实数大小进行比较的常用方法全

实数大小进行比较的常用方法

实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

方法一.运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小

解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -．

小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较．

方法二：差值比较法

差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。

例1：（1）比较513-与5

1的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜5

1。 解 ∵（1-2）-（1-3）=23-

＞0 ， ∴1-2＞1-3。 方法三：商值比较法

商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当

b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b

a =1时，a=

b 。来比较a 与b 的大小。 例2：比较513-与51的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜5

1 方法四：倒数法

倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当

a 1＞b

1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。

例3：比较2004-2003与2005-2004的大小。 解∵200320041

-=2004+2003 ， 200420051

-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004

方法五：平方法

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5：比较62+与53+的大小 解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215。

又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+。

方法六：估算法

估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较83

13-与8

1的大小 解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴

8313-＜81 方法七：移动因式法

移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例6：比较27与33的大小

解：∵27=722•=28，33=332•=27。

又∵28＞27， ∴27＞33。

方法八：取特值验证法

比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例7：当10 x 时，2x ，x ，x

1的大小顺序是______________。

解：取x =21，则：2x =41，x 1=2。 ∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x

1。 除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。

方法九.放缩法 例2、 比较26+和257-的大小

解：因为362<<，8577<<，所以有26+<3+2=5，又因257->7－2=5，于是就有26+<257-．

小结：在通过放（缩）能够确定两个代数式的值一个比某个数小，而另一个恰好比另一个数大时，可选用该法．

跟踪练习：

1、比较m -3和35-m 的大小．

2、比较314和19的大小．

3、比较和110+的大小．

4、比较25+和259-的大小．

5、比较5－3与3+3大小．

6、比较67-和32-的大小．

7、比较73+与25+的大小．

答案：1、m -3>35-m ．2、314<19．3、>110+．4、25+<259-．

5、5－3<3+3．

6、67-<32-．

7、73+>25+．