D 格林公式
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格林公式
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y
微积分 格林公式
A.
证明 : 例2、
2 xydx
D
x dy 0 , D 分段光滑 .
2
求 例3、 e
D
y
2
dxdy , D 是以 O ( 0 , 0 ), A ( 1 ,1 ), B ( 0 ,1 ) 为顶点 .
xdy ydx
的三角形闭区域
设 例4、 D 是包含原点的有界闭区
y
Q ( x , y ) dy
y0
y0
Q ( x 0 , y ) dy
例7、 已知 du
xdy ydx x
2
y
2
( x 0 ), 求 u ( x , y ).
P 全微分方程： ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0
(
Q x
P y
)
例8、 解全微分方程 作业
(4)
Q x
P y
在 G 内处处成立 .
关键：
Q x
P y
P ( x , y ) dx
L
Q ( x , y ) dy 与路径无关
.
例5、计算
L
(x
2
2 xy ) dx ( x
2
y ) dy , 其中 L 为
4
由点 O ( 0 , 0 )到点 B ( 1 ,1 )的曲线弧 y sin
( x, y)
( x0 , y)
( x, y)
( x0 , y0 )
(1 )
u 按（1）： ( x , y ) u 按（2）： ( x , y )
( x, y0 ) ( x0 , y0 )
D10_3格林公式
添线段 L1 , 它与L 所围区域为D , 则
I
L L1
L1
12xd xd y
D
1
(e1 12x1)d x 1
A
yL1
DB
L
1 o 1 x
D 的 边 1界1d为xL1x(2取12正x d向y)2e 2e
L
Pd
x
Qd
y
D
(
Q x
P y
里面顺时针方向.
D
负向
L
L的正向: 当观察者沿该方向行走时，D内在 他近处的那部分总在他的左边.
3、格林公式
定理1.设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,
函数
在 D 上有连续偏导数 , 则
L Pd x
Qd y
D
(
Q x
P )dxd y y
(格林公式)
注1 关键条件（1） L 是正向闭曲线；
3
xy
2
)d
y
P dx Q3dxy2 y2d[ux(yx3, y)] 的条件：P Q y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
, y1 ) P
y0 )dx
(x, y)
d
x
yQy01 (Qx(,x1y,)yd)dyy
( x0 , y0 )
()
注3 若P (x,y)d x + Q (x,y)d y d u(x, y)，
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
高等数学格林公式
y
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
P d x Q d y 在 D 内与路径无关. L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
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备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
x0, y0
类似于F (x) x f (t)dt 是 f (x) 的原函数 x0
y0 x0
x
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 判断
在全平面上是否与路径无关,
并求AB ydx xdy, 其中AB为从 A1,1 到 B3,4 的任
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
A到B的任意曲线上的曲线积分都相等,
则称曲线积分在D内与路径无关.
y BD
A x
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
2.定理2: 设函数
在单连通区域D内具有
一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、区域的类型 二、格林公式 三、积分与路径无关的等价条件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 区域的类型
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 复连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
区域 D 边界L 的域正) 向: 沿L的正向行走时,
区域D的内部靠左.
10.3 格林(Green)公式
lim P ( , y )
x 0
lim P( , y ) P( x, y )
同理可得
u y
Q ( x , y ).
又由于P ( x , y ), Q ( x , y ) 连续，
所以 u ( x , y ) 可微，且
du P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy .
D.
由条件（1）有
Q x
,
( x, y ) E .
由格林公式有
Pdx Qdy
L
( x
E
Q
P y
) dxdy 0 .
（2）
（3）： 设
L 1 , L 2是 D
D
内任意两条由 A 到
B 的曲线， 则 L 2 L1
是
内一条正向闭曲线。由条
件（2）有
A
其中 AB 在 D 内； 与起点 A 和终点 B 有关，
即 du Pdx Qdy .
