数形结合解决不等式有关问题1
数形结合思想在函数方程与不等式中的简单应用(一)
± 2
.
x
小
结
本节讲了方程、函数、不等式中 的数形结合问题，在解题时既要由 数想形，又要以形助数。常见的 “以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念， 解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、 并、补、运算等问题是非常有效的。
（2）借助于函数图象，利用函数图象 分析问题和解决问题是数形结合的基本 方法。
例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数 y = x+1 中的较 小者，则函数f(x)的最大值为 。
分析： y = x + 1即y2 = x + 1( y ? 0), 其 图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直 y = x+ 1 线，在同一坐标系中作出y=1-x与 图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故
华罗庚先生曾指出：
数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔裂分家万事非。
作业：
1.求函数 y = | log |x- 1| | 2 区间 2.已知关于x的方程 x
x
2
的单调递增
- 4| x |+ 5= m
的根的个数
有4个不相等的实根，则实数m的取值范围 3. 求方程
lg = sin x
为_________。
2 2 ( x ， y ) | x + y = 9， 0 < y ? 3} 集合M可化为 { 分析：
表示以(0,0)为圆心,以3为半径 的圆在x轴上方的部分。 集合N则表示一组平行直线,如图, 欲使 M∩N≠φ 即,直线与半 圆有公共点,则直线向上平移与圆 相切向下平移过点(3,0) 易知 -3<b≤ 3 2
y
5 2
3 4
如图
不等式恒成立问题——数形结合法
不等式恒成立问题——数形结合法一、基础知识：1、函数的不等关系与图像特征：（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图像始终在()g x 的下方； （2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图像始终在()g x 的上方。
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数；3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等；4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）；5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备；6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图； （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义； （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征。
二、典型例题：例1：已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出()21y x =-的图像，观察图像可 得：若要使不等式成立，则log a y x =的图像应在()21y x =-的上方，所以应为单增的对数函数，即1a >，另一方面，观察图像可得：若要保证在()1,2x ∈时不等式成立，只需保证在2x =时，()21log a x x -<即可，代入2x =可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤答案：12a <≤小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。
（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =） （3）处理好边界值是否能够取到的问题例2：若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。
在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。
可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。
对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。
这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。
可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。
对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。
这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。
数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。
通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。
这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。
高中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）
⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。
⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。
⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。
