第二章光波场的描述(1).

在此特例中，波面与z 轴平行，则 1 y z , f z 0
y
k
z
综上所述，我们可以得到， 一列沿任意 方向传播的平面 k 简谐波的复振幅为：
O
~ ( P ) Ae Ae
i ( k r 0 )
x
x
Ae
i ( k x x k y y k z z 0 )
（2）平面简谐波的相速 如果跟踪某一振动状态，则它在不同时刻 t 出现于不同地点 z 时应满足： (z , t)= t – kz + 0 = 常量
两边取全微分
dt kdz 0
dz ω dt k
某一振动状态或恒定相位状态沿z轴传播的速度称为
dz 相速 V p dt k T
设0=0，则
i(k ~ ( x , y, z ) Ae
x
x
x k y y k z z 0 )
kx
O
k
Ae ik ( x sin z cos )
在波前 z = 0面上
θ
kz
z
~ ( x, y) Ae ikx sin
1.3 球面波 傍轴近似和远场近似 所有光源或发光物体都可以看成是由许多点 光源组成的，每个点光源向周围空间辐射发散球 面波，其波函数为： 到振源为单位距
( z, t ) Re[ Ae i (t kz ) ]
0
可见，复指数函数形式的波函数的实部就是 波函数，为简单起见，在书写时可省略表示实数 部分的符号Re，而将波函数写成：
( z, t ) Ae ~ ( z ) e it
i ( t kz 0 )
球面波的点源
P0到P的距离
P0
r
z

y
(x , y )
P

场点
x
o
设0=0，则在 xy平面上波的复 振幅为 a ikr ~ (P) e r
xy平面到P0的距离
式中 r z 2 x 2 y2
当xy平面远离P0点时，常考虑两种近似条件 (1) 傍轴近似，满足条件：x2 + y2 << z2

,
fy
cos

,
fz
cos

空间周期和空间频率的物理意义 例：沿平面上 k方向传播的平面简谐波的波长为， 就是沿 k方向的空间周期，即相位相差2的波面 的间隔。显然，波面随空间的分布与考察的方向有 关。在x轴方向，相距的波面在x轴上的截距为 x / cos ，同样，这两个波面在y轴上的截距为 y y / cos ，x和y 分别表示在x k 方向和y方向具有相同振动相位的 y 两相邻点之间的距离，它就是沿x 轴和y轴方向的空间周期，而它们 的倒数就是相应的空间频率。它 O 们分别表示沿x轴和y轴方向每增 x x 加单位长度，简谐波场增加的周期数。
cos α cos β cos γ x+ y+ z) λ λ λ
x
x + f y y+ fz z )
从上式可知，平面简谐波具有两个特点： ① 振幅A是常量，它与场点P的坐标无关。 ② 相位的空间分布是直角坐标的线性函数。
上式中的fx、fy、fz分别称为x、y、z方向的
空间频率 fx
cos
1 1 1 空间周期 x , y , z f x cos f y cos f z cos
§1 简谐波的数学描述
振动的基本概念 振动 — 一个物理量在其平衡位置(或平均值)附 近作周期性变化。 简谐振动 — 又称为简谐运动，其特征是振动的 物理量随时间 t 的变化具有周期性，而且在每个 周期中都按正弦或余弦规律变化，即振动物理 量是时间 t 的正弦或余弦函数。 2 ( t ) A cos( t 0 ) T 简谐振动 ( t ) A cos( 2t 0 ) 表达式 ( t ) A cos(t 0 )
k 方向
x方向 z方向

x / cos
k 2 / 2f f 1/ f x cos / kx 2 / x 2f x
f y cos / k y 2 / y 2f y
f z cos /
kz 2 / z 2fz k 空间频率矢量 f 2
i[ 2 ( f x x f y y f z z ) 0 ]
此式表明，一组空间频率(fx，fy，fz)对应于一 定方向传播的单色平面波。不同的空间频率分量组， 对应于不同方向传播的单色平面波。
此波在直角坐标系中三个坐标轴方向的空间周 期，空间频率，空间圆频率列表如下
空间周期 空间频率 空间圆频率
k cos x k cos y k cos z cos cos cos 2 ( x y z)