（4） Pdx Qdy 在 D 内是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，
证 （1）
（2）： 设
L
为 D 中任一条闭曲线，
它所围成的区域记为 E , 由于D 是单连通
L
D
E
区域， 所以 E
P y
偏导数， L 是 D 的正向边界曲线， 则有
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L
( x
D
Q
P y
) dxdy
（格林公式）
例1 求 L
xdy 2 ydx , 其中 L 是圆周 x 2 y 2 1,
09 第四节 格林公式
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
∂Q ∂ P − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式: 格林公式 ∫∫ ( ∂y D ∂x ∂D +
的面积A 闭区域 D 的面积 = ∫∫ dxdy .
D
取 P = 0, Q = x , 得 A =
解 记原积分 = ∫ P ( x , y )dx + QP ( x , y )dy ,
x 则 Q x = e cos y , Py = e cos y − m ,
y
D
O
L
x
Ax
作定向线段 OA : y = 0, x : 0 → a , 它与 所围闭区域记为 D, 它与L所围闭区域记为
则原积分 =
L+ OA
o
A(a,0)
曲线弧 AO : y = ax − x , x : a → 0,
∴A= −
∂D +
0
∫ ydx = −( ∫
OA
+
∫ ) ydx
AO a
1 2
1 2 = 0 − ∫a ( ax − x )dx = ∫ ( a x − x )dx = a . 0 6 1 1 或 : A = ∫ xdy − ydx = ( ∫ + ∫ ) xdy − ydx 2 ∂D + 2 OA AO a a 1 2 1 0 a = ∫a [ x( − 1) − ( ax − x )]dx = ∫ 0 xdx = 6 a . 4 2 2 ax
xdy − ydx ∫ x 2 + y 2 = ∫∫ 0 dxdy = 0 . L D
o
L
D
格林公式
−
∂ P ∂ y
⎞ ⎟ ⎟ dxdy ⎠
=
∫
L
Pdx
+
Qdy
3、 附加知识
（1） 椭圆的参数方程：
x2 y2 + =1 a2 b2
x = acos θ
y = bcos θ
椭圆的面积公式： π ab
（2） 当 f(x)为奇函数，即 f(-x)=-f(x)
−a
∫ f ( x)dx = 0
a
a
（3） 当 f(x)为偶函数，即 f(-x)=f(x)
P(x, y) ， Q(x, y) 在区域 D 内具有
一阶连续偏导数，如果对于 G 内的任意 A B 两点， 以及 G 内从 A 点到 B 点的任意两条曲线 L 1 ， L 2 ，等式：
L1
∫
Pdx
+ Qdy
=
L2
∫
Pdx
+ Qdy
恒
成立，就说曲线积分
L
∫
Pdx
+ Qdy
在 G 内与路径
无关，否则便说与路径有关。
(三)
单连通区域 D 的边界曲线 L 的方向：
当观察者沿 L 的方向行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边
D
(四)
格林公式：
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P ( x , y ) ，
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则：
∂Q ∂P Pdx + Qdy ∫D∫[ ∂x − ∂y ]dxdy = ±∫ L
∫∫
D
⎛ ∂ Q ⎜ ⎜ ∂ x ⎝
−
∂ P ∂ y
⎞ ⎟ ⎟ dxdy ⎠
=
格林公式证明
化简可得
2 2(1 − q ) Rρ 0 ρ1 cos(θ − θ 0 ) + q ρ1 ( R 2 + ρ 0 ) − ρ 0 ( R 2 + ρ12 ) = 0
cos(θ − θ 0 ),1 线性无关，故得
解之
2(1 − q ) Rρ 0 ρ1 = 0 2 q ρ1 ( R 2 + ρ 0 ) − ρ 0 ( R 2 + ρ12 ) = 0 R2 q = 1, ρ1 =
y
格林公式一般表示为： 格林公式一般表示为：
∂D
∂Q ∂ P ∫∫ ( ∂x − ∂y ) dxdy = ∫∂D P dx + Q dy D ∂ P ∂Q ∫∫ ( ∂x + ∂y )dσ = ∫∂D P dy − Q dx D
= ∫ P sin(τ , x ) − Q cos(τ , x ) ds ∂D = ∫ P cos( n, x ) + Q cos( n, y ) ds ∂D
使得
rOM 0 ⋅ rOM1 = R ,
2
M 1 是 M0 关于球面 Σ 的反 演点，
P 为球面上一点。 为球面上一点。 1 q = 4π rM 0 P 4π rM1P
⇒q=
rPM1 rPM 0
由 ∆OM 0 P ∽ ∆OM 1 P
P
M0
M1
⇒
rPM1 rPM 0
rOP R = = rOM 0 ρ 0
1 证明平面上的格林公式： 证明平面上的格林公式：
∂v ∂u ∫∫ (v∇ u − u∇ v )dσ = ∫C v ∂n − u ∂n ds D
2 2
的边界曲线， 是弧微分. 其中 C 是区域 D 的边界曲线，ds 是弧微分 首先证明第一格林公式
格林公式
由格林公式得
C
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)d
0
定理2的应用
(1)求 Pdx Qdy
L
若积分与路径无关，可选取简单路径计算.
