凸函数的性质及其应用论文

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凸函数的性质及其在最优化理论中的应用毕业论文

凸函数的性质及其在最优化理论中的应用摘要给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用．关键词凸函数；非线性规划；梯度；凸规划The Property of Convex Function and Its Application in OptimizationAbstract ：This paper deals with some questions of convex function. First of all we give a definition of convex and it’s calculation characters .Next we prove them in details.Then some equal definitions are given and proved by turns. After that applications of convex function are discussed including several examples ． Keywords ：Convex function ；Nonlinear programming ；Gradient ；Convex programming1 前言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论中处理某些问题时．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式．本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题．2 预备知识2.1[1] 一般非线性规划的数学模型()min ;f x()()0,1,2,,,.0,1,2,,.i j g x i m s t h x j l ≥=⎧⎪⎨==⎪⎩ (1)(1)式中()12,,,Tn n x x x x R =∈是n 维向量．()(),1,2,,,1,2,,i j f g i m h j l ==都是1n R R →的映射（即自变量是n 维向量，因变量是实数的函数关系）．与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记(){()}0,1,2,,,0,1,2,,i j D x g x i m h x j l =≥===．称D 为可行域．因此模型(1)式有时可简记为()min ,f x x D ∈．2.2[2] 凸集设K 是n 维欧式空间的一点集，若任意两点12,X K X K ∈∈的连线上的所有点满足()()121,01aX a X K a +-∈≤≤，则称K 为凸集．2.3[3] 水平集设函数()f x 定义在集合S 上，则称集合(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤为()f x 在集合S 上关于数β的水平集．其中β是一个数，()1,n f x R x S R ∈∈⊆．这里(),s H f β水平集，指的是满足()f x β≤的那部分x 的集合，即为S 的一个子集．如下图1-1所示：图1-12.4[3]梯度设多元函数()()12,,,,Tn n u f x x x x x S R ==∈⊆，若在点()010200,,,Tn x x x x =处对于自变量()12,,,Tn x x x x =的各分量的偏导数()()01,2,,if x i n x ∂=∂都存在，则称函数()u f x =在点0x 处一阶可导，并称向量()()()()000012,,Tn f x f x f x f x x x x ∂∂∂⎛⎫∇=⎪∂∂∂⎝⎭是()u f x =在点0x 处的梯度或一阶导数．2.5[3] 海塞矩阵设()u f x =，0,n x S R ∈⊆若f 在点0x S ∈处对于自变量x S ∈的各分量的二阶偏导数()()20,1,2,,i jf x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点0x 处二阶可导，并称矩阵()()()()()()()()()()22200021121222000222122222000212n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∇=∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦为()f x 在点0x 处的二阶导数或海塞矩阵．3 凸函数的定义及性质3.1 凸函数的两个定义凸函数的定义有多种形式.一般《数学分析》中多采用分析性强的弦线法定义,而《高等数学》多采用几何直观性强的切线法定义．分别见下面的定义1及定义2.定义1[4] 设函数()f x 在区间[],a b 上有定义，若对[],a b 上任意两点12,x x 和实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦成立，则称()f x 为区间[],a b 上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称()f x 为区间[],a b 上的严格凸函数．定义2[5]设函数()f x 在区间I 上可导, 如果曲线()y f x =在区间I 位于其上任一点处切线的上方, 那么称曲线()y f x =在区间I 上为凸的，即()f x 为区间上的凸函数．类似的可定义凹函数.3.2 凸函数的性质性质1[5] 若()f x 与()g x 均为凸集S 上的凸函数，则()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．证明 1,2x x S ∀∈和()0,1λ∀∈，因()f x ,()g x 都是凸集S 上的凸函数,则()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦, ()()()()()121211g x g x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦.两式相加便得：()()()()()()()12121212111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由凸函数的定义知()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．性质2[5]若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则对任意实数0a ≥，函数()af x 也是定义在S 上的凸函数．证明由于12,x x S ∀∈，()f x 为S 上的凸函数，则对于()0,1t ∀∈和()0a a ≥，有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦，上式两端均乘以()0a a ≥，可得()()()()()()()121212111af tx t x atf x a t f x taf x t af x +-≤+-=+-⎡⎤⎣⎦．由凸函数的定义知()af x 是凸集S 上的凸函数．推论 ,R αβ∀∈，()()12,f x f x 均为定义在凸集S 上的凸函数，则()()12f x f x αβ+也是凸函数．性质3[6] 设()f x 是定义在凸集S 上的凸函数，则对任一个实数β，水平集(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤也是一个凸集．证明 ()12,,s x x H f β∀∈，则有()()()12,,01f x f x a a ββ≤≤∀<<，作()1201ax a x x +-=．因为12,x S x S ∈∈，S 是凸集，因此有()()0121,s x ax a x H f β=+-∈．即012,,,x x x 都同属于S ，又因为()f x 是定义在S 上的凸函数，故有()()()0121f x f ax a x =+-()()()()()()1211.af x a f x af a f βββ≤+-≤+-=即()()0121,s x ax a x H f β=+-∈，则由凸集定义可知，(),s H f β也是一个凸集．性质4[5] 若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则()f x 的任一个极小点就是它在S 上的全局极小点，而且所有极小点形成一个凸集．证明设x *是()f x 的一个局部极小点，即0,δ∃>在x *的δ领域(),N x δ*内，所有x 都满足：()()f x f x *≥，在S 中任取一点x ，连x 及x *，则存在一个()0,1λ∈，使()()1,x x N x λλδ**-+∈．记()01x x x λλ*=-+，则有 ()()()()01f x fxx f x λλ**=-+≥． (2)又因为()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，所以有()()()()()()11f x f x f x f x λλλλ**-+≤-+． (3)由(2)式及(3)式，有()()()()1f x f x f x λλ**-+≥．即 ()()f x f x λλ*≥．又因为0λ>，有()()f x f x *≥．因为x 是S 上的任意一点，则x *是()f x 在S 上的全局极小点．若凸函数()f x 在S 上的极小点不止一个，则极小点必连成一片构成凸集．设x *为()f x 在S 上的一个极小点，()f x *为其极小值，记()f x β*=．则由性质3，水平集：(){0,,s H f x x S β=∈()}0f x β≤构成一个凸集，在凸集()0,s H f β中的点x 有()()0f x f x β*==．因此()0,s H f β中的点必全是()f x 在S 中的极小点．由水平集的定义，()f x 在S 中的极小点也全在水平集()0,s H f β中，所以()f x 在S 中的极小点必构成凸集．4 凸规划对于非线性规划(1)，当()f x 为凸函数，函数()()1,2,,i g x i m =是凸函数，函数()j h x()1,2,,j l =为线性函数时，规划(1)为一个凸规划．定理1[7] 设()f x 为定义在凸集S 上的可微凸函数，若存在点x S *∈，使对于所有的点x S ∈，都有()()0Tf x x x **∇-≥．则x *是()f x 在凸集S 上的全局极小点．证明 ,x S ∀∈凸函数的一阶充要条件为()()()()Tf x f x f xx x ***≥+∇-．因为()()0Tf x x x **∇-≥，故有()()f x f x *≥．由于x S ∈的任意性，故x S *∈是()f x 在凸集S 上的全局极小点．定理2[7] 若x *为定义在凸集S 上的可微凸函数()f x 一个平稳点，则x *也是()f x 在S 上的全局极小点．证明因x *为平稳点，即有()0f x *∇=．即满足：x S ∀∈都有()()0Tf xx x **∇-≥．则由定理1可知，x *也是()f x 在S 上的全局极小点．引理1[8]设()f x 是n R 上的凸函数，并设()f x 有限，如果()f x 在x 可微，则对一切n y R ∈，均有()()()()Tf y f x y x f x ≥+-∇．定理3[8] 假设函数()f x 和()()1,2,,i g x i m =分别为n R 上的凸函数和凹函数，并设()()1,2,,j h x j l =为线性函数．若存在向量x *、λ*、μ*，其中x *满足(1)式，且成立()()()110pmi i j j i j f x g x h x λμ*****==∇-∇-∇=∑∑,()0i i g x λ**= 1,2,,i m =,0λ*≥,则x *为满足(1)式的整体最优点．证明设x 是满足(1)式的任一点．于是()()()()11pm i i j j i j f x f x g x h x λμ**==≥--∑∑． (4)将引理1用于()f x 、()i g x 和()j h x ，并利用(4)得到()()()()()1mTi i i f x f x x xf xg x λ*****=≥+-∇-∇∑()()()11Tpmi ijj i j x xg x h x λμ*****==--∇-∑∑()()1pTj j j x x h x μ***=--∇∑．将上式重新排列，得到()()()()11pmi i j j i j f x f x g x h x λμ*****==≥--∑∑()()()()11p m Ti i j j i j x xf xg xh x λμ******==⎡⎤+-∇-∇-⎢⎥⎣⎦∑∑，所以得到()()f x f x *≥．5 应用例1 求下列函数的极小值点：()()22221121122f x x x x x =-++-．解先求平稳点，因为()2311111121222422fx x x x x x ∂=-⋅+-=--∂， 224fx x ∂=∂．令()0f x ∇=，即31124220,0,x x x ⎧--=⎨=⎩ 解此方程组，得到平稳点：()1,0Tx *=．又 ()2211220x f x ⎡-∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，因此有()2100f x *⎡∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，所以()1,0Tx *=是严格局部极小点．例2 试分析下面线性规划目标函数的最优解．()22121min 44f x x x x =+-+()()11222121220,.10,,0.g x x x s t g x x x x x ⎧=-+≥⎪⎪=-+-≥⎨⎪≥⎪⎩ 解 ()f X 和()2g X 的海塞矩阵的行列式分别是()()()()()()()()222112222212222221122222222122040,02200.2f x f x x x x H f x f x x x x g x g x x x x g g x g x x x x ∂∂∂∂∂===>∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂∂∂∂知()f x 为严格凸函数，()2g x 为凹函数．由于其他约束条件均为线性函数，所以这是一个凸规划问题．在12x ox 坐标系上做出()12,f x x C =的等值线是以()2,0为圆心的一族同心圆，可行域为凸集ABCD,（如图1-2）．图1-2()f x在可行域ABCD上的全f x的等值线族与可行域ABCD的边界切于C点，则C点就是()局极小点．可知C点为其最优点，则全局最优解也在C点处取得．6 小结凸函数的应用非常广泛，特别是在最优化理论中的应用．凸规划是非线性规划中一类比较简单而又具有重要理论意义的问题．凸规划的局部最优解就是全局最优解．若目标函数时严格凸函数，又存在极小点，则此时凸规划的全局最优解是唯一的．这实质上是定义在凸集上的凸函数的具体应用．致谢在论文完成之际，特别感谢老师的悉心指导．参考文献[1]阿佛里耳．非线性规划[M]．上海：上海科学技术出版社，1979,10．[2]运筹学教材编写组．运筹学[M]．北京：清华大学出版社，2005,08．[3]何坚勇．最优化方法[M]．北京：清华大学出版社，2007,10．[4] 华东师范大学数学系．数学分析:上册[ M 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凸函数的性质及应用毕业论文