从数形结合角度解绝对值不等式
从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。
如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。
下面笔者结合实例加以说明。
例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。
解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。
结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。
图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。
例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。
解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。
如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。
由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。
图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。
而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。
本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。
数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。
例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。
1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件
①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式数形结合法1. 引言绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，其解集可以用数轴上的区间表示。
为了更好地理解和解决绝对值不等式，数形结合法是一种有效的方法。
本文将详细介绍绝对值不等式数形结合法的基本原理、应用技巧以及实例演示，帮助读者掌握这一重要的解题方法。
2. 基本原理2.1 绝对值函数绝对值函数是指将一个实数映射到其非负的绝对值的函数，通常用符号|x|表示。
其定义如下：|x|={x,x≥0−x,x<02.2 绝对值不等式绝对值不等式是指一个含有绝对值符号的不等式。
通常有以下两种形式：•|f(x)|<a•|f(x)|>a其中，f(x)是一个关于x的函数，a是一个正实数。
3. 应用技巧3.1 基本思路使用数形结合法解决绝对值不等式时，我们需要将问题转化为图形的几何关系，从而更直观地理解和解决问题。
基本思路如下：1.将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题。
2.根据不等式的形式，确定数轴上的区间。
3.根据区间的性质，求解不等式。
3.2 求解步骤以|x−3|<5为例，介绍绝对值不等式数形结合法的求解步骤：1.绘制数轴，并在数轴上标出x=3这个点。
2.在x=3左边画一个长度为5的线段，表示|x−3|。
3. 确定数轴上x −3取值范围所对应的区间。
由于|x −3|<5，所以x −3必须在以x =3为中心、半径为5的开区间内。
即(−2,8)。
4. 最后得到x ∈(−2,8)，即解集为开区间。
3.3 注意事项在使用绝对值不等式数形结合法时，需要注意以下几点：1. 对于不等号方向（大于或小于），要根据实际问题进行判断。
2. 在确定区间时，要根据绝对值函数的定义和性质进行分析。
3. 需要注意区间的开闭性，根据不等式的严格性确定解集的类型。
4. 实例演示4.1 例题一求解不等式|2x −1|>3。
解答步骤：1. 绘制数轴，并在数轴上标出x =12这个点。
2. 在x =12左边和右边分别画一个长度为3的线段，表示|2x −1|。
数形结合巧解的有关数学问题
数形结合巧解的有关数学问题数形结合的思想方法是高中教学中最重要的思想方法之一，在每年的高考中必须要涉及的思想方法，它可使数量关系与几何图形巧妙地结合起来，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合思想可以帮助我们迅速解决问题。
下面就几个问题巧用数形结合思想的方法来解决的问题供参考。
一、函数的零点问题在最近两年各地高考和模拟考试中，出现的频率很高，特别对于含参数函数的零点问题，转化为曲线图像问题，利用数形结合的方法来解决，显得简洁明了。
例1.（2010南京调研）设函数f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x ∈r，函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β，若对任意的x∈［α，β，］，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数的取值范围。