2
(
x
)
L
L3
L4
L1
L2
L3
L4
L1
L2
x
b
a
a P( x,1( x)) dx b P( x,2( x))dx b [P( x,1( x)) P( x,2( x))] dx
a
b
L1 y 1( x)
a P d P( x, y)dx
I
Q
D
(
x
P )d
y
0
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q x
(0,0) D 在D内不能用格林公式
在D内取一圆周l x2 y2 r 2 , r 0
记L及l所围成的复连通区域为D1
在D1 应用格林公式得
Ll
xdy x2
L1
（三）应用
Q
D
(
x
P )d
y
L
Pdx
Qdy
1.求 P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
例1.(1)求 y4dx 4xy3dy，L : x2 y2 4, 取正向
解
L
设L所围闭区域D : x2 y2 4
微积分格林公式
例6、设曲线积分 xy2dx y( x)dy与路径无关,其中具 L 有连 续导 数, 且(0) 0,计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
已知du P( x, y)dx Q( x, y)dy,如何求u( x, y)?
(x, y) (x0 , y)
全微分方程：P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ( Q P ) x y
例8、 解全微分方程 : ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy 0. 作业 习题8-4：3、4（1）（3）
B
L2
A
L3
定理：设G是平面单连通区域, P( x, y),Q( x, y) C (1) (G), 则以下四个条件等价: (1)对G内任一分段光滑闭曲线C ,
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0;
C
(2) P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路径无关; L
例4、设D是包含原点的有界闭区域,求 xdy ydx. D x 2 y 2
二、曲线积分与路径无关的条件
P( x, y)dx Q( x, y)dy只与L的两个端点有关而与
L
积 分 路 径 无 关, 则 称 之 为 积 分 与 路 径 无关, 否 则 称
与 路 径 有 关.
L1
D1
L
（2）
B
A （3）
面积公式：A dxdy 1 xdy ydx (P y,Q x)
D
2 D
例1、求椭圆x a cos , y bsin 所围成图形的面积A.
例2、证明 : 2xydx x 2dy 0, D 分段光滑. D
例3、求 e y2 dxdy, D是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 D 的三角形闭区域.
已知du P( x, y)dx Q( x, y)dy,如何求u( x, y)?
(x, y) (x0 , y)
全微分方程：P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ( Q P ) x y
例8、 解全微分方程 : ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy 0. 作业 习题8-4：3、4（1）（3）
B
L2
A
L3
定理：设G是平面单连通区域, P( x, y),Q( x, y) C (1) (G), 则以下四个条件等价: (1)对G内任一分段光滑闭曲线C ,
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0;
C
(2) P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路径无关; L
例4、设D是包含原点的有界闭区域,求 xdy ydx. D x 2 y 2
二、曲线积分与路径无关的条件
P( x, y)dx Q( x, y)dy只与L的两个端点有关而与
L
积 分 路 径 无 关, 则 称 之 为 积 分 与 路 径 无关, 否 则 称
与 路 径 有 关.