摘要本文首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，如对经济曲线的分析.关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度目录1.引言 (1)2.凸函数的定义及几何意义 (1)2.1凸函数的几种定义 (1)2.2凸函数的几何意义： (3)3.凸函数的判定定理 (3)4.函数凸性在经济学中的应用 (7)4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用 (7)4.2凸函数在经济优化中的应用 (11)4.3凸函数在风险态度中的应用 (14)5.总结 (17)参考文献 (18)1.引言凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen 给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的. 经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点. 人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.2.凸函数的定义及几何意义2.1凸函数的几种定义定义1:设函数()f x 在区间I 上有定义，从几何上来看，若()y f x =的图像上任意两点()()11,x f x 和()()22,x f x 之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上），则称该函数是凸（凹）.参见图1.[]1定义2：设函数()f x 在开区间I 上有定义，若()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈,有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦则称()f x 在区间I 是下凸函数或简称函数()f x 在区间I 是凸的. 若记221x x x x λ-=-，则()121x x x λλ=+-.由f 的凸性可知： ()()()()()()121211f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-()()21122121x x x x f x f x x x x x --=+-- 从而有()()()()()()212112x x f x x x f x x x f x -≤-+-即()()()()()()()()212112x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-，整理后可得()()()()1212f x f x f x f x x x x x --≤--这就是凸函数的另一种定义.定义3：()f x 在区间I 上有定义且连续，称()f x 为I 上的凸函数，如果12,x x I ∀∈,有()()121222f x f x x x f f +⎛⎫+⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将“≤”改为“<”，函数便成为严格凸函数.定义4：()f x 在区间I 上有定义且连续,称()f x 为I 上的凸函数，如果12,,...,n x x x I ∀∈，有()()()1212......n n f x f x f x x x x f f n n +++⎛⎫+++⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2.2凸函数的几何意义：当()0,1λ∈时，点()()122211x x x x x x λλλλ=+-=--表示了区间()12,x x 中的某一点，即()12,x x x λ∈.在下图中弦12A A 的方程是：()()()12121f x f x y f x x x +=+- 将x x λ=代入上式得： ()()()3231BA f x f x λλ=+-但()4BA f x =因此不等式（1）在几何上表示为34BA BA ≥也就是说，曲线()y f x =在弦12A A 下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状.（图1）凸函数除了上面的定义以外，还可以给出连续函数()f x 在区间I 上为凸函数的等价性定义.如下所示：3.凸函数的判定定理定理1 设函数()f x 在开区间(,)a b 上可导，函数()f x 在区间(,)a b 上是凸函数当且仅当()()()121212,,,''x x a b x x f x f x ∀∈<≤,且.证明：()⇐根据Lagrange 中值定理对一切()1212,,,x x a b x x ∈≠及01t <<必存在 x)x ()()21f x λ-图1()()1122,,t t x x x x ξξ∈∈和使得：()()()()()()()()()()()()()()()()()121211*********(1)0t t t t t f x tf x t f x t f x f x t f x f x t f x x t f x x t t f f x x ξξξξ---=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=---<⎡⎤⎣⎦又()()12f f ξξ''<()()()()121t f x tf x t f x ∴<+-由凸函数定义得()f x 在(,)a b 上是凸函数.()⇒任取()12,,x x a b ∈满足12x x <.我们来证明：()()12f x f x ''<及()f x '在区间(),a b 上严格增加，设ξη<从(),x ξη∈中存在数01t <<使得()1t x t ξη=-+，根据()f x 的严格下凸条件得：()()()()1f t f x tf ξη<-+即()()()()f f x f f x x xξηξη--<--上式表明λ的函数()()()f f x xλψλλ-=-在()12,x x 严格增加. 由此可见()()x x ψψ+<-记起()()11x f x ψ'+=并以此类推可得()()22x f x ψ'+=∴()()()12f x f x f x '''<⇒在(),a b 严格增加. .定理2 设()f x 在开区间I 上可导，则下述论断相互等价： 1）()f x 为I 上凸函数；2）()f x '为I 上的增函数；3）对I 上的任意两点12,x x ，有()()()()21121f x f x f x x x '≥+- （3）证明:若()f x 在I 是凸函数，则由定理1有()f x '在I 上单调增加12,x x I ∴∀∈()12x x <有()()()()()()2121121f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥- ()12x x ξ<<()()()()21121f x f x f x x x '∴≥+-同理可证明当12x x >时也有()()()()21121f x f x f x x x '>+-若12,x x I ∀∈有()()()()21121f x f x f x x x '≥+-令()3121x x x λλ=+- ()01λ<< 则()()()131221211,x x x x x x x x λλ-=---=-∴对13,x x I ∈有： ()()()()13313f x f x f x x x '≥+-()()()()33121f x f x x x λ'=+--对23,x x I ∈有：()()()()()()()233233321f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-从而：()()()()()()()()()()()()()()()()()()133122332112312111111f x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλλ≥+--'-≥-+--∴+-≥=+-即()f x 在I 是凸函数.定理3 如果函数()f x 在(,)a b 上有存在二阶导函数()f x '',若对(),x a b ∀∈，有()0f x ''≥，则函数()f x 在(,)a b 上是一个凸函数. 证明：在区间(,)a b 内任取两点()1212,x x x x <，令120120202x x x x x x +=+-=即函数()f x 在0x 的泰勒公式是()()()()()()2000012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()0c x x 是与之间当1x x =时：()()()()()()21001011012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()10x c x <<当2x x =时()()()()()()22002022012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- 02x c x << ()()()()()()()()()()()()()()2212001201102202201102201222122f x f x f x f x x x x f c x x f c x x f x f c x x f c x x ⎡⎤'''''∴+=++-+-+-⎣⎦⎡⎤''''=+-+-⎣⎦(),x a b ∀∈有()0f x ''>()()120,0,f c f c ''''∴≥≥即 ()()()()221102200f c x x f c x x ''''-+-≥于是()()()122f x f x f x +≥或()()()1202f x f x f x +≤，因此()(),f x a b 在内是凸函数. 定理4 （极值的第二充分条件）设()f x 在点0x 的某邻域()0;U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠.1）若()00f x ''<，则()f x 在0x 取得极大值.2）若()00f x ''>，则()f x 在0x 取得极小值. []2证明： 1）由于 ()()()()()0000''lim ''/f x f x f x x x >=--，故存在一个0x 的邻域()0;U x δ，在此邻域内有： ()()()()00''/0f x f x x x --< 当0x x <时，有()00x x -<，则()()0''f x f x -必须大于0，即()()0''0f x f x >=因此()f x 在0x 的左邻域内单调递增，即()()0f x f x >当0x x <时，同理可知道()f x 在0x 的右邻域内递减，有()()0f x f x >故当()00f x ''<时，有()f x 在0x 取得极大值.同理可证 2）.4.函数凸性在经济学中的应用4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用4.1.1无差异曲线的凸性分析无差异曲线用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量x 和商品2的数量y ，曲线1L 、2L 分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.1L 曲线是连续的，并在x 轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数.从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：2121X MRS X ∆=-∆式中1X ∆和2X ∆分别表示为商品1和商品2的变化量.当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：12212011lim X X dX MRS X dX ∆→∆=-=-∆从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值.利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线U 由a 点运动到b 点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为212X X ∆-=∆.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点a 经b 、c 、d 运动到e 的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的.这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少. []3经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用.4.1.2生产函数曲线的凸性分析短期生产函数(),Q f L K =表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分别为：()()(),,,,,K K K K K TP L K TP L K TP f L K AP MP K K ∆===∆或者()()0,,lim K K K K TP L K dTP L K MP K dK ∆→∆==∆根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系.图中的横轴表示可变要素劳动的投入量L ，纵轴表示产量Q ，TP 、AP 、MP 三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线.由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量递减规律决定了边际产量表现出先上升而最终下降的特征.根据边际产量的定义公式(),L L dTP L K MP dL =可知，过L TP 曲线任何一点的切线的斜率就是相应的L MP 值.L MP 曲线在10L -的斜率大于零. L MP 曲线的一阶导数即为L TP 曲线的二阶导数.所以L TP 曲线在10L -阶段的二阶导数大于零，即L TP 在10L -阶段为凸函数.也就是说，边际产量L MP 曲线，在10L -阶段上升，达到最大值后，然后再下降.所以相应的总产量L TP 曲线的斜率先是递增的，在1L 到达拐点，然后再递减.通过上述分析可以发现：根据在边际报酬曲线递减规律作用下的边际产量L MP 曲线先上升，最终下降的特征，可以先描绘出L MP 曲线.由总产量和边际产量之间的关系可以描绘出L TP 曲线的图象.最后由平均产量和总产量之间的关系描绘出L AP 曲线的图象.凸函数在描述三者关系中间发挥了很大的作用，利用函数凸性可以描绘出生产函数图象.估算和研究生产函数，对于经济理论实践和生产实践又是前提. 以上两种经济曲线的凸性分析，从数学的角度使我们对常见的经济现象有了更加深入的理解.经济教材中复杂的经济曲线，通常具有一定的凸性，所以掌握了这种分析方法，对以后的经济问题探索有很大的帮助. []44.2凸函数在经济优化中的应用在经济生产过程中，为了提高经济资源配置效率，使用最少的资源和能源，达到获得最大的经济效益的目的.厂商会进行预算估计，建立起利润，成本和价格之间的关系函数，然后利用凸函数求极值的方法来解决利润最大、成本最小的问题.函数的极值是根据定理4极值的充分条件求得的.由定理4可知，可导函数的二阶导数大于零即为凸函数，则在稳定点取得的函数值为极小值；可导函数的二阶导数小于零即为凹函数，则在稳定点取得的函数值为极大值.4.2.1利润最大问题利润最大化问题的求解取决于厂商的需求函数、成本函数以及生产组合情况，它们之间存在一定的函数关系.这个函数若是凸（凹）函数的话，就满足了凸（凹）函数的性质.可以用定理4中求极值的充分条件，得到生产关系中利润函数的最大值.例1 北京一家商场的某商品的需求函数为1200080Q P=-（P的单位为元）；该商品的总成本函数为2500050=+;且每件商品需要纳税C Q2元，求出使销售利润最大的产品单价和最大利润额.解该商品的收入函数为()()()=--，R P P P12000802将1200080=+得出总成本函数C Q=-代入2500050Q P()()250005012000806250004000C P P P =+-=-则利润函数为()()()L P R P C P =-()()()21200080262500040008016160649000P P P P P =----=-+-由()160161600L P P '=-+=得101P =,又因为()1600L P ''=-<，则101P =时，根据定理3，()L P 为凹函数，则在101P =处取得极大值，由于是唯一的极值点，所以是最大值，当单价为101元时，销售利润取得最大，最大利润为()101167080L =元.在解决最大利润问题时，先找到利润和其它生产要素之间的函数关系式，对利润函数求一阶导数，得到利润函数的稳定点.再求利润函数的二阶导数，从而判断利润函数是否为凹函数,根据推论求得的利润函数是凹函数，则在稳定点的函数值即为极大值,即利润最大值.这样就把经济问题转化为了数学中常见的函数问题，经济中最优化问题看成简单的凸函数求极值的问题，这样可以使问题简单化，便于理解.4.2.2成本最小问题下面看一下成本最小问题.例2 要做一个容量为3500cm 的圆柱形饮料罐，当罐子的底半径为多少时，才能最省材料.解：设饮料罐的高为h ，底半径为r ，则表面积222S r rh ππ=+，由体积2500V r h π==得2500h r π=，带入可得 210002S r r π=+，由210004S r r π'=-得 4.3r ≈，又因为200040S rπ''=+>，可知S 为凸函数，则当 4.3r ≈时，S 取得极小值，只有一个极小值点，既是最大值.当底半径为4.3cm 时，用的材料最少.求成本最小问题时，首先建立起函数关系式，根据定理4极值的第二充分条件，判断函数关系式是凸函数，所以在稳定点求的函数值为极小值，即成本最小值.利用凸函数求极值来解决这类问题，可以在经济活动中节省资源，避免浪费.4.2.3最佳库存问题在生产与销售管理中，库存量一定要适度，库存太少，会造成供不应求，失去时机；库存太多，又会出现资金积压或货物过期等状况，生产厂家或销售公司要想维持正常的生产和销售,管理者必须确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等.可以把库存问题转换化为函数关系表示，然后用凸函数求极值解决最佳库存问题.例3 武汉某公司的A 产品年销售量为10万件，假设这些产品分成若干批生产，每批需生产准备费100元；并假设产品的平均库存量为批量的一半，且每件产品库存一年需库存费0．05元.现想要使每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小，则每批的生产量是多少最合适.解：设每年的生产准备费与库存费之和为W ，批量为x ，则()7100000101000.05240x x W x x x =+⨯=+，由()732100W x x ⨯''=>得4210x =⨯，又因为()732100W x x⨯''=>，可知()W x 是凸函数.所以当4x=⨯时()210W x去的极小值，且是唯一的极小值，即为最小值,所以当每批生产2万件时最合适,使得每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小.解决经济学中的优化问题，可以归结为求某个函数的最值问题.步骤为：（1）分析经济问题，列出目标函数关系式；（2）对函数关系式求一阶导数，并令其为零，求出稳定点；（3）对函数关系式求二阶导数，判断函数是否是凸函数.若为凸函数，则在稳定点求的函数值为极小值；若为凹函数，则在稳定点求的函数值为极大值.（4）当确定该问题存在最大值或最小值时，判定所求的极值点若是唯一的，则函数在该驻点处取得最值.最终求得经济中的利润最大，成本最小问题. []54.3凸函数在风险态度中的应用期望效用函数是商家们很关心的一个指标，所谓期望效益函数就是用来刻画经济活动者在不确定环境下决策的函数，它在一般情况下是凹函数.设某经济活动者的期望效益函数为单变量函数()u x.不妨设这里自变量的含义就是收入.假设,0x y≥为两种可能的收入；得到x的概率为p，而得到y的概率为(1)p-.记这样的事件为(,,)x y p，那么由期望效用函数的定义，可得到这一事件的效用为：((,,))()(1)()u x y p pu x p u y =+-此经济活动者对(,,)x y p 这一事件中所包含的风险的态度可由((,,))u x y p 与((1))u px p y +-的比较来刻画.若((1))((,,))u px p y u x y p +-=，则称该经济活动者为风险中性者.如果((1))((,,))u px p y u x y p +->，那么称该经济活动者为风险厌恶者.如果((1))((,,))u px p y u x y p +-<，那么称该经济活动者为风险爱好者.与以上的分析相对应，消费者的风险态度也可以根据消费者的效用函数的特征来判断.一个人是风险厌恶的充要条件是他的效用函数为凹函数.因此，判断一个人是不是风险厌恶者，只需要验证其效用函数是不是凹函数.在判断一个人是不是风险爱好者，只需要验证其效用函数是不是凸函数.消费者对待风险的态度，影响着消费者在不确定情况下的行为决策.如下图所示图中效用曲线上的任意两点间的弧都高于这两点间的弦.由函数的凹凸性判断，该函数是凹函数，且斜率大于零.根据消费者的效用曲线()u x ，消费者在无风险条件下持有一笔确定的货币财富量的效用()()1u px p y +-相当于A 的高度，而拥有一张具有风险的期望效用()()()1pu x p u y +-相当于图中B 的高度.显然A 点高于B 点.所以，图中的效用函数()u x 满足风险回避者的判断条件.如果从函数的图像来看，自然是曲线向上弯得越厉害，对风险就越厌恶，曲线的弯曲程度可以用函数的二阶导数来刻画.风险爱好者和风险中立者的效用函数的分析是类似的.在实际经济生活中，大多数的消费者都是风险回避者.三者的图象如下图所示.当消费者面临一种风险时，如果对于该消费者而言，风险的期望值的效用大于、小于、等于风险的效用期望时，那么相应地，该消费者的风险态度为风险回避、风险爱好、风险中立. []6利用函数的凸性可以很简单地判断出消费者面对风险时的不同态度，也可以清晰地从图象分析不同态度的效用函数，使经济学中基本概念方便理解.让学生学习经济概念时，在易于理解的基础上，可以更加牢固地掌握住知识.5.总结本文从凸函数的几种定义出发，详细介绍了凸函数的相关性质，并介绍了凸函数在经济学中的应用，即凸函数在经济函数的曲线分析中、经济优化中以及风险态度中的应用.函数凸性分析作为一种强有力的分析工具，在经济工作中应用是很广泛的，掌握了它对指导我们当今的经济工作具有十分重要的意义.把难懂的经济问题通过函数凸性来分析解决，使得经济学中的一些概念精确化，复杂的经济函数曲线变得清晰可辨，便于我们去理解和掌握.使经济活动在遵守资源约束、生产技术约束的条件下，求得消费者效用的最大化.但还有一定的局限性，比如在凸规划问题中，单单使用函数凸性还远远不够，需要借助其它的工具协助解决.因此对凸函数在经济学中应用的研究成果还需进一步的加深和推广.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2009.[2] 熊淑艳.函数凸性判定定理的证法及应用[J].广西师范学院学报（自然科学版）.2005,22（1）.[3] 黑志华付云权.凸函数在微观经济学中的应用研究[J].现代商贸工业，2009.6[4]潘劲松.函数凸性在微观经济学中的应用[J].中国西部科技.2011,10(36).[5]宋蔡健.经济函数与经济优化分析[J].南京工业职业技术学院学报.2007,7(4).[6]李妍，张景，刘忻梅.效用理论在保险决策中的应用[J].北方经贸.2011（3）.18。

