函数的表示法学案

函数的表示法

学习目标:明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；了解映射的概念及表示方法；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；

学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念, 分段函数的图像与值域

学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象

学习过程:

一 复习：

（1）函数的三要素是 、 、 . （2）已知函数21()1

f x x =-，则(0)f = ，1()f x = ，()f x 的定义域为 . （3）初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

解析法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.

图象法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.

列表法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.

比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？

二 探究新知

1.解析法：用数学表达式表示__________之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做-__________________；

图象法：以___________的取值为横坐标，对应的_______y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了____________，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法；

列表法：列一个两行多列的表格，第一行是____________，第二行是对应的_________，这种用表格来表示___________之间的函数关系的方法叫做列表法

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.

2.分段函数：依据分类讨论思想,在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着_____________，即在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数，这样的函数通常叫做分段函数

说明：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．①分段函数是一个函数，而不是几个函数；处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；②分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；③分段函数的求解策略：分段函数分段解，分段函数是一个函数，只不过x 的______________不同时，对应法则不相同

处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点：(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.

3.映射概念

函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”。当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念。 映射定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f ：A →B ”

映射的判断：如果集合A 中的任何一个元素，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这个

对应就是映射，否则就不是映射。方向不同，映射也不同。

象与原象：映射是从原象集合到象集的对应。

探究先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.

①{1,4,9}

A=, {3,2,1,1,2,3}

B=---，对应法则：开平方；

②{3,2,1,1,2,3}

A=---，{1,4,9}

B=，对应法则：平方；

③{30,45,60}

A=︒︒︒,

231

{1,,,}

2

B=, 对应法则：求正弦.

关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.

试试：分析例1 ①～③是否映射？

反思：①映射的对应情况有、，一对多是映射吗？②函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.

映射的四个特征

(1)确定性：集合A、集合B与对应关系是确定的一个整体；(2)非空性：集合A、集合B都必须是非空集合；(3)方向性：从集合A到集合B的映射f：A→B与从集合B到集合A的映射f：B→A是不同的映射；(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一

判断一个对应f：A→B是否为映射的两点主要依据：(1)任意性：集合A中每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应.(2)唯一性：集合A中任一元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.

4.①分段函数图象的特点及画法

(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.

(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.

②分段函数求函数值的步骤及注意点

(1)步骤：①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.

(2)注意点：当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值.

③列表法表示函数的使用范围及生活中的实例

(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.

(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.

④图象平移变换的一般原则：(1)左右平移：y=f（x）的图象y=f（x+k）的图象.

(2)上下平移：y=f（x）的图象 y=f（x）+k的图象.

⑤作函数图象的三个步骤

⑥求函数解析式的常见类型及解法

(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），两根式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）的选择.

(2)已知f（g（x））型：解答已知f（g（x））求f（x）型问题可采用配凑法，也可采用换元法