L1
D1
L
（2）
B
A （3）
面积公式：A dxdy 1 xdy ydx (P y,Q x)
D
2 D
例1、求椭圆x a cos , y bsin 所围成图形的面积A.
例2、证明 : 2xydx x 2dy 0, D 分段光滑. D
例3、求 e y2 dxdy, D是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 D 的三角形闭区域.
13.2 格林公式 (1-39)
L1
x2 y2
L2
x2 y2
(2) 计算
I
L
xdy x2
ydx y2
, 其中 L 是以 ( 1 , 0 ) 点为
中心 , R 为半径的圆周 (R 1) , 方向为反时针方向
解 (1) 设 L1 , L2 所界的区域为 D y
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
C1(D
利用格林公式有
(e x sin y my)dx (e x cos y m)dy
AnOA
[e x
D
cos y
(e x
cos y
m)]dxdy
m dxdy
D
ma 2
8
(e x sin y my)dx (e x cos y m)dy
OA
y0
(e x sin y my)dx
y
)dxdy
0
(b) 当 R > 1 时 , 则 L 内包含奇点 O
构造 L1 : x2 y2 2 使 L1 含于 L , 则有
xdy ydx xdy ydx
L
x2 y2
L1
x2 y2
1
2
xdy
L1
ydx
2
d
0
2
说明: 从此例得到以下结论:
AnO
其中 AnO 为由点 A( a , 0) 至点 O 的上半圆周
x2 y2 ax
y
解 AnO 不构成闭曲线 n
格林公式在使用时,l是d的取正向的边界曲线
格林公式在使用时,l是d的取正向的边界曲线
在格林公式中，l代表的是曲线路径，也被称为边界曲线或闭合曲线。
而d表示的是l所包围的区域，通常称为有向区域或有向区域曲线。
在使用格林公式时，需要确保边界曲线l是按照正向方向进行参数化的。
正向方向意味着对于每个点，曲线的切向量指向区域d的内部。
格林公式的数学表达式为：∮<a, dr> = ∬(∂a/∂x - ∂b/∂y)dA
其中，l表示边界曲线，a和b是与边界曲线l相交的函数。
dr 表示沿着边界曲线的微小位移，A表示区域d的面积。
总结来说，格林公式要求边界曲线l是按照正向方向进行参数化，这样在计算曲线积分时可以正确应用公式。
高数格林公式
高数格林公式
格林公式是多元函数微积分中的一个重要公式，它是一个关于某个区域的边界与内部关系的定理。
在二元函数中，格林公式可以表示为：
∬D (∂Q/∂x -∂P/∂y)dxdy = ∮C Pdx + Qdy
其中，D代表一个平面区域，C代表D的边界，P和Q是定义在D上的可导函数。
简单来说，格林公式把一个二元函数在一个区域内的积分，转化成了它在该区域的边界上的积分。
具体而言，它将一个二元函数的偏导数转化为一个对应的线积分，并且还可以通过这个公式来求出一个区域的面积。
这个公式在物理学、电磁学、流体力学等领域都有广泛的应用。
在实际问题中，我们可以使用格林公式来求解电场、磁场、流场等问题。
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高等数学
64 8 . 3
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10
例4. 计算 解: 令 P 0, Q xe
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
yx
D OA
xe xe
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 )
L D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P ( 格林公式 ) d x d y P d x Q d y x y D L
y2 y2
dy
1 0
o
y2
x
dy
dy ye
1 (1 e 1 ) 2
高等数学
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11
例5. 计算
的分段光滑正向闭曲线.