凸函数详细论文

目录一、凸函数的定义及其关系 (3)（一）凸函数的几种不同定义 (3)（二）不同定义之间的相互联系 (4)二、凸函数的性质 (4)（一）凸函数的一些简单运算性质 (4)（二）凸函数的其他性质 (7)三、函数凸性的判断方法 (11)四、凸函数的应用 (14)（一）有关凸函数的两个重要不等式 (14)（二）凸函数的性质在证明几个经典不等式中的应用 (15)（三）凸函数在初等不等式证明中的应用 (17)（四）凸函数在积分不等式中的应用 (19)五、总结 (20)参考文献 (18)凸函数的性质及应用马志霞（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070）摘要:凸函数是一类非常重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划等学科的理论基础和有力工具。

本文由凸函数的定义出发，给出了凸函数的七种等价定义，讨论了凸函数的有关性质,研究了函数凸性的判定方法，以及它在证明不等式中应用.关键词: 凸函数；不等式；性质；判别；证明；应用The properties and application of convex functionMa Zhixia(School of mathematical and statistical Northwest Normal University，Gan Su LanZhou 730070) Abstract: Convex function is a kind of very important function, the concept of the earliest it can be found in Jensen writings in pure mathematics and applied mathematics has extensive application in many fields, has become the basic theory of mathematical programming disciplines and powerful tool. In this paper, starting from the definition of convex function, seven equivalent definition of convex function are given, some properties of convex function are discussed, the methods for judging the convex function, and its application in proving inequality in.Key words：Convex function；inequalitye；property；distinction；proof；application一、凸函数的定义及其关系（一）凸函数的几种不同定义定义 1 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1),λ∈有()()()21211)()1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义2 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意不同的两点12,x x ，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ ,则称)(x f 是I 上的凸函数. 定义3 设函数)(x f 定义在区间I 上,对于任意的I x x x n ∈,,21 ，,有()()nx f x f x f n x x x f n n +++≤+++ 2121)()(，则称)(x f 是区间I 上的凸函数. 定义4 设函数)(x f 定义在区间I 上，对于I 上任意三点123x x x <<，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，()()()232313131212)()(()x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--，则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义5 利用二阶导数判断曲线的向来定义函数的凸性：设函数()f x 在区间(,)a b 内存在二阶导数,则在(,)a b 内有 ()0()f x f x ''>⇒在(,)a b 内严格凸数。

凸函数的性质与应用

学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2009级姓名zym论文题目凸函数的性质与应用指导教师555职称副教授成绩2011 年06月10日目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1 凸函数的定义 (2)2 凸函数的性质 (4)2.1f为I上凸函数的充要条件 (4)2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4)3凸函数的应用 (6)参考文献 (7)函数的性质与应用学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师: *** 职称: 副教授摘要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用关键词：凸函数;性质;应用The properties and application of convex functionAbstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of theproperties and application.Key word: the definition of convex function; properties; application前言我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小.1 凸函数的定义定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数()0,1λ∈总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2则称f 为I 上的凹函数.如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.例1 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何1,2x x I ∈,函数()()()121f x x ϕλλλ=+-为[]0,1上的凸函数.证 (必要性) 若f 为I 上的凸函数,则[]()12,0,1,0,1t α∀∈∈t ,有()()()()12121222111t t f t t t t t x ϕαααααα+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-++-+⎣⎦()()11212122211f t x t x x t x t x αααα=+-+---⎡⎤⎣⎦()()()1121212222111f t x t x x t x x t x αααααα=+-+-+---⎡⎤⎣⎦()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()11122122111f t x t x f t x t x αα≤+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()121t t αϕαϕ=+-，因此ϕ是[]0,1上的凸函数.(充分性) 若ϕ是[]0,1上的凸函数,则 []()12,0,1,0,1t α∀∈∈t , 则有()()()()121211t t t t ϕαααϕαϕ+-≤+-⎡⎤⎣⎦对 1,2y y I ∀∈,不妨设 12y y <,取1,2x x I ∈,使 1122x y y x ≤≤≤ , 并记()()111122212211y t x t x y t x t x =+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 易知[]12,0,1t ∈t . ()0,1α∀∈,则()()()()()()()()121212111f y f y t t t t αααϕαϕϕαα+-=+-≥+-()()()121122211f t t x t t t x αααα⎡⎤=+-+--+⎣⎦ ()()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎣⎦()()121f y y αα=+-，即f 是I 上的凸函数.2 凸函数的性质2.1 f 为I 上凸函数的充要条件引理1 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<, 总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤-- ()3 引理2 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<,总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤--- ()4 2.2 f 为区间I 上的可导函数的相关等价论断定理1 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: 1 f 为I 上凸函数; 2 'f 为I 上的增函数;3 对I 上的任意两点()1212,x x x x <有()()()()21121'f x f x f x x x ≥+-.注意论断3 的几何意义是:曲线()y f x =上任意一点处的切线(如果存在)总是在它的任一切线的上方，这是可导凸函数的几何特征. 定理2 设f 在区间I 上二阶可导,则有f 在I 上为凸函数()0f x ''⇔≥, x I ∈ 定理3 设f 是区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是f 的极小值点()00f x '⇔=.例2 证明:()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么若在(,)a b 内"()0f x >，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的.证设1x 和2x 为[],a b 内任意两点,且12x x <,记 1202x x x +=, 2001x x x x h -=-=, 则10x x h =-, 20x x h =+ 由拉格郎日中值公式得()()()0001'f x h f x f x h h θ+-=+, ()()()0002'f x f x h f x h h θ--=-,其中1201,01θθ<<<<. 两式相减,即得()()()()()00001022''f x h f x h f x f x h f x h θθ++--=+--⎡⎤⎣⎦.对()'f x 在区间[]0201,x h x h θθ-+上再次利用拉格郎日中值公式可得()()()()2010212''''f x h f x h h f h θθξθθ+--=+⎡⎤⎣⎦,其中0201x h x h θξθ-<<+, ()"0f ξ>, 故有()()()00020f x h f x h f x ++-->,即()()()0002f x h f x h f x ++->,则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭, 所以()f x 在[],a b 上的图形是凸的.定理 4 设f 是开区间I 上的一个凸函数,若[],I αβ⊂,则f 在[],αβ上满足利普希茨()Lipschitz 条件.证: 当取定[],I αβ⊂后,由于I 是开区间,必能在I 中选取四点,,,,a b c d 满足.a b c d αβ<<<<<应用引理2，任取[],,,x x x x αβ''''''∈<，得到()()()()()()f b f a f x f x f d f c b a x x d c'''---≤≤'''---.现令()()()()max ,f b f a f d f c L b a d c ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭,则有()()f x f x L x x'''-≤'''-, [],,x x αβ'''∈由于上述常数L 与[],αβ中的点,x x '''无关,因此f 在[],αβ上满足利普希茨条件:0,L ∃>使()()f x f x L x x ''''''-≤-, [],,x x αβ'''∀∈.由[],αβ在I 上的任意性，证得f 在I 的任意内闭区间上都满足利普希茨条件.注由定理4和引理2,可得以下两个重要推论:推论1 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中处处连续.推论2 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中每一点处的左、右导数都存在. 定理5 (詹森(Jensen)不等式)若f 为[],a b 上凸函数，则对任意[],,0i i x a b λ∈> ()11,2,...,,1ni i i n λ===∑，有()()()1111n n n n f x x f x f x λλλλ+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+. ()53凸函数的应用例2 证明不等式()3a b c a b c abc a b c ++≤，其中,,a b c 均为正数.证设()ln ,0f x x x x =>.由()f x 的一阶和二阶导数()'ln 1f x x =+，()1"f x x=可见,()ln f x x x =在0x >是为严格凸函数,依詹森不等式有()()()()133a b c f f a f b f c ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，从而()1ln ln ln ln 333a b c a b c a a b b c c ++++≤++，即3a b ca b c a b c a b c ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又因3a b c++≤，所以 ()3a b c a b c abc a b c ++≤.例3 设f 为开区间I 内的凸函数,证明f 在I 内任一点0x 都存在左,右导数. 证下面只证凸函数f 在0x 存在右导数,同理可证也存在左导数. 设 120h h <<, 则对 00102x x h x h <+<+ (这里取充分小的2h ,使02x h I +∈), 由引理中的()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---, 有()()()()01002012f x h f x f x h f x h h +-+-≤. 令()()()00f x h f x F h h+-=,故由上式可见F 为增函数.任取'x I ∈且0'x x <,则对任何0h >,只要0x h I +∈,也有()()()()()0000''f x f x f x h f x F h x x h-+-≤=-.由于上式左端式一个定数,因而函数()F h 在0h >上有下界.根据定理3极限()F h 存在,即()0'f x +存在.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [2]毛羽辉. 数学分析选论[M]. 北京: 科学出版社, 2003. [3]李成章, 黄玉民. 数学分析[M]. 北京: 科学出版社, 1999. [4]刘斌. 一元分析学[M]. 北京: 科学出版社, 2010. [5]张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京: 北京大学出版社, 1990.学年论文成绩评定表。