i(k ~ ψ ( P ) = Ae
x
x + k y y + k z z + φ0 )
= Ae = Ae
iφ0
iφ0
e i 2π ( f e
i 2π (
a i[( kr (r, t ) e r
振源到场点P的距离
离的场点的振幅
0
) t ]
A( P )e
i ( kr 0 )
e it
A(P)=a/r是P点的振幅
在光学中，波场中的任一曲面或平面称为波 前，而实验和应用中大多数是在平面上观察波的 分布，所以现在讨论球面波在x–y平面上的表示 方法。
在平面简谐波中，相速也就是波函数表达式 中的波的传播速度，通常称为波速。波动的时间 周期性和空间周期性通过相速Vp相联系。
λ V pT
色散： 在介质中，相速随波长(频率)变化的现象。 下表列出了描述时间周期性物理量和空间周 期性物理量之间的对应关系。
时间性物理量 符号 T v 名称 周期 频率 备注 时间周期 v =1/T 符号
— 波长，相隔为波长的整数倍的两点具有相 同的振动状态。1/称为空间频率，它表示传播
方向上单位长度内的波长数。
k = 2/ — 空间圆频率或波数，它表示沿传播 方向2长度内的波长数。 (z , t)= t – kz + 0 — 波的相位，它是余弦函 数的整个自变量。相位决定振动状态，相位恒定 则振动状态也一定，在波动过程中，振动状态的 传播就是恒定相位状态的传播。
x 2 y2 ik ( z ) 2z
(费涅耳近似)
若是向P点会聚的球面波，则P点的光场表示为
~ ( x, y) a e 会聚球面波 z
x 2 y2 ik ( z ) 2z
(费涅耳近似)
x 2 y2 x 2 y2 z 或 (2) 远场近似，满足条件：k 2z
0
复振幅描述了波场的振幅和它的相对空间相 位分布，也称为波场分布。其共轭复数为：
复振幅的共轭复数 光波强度可用下式求得
i ( kz ~ ( z ) Ae
0
)
~ ( z ) ~ ( z ) Ae i ( kz ) Ae i ( kz ) A2
A — 振幅， T — 时间周期， — 时间频率， 2 — 时间圆（角）频率，且 2 T (t 0 ) — 简谐振动在t 时刻的相位，它描 写振动的状态 0 — 初相位，即t = 0 时刻的相位 波的基本概念 波动是振动的传播过程，被传播的是一个分 布在某一空间范围的物理量，而这个量又是随时 间变化的。所以一个波动过程也称为一个波场， 波场中各点的振动之间存在着相互关联性。波动 的特点是它具有时空周期性。
( P , t ) A cos[(t kr0 0 )]
z
若用复指数函数形式表示，则其复振幅为
~ ( P ) Ae 复振幅
i ( k r 0 )
若传播方向的方向余弦为(cos， cos， cos)，则 k k x e x k y e y kz e z k cos e x k cos e y k cos ez k 的三个分量为： kx k cos , k y k cos , kz k cos k r k x x k y y kz z
波函数：描述波动过程中被传播的物理量随空间 位置 r 和时间 t 而变化的函数关系式 ( r , t ) 。 1.1 一维平面简谐波 简谐波 — 简谐振动的传播。 平面简谐波 — 波面是平面的简谐波 。
（1）平面简谐波的波函数 设一维平面简谐波以速度 V 沿 z 轴正方向传 播，则其波函数： z ψ ( z , t ) A cos[ω( t ) φ0 ] V t z ( z , t ) A cos[2 ( ) 0 ] T ( z , t ) A cos(t kz 0 )
z
( P0 , t ) A cos[(t kr0 0 )]
式中r0为O至P0的距离
现考察在某一时刻，同 一波面上任一点P(x,y,z)的 振动，因P与P0处于同一波 面，故P与P0点振动相同， 则P点的波函数取为：
x
r0
P0

k
o
y
P r

k 代入上式得： 设O至P的矢径为 r，则有 r0 r k 波函数在P点的值 ( P , t ) A cos[(t k r 0 )]
空间性物理量 名称 波长 空间频率 备注 空间周期 f =1/

f

圆频率
=2 v
k
波数
k =2 f
（3）平面简谐波的复指数函数形式 为了运算方便，可把平面简谐波的波函数写 成复指数函数形式 ( z , t ) A cos(t kz 0 ) A cos[(t kz 0 )]