递归与分治策略

第2章递归与分治策略实验2 分治算法的递归程序实现与时间复杂度测试1. 实验目的编程实现合并排序和快速排序算法，理解分治算法设计的基本思想、递归程序实现的基本方法，加深对分治算法设计与分析思想的理解。

通过程序的执行时间测试结果，与理论上的时间复杂度结论进行对比、分析和验证。

2. 原理解析分治算法的基本思想分治算法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。

求出子问题的解，就可得到原问题的解。

分治算法设计的一般步骤包括：(1) 分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；(2) 求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；(3) 合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

分治法的基本设计范式如下：DivideAndConquer(data,n,solution)if(n≤SizeLimit) thenDirectSolution(data,n,solution)elseDivideInput(data,n,smallerSets,smallerSizes,numberSmaller) for i=1 to numberSmaller doDivideAndConquer(smallerSets[i],smallerSizes[i],smallerSolution[i])end forCombineSolutions(smallerSolution,numberSmaller,solution) end if测试算法不同问题的分治算法在分解与合并步骤可能有所不同，例如合并排序和快速排序这两个有代表性的分治算法中，合并排序算法没有分解、只有合并，快速排序算法没有合并、只有分解；这两个算法的计算时间分别取决于合并与分解步骤。

这两个算法分别如下：1、MergeSort(list, first, last)if first<last thenmiddle=(first+last)/2MergeSort(list, first, middle)MergeSort(list, middle+1, last)MergeLists(list, first, middle, middle+1, last) end ifMergeLists(list, start1, end1, start2, end2)while (start1≤end1) and (start2≤end2) doif list[start1] < list[start2] thenresult[indexC]=list[start1]start1=start1+1elseresult[indexC]=list[start2]start2=start2+1end ifindexC=indexC+1end whileif start1≤end1 thenfor i=start1 to end1 doresult[indexC]=list[i]indexC=indexC+1end forelsefor i=start2 to end2 doresult[indexC]=list[i]indexC=indexC+1end forindexC=1for i=finalStart to finalEnd dolist[i]=result[indexC]indexC=indexC+1end for2、QuickSort(list, first, last)if first<last thenpivot=PivotList(list, first, last)QuickSort(list, first, pivot-1)QuickSort(list, pivot+1, last)end ifPivotList (list, first, last)PivotValue= list[first]PivotPoint=firstfor index=first+1 to last doif list[index]<PivotValue thenPivotPoint=PivotPoint+1Swap(list[PivotPoint],list[index])end ifend forSwap(list[first],list[PivotPoint]return PivotPoint以上两个算法具有O(n log n)的时间复杂度。

3. 实验内容(1)编程实现以上两个用于排序的分治算法，使用生成的随机数作为测试数据。

对每个算法，记录随着测试数据增加算法基本操作执行次数，分析并以图形方式展现增长率；对于两个理论上均为最优的排序算法，对比随着测试数据增加算法增长率变化趋势；测试、验证、对比算法的时间复杂度。

4. 实验步骤和要求(1) “比较”是以上两个排序算法的基本操作，在算法中设置比较操作执行的全局计数器，编程实现算法（输出最终的计数值）。

快速排序import java.util.Scanner; package com.ntz.text;public class Text{public static voidmain(String[] args){quicksort qs = newquicksort();int i,N;Scanner scanner = newScanner(System.in);N =scanner.nextInt();int []A = new int[N];for(i=0;i<N;i++){A[i] =(int)(Math.random()*100);}qs.data= A; //将该数组赋值给快速排序的数组qs.sort(0,qs.data.length-1); //调用排序方法qs.display(); //显示排序后的记录}}class quicksort{int m=0;public int data[];private int partition(int sortArray[],int low,inthigh){ int key =sortArray[low];//关键字通常设置为序列的第一项while(low<high){while(low<high &&sortArray[high]>=key)//判断记录右侧是否有小于关键字的记录high--; //如果没有，则移动右侧的指针sortArray[low] =sortArray[high];//如果有则交换while(low<high &&sortArray[low]<=key)//判断记录左侧是否有大于关键字的记录low++; //如果没有，则移动左侧的指针sortArray[high] =sortArray[low];//如果有则交换}sortArray[low] = key; //排序的终止条件是左侧指针和右侧指针重合，即low=highreturn low;}public void sort(int low,inthigh){if(low<high){int result= partition(data ,low,high); sort(low,result-1);sort(result+1,high); } m ++; } public void display(){ for (int i=0;i<data .length ;i++) //利用循环，输出排列后的序列{ System.out .print(data [i]);System.out .print(" ");} System.out .println();System.out .println("次数为："+m ); } } 归并排序package com.ntz.text;import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class Text {private static int m =0;public static voidmerge(int [] a, int low, intmid, int high) {int [] temp = new int [high - low + 1];int i = low;// 左指针 int j = mid + 1;// 右指针 int k = 0;// 把较小的数先移到新数组中 while (i <= mid && j <= high) {if (a[i] < a[j]) {temp[k++] = a[i++]; } else { temp[k++] =a[j++];}} while (i <= mid){ temp[k++] =a[i++]; }while (j <= high) {temp[k++] =a[j++]; } for (int k2 = 0;k2 < temp.length ; k2++) { a[k2 + low] =temp[k2];}}public static voidmergeSort(int [] a, int low,int high) {int mid = (low + high)/ 2;if (low < high) {// 左边 mergeSort (a, low, mid); // 右边mergeSort(a, mid + 1, high);// 左右归并merge(a, low, mid, high);}m++;}public static voidmain(String[] args) {int N;Scanner scanner = new Scanner(System.in);N =scanner.nextInt();int []a = new int[N];for(int i=0;i<N;i++){a[i] =(int)(Math.random()*100);}mergeSort(a, 0,a.length - 1);System.out.println("排序结果：" +Arrays.toString(a));System.out.println("次数为"+m);}}设置记录每次递归调用时描述问题规模的变量，程序结束时输出其值。

通过测试保证程序正确无误。

注意递归程序的实现、调试和测试。