凸函数的性质研究毕业论文完整版

凸函数的性质研究毕业论文完整版凸函数是数学分析中一个重要的概念，具有广泛的应用。

在本篇毕业论文中，我将对凸函数的性质进行研究和探讨。

首先，我将介绍凸函数的定义和基本性质。

凸函数是指在定义域上的任意两点所连线的斜率都大于等于函数曲线上相应点的斜率。

简单来说，对于凸函数而言，函数曲线上的任意两点的切线均位于函数曲线上方。

这个定义可以很好地反映凸函数的凸起性质。

接下来，我将讨论凸函数的一阶导数和二阶导数的关系。

根据凸函数的定义，可以得出结论：对于函数的一阶导数，如果它是递增的，则该函数是凸函数；对于函数的二阶导数，如果它是非负的，则该函数是凸函数。

这一结论有助于我们通过导数的信息来判断函数的凸性质。

然后，我将探讨凸函数的性质在优化问题中的应用。

凸函数在优化问题中起到了重要的作用。

由于其凸起的性质，凸函数在求最优解的问题中往往能够确保找到全局最优解。

这一特性在实际问题中有着广泛的应用，比如投资组合优化、机器学习中的支持向量机等。

最后，我将研究凸函数的拓展性质。

除了一般的凸函数，还有一些特殊的凸函数形式，比如凸锥函数、凸二次规划等。

这些凸函数的研究将会进一步丰富我们对凸函数的认识，并提供更多的数学工具和方法。

通过对凸函数性质的研究，我们可以更好地理解凸函数的特性和应用。

凸函数不仅在数学领域有着广泛的研究价值，而且在实际问题中也有很多应用价值。

通过深入研究凸函数的性质，我们可以为解决优化问题和最优化问题提供更多的数学工具和方法。

总之，凸函数的性质研究是一个复杂且有意义的课题。

本篇毕业论文将通过介绍凸函数的定义和基本性质，探讨凸函数的一阶和二阶导数的关系，讨论凸函数在优化问题中的应用，以及研究凸函数的拓展性质等方面，对凸函数的性质进行深入的研究和探讨。

希望通过这篇毕业论文的研究，对凸函数的理解和应用有所帮助。

凸函数的性质及其应用毕业论文

凸函数的性质及其应用摘要凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。

[关键词]凸函数等价定义性质应用最优化Nature and Application of Convex FunctionAbstractConvex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature applicationOptimization目录绪论 (1)1凸函数的概念与等价定义 (1)1.1凸函数的概念 (1)1.2凸函数的等价定义 (2)2凸函数的简单性质 (3)3凸函数的判定定理 (5)4关于凸函数的几个重要不等式 (7)4.1Jensen不等式 (7)4.2Hadamard不等式 (10)5 凸函数的应用 (11)5.1 凸函数在证明不等式中的应用 (11)般凸函数和凸集 (13)广义凸函数求极小的问题 (14)5.4广义凸函数求极大的问题 (16)结束语 (19)致谢 (19)参考文献 (20)绪论凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。

凸函数的性质及其应用

凸函数的性质及其应用摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。

凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。

凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。

同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。

为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。

本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。

关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题目录摘要 (I)Abstract......................................................................................... 错误!未定义书签。

第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (10)2.4 几种常见的不等式 (11)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (13)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (16)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (20)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (20)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (22)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (28)结论 (29)参考文献 (30)致谢 (31)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。

凸函数的性质及其应用

凸函数的性质及其应用摘要：凸函数是一重要概念，本文通过对凸函数的定义及其等价定义的介绍，重点讲述了凸函数的六种性质及其应用．关键词：凸函数；定义；性质；应用Convex F unction’s Several Definitions and The Properties ofDerivableAbstract: Convex function is an important concept, based on convex function is defined and its equivalent definitions discussed, and an overview of convex functions six properties and its application.Key words : convex function ；properties ；the properties of derivable ；application前言凸函数是一类很重要的函数，它在数学许多领域中有着广泛的应用，现已成为许多数学分支的理论基础和有力工具．本文对凸函数基本内容作了概述，主要包括：凸函数几种不同的定义及其六种不同性质，并对凸函数的应用作了简单研究．有助于今后的数学学习．.1凸函数的定义1.1凸函数定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意的两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+- （1）则称f 为I 上的凸函数．如果上述的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数．1.2 凸函数定义2若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,x x I ∀∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．（2）上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.3 凸函数定义3若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,,,n x x x I ∀⋅⋅⋅∈，有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭．（3）上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.4 凸函数定义4 若()f x 在区间I 上有定义．当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下，则称()f x 为凸函数．若除切点之外，曲线严格保持在曲线的下方，则称()f x 为严格凸函数．注：下面我们将证明定义2,3,4是等价的．当()f x 连续时定义1,2,3等价，当()f x 处处可导时，定义1,2,3,4都等价．2凸函数定义的等价性定理2.1 定义2与定义3等价．证由式（1）知式（3）当2n =时成立．现证4n =时式（3）成立．事实上，1234,,,x x x x I ∀∈，由式（3），我们有341212342242x x x x x x x x f f ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭341222x x x x f f ++⎛⎫⎛⎫≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12344fx fx f x f x +++≤.此即式对4n =成立．一般来说，对任意以自然数k ，重复上面方法，应用（3）式k 次，可知()()()12122222k kk kf x f x f x x x x f ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭.这说明（3）式对一切 2k n =皆成立．下证（3）式对1n k =+成立时，必对n k =也成立．记 12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，则12k x x x kA ++⋅⋅⋅+=,所以 121k x x x AA k ++⋅⋅⋅++=+．因为（3）式对1n k =+成立，故()121k x x x A f A f k ++⋅⋅⋅++⎛⎫= ⎪+⎝⎭()()()12()1k f x f x f x f A k ++⋅⋅⋅++≤+．不等式两边同乘以1k +，减去()f A ，最后除以k ，注意12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，我们得到()()()1212k kf x f x f x x x x f k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭．此式表示（3）对n k =成立．证毕．定理2.2 若()f x 连续，则定义1,2,3等价．证在定义1中令12λ=，则由式（1）得[]122(1)2x x f f x x λλ+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()()121f x f x λλ≤+-()()122f x f x +=()12,,x x I ∀∈. 3判定凸函数的方法定理 3.1 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是(),f x <∂()f y β<时，不等式 ()()11f x y λλλλβ-+<-∂+⎡⎤⎣⎦，01λ<<成立．定理3.2 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是,0,ni i x R λ∀∈≥ 1,i =…,,m11,mii λ==∑，不等式()1111()()m m m m f x x f x f x λλλλ+⋯+≤+⋯+成立．定理3.3 当且仅当对任意的x 和p ，,()x p g ∂是∂的凸函数时．则()f x 是凸函数．证设()f x 是凸函数，则当01λ≤≤时()(){},1212(1)1x p g f x pλλλλ-∂+∂=+-∂+∂⎡⎤⎣⎦=()()()121f x p x p λλ-+∂++∂⎡⎤⎣⎦()()()121f x p x p λλ≤-+∂++∂()()(),1,21x p x p g g λλ=-∂+∂故(),x p g ∂是凸函数．反之，设对于任意的(),,,x p x p g ∂是∂的凸函数．则()()(){}1110f x y f y x y λλλλ-+=+-⋅+⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(),110y x y g λλ-=-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦()()(),,110y x y y x y g g λλ--≤-+=()()()1f x f y λλ-+．故()f x 是凸函数．定理 3.4 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是()()()''0''0f x f x ≥≤，x I ∈．注：定理3.4在凸函数应用中经常使用，须牢记.4 凸函数的性质关于凸函数的定义及其可导性，在上面已经作了详细叙述，下面介绍凸函数的一些性质，归纳为以下六点.定理4.1(割线斜率性质)：函数f 在区间I 上的凸函数⇔对123,,x x x I ∀∈，123x x x <<，总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---.证必要性记3231x x x x λ-=-，则 ()2131x x x λλ=+-．由f 得凸性知道()()()2131f x f x x λλ=+-≤()()()131f x f x λλ+-()()3221133131x x x xf x f x x x x x --=+--，从而有()()()()()312321213()x x f x x x f x x x f x -≤-+-，即()()()()()()()()322212321213x x f x x x f x x x f x x x fx-+-≤-+-，整理后即得(1)式．充分性在I 上任取两点()1313,x x x x ≤，在[]13,x x 上任取一点 ()2131x x x λλ=+-，()0,1λ∈，即3231x xx x λ-=-．由必要性的推导逆过程，可证得()()()()()()2131311f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-，故f 为I 上得凸函数．同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点123x x x <<，有()()()()()()213132213132fx f x f x f x f x f xx x x x x x ---≤≤---.定理4.2 (导数及切线性质) 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价： 1.f 为I 上凸函数； 2.'f 为I 上的增函数； 3.对I 上任意的两点12,x x ，有()()()()21121'f xf x f x x x ≥=- ．（4）证（1→2）任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h ．由于1122x h x x x h -<<<+，根据f 的凸性及引理有()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-，由f 是可导函数，令0h +→时可得()()()()211221''f x f x f x f x x x -≤-，所以'f 为I 上的递增函数。

凸函数的性质和一些不等式的证明

凸函数的性质和一些不等式的证明高等教育自学考试毕业论文论文题目：凸函数的性质和一些不等式的证明作者姓名：XXX专业：数学教育主考学校：兰州大学数学与统计学学院＿＿准考证号： XXXXXXXXXXXX指导教师姓名职称：XXX甘肃省高等教育自学考试办公室印制2013 年 3 月 4 日XX 专业论文标题:凸函数的性质和一些不等式的证明论文标题（Properties of convex function andinequality ）论文作者（XX ）论文作者（XXXXXXXXX ）数学专业本科论文目录内容摘要： (4)关键词： (4)一、凸函数 (5)1.凸函数的定义 (5)2.常见的凸函数 (6)4.凸函数的定理 (6)二.凸函数在证明不等式中的简单应用 (7)1．凸函数在几何平均值中的应用 (7)2．凸函数在Young不等式中的应用 (9)3.凸函数在Jensen不等式中的应用 (9)4.凸函数在三角不等式中的应用 (10)注释： (11)参考文献： (11)凸函数的性质和一些不等式的证明——凸函数的证明XX内容摘要：我们通过学习通过我们熟知的一元二次函数:y=x2一些凸函数的定义、概念和它的性质，还有凸函数在Jensen不等式、三角不等式中的应用，让我们了解凸函数的用途。

并且用它的一些特殊的性质来解决我们实际生活中的实际问题。

关键词：凸函数、性质、Jensen不等式、三角不等式、一、凸函数1.凸函数的定义我们都学习了二元一次的函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧线总在这两点连线的下方。

我们把具有这一种特性的曲线称为凸的由此，我们定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧线总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是简单的描述性定义，下面我们介绍关于凸函数的精确定义，以便于我们更好的利用它的性质。