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
c c
高等数学
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3
d
d
y
d
即
CBE
E D
C
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
①
A
B
bx
c o a
同理可证
②
①、②两式相加得: Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
高等数学
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或
高等数学
D
x
y
P
Q
d xd y Pd x Qd y
L
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1
证明: 格林公式可以写为
y
L
Qd y Pd x
L L
D
下证
o
Qd y
L
x
①
Pd x
L
②
只证①式
高等数学
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2
1) 假设 D 是单连通区域，
4
2) 若D是单连通区域，但不是 X - 型或 Y - 型区域，
则可通过加辅助线将其分割为
y
有限个上述形式的区域 , 如右图
D2 D1 Dn
D
Q P d xd y x y
n k 1 n Dk
L
k 1
Q P d xd y x y
y
L
o
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x
12
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2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
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2 0
r cos r sin d 2 2 r
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13
2
2
2
2
例6. 计算 所围成的面积。 解: ONA为直线 y = 0 曲线 AMO 由函数
y
与x轴
M
D
y ax x, x [0, a] 表示,
A y d x
o
x
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
P dx Qd y
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L
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5
3) 若D是多连通区域，则可通过加辅助线将其分割
为有限个单连通区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
L
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
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6
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
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7
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
证: 令 P 2 x y , Q x 2 , 则
L
2x y d x x 2 d y 0
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
D
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推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
1 xd y yd x A L xd y L y d x 2 L
x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
L
0
o
AMO
A(a,0)
8
例2. 计算 由直线 y=0, x+2y=2 及圆弧
其中L 是
闭域的正向边界 .
y
解: 令 P x 2 y , Q 3 x y e
2
y
利用格林公式 , 有
o
x
5(
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4
1)
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9
例3. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围
区域为D , 则 原式
L AO
y
L D
o
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d 3 y ) d x ( y x) d y
4 2 x dx 0
4 d xd y
且 D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域. d A 1 ( x) y 2 ( x) D: c a xb
y
E D
C
B
bx
o a
2 ( y ) Q d Q 则 d x d x d y d y D x c 1 ( y ) x
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
64 8 . 3
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10
例4. 计算 解: 令 P 0, Q xe
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
yx
D OA
xe xe
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 )
L D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P ( 格林公式 ) d x d y P d x Q d y x y D L
y2 y2
dy
1 0
o
y2
x
dy
dy ye
1 (1 e 1 ) 2
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例5. 计算
的分段光滑正向闭曲线.
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
c c
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3
d
d
y
d
即
CBE
E D
C
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
①
A
B
bx
c o a
同理可证
②
①、②两式相加得: Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
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或
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D
x
y
P
Q
d xd y Pd x Qd y
L
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1
证明: 格林公式可以写为
y
L
Qd y Pd x
L L
D
下证
o
Qd y
L
x
①
Pd x
L
②
只证①式
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2
1) 假设 D 是单连通区域，
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2) 若D是单连通区域，但不是 X - 型或 Y - 型区域，
则可通过加辅助线将其分割为
y
有限个上述形式的区域 , 如右图
D2 D1 Dn
D
Q P d xd y x y
n k 1 n Dk
L
k 1
Q P d xd y x y
y
L
o
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x
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2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
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2 0
r cos r sin d 2 2 r
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2
2
2
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例6. 计算 所围成的面积。 解: ONA为直线 y = 0 曲线 AMO 由函数
y
与x轴
M
D
y ax x, x [0, a] 表示,
A y d x
o
x
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
P dx Qd y
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L
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3) 若D是多连通区域，则可通过加辅助线将其分割
为有限个单连通区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
L
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
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Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
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例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
证: 令 P 2 x y , Q x 2 , 则
L
2x y d x x 2 d y 0
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
D
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推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
1 xd y yd x A L xd y L y d x 2 L
x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
L
0
o
AMO
A(a,0)
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例2. 计算 由直线 y=0, x+2y=2 及圆弧
其中L 是
闭域的正向边界 .
y
解: 令 P x 2 y , Q 3 x y e
2
y
利用格林公式 , 有
o
x
5(
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1)
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例3. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围
区域为D , 则 原式
L AO
y
L D
o
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d 3 y ) d x ( y x) d y
4 2 x dx 0
4 d xd y
且 D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域. d A 1 ( x) y 2 ( x) D: c a xb
y
E D
C
B
bx
o a
2 ( y ) Q d Q 则 d x d x d y d y D x c 1 ( y ) x
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y