数形结合解决不等式有关问题1

2 【解】设 y1= 9 x ，y2=k( x+2) – 2 ，
作出两函数的图象， 由图象可知，不等式的解集为区间[xC，xB]， ∵B(3，0) 且b–a=2，∴xC=1，
A
A(1， 2
2)
B C
代入 y2 k ( x 2) 2， 解得 k 2.
M (2， 2)
（二）数形结合解含参数不等式成立问题
1 1 代入得： –1=0， – a 1 a 1
3 解之得： a=0 或 a= ，舍去 a=0， 2 3 得答案： a= ． 2
2
例 5． （2012 浙江理 17）设 a∈ R，若 x＞ 0 时均有 [(a–1) x–1](x2–ax–1)≥0，则 a= ．
分析 3：[(a–1)x–1](x2–ax–1)≥ 0
解：原不等式等价于 9 x 2 3 6x x 2，
令y1 9 x 2 ，y 2 3 6 x x 2 ，
变形得x2+ y12=9(y1≥0)，
(x–3)2+(y2–3)2=9(y2≤3)，
作图， 由图形可知，
不等式的解集
为{x| 0＜x＜3}．
例 3.（ 2009 江西理15）若不等式 9 x2 k ( x 2) 2 的解集为区 间[ a， b]，且b–a=2，则 k= ．
6
x
x
3
p 5p
6
]
C．[ ,
3
p 2p
3
]
D． [ ,
2
p 3p
2
]
2．(2008四川 理16)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10， S5≤15，则a4的最大值为 ．
3.（2009天津理10）设0＜b＜1+a，若关于x 的不等式(x–b)2＞(ax)2的 解集中的整数恰有3个，则（ ） A．–1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6
y2 = 13–13a 2 设y1=(x–3) ，y2=13–13a， 作出函数y1在区间(–∞，–2)
x 2或x 2 2 ( x 3) 13 13a
∪(2，+∞)的图象， 由图象可知，1＜13–13a≤4，
9 12 a . 解得 13 13
小结：
1. 抽象问题 直观化、生动化
（一）数形结合解不等式
例1.(2003全国 理14)使log2(–x)＜x+1成立的x的取值范围
是
． g(x)=x+1
解：令f(x)= log2(–x)，
g(x)=x+1， f(x)= log2(–x)
作出两函数的图象，
由图象可知， x的取值范围是(–1，0) .
例2：解不等式： 9 x 2 6x x 2 3
x＞0 时不恒成立；
当 a≠1 时，由于方程 x2–ax–1=0 有一正一负两根，考虑三 次函数 y=[(a–1) x–1](x2–ax–1)的图象，
则方程[(a–1) x–1](x2–ax–1) =0 有两个根，
1 所以 为方程 x2–ax–1=0 的正根， a 1 1 由根与系数关系得 +1–a=a， a 1
问题：是否存在实数 a，使得关于x的不等式ln(1+x)＜ax在
(0，+∞)上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在， 说明理由． 解：令f(x)= ln(1+x)，g(x)=ax， 作出两函数的图象， 由图象可知，当g(x)=ax从 f(x)在原点处的切线开始逆 时针旋转时,不等式恒成立. 所以a＞f(0)=1. f(x)= ln(1+x) g(x)=ax
数形结合解与不等式有关的问题
教学目标：
1．知识教学点 掌握用数形结合的思想方法解不等式及求参数的取值范围使不等式 （能、恰、恒）成立． 2．能力训练点
在用数形结合的思想方法解题过程中，通过对函数、解析几何、向
量、导数等各部分知识的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而 提高分析问题解决题的能力． 3．学科渗透点 在解决问题的过程中，形成和发展理性思维，提高学生数学素质及 创新意识．
3 3 解得：a=0 或 a= ，舍去 a=0，得答案：a= ． 2 2
分析 2：函数 y1=(a–1)x–1，y2=x2–ax–1都过定点 P( 0，–1)．
1 函数 y1=( a–1)x–1 的图象过 M( ，0)，且 a＞1 a 1
显然函数 y2=x2–ax–1：
1 过点 M( ， 0)， a 1
(a－1) x－1 0 (a－1) x－1 0 2 或 2 ． x －ax－1 0 x －ax－1 0
分析 3：[(a–1)x–1](x2–ax–1)≥ 0 [ ax–(x+1)][ax–( x2–1)]≤0．
设 y1=x+1，y2=x –1， 作出两个函数的图象，
例4.已知函数f(x)=x2+2x+1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，
f(x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
f(x)=(x–2)2 y=x
解： f(x)=(x+1)2，令y=x， f(x)=(x+1)2 依题意，则在区间[1，m] 上f(x+t)的图象在直线y=x 下方． 作图， 由图形可知，当f(x+t)=
2Байду номын сангаас
y1=x+1
y2=x2–1
交于点 A( 2， 3) ， 若不等式成立， 则直线 y=ax 过点 A，
A
3 故 a= ． 2
y=ax
思考题．已知在关于x的不等式loga(x2–4)＞loga(6x–13a)(0＜a＜1)
的解集中，有且只有两个整数解，求a的取值范围．
解：∵0＜a＜1，
2 x 4 0 原不等式 2 ∴ x 4 6 x 13a
有助于把握数学问题的本质
2. 复杂问题 简单化
避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程
3. 在解选择题、填空题中更显其优越
4. 注意问题：
准确把握代数式的几何意义，实现“数”向“形”的转 化
千万不要得意忘“形”呦！
课后练习：
1．设函数f(x)=sinx，g(x)= 9( ) 2 9( ) ，则使g(x)≥f(x)的 p p 4 x取值范围是（ ）. A．[0，p] B． [ ,
(x–2)2时，实数m的值最大，
解方程(x–2)2=x，得x=1，4 ． 即m的最大值4，故选C．
例 5． （2012 浙江理 17）设 a∈ R，若 x＞ 0 时均有 [(a–1) x–1](x2–ax–1)≥0，则 a= ．
分析 1： 当 a=1 时， [(a–1)x–1](x2–ax–1)≥0x2–x–1≤0，
4．已知函数f(x)=x2+ax+3，a∈R，当x∈[–2，2]时，f(x)≥a恒成 立，求a的取值范围． 5．思考：数形结合解题应注意哪些问题？