关于凸函数的研究毕业论文

3.3
性质10：若函数是定义在区间上的凸函数，则有：
1）函数在处处存在左、右导数与，且．
2）与都是的不减函数．
性质11：设函数为区间上的严格下凸函数，若有是的极小值点，则是在上唯一的极小值点．
1）由式知：当时式成立．现证时成立．事实上，，，，，由式有
此即式当时成立．一般地，对任意正整数，重复上面方法，应用式次，可知
这表明式对一切皆成立．
2）（证明式对成立时，必对也成立）记，则，可得．假若式对成立，则有
两边同乘以，减去，最后除以，又，从而可得:
Key words:Convex function；Inequality； Application； Property
第1章绪论1
1.1 凸函数研究的背景1
1.2 凸函数研究的意义1
第2章凸函数的定义及判定2
2.1 凸函数几种常见定义：2
2.2 定义之间等价性的证明与探讨4
2.3 凸函数的判定定理7
凸函数的概念最早见于1905年Jenser的著作中．它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具．在函数图形的描绘和不等式证明推导方面，凸函数也具有十分重要的作用．
1.2
凸函数的定义最早是由Jenser给出．自建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用．凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用．由于凸函数具有较好的几何和代数性质，在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出．数理经济学中，对于风险厌恶的度量，也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．另外，由于凸函数理论的广泛性，因此对于其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广．

凸函数的性质及其应用研究论文

凸函数的性质及其应用研究论文凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍凸函数的性质，并探讨其在实际应用中的研究。

首先，凸函数的定义是：如果函数 f（x）在区间上连续，且对于任意的 a 和 b（a<b），都有 f（(1-t)a + tb）≤ (1-t)f(a)+tf(b)，那么 f（x）就是在区间上的凸函数。

其中，(1-t)a + tb 是 a 和 b 的凸组合，t 是一个取值在 [0,1] 的实数。

凸函数具有以下几个基本性质：1.一阶导数和二阶导数的关系：凸函数的一阶导数是严格递增的，而二阶导数是非负的。

这个性质可以通过凸函数的定义来证明。

2.凸函数的局部和全局性质：凸函数在局部和全局上都具有单调性和凸性。

如果一个函数在区间上是凸函数，那么它在该区间上的任意子区间也是凸函数。

3.凸函数的支撑超平面：对于凸函数f（x），在任意一点x0处，存在一个超平面，使得这个超平面与函数图像的接触点就是x0。

这个超平面被称为凸函数在x0处的支撑超平面。

凸函数具有许多应用，下面将介绍几个常见的应用：1.最优化问题：在最优化问题中，凸函数经常被用来建立目标函数和约束条件。

利用凸函数的性质，我们可以推导出最优解的存在性、唯一性和求解方法。

2.经济学：在经济学中，凸函数被广泛应用于建模和分析。

例如，成本函数、效用函数和收益函数都可以用凸函数来描述。

3.控制理论：在控制理论中，凸函数被用来建立系统的性能指标和优化问题。

通过优化这些凸函数，我们可以设计出更好的控制方案。

4.图像处理：在图像处理中，凸函数经常被用来作为图像去模糊、图像分割和图像重建等问题的约束条件或目标函数。

5.金融学：在金融学中，凸函数被广泛应用于资产组合优化、风险管理和衰退模型等问题。

通过研究凸函数的性质，我们可以更好地理解和管理金融风险。

综上所述，凸函数具有一些重要的性质，并且在许多领域中都有着广泛的应用。

对凸函数的研究不仅可以推动数学理论的发展，还可以解决各种实际问题。

凸函数的性质研究毕业论文完整版

凸函数性质研究摘要凸函数是分析学中一类重要的函数，最早是由Jensen提出。

它在纯粹数学与应用数学等诸多领域中应用十分广泛，现已成为对策论、数学规划、分形学、最优控制和数理经济学等学科的理论基础和有力工具。

为了理论上的突破，加强其在实践中的应用，凸函数的性质还在不断研究和完善中。

本文将散见于各文献中凸函数的概念进行了系统的归纳和总结，并给出了凸函数常见的判定定理，进而研究了凸函数的常用性质，列举了与凸函数相关的著名不等式；由于凸函数的定义是由不等式给出的，其广泛应用主要体现在不等式的证明中。

基于此，本文主要通过对凸函数的概念和性质进行系统的总结和研究，探索出凸函数在一般不等式，Jensen不等式，Holder不等式，Cauchy不等式，Young不等式，及Hadamard不等式证明中的应用，并简要阐述了凸函数在其它领域的贡献。

关键词：凸函数；不等式；导数；单调性Study on the properties of convex functionAbstractConvex function which was first proposed by Jensen is a kind of important functions in analytics. It is widely used in pure and applied mathematics ,etc. Convex function becomes the theoretical basis and the powerful tool of the game theory、mathematical programming theory、analysis、mathematical science、economics and other disciplines. In order to have a theoretical breakthrough which could strengthen the application in practice，the properties of convex function are being researched. In this article, the writer’s main work is summarizing the various concepts of convex functions which developed in different mathematical books. Furthermore, the writer also gives some definitions of common theorems and also enumerates the famous inequalities related to convex function. Because the definition of convex function is given by inequalities，its application mainly reflects in the proof of inequality. The writer mainly summarizes concepts and properties of the convex function and explores its application in the general inequality such as Jensen inequality, Holder inequality, Cauchy inequality, Young inequality and Hadamardinequality. Atlast, it discusses the contribution of convex function in other fields briefly.目录摘要 (1)第一章绪论 (2)1.1 凸函数的产生和发展 (2)1.2 凸函数研究的目的和意义 (2)第二章凸函数的定义及判定 (2)2.1 凸函数的定义及关系 (2)2.2 凸函数的判定定理 (2)第三章凸函数的性质 (2)3.1 凸函数的一般性质 (2)3.2 凸函数的运算性质 (2)3.3 凸函数的微分性质 (2)3.4 凸函数的积分性质 (2)3.5 凸函数的其他性质 (2)第四章凸函数的应用 (2)4.1 利用凸函数证明经典不等式 (2)4.2 凸函数的经典不等式在证明不等式中的应用[5] (2)4.3 利用凸函数的定义证明一般不等式[8] (2)4.4 凸函数在积分不等式中的应用 (2)4.5 凸函数在其它领域的应用简述 (2)4.5.1 凸函数在生产函数中的应用 (2)4.5.2 凸函数在消费者效用最大化问题中的应用 (2)第五章结论 (2)参考文献 (2)致 (2)第一章绪论1.1 凸函数的产生和发展函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象，而凸函数则是其中独特的一类。