解：∵f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x∈r∴f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得 x=m-2或x=m+2且m-2＜m+2当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数.所以x=m-2，f（x）取极大值，x=m+2，f（x）取极小值.所以根据f（x）的单调性,可以把f（x）图像的趋势画出，有三种情况：（1）当α＜β＜0时，f（x）图像的趋势为由图像可知：f（α）=f（β）=0，f（1）=f（0）=0所以有f （1）＞f（α）＞f（β），与已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立矛盾，此情况舍去;（2）当α＜0＜β和0＜α＜β这两种情况时，对于x∈［α，β］，由图像可知，f（x）的最小值为f（m+2），已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立必有α＜1＜β，所以要想使对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立，一定有f（m+2）=f（1），即m+2=1，所以m=-1.解后反思：本题借助图像很直观地把函数本质展现出来，通过图像函数的一些特点和性质也暴露无遗，避免讨论很多问题，数形结合是高中四大数学思想方法之一，在每年的高考中必出现的内容，对小题解决起来可能更来得简洁，所以以后在解决数的问题时，不妨用形来解决，可能会带来意想不到的效果。
利用数形的直观性求解不等式问题——谈数形结合思想的应用
容 时 分 子 总 数 不 变 的 可 逆 反 应 的 等 效 平 衡 换 算 ） 而 。 １ ｍｏＣ 换 算 到 反 应 物 后 ． 与 Ｂ 的 物 质 的 量 之 比 为 ２１与 ． ｌ ４ Ａ ：．
起 始 量 的投 料 比 相 同 ， ｘ ３ 立 。 故 选 Ｂ 故 ＝ 成 Ｃ。
（） 定 平 衡 的 移 动 方 向 ３确
形 结合 的 局 限性 。
在联系 ， 恰 的 变 量 转 化 ， 之 化 难 为 易 ， 繁 为 简 ， 就 是 使 化 这 数 形 结 合 的解 题 ‘ 。 本 文 主 要 足 介 数 形 结 合 这 一 思 想 法 法 及 其 在 不 等式 巾 的 应 用 。 １ 数 形结合解 不等式 ， 法更形 象 ， 观 ， 洁 明快 。 ． 用 解 直 简
Ｘ （ ２一 ，２（， ＋ Ｉ ａ ）１ｘ ａ ） Ｉ ＝ ／ ＝ ２
解题 思路发 难时 ． 不妨从数形结 合的角度 去探索 ： 在斛 题 过 巾繁 杂 的 运 算 常 使 人 望 生 畏 时 ，不 妨 从 数 形 结 合
观 点 去 开 辟 新 路 。这样 ， 常 会 收 到 事 半 功 倍 的效 。把 数 常 量 关 系 的 准 确 刻 划 Ｌ几 何 罔 形 的 直 观 揣 述 ／ 机 的 结 合 起 ｊ Ｆ 『 来 ， ｆ 分 揭 示 问题 的 条 什 条 什 、 什 Ｌ结 论 之 问 的 内 从 充 条 ｊ
『 象 ｒｊ ： ｌ Ｉ ｑ ｊＪ ’
Ｏ６ １４ ２ ｘ ２ ． ．＋ ．Ｘ ／ ＝
０３ １４ １ｘ ， Ｘ ２ ． ．ｘ ／ ＝１ 得 ｚ ＋
若 反 应 前后 气体 体 积 不 变 （ ｘ ３ ， 效 平 衡 只 需要 两 即 ＝ ）等
种 投 料 方 式 换 算 到 同一 边后 各 组 分 比 例 相 同 即 可 （ 温恒 恒
利用数形结合思想解决不等式问题
解： 由线性 规划 可知不 等式组 ②确定 的区域 是 ｏ ， 不 等式组 ①
确 定 的区域是 ｂ ，
一 ｌ ２Ｉ ， 由图像６可知 ｓ （ ） ＞ ｒ （ ） ≥ｏ 恒成立．
事实 上 ， 当 ≤ ２时 ， ５ （ ）一ｒ （ ）＝２［ （ 一１ ） 。 ＋１ 】一
显然 ， 命题 Ｐ成立是 命题 ｑ 成立 的充 分不必 要条 件．
一
的各个章 节都 有 着千 丝 万 缕 的联 系 。不 等式 是 解决 数 学 问 题 的 个强有 力 的工具 ， 集合 问题 、 方程 （ 组） 的解 的讨 论 、 函数 单调 性
注 ： 此 题 有 一 错 误 解 口 由 ： 解 得 寻 ３ ③
的研 究 、 函数 定义 域的确 定 、 各 种 类型 的最 大值 、 最小 值 问题 无 一 且 ｏ ≤） ， ≤ ＠ ， 再 由③ × ４＋ ④ ×（ 一 ２ ） 得３ ≤４ 一 ２ ｙ ＜１ ￣ ２ ． 事实 不与不 等式有 着 密 切 的联 系。也 正 是这 个 原 因使 得 不 等式 问 题 满足限制条件③和④的点（ ， Ｙ ） 构成 图５区域 ６ ， 显然区域 ６ 的求解 方法灵 活 多 样 ， 除 了应 用 不 等 式本 身 的性 质 进 行 等 价 转 上， ， 所 以扩大 了限制条件 的范 围而导 致出错 。 化、 分 类讨论 以外 ， 还 可 以 运用 数 形 结合 的思想 赋 予 不 等式 相 应 大 于区域 ｏ ｙ Ｊ 的几 何特 征 ， 借助 于图 形 的性 质 ， 可 以使 抽 象 的数 量 关 系变 得 直
ｙ Ｊ
观而 形象 ， 常常有 事 半 功倍 的效 果 ， 下 面就 以 几个 简 单 的例 子 作 为说 明 。
一
、
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
高中数学：用数形结合的方法,解决不等式的问题
高中数学：用数形结合的方法，解决不等式的问题数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。
正如华罗庚先生所说的：“数形结合千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直观地解决有关的代数问题。
一. 解含参不等式在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长。
如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决。
例1. 已知，解关于x的不等式。
解：如图1所示，在同一坐标系中，作和的图象。
图1解和交点的坐标，即在时，由，得。
由图1知，当时，曲线的上方。
所以原不等式的解集为：例2. 已知，解关于x的不等式。
解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。
联立和，解得。
图2由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：。
二. 确定参数的范围在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。
例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。
解：原不等式变形得：令如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。
