，4a，5a， ∴CM＝2a，AB＝12a，AN＝6a， ∴MN＝AN－AM＝6a－(3a＋2a)＝a＝2 cm， ∴AB＝12a＝24 cm.
如图5，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为 5∶11，已知CD＝10 cm，求AB的长．
∴∠α＝80°，∠β＝100°.
如图10，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD， OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE， ∠EOF＝140°，求∠COD的度数．
解：设∠COD为x， ∵∠EOF＝140°， ∴∠EOD＋∠FOC＝140°－x. ∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD， ∴∠BOC＋∠AOD＝2(140°－x)． ∵绕点O一周的角度是360°， ∴有2(140°－x)＋100°＋x＝360°. 解得x＝20°， ∴∠COD＝20°.
交流总结
本节课学会了： 1、两根线段的和差仍然是线段
两角的和与差仍是一个角，
2、会进行有关线段、角的简单的推理说明
课堂检测
1、如图，OC平分∠AOB，下列说法错误的是( D )
A.∠1=∠2
B. ∠AOB=2∠1
C.∠1+∠2=∠AOB
D. ∠1=∠AOB
A
C
1
2
O
B
2、下列说法中正确的是( B )
综上，在CD之间(含C、D点)建一个加油站M时，所行驶的总路程最 少，所行驶的总时间最少．
如图3，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D， E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝9，求线段DE的长．
平面几何中线段“和差倍分”问题的证明
利用 “ 平 行线 间距 离相 等 ” 、 “ 夹 在 平行 线 间 的 平 行 线段 相 等 ” 等定理 ， 可通过添加平行线 ， 将 某
些 线段 “ 送” 到 恰 当位置 ， 从 而获得 证题 思路 ．
证法 ２ 如图 ３ ， 延长 Ｃ Ａ至 点 Ｇ， 使Ａ Ｇ＝Ａ Ｅ， 联结 Ｄ Ｃ， Ｄ Ｂ， ＤＧ ． 易证 ＡＡ Ｄ Ｅ ＡＡ Ｄ Ｇ， 从 而 可 证
故 Ⅱ＝ｋ ＋ ｂ—ｃ为整 数． （ ３ ） 令 ０＝ｂ＝ｃ＝ ＝１ ， 则 是平 方数 ， 因此不 一定 成 立． ＋ ＋Ｃ＝３ ， 不
若ｈ ， ｍ 的奇偶 性不 同 ， 则 １ ６ ａ＋ ４ ｂ＝（ ｈ＋ ， ） （ ｈ—ｍ）
为奇 数 ， 这与１ ６ ａ＋ ４ ６为偶 数矛 盾．
等． 证法 １ 与 证法 ２正好 是 “ 割” 与“ 补” 的 ２种 方
法．
现 矛盾 的转 移 ， 从而达 到化 未知 为 已知 、 化难 为易 、 化 繁为 简 的 目的． 本 文拟对 这类 问题 的常用 解法 作
一
例２ 在 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中， ／ ＿ ＿ Ａ Ｃ Ｂ ＝６ ０ 。 ， ０ 为 ＡＡ Ｂ Ｃ外 接 圆 的 圆心 ， Ｈ为垂心 ， Ｏ Ｈ 的延 长 线 交
若和 差 倍 分 ＂问 题 的 证 明
●倪 建荣 （ 秀州中学分校 浙江嘉兴 ３ １ ４ ０ ０ ０ ）
△Ｂ Ｄ Ｅ △Ｃ Ｄ Ｇ， 得 Ｂ Ｅ＝Ｃ Ｇ， 即Ａ Ｂ—Ａ Ｃ＝ ２ Ａ Ｅ ．
线段“ 和差 倍分 ” 问题是 几何 证 明的 重要 内容 之一 ， 这类 问题 的证 明方 法灵 活 多变 、 技巧 性 强 ， 且
相关 线 段或 其 延 长线 上 构 造 能 够 表 示 线 段 “ 和差