凸函数的若干性质

凸函数的若干性质摘要:在很多数学问题的分析与证明中都要用到凸函数,所以研究凸函数的性质就显得尤为重要.本文在参考众多文献的基础上,对凸函数的若干性质进行了归纳和总结,主要论述了凸函数的运算性质、几何性质、有界性等等,给出了凸函数应用的几个实例.在此基础上又对凸函数进行了推广,阐述了对数性凸函数的若干结论.关键词: 凸函数;Jensen不等式;对数性凸函数引言凸函数是一类重要的函数,它的概念最早见Jensen[1905]著述中.在本世纪初建立了凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用,例如:它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具.凸函数也是一种性质特殊的函数,到目前为止,对凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究,再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究,在数学中的多个分支都有用处,特别在不等式的推导方面,凸函数有着十分重要的应用.现在对凸函数的研究工作有中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件,利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的一个判别准则,实值函数成为凸函数的一些条件等等.如何推广函数的凸性概念,使得在更广泛的函数范围内,凸函数的许多重要性质仍然得以保留,于是研究凸函数的一些性质就显得十分必要了.很多文献都对凸函数的性质进行了讨论,文献[1]给出了凸函数的定义、定理和一些简单性质.文献[2]讨论了凸函数的运算性质.文献[3]讨论了凸函数的有界性质.文献[4]讨论了凸函数的连续性、可微性,给出了凸函数应用的几个实例.文献[7]讨论了一些不等式如何利用凸函数的性质进行证明,给出了一些重要不等式的证明过程,如Jensen不等式的证明方法及详细步骤.文献[11]在凸函数的前提下讨论了对数性凸函数,给出了对数性凸函数的一些性质.本文在参考上述文献的基础上,总结了凸函数的运算性质、几何性质、有界性等等,然后又对其性质进行了应用.另外,本文又对凸函数进行了推广,给出了对数性凸函数的若干结论,于是对凸函数性质的研究具有一定的理论意义和实践价值.1预备知识凸函数是一类重要的函数,凸函数有许多良好的性质.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学准确的描绘函数的图像,而且有助于对函数的定性分析.在对凸函数的性质展开研究之前,我们先来回顾一下有关凸函数的概念、定义和定理. 1.1 凸函数的概念凸函数是用来区分增减函数的增减方式不同的两种类型的函数:即使一个函数是增函数,也有如图(1)所示的两种方式,于是我们规定图(1)中1的增加方式叫做凹函数,反之,把2规定为凸函数.图(1) 图(2) 1.2 凸函数的几何特征如图(2)所示,按图(1)所规定的方式,图(2)中的曲线()f x 为凸函数,其中1,2,3,三条直线在曲线()f x 内围成一个三角形,三角形的三边所对应的弧段都在所对应直线的下方.于是我们从凸函数的几何特征出发,给出凸函数的一个几何意义上的概念,就是曲线()f x 上任意两点之间的弧段总在这两点连线的下方.例如我们熟悉的函数()21f x x =和()2f x =的图像,它们图像不同的特点是:曲线()21f x x =上任意两点的弧段总在这两点连线的下方;而曲线()2f x =则相反,即任意两点的弧段总在这两点连线的上方. 1.3 凸函数的等价定义及判定定理定义[]11 设()f x 为定义在区间(),m n 上的函数,若对(),m n 上任意的两点1x ,2x ,任意的实数()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称()f x 为区间(),m n 上的凸函数;若上式仅不等号成立,则称()f x 为区间(),m n 上的严格凸函数.反之,如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,则称()f x 为区间(),m n 上的凹函数,若仅不等号成立,则称()f x 为区间(),m n 上的严格凹函数.定义2 设()f x 在区间(),m n 上有定义,若对(),m n 上任意两点1x ,2x 和正数12,λλ∈()0,1,且121λλ+=,总有()11221122()()f x x f x f x λλλλ+≤+,则称()f x 为区间(),m n 上的凸函数.在定义2的基础上我们可以得到下面的定义3.定义3(Jensen 不等式) 若函数()f x 在区间[],c d 内是凸函数,则对任意[],i x c d ∈,0i λ＞(1,2,3,i n = ),且11ni i λ==∑,有()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑. 证应用数学归纳法,当2n =时,由凸函数的定义,有11221122()()()f x x f x f x λλλλ+≤+,121λλ+=,即2n =时不等式成立.设n k =时成立,即对任意[]12,,,,k x x x c d ∈ 及0i q ＞,1,2,3,i n = ,11ni i q ==∑,有()11n ni i i i i i f q x q f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑. 设[]121,,,,,k k x x x x c d +∈ 及0i λ＞(1,2,3,i n = ),11ni i λ==∑.令11ii k q λλ+=-,1,2,i k = ,则11ni i q ==∑.由数学归纳法假设可推得()112211k k k k f x x x x λλλλ++++++11221111=(1)1k kk k k k x x x f x λλλλλλ++++⎛⎫+++-+ ⎪-⎝⎭()()1112211(1)k k k k k f q x q x q x f x λλ+++≤-++++()()()()1112211(1)k k k k k q f x q f x q f x f x λλ+++≤-++++⎡⎤⎣⎦()()()12112111(1)111k k k k k k f x f x f x λλλλλλλ++++⎡⎤=-+++⎢⎥---⎣⎦()()111nk k i i i f x f x λλ++=+=∑.所以对任何正整数n (≥2)总有()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑成立.注当121===n nλλλ=时便得到定义4. 定义4 若函数()f x 在区间E 上是凸函数,则不等式1212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭. 定义5 若函数()f x 在区间E 上存在二阶导数,且()0f x ''≥,则x E ∀∈,有 Jensen 不等式成立,即()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤+++ ,其中i x E ∈,i q ＞0(1,2,3,i n = )且121n q q q +++= .证由于()0f x ''≥,则()f x 是区间E 上的凸函数,由定义3也可得此结论.在凸函数定义的基础上我们再给出凸函数的几个判定定理.定理 1 函数()f x 为区间(),m n 上的凸函数的充要条件是:对于(),m n 上的任意三点1x ,2x ,3x (1x ＜2x ＜3x ),总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤--. 定理2 设()f x 在区间E 上可导,则下述论断互相等价: 1）()f x 是区间E 上的凸函数; 2）()f x '是区间E 上的增函数;3）对区间E 上的任意两点1x ,2x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-.证 1)2)⇒在区间E 上任取两点1x ,2x ()12x x ＜,对充分小的正数h ,由于1122x h x x x h-+＜＜＜,所以由定理1得 ()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-, 因()f x 是区间E 上的可导函数,令0h +→可得()()211221()()f x f x f x f x x x -''≤≤-,所以()f x '是区间E 上的增函数.2)3)⇒在以1x ,2x ()12x x ＜为端点的区间上,由Langrange 中值定理和()f x '是区间E 上的增函数得()()()2121121()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后得()21121()()()f x f x f x x x '≥+-,且当12x x ＞时仍可得到相应的结论.3)1)⇒任取区间E 上的任意两点1x ,2x ()12x x ＜,()3121x x x λλ=+-()01λ＜＜,由3）并利用()()13121x x x x λ-=--与()2321x x x x λ-=-得()()()()()()()133133312()1f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--, ()()()()()()233233321()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-,分别用λ和1-λ乘上述两式并相加,便得()()()()()12312()11f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-,则()f x 是区间E 上的凸函数.定理3 设()f x 为区间E 上的二阶可导函数,则在区间E 上()f x 为凸函数的充要条件是()0f x ''≥,x E ∈.证 1)必要性因为()f x 在区间E 为凸函数,则()f x '是区间E 上的增函数 ,即()0f x ''≥,x E ∈.2)充分性因为()0f x ''≥,x E ∈,所以()f x '是区间x E ∈上的增函数,即()f x 为x E ∈上的凸函数.2凸函数的性质2.1 凸函数的运算性质性质1 若()f x 为凸函数,则(1)若0β≥,则称()f x β为凸函数; (2)若β＜0,则称()f x β为凹函数.证因()f x 为凸函数,由定义若对(),m n 上任意两点12,x x 和正数()0,1λ∈,总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.(1)当0β≥时在上式两端同时乘以β得:()()()()()()121212((1))()(1)()1f x x f x f x f x f x βλλβλλλβλβ+-≤+-=+-,即()f x β为凸函数.(2)当β＜0时在上式两端同时乘以β得:()()()()()()121212((1))()(1)()1f x x f x f x f x f x βλλβλλλβλβ+-≥+-=+-,即()f x β为凹函数.性质2 若()f x 为凸函数,则()f x -为凹函数,反之亦然.注性质2是性质1的特例,即1β=-.性质3 若()f x ,()g x 为凸函数,则(){}max (),()I x f x g x =为凸函数. 证因()f x ,()g x 为凸函数,则对(),m n 上任意两点1x ,2x 和正数()0,1λ∈,总有()()()()()()()()121212111f x x f x f x I x I x λλλλλλ+-≤+-≤+-, ()()()()()()()()121212111g x x g x g x I x I x λλλλλλ+-≤+-≤+-, ()()()()()(){}1212121max 1,1I x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-()()()121I x I x λλ≤+-.所以(){}max (),()I x f x g x =为凸函数.性质4 若()i f x 为凸函数,则()()()(){}12max ,,,n F x f x f x f x = (1,2,,i n = )亦为凸函数.证由性质3和数学归纳法可证得.性质5 若()f x ,()g x 为凸函数,则()()()F x f x g x =+为凸函数. 证因()f x ,()g x 为凸函数,即对(),m n 上任意两点1x ,2x 和正数()0,1λ∈, 总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-, 1212((1))()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-,()()()()()()121212111F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-++-()()()()()()()()()()()()()()12121122121111.f x f xg x g x f x g x f x g x F x F x λλλλλλλλ≤+-++-=++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-则()()()F x f x g x =+为凸函数.性质6 若()i f x 为凸函数,则()()1ni i F x f x ==∑(1,2,,i n = )为凸函数.证由性质5和数学归纳法可证得.性质[]27 设()f x ,()g x 都是(),m n 上的非负单调递增(递减)的凸函数,则()()()F x f x g x =也是(),m n 上的凸函数.证因()f x ,()g x 都是(),m n 上的非负单调递增(递减)的凸函数,则对(),m n 上任意两点1x ,2x 有()()()()21210f x f x g x g x --≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,()()()()()()()()12211122f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+. (3)又因为()f x ,()g x 是非负的凸函数,即对(),m n 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈ 总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-, 1212((1))()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-.所以()()()()()()121212111F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-()()()()()()121211f x f x g x g x λλλλ≤+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()22221121f x g x f x g x f x g x λλλ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()2111f x g x λ+-.再由(3)式可知()()()()()()121212111F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-()()()()()()()22221121f x g x f x g x f x g x λλλ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()2111f x g x λ+-()()()()()()()()()()()()()()()112211*********.f xg x f x g x f x g x f x g x F x F x λλλλλλλλλλ=-++-+-=+-=+-即()()()F x f x g x =也是(),m n 上的凸函数.性质8 若()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凹函数(凸函数).若()f x 是偶函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凸函数(凹函数).分析利用凸凹函数的定义及奇偶函数图像的性质可直接得出.性质9 若()y f x =是(),m n 上的连续递增的凸函数,则()1x f y -=是递增的凹函数.证因()f x 是(),m n 上的凸函数,所以对(),m n 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又因为()y f x =在(),m n 上是连续递增的,并且反函数单调性不变,则有()()()()()111212121((1))(1)f f x f x f f x x x x λλλλλλ--+-≥+-=+-, 所以()1x f y -=是递增的凹函数.性质10 若()f x 为区间H 上的凸函数,11:g R R →为单调增加的凸函数,则()()g f x 亦为凸函数.证因()f x 为凸函数,即对H 上任意两点1x ,2x 和正数()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又11:g R R →为单调增加的凸函数,所以()()()()()()()121212((1))()(1)()1g f x x g f x f x g f x g f x λλλλλλ+-≤+-≤+-. 即()()g f x 亦为凸函数.2.2 凸函数的几何性质性质11 若()f x 是H 上的凸函数,则对∀1x ,2x ,3x ∈H ,且123x x x ＜＜,有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---. 证令3231x x x x λ-=-,21311x xx x λ--=-,则()2131x x x λλ=+-,由()f x 的凸性可知 ()()()()()()2131311f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-,从而有()()()()()()()[]211313111()()f x f x f x f x f x f x f x λλλ-≤+--=--, ()()()()()()[]32133311()()f x f x f x f x f x f x f x λλλ-≥---+=-,把λ代入得()()[]3121212131312131()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x ----≤-⇒≤---, ()()[]3232313231313231()()()()()()x x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x ----≥-⇒≥---. 所以313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---. 分析此性质的几何意义是分别连接曲线()f x 上的两点()()111,A x f x ,()()222,A x f x 的弦的斜率2121()()f x f x x x --不超过()()333,A x f x 与()()111,A x f x的弦的斜率3131()()f x f x x x --,不超过()()333,A x f x 与()()222,A x f x 的弦的斜率3232()()f x f x x x --.性质12 若()y f x =是(),-∞+∞上的凸函数,且不恒为常数,则存在一点d 使得()f x 在(),d -∞上递减,在(),d +∞上递增.证若()y f x =是(),-∞+∞上的凸函数,则对于,a b R ∀∈,且a b ＜,(),x a b ∀∈可得()()()()f b f a f b f x b a b x--≤--, 因此()()f b f a ＞时,()()0f b f a b a-≥-.从而()()0f b f x b x-≥-,即()()0,()()f b f x f b f x -≥≥,所以当a b ＜,且()()f b f a ≥时,()f x 在(),b +∞上递增;当a b ＜,且()()f b f a ≤时,()f x 在(),b -∞上递减.所以存在一点d 使得()f x 在(),d -∞上递减,在(),d +∞上递增. 2.3 凸函数的有界性性质[]313 若()f x 是H 上的凸函数,则()f x 在H 内的任意闭子区间上有界.证设[],a b 是H 内的任意闭子区间,对[],x a b ∀∈,存在01λ≤＜,使得()1x a b λλ=+-,由凸函数的定义可知()()()()()()[]11max (),()f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≤+-≤.因此()f x 在[],a b 上有上界,设其上界是M ,则()()max ,M f a f b =⎡⎤⎣⎦.再证()f x 在[],a b 上有下界.对[],x a b ∀∈,令()12t x a b =-+,则 11()()22222a b a b a b f f t t +++⎛⎫⎡⎤=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ []111()()()22222a b a b f t f t f x M ++≤++-≤+, 即()22a b f x f M +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭.所以()f x 在[],a b 上有下界,设其下界是m .记22a b m f M +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,综上所述,()[],,m f x M x a b ≤≤∈.性质[]314 设函数()f x 在区间(),a b 内为凸函数,则()f x 在任意一闭子区间[](),,a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件:即∃L ＞0,使得[]12,,x x αβ∀∈有()()1212f x f x L x x -≤-.证因[](),,a b αβ⊂,则∃h ＞0,使得[](),,h h a b αβ-+⊂,[]12,,x x αβ∀∈, 若1x ＜2x ,取32x x h =+,()f x 在区间(),a b 内为凸函数,由定理1知()()()()21322132f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤--, 其中,M m 分别为()f x 在[],h h αβ-+上的上下界,从而()()1212M mf x f x x x h--≤-. 若1x ＞2x ,取32x x h =-,因()f x 在区间(),a b 内为凸函数,由定理1知()()()()23122312f x f x f x f x x x x x --≤--, 即()()()()21321223f x f x f x f x M m x x x x h---≤≤--,因此()()1212M mf x f x x x h--≤-, 取M mL h-=,则[]12,,x x αβ∀∈有 ()()1212f x f x L x x -≤-.2.4 凸函数的连续性性质[]415 若()f x 是H 上的凸函数,则()f x 在H 上连续. 证对x H ∀∈,都存在闭区间[],a b H ⊂,使得[],x a b ∈,令{}32min ,,x x x x a b x ∆---＜,由性质11知当0x ∆＞时,有()()()()()()f x f a f b f x xf x x f x xx a b x --∆≤+∆-≤∆--. 当0x ∆＜时,有()()()()()()f b f x f x f a xf x x f x xb x x a--∆≤+∆-≤∆--. 因而有()()()()()()max ,f x f a f b f x f x x f x x x a b x ⎧--⎫+∆-≤∆⎨⎬--⎩⎭.再由性质13可知,上式右端是有下界的变量,因此,当0x ∆→时,有()()0f x x f x +∆-→.所以()f x 在点x 连续,由x 的任意性可知,()f x 在H 上连续. 2.5 凸函数的可微性性质[]416 若函数()f x 在区间(),m n 内是凸函数,那么()f x 在(),m n 内处处左右可导,同时满足对任意的()()1212,,,x x m n x x ∈＜有()()()()12112212()()f x f x f x f x f x f x x x -+-+-''''≤≤≤≤-.证若函数()f x 在区间(),m n 内是凸函数,则对()()1212,,,x x m n x x ∀∈＜, 由性质11知()22()()f x f x F x x x -=-在()2,x n 内为不减函数,且当12x x x n ＜＜＜时221221()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--,所以222()()limx x f x f x x x →--是有限的.再因()()22222()()limx x x x f x f x f x x x +→-'=-＞,所以由单调有界定理可知()2f x +'存在且()21221()()f x f x f x x x +-'≥-. 同样也可证12a x x x ＜＜＜时有()11211121()()()()lim x x f x f x f x f x f x x x x x -→--'=--＜, 所以()1f x -'存在.由1x ,2x 的任意性知()f x 在(),m n 内处处可导. 再因,若1x ,2x ∈(),m n 且21x x ＞,取0x ∆＞且2x x n +∆＜,21x x x -∆＞, 那么()()()()22222121()()f x f x x f x f x x f x f x x x x x -+∆-+∆-≥≥-∆∆-, 即()()()()22222121()()f x x f x f x x f x f x f x x x x x +∆-+∆--≥≥∆-∆-. 另0x ∆→则()()212221()()f x f x f x f x x x +--''≥≥-. 同理可证()()121112()()f x f x f x f x x x -+-''≤≤-,所以()()()()12112212()()f x f x f x f x f x f x x x -+-+-''''≤≤≤≤-.注从凸函数的基本定义出发,上述16个性质是由凸函数的运算性质、几何性质,逐步过渡到凸函数的有界性、连续性、可微性,于是我们可以看到凸函数有很好的性质.下面我们逐步展开对凸函数及其性质的应用的探讨.3凸函数性质的应用例3.1 证明不等式()+++4a b c da b c d abcd a b c d ≤,其中,,,a b c d 均为正数.证设()ln f x x x =,x ＞0.由()f x 的一阶和二阶导数()ln 1f x x '=+,()1f x x''=. 可见()ln f x x x =在x ＞0时为严格凸函数.依Jensen 不等式有()()()()()+1+44a b c d f f a f b f c f d ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.从而()++1ln ln ln ln +ln 444a b c d a b c d a a b b c c d d ++++≤++, 即++4a b c da b c d a b c d a b c d ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.又因+4a b c d++≤, 所以()+++4a b c da b c d abcd a b c d ≤.例3.2 证明当x ,y ,z 都为正数且互不相等时,有ln ln ln x x y y z z ++＞()ln3x y zx y z ++++. 证设()ln f t t t =(t ＞0),则()()11ln ,f t t f t t'''=+=＞0,所以()f t 在()0,+∞上是严格凸函数.对,,x y z ∀＞0且x y z ≠≠时,依Jensen 不等式有()()()3f x f y f z ++＞3x y z f ++⎛⎫⎪⎝⎭, 即ln ln ln 3x x y y z z ++＞ln 33x y z x y z++++,所以ln ln ln x x y y z z ++＞()ln3x y zx y z ++++. 例3.3(Holder 不等式) 设i a ＞0,i b ＞0(1i n ≤≤),p ＞1,111p q+=.则 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.证设()=ln f x x -,()0,x ∈+∞,则21()f x x''=＞0,即()f x 是()0,+∞上的严格凸函数,对于12,x x ∀＞0,由Jensen 不等式得()()121211x x f f x f x p q pq ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭,取12,p q x a x b ==,带入上式得()()1111p q p q f a b f a f b pq p q ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭,即1111ln ln ln ln p q p q a b a b ab p q p q ⎛⎫⎛⎫-+≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由ln x 在()0,+∞上单调递增,得11p qa b ab p q+≥. 记1111,pnnqp q ki k i i i a a a b b b ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ (1,2,,k n = )带入上式得11111111p q k kk k nn p q n n p q p q i k i i i i i i a b a b p qa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑(1,2,,k n = ). 对上式两边求和,则11111111111111nn nn np p qq k kkik i k k i k i nnpqp q i i i i a b a a b b p q p qa b =======≤+=+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑, 即11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.注从上面几个例子我们看到在利用凸函数的性质证明不等式时构造合适的函数能达到简化不等式证明的目的.4凸函数的推广4.1 对数性凸函数的定义设()f x 为区间E 上的正值函数,如果()ln f x 在区间E 上为凸函数,即对12,x x E ∀∈和所有的实数()0,1λ∈有()()()()()1212ln 1ln 1ln f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称()f x 在区间E 上为对数性凸函数,如果对于12x x ≠严格不等式成立,则称()f x 在区间E 上为严格对数性凸函数. 4.2 对数性凸函数的性质定理[]114.2.1 设()f x 为区间E 上的正值函数,则()f x 在区间E 上为对数性凸函数的充要条件是对12,x x E ∀∈和所有的实数()0,1λ∈有()()()()()112121f x x f x f x λλλλ-+-≤.定理4.2.2 设()f x 为区间E 上的正值函数且二阶可导,则()f x 在区间E 上为对数性凸函数的充要条件是对x E ∀∈,有()()()()2f x f x f x '''≥.证必要性若()f x 为E 上的对数性凸函数,则()ln f x 在区间E 上为凸函数,由凸函数的判定定理知()ln 0f x ''≥⎡⎤⎣⎦,即()()0f x f x '⎡⎤'≥⎢⎥⎣⎦, 即()()()()220f x f x f x fx '''-⎡⎤⎣⎦≥.由于()2fx ＞0,故()()()20f x f x f x '''-≥⎡⎤⎣⎦.充分性设()()ln g x f x =,则()()()()ln f x g x f x f x '''==⎡⎤⎣⎦, ()()()()()220f x f x f x g x f x ''''-⎡⎤⎣⎦''=≥,所以()g x 在E 上为凸函数,由定义知()f x 在E 上为对数性凸函数.性质4.2.3 如果函数()1f x 和()2f x 为区间E 上的对数性凸函数,则()()12f x f x 也为区间E 上的对数性凸函数.推论4.2.4 如果函数()i f x ()1,2,i n = 在区间E 上为对数性凸函数,则()1ni i f x =∏也为区间E 上的对数性凸函数.性质4.2.5 如果函数()1f x 和()2f x 为区间E 上的对数性凸函数,则()()12f x f x +也为区间E 上的对数性凸函数.推论4.2.6 如果函数()i f x ()1,2,i n = 在区间E 上为对数性凸函数,则()1ni i f x =∑也为区间E 上的对数性凸函数.定理[]134.2.7 设()f x 为E 上的正值函数,则()f x 为E 上的对数性凸函数的充要条件是对E 上的任意三点1x ＜2x ＜3x 总有()()()()2132112312x x x x f x f x f x f x --⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.证必要性记3231x x x x λ-=-,则()2131x x x λλ=+-.由()f x 为E 上的对数性凸函数可知()()()()()()()32213131121313131x x x x x x x x f x f x x f x fx f x f x λλλλ-----=--≤=,整理后,得()()()()2132112312x x x x f x f x f x f x --⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.充分性任取E 上两点1x ,3x 且1x ＜3x ,在[]13,x x 上任取一点()2131x x x λλ=+-,()0,1λ∈,所以3231x x x x λ-=-,由必要性的推导逆过程便可得证. 注定理4.2.2和定理4.2.7分别是由定理3和定理1类比得到的. 推论 4.2.8 设()f x 为E 上的正值函数,则()f x 为E 上的对数性凸函数的充要条件是对E 上的任意三点1x ,2x ,3x (1x ＜2x ＜3x )总有()()()()()()213132111233112x x x x x x f x f x f x f x f x f x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.定理 4.2.9 设()f x 为E 上的正值函数,若()f x 为E 上的对数性凸函数,则()f x 为E 上的凸函数.证由于()f x 为E 上的对数性凸函数,则由定理4.2.1得,对12,x x E ∀∈和所有的实数()0,1λ∈有()()()()()112121f x x f x f x λλλλ-+-≤.又由于()f x 为E 上的正值函数,则()1f x ＞0,()2f x ＞0,()11λλ+-=,从而由引理得()()()()()112121fx fx f x f x λλλλ-≤+-,由不等式的传递性得()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-,故()f x 为E 上的凸函数. 4.3 对数性凸函数的应用例 4.3.1 如果0x ≥,0y ≥, 111m n +=,且m ＞1,则1111mn x y x y m n≤+,其中等式成立当且仅当x y =.分析一仔细观察本题中所要证的不等式我们发现本题刚好类似于对数性凸函数,下面我们不妨构造函数()f x x =,用对数性凸函数对本题进行证明.证 (1)当0,0x y ==或0,0x y =≥或0,0x y ≥=时,显然成立.(2)当x ＞0,y ＞0时,构造函数()f x x =,则()()()()21f x f x f x '''-=-＜0.所以由定理4.2.2可知,函数()f x x =(x ＞0)为对数性凹函数. 又因为111m n+=,由定理4.2.1有 ()()1111mnf x f y f x y mn ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,于是1111mnx y x y m n≤+. (3)1111mnx y x y x y m n=+⇔=. 必要性当x y =时显然成立充分性对1111mnx y x y m n =+求x 的偏导数,得11111m n x y m m-=,即1111n m n y x x -==,故x y =.分析二我们先对此不等式进行适当的变形,不妨在不等式的两边同取自然对数得11ln ln m n x y x y m n ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即11ln ln ln x y x y m n m n ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭. 由此我们就可以找到合适的凸函数了.证设()ln f x x =-(x ＞0),因()21f x x''=＞0,故()f x 为x ＞0上的严格凸函数,又因111m n+=,故 11ln ln ln x y x y m n m n ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭, 即11ln ln ln x y x y m n mn ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭, 从而1111m n x y x y m n≤+. 注证法一和证法二各有其优缺点,但是无论哪一种证法都体现出用凸函数证明不等式的巧妙性.小结本文主要总结了凸函数的一些性质.首先是给出了凸函数的概念,然后是凸函数的几个常用的等价定义和判定定理,其次在此基础上总结了凸函数的一些性质,这些性质之间都相互联系着,最后利用凸函数性质证明了几个不等式.通过利用凸函数的性质对不等式的证明可以看出,用凸函数的性质证明有关不等式不仅可使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易,证明过程简单的问题,而且在丰富证明不等式方法,简化不等式证明过程中发挥了一定作用.最后又给出了对数性凸函数的定义、性质和一些简单的应用.通过对凸函数的性质的探讨,我们已经发现和了解到凸函数具有很大的研究空间,于是总结一些凸函数的性质对于今后的学习和研究具有很大的价值和实际意义.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:148-154.[2] 白景华.凸函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,2003,6,17(2):59-64.[3] 林贤坤.凸函数的性质[J].广西民族学院学报,2001,11,6(4):250-253.[4] 朱玉明,杜曼.凸函数的性质和应用[J].沙洋师范高等专科学校学报,2005,6(5):23-25.[5] 孙清华,孙吴编.数学分析内容、方法、与技巧(上)[M].武汉:华中科技大学出版社,2003:210-215.[6] 狄雷.凸函数的性质及应用[J].南京晓庄学院,科教文汇,2009,9:272-273.[7] 查良松.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院报,2005,9,5(3):77-81.[8] 李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,2004,6,21(2):94-95.[9] DS密特若维奇,张小平,王尤泽.解析不等式[M].北京:科学出版社,1970:19-33.[10] 胡江.关于凸函数与对数凸函数的研究[J].徐州工程学院数学物理学院,成功(教育版),2007(1):113-114.[11] 刘芳园等编.对数性凸函数的一些性质[J].新疆:新疆师范大学学报,2006,9,25(3):22-25.[12] 张晶晶.对数性凸函数和几何凸函数的一些性质[D].楚雄师范学院,2008.[13] 刘海燕.凸函数在不等式证明中的应用[J].牡丹江教育学院学报,2005(1):19-20.。