由于直线恒经过定点，由图3可知，要使在时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。
所以a的取值范围是。
图3例4. 已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值。
解：将原不等式同解变形为如图4所示，在同一坐标系中作出曲线和直线。
图4根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的方程得：解之得：三. 证明不等式把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。
例5. 已知：。
求证：。
分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得很简单了。
证明：如图5所示，设，则（1）当时，在△AOB中由得（2）当时，由得综合（1）、（2）得图5▍ ▍ ▍。
巧思妙法,破解不等式“恒成立”问题
㊀㊀㊀巧思妙法,破解不等式 恒成立 问题◉甘肃省天水市张家川回族自治县第三高级中学㊀范㊀烯㊀㊀摘要:不等式 恒成立 问题综合考查函数㊁不等式等相关知识,以及相应的数学思想方法,一直备受命题者青睐,是各级各类考试中的热点问题之一．解决不等式 恒成立 问题,有技可循,有法可依,合理构造,巧妙转化,总结规律,引领并指导数学教学与复习备考．关键词:不等式;恒成立;判别式;数形结合;分离参数㊀㊀涉及不等式恒成立 的问题,是高中数学函数与不等式的一个重点与难点,往往以含参不等式的形式出现,是一类极具交汇性㊁综合性与创新性的复杂应用问题,难度较大,形式多样．不等式 恒成立 问题知识融合性强,解决时有一定的经验规律与技巧方法可循,能有效考查学生各方面的数学基础知识㊁数学思想方法与数学能力等,具有较好的选拔性与区分度,倍受各方关注．１利用判别式法解决不等式恒成立 问题判别式法是通过引入参数进行待定系数法转化,利用二次方程有根来合理构建判别式,进而结合不等式的求解来分析与解决．例１㊀对于任意的正数a ,b ,不等式(２a b ＋a ２)k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２恒成立,则实数k 的最大值为．分析:根据题目条件等价转化对应的 恒成立 不等式,构建涉及分式不等式的恒成立问题,转化为关于b 的二次方程,利用方程有根并结合判别式构建对应的不等式,通过不等式的求解来确定参数的最值,进而得以确定实数k 的最大值．解析:由不等式(２a b ＋a ２)k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２恒成立,可得不等式k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a２恒成立,即k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a ２æèçöø÷m i n．设４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a２＝λ(λ＞０)．整理可得４b ２＋(４－２λ)a b ＋(３－λ)a ２＝０,将其看作关于实数b 的二次方程．由判别式Δ＝(４－２λ)２a ２－１６a ２(３－λ)ȡ０,整理可得λ２ȡ８．又λ＞０,解得λȡ２㊀２．所以k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a ２æèçöø÷m i n＝２㊀２,即k 的最大值为２㊀２,故填答案:２㊀２．点评:利用判别式法解决不等式 恒成立 问题,关键是通过不等式的恒等变换等进行处理,巧妙引入参数转化为涉及某一变元的一元二次方程,利用方程有实根所对应的判别式非负来构建不等式,进而确定参数的取值范围,从而得以解决相应的不等式 恒成立 问题．２利用数形结合法解决不等式恒成立 问题数形结合法的关键就是将 恒成立 不等式合理转化为一个常规函数或一个含参函数的问题,通过函数图象的 形 来直观分析与处理．例２㊀已知函数f (x )＝e x－m x ,当x ＞０时,(x －２)f (x )＋m x ２＋２＞０恒成立,则实数m 的取值范围为．分析:据题目条件对相应的不等式进行等价化归与转化,结合参变分离法进行处理,并通过构造两个函数,把对应的函数的 数 转化为两个函数图象的 形 的问题,进而数形结合,考察含有参数的动直线与定曲线的位置关系,从而建立相应的关系式来确定对应的参数值．解析:由(x －２)f (x )＋m x ２＋２＞０,得(x －２) e x＞－２m x －２,则问题等价于 当x ＞０时,(x －２)e x ＞－２m x －２恒成立 ．图１构造g (x )＝(x －２)e x ,h (x )＝－２m x －２．如图１所示,根据条件,只要考察当x ＞０时,曲线g (x )＝(x －２)e x 的图象恒在直线h (x )＝－２m x －２的上方即可．对g (x )求导,可得g ᶄ(x )＝(x －１)e x．当x ɪ(０,１)时,g ᶄ(x )＜０,g (x )单调递减;当x ɪ(１,＋ɕ)时,g ᶄ(x )＞０,g (x )单调递增．又当x ɪ(０,＋ɕ)时,g ᵡ(x)＝x e x＞０,所以g (x )在(０,＋ɕ)上是凹函数．９５２０２２年１０月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀学习交流复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀而g(０)＝h(０)＝－２,所以只要满足直线h(x)＝－２m x－２的斜率不大于曲线g(x)＝(x－２)e x在x＝０处的切线的斜率即可．所以有－２mɤgᶄ(０)＝－１,解得mȡ１２．即实数m的取值范围为１２,＋ɕéëêêöø÷．故填答案:１２,＋ɕéëêêöø÷．点评:利用数形结合法解决不等式 恒成立 问题,关键是结合 恒成立 的不等式进行恒等变形与转化,构建与之对应的两个函数,通过一条定曲线与一动直线的位置关系,利用图形直观确定临界位置,这是数形结合处理此类问题的关键所在．３利用分离参数法解决不等式 恒成立 问题分离参数法是解决含参不等式 恒成立 问题最常用的一类技巧方法,结合不等式进行恒等变形,分离出相应的参数,再从另一边所对应的函数来切入与处理．