二次函数零点分布

一元二次函数零点分布（二次方程根的分布）

教学目标

学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点

根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点

体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程

一、探究二次函数零点分布的要素

1、 回想：方程0)3(2

=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。

2、 思考：函数2)3()(2

+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。

若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。

3.探究：二次函数零点分布的要素

二、例题讲解

例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2

有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围

【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x

例2函数a x a x x f +-+=)3()(2

有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围

【总结】一元二次函数两个零点均在一个区

间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要

考虑哪些因素。

【练习2】12)(2

++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围

【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x

【变式2】12)(2

++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围

例3函数a x a x x f +-+=)3()(2

有两个零点21,x x ，且0,021>

【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？ 【练习3】例3中条件改成1,121>

【变式1】12-)(2

++=ax x x f 的两个零点有1,121>

【变式2】a x a x x f +-+=)3()(2

两个零点有()()4,0,0,121∈-∈x x ，求a 范围。

例 4 方程0122=--ax x 在()1,0恰有一

解，求a 范围。

【总结】一元二次函数有且仅有一个零点在在区间()n m ,内，这一类问题要考虑哪些因素。

三、课堂总结

1.本节课学了二次函数零点分布哪些题型，分别要考虑哪些因素？

2.本节课用到了哪些数学思想？

3.学会自我探究，多为自己上一堂数学专题课。 【练习4】0122

=--x ax 在()1,0恰有一

解，求a 范围。

【变式】方程022

=+-a ax x 在[]10

恰有一解，求a 范围。

一元二次函数零点分布作业

1.已知二次函数)3()1(2)(2

---+=m x m x x f . ①实数m 满足什么条件时，函数在),0(+∞上有两个零点？ ②实数m 满足什么条件时，函数在),1(+∞上有两个零点？ ③实数m 满足什么条件时，函数在)1,(-∞上有两个零点？ ④实数m 满足什么条件时，函数在)1,(-∞上有且只有一个零点？ ⑤实数m 满足什么条件时，函数在)4,0(上有两个零点？ ⑥实数m 满足什么条件时，函数在)4,0(上有且只有一个零点？

⑦实数m 满足什么条件时，函数的一个零点在)1,2(--，一个零点在)0,1(-？

2.若方程013422

=-++m mx x 有两个负数根，求实数m 的取值范围.

3.若函数)2()1()(2

2

-+-+=m x m x x f 的一个零点比1大，另一个零点比1-小，则实数

m 的取值范围是

4.已知关于函数62)1()(2

2

-++--=m m mx x m x f 有两个零点βα,，且满足

βα<<<10．求实数m 的取值范围.