论文-凸函数的定义和性质

凸函数的定义和性质摘要中文摘要内容：在已有的凸函数研究结果上，讨论了凸函数的8种常见定义和13种常见性质，对各种定义之间的等价关系进行了推导，对性质定理进行了证明和分析，并举例应用了凸函数的定义和性质。

关键词：凸函数凹函数严凸等价性可导增函数目录预备知识.............................................................................................................................. - 3 - 定义1 ............................................................................................................................. - 3 -定义2 ............................................................................................................................. - 3 -1凸函数的等价定义........................................................................................................... - 4 - 1.1凸函数的等价定义 (4)定义3 ............................................................................................................................. - 4 -定义4 ............................................................................................................................. - 5 -定义5 ............................................................................................................................. - 5 -定义6：......................................................................................................................... - 7 -定义7 ............................................................................................................................. - 7 -定义8 ............................................................................................................................. - 7 -1.2利用凸函数的等价定义判断函数的凹凸性 .. (7)例1 ................................................................................................................................. - 8 -例2 ................................................................................................................................. - 8 -2凸函数的性质................................................................................................................... - 9 - 2.1凸函数的性质及其证明 . (9)性质1 ............................................................................................................................. - 9 -性质2 ........................................................................................................................... - 10 -性质3 ........................................................................................................................... - 10 -性质4 ........................................................................................................................... - 10 -性质5 ............................................................................................................................ - 11 -性质6 ........................................................................................................................... - 12 -性质7 ........................................................................................................................... - 12 -性质8 ........................................................................................................................... - 12 -性质9 ........................................................................................................................... - 12 -性质10 ......................................................................................................................... - 13 -性质11 ......................................................................................................................... - 14 -2.2凸函数性质的应用 . (14)例1 ............................................................................................................................... - 14 -例2 ............................................................................................................................... - 15 -3结束语............................................................................................................................. - 15 -预备知识凸函数是用来区分增减函数的增减方式是不同两种类型的函数；即使一个函数是增函数，也有如图1所示的两种方式，于是我们规定)(1x f 的增加方式叫做凹函数，反之把)(2x f 规定为凸函数。