例３㊀(清华大学２０２０年１月份中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷文科 １２)已知不等式x＋a l n x＋１e xȡx a对xɪ(１,＋ɕ)恒成立,则实数a的最小值为(㊀㊀)．A．－㊀e㊀㊀B．－e２㊀㊀C．－e㊀㊀D．－２e分析:合理结合题目条件中不等式的等价变形与转化,再结合不等号两边的函数结构特征,利用函数的同构处理,通过函数求导确定函数的单调性,进而巧妙分离参数,最后利用函数的构建以及其单调性,进而确定相关参数的取值范围．解析:由x＋a l n x＋１e xȡx a,变形可得x＋e－xȡx a－a l n x,则有x＋e－xȡx a＋l n x－a．设函数f(x)＝x＋e－x(x＞１),可知f(l n x－a)＝l n x－a＋e－l n x＝l n x－a＋x a．那么x＋e－xȡx a＋l n x－aÛf(x)ȡf(l n x－a)．又当xɪ(１,＋ɕ)时fᶄ(x)＝１－e－x＞０,则由f(x)单调递增,可得xȡl n x－a＝－a l n x,即aȡ－x l n x．设g(x)＝－x l n x(x＞１)．求导有gᶄ(x)＝－l n x－１l n２x．由gᶄ(x)＝０,可得x＝e．所以函数g(x)在(１,e)上单调递增,在(e,＋ɕ)上单调递减．故g(x)ɤg(e)＝－e,从而aȡ－e．故选择:C．点评:利用分离参数法解决不等式 恒成立 问题,关键是对含参不等式进行合理恒等变形与转化,巧妙分离出参数,进而构建对应的函数,通过基本初等函数的单调性或借助函数求导处理来确定对应函数的单调性,进而确定对应函数的极值或最值,从而得以确定参数的取值范围．４利用主参变换法解决不等式 恒成立 问题主参变换法就是改变常规的主元与参数之间的关系与性质,转换思维角度,从 旁观者 的视角来切入,实现问题的化归与转化．例４㊀已知函数y＝m x２－m x－６＋m,若对于１ɤmɤ３,y＜０恒成立,则实数x的取值范围为．分析:根据题目条件,构建不等式恒成立所对应的不等式,借助主参变换处理,转化为涉及参数m的一次不等式,利用题目条件以及参数m的限制条件构建涉及参数x的不等式,进而利用题目条件转化相应的一元二次不等式,通过求解不等式来确定对应实数x的取值范围．解析:由y＜０,得m x２－m x－６＋m＜０．借助主参变换处理,整理可得(x２－x＋１)m－６＜０．又由１ɤmɤ３,可知不等式x２－x＋１＜６m恒成立,则x２－x＋１＜６３,即x２－x－１＜０,解得１－㊀５２＜x＜１＋㊀５２．所以,实数x的取值范围为(１－㊀５２,１＋㊀５２)．故填答案:(１－㊀５２,１＋㊀５２)．点评:利用主参变换法解决不等式 恒成立 问题,关键是利用题目中的不等式进行恒等变形与巧妙转化,合理转化主元与参数之间的关系,进行主参变换处理,结合不等式恒成立加以巧妙化归,进而转化为不等式㊁函数等其他相关问题加以分析与处理．涉及不等式 恒成立 的问题,解决的基本策略就是 含参 转化与 分参 处理两个基本思维角度．具体解决时,或通过 数 的视角,利用判别式法㊁分离参数法㊁主参变换法等处理;或通过 形 的视角,数形结合法等处理．综合不等式的性质以及函数的基本性质等,合理构造,巧妙转化为较为熟悉的数学模型,从而得以破解不等式 恒成立 问题,提升学生数学品质㊁数学能力,培养数学核心素养．Z０６复习备考学习交流㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１０月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
数形结合巧解不等式与方程问题
题型一数形结合解决方程的根的个数问题1.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．解析由定义可知，f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1<x2<x3，易知x2>0，且x2＋x3＝2×＝1，∴x2x3<.令解得x＝. ∴<x1<0，∴<x1x2x3<0.2.已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x ∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是()A．5 B．7 C．9 D．10.答案C解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．3. 已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是() A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]答案D解析函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax 在x>0上恒成立．③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a ≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.4.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)∪(1,4)解析根据绝对值的意义，y＝＝在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．5.设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围为________________..解f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1，变形得≤x＋1－a，令y＝，①y＝x＋1－a. ①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：y＝x＋b(b＞0)，则圆心(－2,0)到AT的距离为d＝，由＝2得，b＝6或－(舍去)．∴当1－a≥6即a≤－5时，f(x)≤g(x)．。
专题二 不等式恒成立、能成立问题(解析版)