凸函数的性质和应用论文

凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质;凸函数的不等式Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的.引理1 定义2与定义3等价.引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理 1 设()f x 在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,123,,,x x x I ∈123x x x << 保持成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数（1）（ii ）2121()()f x f x x x --3131()()f x f x x x -- （2）(iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- （3）(iv)2121()()f x f x x x --3232()()f x f x x x -- （4）推论1若()f x 在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点123x x x <<，有2121()()f x f x x x -≤-3131()()f x f x x x -≤-3232()()f x f x x x --.推论2 若()f x 在区间I 上的凸函数，则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x = 00()()f x f x x x --是x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论3 若()f x 是区间I 上的凸函数，则I 上任意四点s<t<u<v 有()()f t f s t s --()()f v f u v u-≤-.推论4 若()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一点x,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，皆为增函数，且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体点组成之集合.（若f 为严格凸的，则'f +与'f -为严格递增的）.证明因x 为点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论2）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.再由推论2所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x--也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且'f -(x)= 101212()()()()limx x f x f x f x f x x x x x-→--≤--.同理,在此式中，令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论5 若()f x 在区间I 上为凸的，则f 在任一点x ∈0I 上连续. 事实上由推论4知f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.定理2 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是：00,x I ∈α∃，使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数，由上面的推论4知， 0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-. 由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+.因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x Iα-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I上的任意三点，由已知条件222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =，可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--,由定理1可知()f x 为凸的.定理3 设()f x 在区间I 上有导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增. 证明（充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-，则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-,或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ (1)由于()()(1)()f x f x f x λλ=+- (1)式等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ (2)应用Largrange 定理，12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--，但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--,212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端=12[()()](1)[()()]f x f x f x f x λλ-+--''221()(1)()(1)()()f x x f x x λελληλ=--+--21(1)()[()()]x x f f λλεη''=---按已知条件()()f x I '∈x 递增，得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,()f x +'在0I 为递增的，因()f x '存在，故()()f x f x +''=亦在0I 为递增的，若I 有右端点b,按照已知条件f 在b 点有左导数，0x I ∀∈易知: ''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理，若I 有左端点a,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.推论若()f x 在区间I 上有二阶导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是：()0f x ''≥ 定理4 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数，则[,]i x a b ∀∈ ,0(1,2,...,),i i n λ>=11,nii λ==∑，有11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何 12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni ii i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>（i=1,2,…k+1）,111k ii λ+==∑.令1,1ii k λαλ+=-i=1,2,…,k,则11ki i α==∑.由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑1111(1)()kk i i k k i x f x λαλ+++=≤-+∑1111(1)()()kk i i k k i f x f x λαλ+++=≤-+∑=11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+-+-∑=11()k iii f x λ+=∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz 性质.例1 设函数()f x 在区间I 上为凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界. 证明设[,]a b I ⊂为任一闭子区间:①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =. 故在[,]a b 上有上界M ；②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 的对称点x '，因()f x 为凸函数，所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+ ,从而 ()2()f x f c M m ≥-≡ ，即m 为()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 为区间(a,b)的凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件，即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- (1)因为[,][,]a b αβ⊂，故可取h>0充分小，使得[,](,)h h a b αβ-+⊂与此12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凸性，32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤--（其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界）,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- (2) 若21,x x < 可取32,x x h =-由()f x 的凸性，有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤--，从而 ()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可得(2)式成立. 若12x x =，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（2）式当1x 与2x 互换位置也成立，故有2121()()M m f x f x x x h--≤-，令,M mL h -=则（1）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 的凸函数,并且有界,试证极限 lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在. 证明设x ∈（a,b ）时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 任意三点，根据()f x 的凸性,当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--, 根据单调有界原理,有极限 00()()limx b f x f x A x x →--=- ,从而 000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4 设()f x 为区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<，有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰, (1) 同理，令221()t x x x λ=--，亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ 从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰, (2) 注意121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数,故由（2）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰ . 另外,由（1）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 1210()(1)()]f x f x d λλλ≤+-⎰1122122100()()(1)()()222f x f x f x f x λλ⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.例5 设()f x 是[0,)+∞上的凸函数,求证：01()()xF x f t dt x =⎰ （1）为(0,)+∞上的凸函数.证明 ()f x 为[0,)+∞上的凸函数,因此它在(0,)+∞连续,()f x 在[0,]x 上有界.由此知积分(1)有意义. 0x ∀>,令 tu x=时 101()()()xx t tF x f t dt f x d f xu du x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ （2） 12(0,1),,0x x λ∀∈∀>恒有112120[(1)]{[(1)]}F x x f x x u du λλλλ+-=+-⎰ [因(2)]=1120[(1)]f x u x u du λλ+-⎰112[()(1)()]f x u f x u du λλ≤+-⎰ （因f 的凸性）12()(1)()F x F x λλ=+-所以F 是(0,)+∞上的凸函数.例6 设函数()g x 在[,]a b 上递增,试证 (,),c a b ∀∈函数()()xc f x g x =⎰为凸函数.证明因()g x 递增,积分有意义.且∀123x x x <<212122121()()1()()x x f x f x g x dx g x x x x x -=≤--⎰ 32323232()()1()x x f x f x g x dx x x x x -≤=--⎰故由定理1知()f x 为凸函数.例7 设()f x 为[,]a b 上的凸函数,证明 ,(,)c x a b ∀∈有''()()()()xxccf x f c f t dt f t dt -+-==⎰⎰ （1）证明因()f x 为凸函数, 由定理1推论4 '()f t -，'()f t +存在且递增（当(,)t a b ∈）.故(1)中的积分有意义.对[c,x]任作一分划 012...,n c x x x x x =<<<<=有11()()[()()].ni i i f x f c f x f x -=-=-∑ 参看定理2，我们有'111()()()(),i i i i i f x f x f x x x -----≥-'11()()()()i i i i i f x f x f x x x ----≤-于是由.(1)式知'111()()()()ni i i i fx x x f x f c ---=-≤-∑'11()()ni i i i fx x x --=≤-∑.将分划无限分细,令1max()0,i i x x λ-=-→取极限可知 '()()().xc f x dx f x f c -=-⎰ 同理有 '()()().xcf x dx f x f c +=-⎰3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了Holder 不等式，并且利用Jensen 不等式证明了几个复杂的不等式.例8 设352x ≤≤ 证明证明由于函数y =在区间[0,)+∞上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有=≤=由于1,23,153x x x +--不可能同时相等，从而有<≤例 9 设函数()f x 是区间[0,)+∞上的凸函数，对于12,,...(0,),n x x x ∀∈+∞则1212()()...()(1)(0)+(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-+++证明由于120...i i n n x x x x x x <<+<+++,则由定理1中（4）式，有1212()(0)()()(...)()0...i i n i n n i i n i n nf x f f x x f x f x x x f x x x x x x x x x -+-+++-<<-+-+++-即12121()(0)[(...)()] (i)i n n n x f x f f x x x f x x x x --<++-+++令1,21i n =-,对上式两边求和，有1121[()(0)](...)()n i n n i f x f f x x x f x -=-<++-∑即1212()()...()(1)(0)(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-++++例 10 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni i i ii i i a b a b αββα===≤∑∑∑ 当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立. 证明取()f x =(1,0)x x αα><<+∞，(1,0)x x αα><<+∞，因为2()(1)0f x x ααα-''=->，所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理4得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nn ni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑ ，亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=，于是有11111()()n n ni i i i i i i i t x t x t αβα===≤∑∑∑ 令111111()(),nnni ii i i i i i i i i i i t xt x t t b x t a αββαα-===≤==∑∑∑，则有11111()()nnni i i i i i i a b a b αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时，即i i a kb αβ= (k 为正常数，1,21,i n n =-)111111111111()()()n n nnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时，i t 不全相等，又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数，故严格不等式成立.例11 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅和12,,,n q q q ⋅⋅⋅是两组正数，11niq=∑.证明1111n q q n n n a q a q a ⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅+a .证明要证原不等式即要证明 1111ln ...ln ln(...)n n n n q a q a q a q a +≤++. 令()ln f x x =(0)x >,则由于21()0f x x''=-<，所以f 为凹函数，由Jensen 不等式 111122(...)()()...()n n n n f q a q a q f a q f a q f a ++≥++ 即得所证.例12 12...0(1,2,...),1,,n i n a a a a i p A n +++>=>=设证明：1111mm pp n n n n n p A A a p -==<-∑∑. 证明设00A =，则由于1111111[(1)]11mm mm pp pp nn n n n n n n n n n p p A A a A A nA n A p p ---====-=-----∑∑∑∑ 11111(1)11mm m ppp nn n n n n n p p A nA n A A p p --====-+---∑∑∑ (1)111111(1)(1)11p mmp ppn n n n n pn p A n A n A p p --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ （用Holder 不等式）11(1)11111111(1)(1)11p ppp ppp m m m p ppn n n n n n pn p A n A n A p p ----===⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎪⎪≤-+--⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 1111111(1)(1)11mm m pp p nn n n n n pn p p A n A n A p p p p -===⎛⎫⎧⎫-≤-+-+-⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎩⎭∑∑∑ 1111(11)11mm ppnk n k pn A n kA p p -===-+-+--∑∑111(11)11mmpp nk n k pn A n kA p p ==≤-+-+--∑∑ 1(11)011mp n n pn nA n p p ==-+-+=--∑ 所以 1111mm pp nn n n n p A A a p -==<-∑∑ 由于Holder 不等式中等号成立的条件是1(1,2,...,)n nA n m A -=均为常数,而00A =，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例 13 证明不等式3a b ca b c a b c ++≤（abc ），其中,,a b c 均为正数.证明设()ln ,0f x x x x =>,由1()ln 1,()f x x f x x'''=+=可见()ln f x x x =在0x >时为严格凸函数.由Jensen 不等式有1()[()()()]33a b c f f a f b f c ++≤++, 从而1ln (ln ln ln )333a b c a b c a a b b c c ++++≤++.即3a b ca b c a b c a b c ++++≤（）又因3a b c++≤, 所以3a b ca b c a b c ++≤（abc ） . 例14应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ，有1212111n n a a a a a a n n++≤++⋅⋅⋅+ 证明取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞ . 因为21()0,f x x ''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数，则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===，则上式等号成立 ;2.若1,2,...,n a a a 不全相等，则由Jensen 不等式11()()n ni iiii i f a f a λλ==≥∑∑ ①即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ②即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合①②结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++，命题成立.参考文献[1]裘兆泰等.《数学分析学习指导》,科学,2004年..[2]徐利治等.《大学数学解题法诠释》第一版,教育，1999年 [3]徐利治等. 《数学分析的方法和例题选讲》,高等教育,1984年. [4]裴礼文.《数学分析中的典型问题和方法》,高等教育,1988年. [5]从军.《数学分析》,大学，2000年.[6]欧中、允龙.《数学分析概要二十讲》,复旦大学,1999年. [7]筑生.《数学分析新讲》,大学,1991年. [8] 华东师大学数学系，《数学分析》第三版，高等教育,2001年.。

凸函数的性质及其应用研究论文

凸函数的性质及其应用研究摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。

它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。

凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。

考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy 不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。

关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式Properties and Applications of Convex FunctionAbstractConvex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensen’s [1905] writing. Convex function has applied in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of convex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivity of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applications of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed.Key Words: Convex function, definition, properties, applications, inequality目录中文摘要 (I)英文摘要 (Ⅱ)1 引言 (1)2凸函数的定义 (1)2.1凸函数的12种定义 (1)3 凸函数的性质 (4)3.1凸函数的常用性质 (4)4 凸函数的应用 (11)4.1凸函数在微分学中的应用 (11)4.2凸函数在积分学中的应用 (13)4.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式 (15)4.4利用凸函数证明Cauchy不等式 (17)4.5利用凸函数证明Holder不等式 (18)4.6利用凸函数证明一般不等式 (19)参考文献 (24)致谢 (25)1 引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。

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