强化专题2 不等式恒成立、能成立问题在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．【技巧目录】一、“Δ”法解决恒成立问题二、数形结合法解决恒成立问题三、分离参数法解决恒成立问题四、主参换位法解决恒成立问题五、利用图象解决能成立问题六、转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“Δ”法解决恒成立问题例1 若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【分析】讨论0a =和0a <两种情况，即可求解.【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【小结】(1)如图①一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴上方⇔y min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)如图②一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴下方⇔y max <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.二、数形结合法解决恒成立问题例2 当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．【详解】令y ＝x 2＋mx ＋4.∵y <0在[1,2]上恒成立．∴x 2＋mx ＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.如图，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＋4<0，4＋2m ＋4<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5<0，2m ＋8<0. ∴m 的取值范围是{m |m <－5}．【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x 轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．三、分离参数法解决恒成立问题例3 若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．52D ．3 【答案】B【分析】用分离参数法分离参数，然后用基本不等式求最值后可得结论．【详解】不等式x 2+ax +1≥0在[2,0)x ∈-时恒成立，即不等式x x x x a 112--=+-≤在[2,0)x ∈-时恒成立.()()()2121-=-⋅-≥-+x x x x ，当且仅当1x x -=-，即x =－1时，等号成立，所以a ≤2，所以实数a 的最大值为2. 故选：B ．【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．四、主参换位法解决恒成立问题例4 已知[]1,1a ∈-，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(,1)(3,)-∞+∞【分析】设()()2244f a x a x x =-+-+，即当[]1,1a ∈-时，()0f a >，则满足()()1010f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩解不等式组可得x 的取值范围．【详解】[]1,1a ∈-，不等式()24420x a x a +-+->恒成立即[]1,1a ∈-，不等式()22440x a x x -+-+>恒成立设()()2244f a x a x x =-+-+，即当[]1,1a ∈-时，()0f a >所以()()1010f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即22320560x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得3x >或1x < 故答案为：(,1)(3,)-∞+∞【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．五、利用图象解决能成立问题例5 当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________．【答案】{m |m >－5}【详解】记y ＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图象知，不等式x 2＋mx ＋4>0(1<x <2)一定有解，即m ＋5>0或2m ＋8>0，解得m >－5.【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．六、转化为函数的最值解决能成立问题例6 若存在x ∈R ，使得4x ＋m x 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围． 【详解】∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴4x ＋m ≥2(x 2－2x ＋3)能成立，∴m ≥2x 2－8x ＋6能成立，令y ＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴m ≥－2，∴m 的取值范围为{m |m ≥－2}．【小结】能成立问题可以转化为m >y min 或m <y max 的形式，从而求y 的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．【过关训练】1．若关于x 的不等式220mx x m ++>的解集是R ，则m 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．（-1，1）D ．[1，+∞） 【答案】A【分析】分0m =和0m ≠两种情况求解【详解】当0m =时，20x >，得0x >，不合题意，当0m ≠时，因为关于x 的不等式220mx x m ++>的解集是R ， 所以20Δ440m m >⎧⎨=-<⎩，解得1m ， 综上，m 的取值范围是（1，+∞），故选：A2．若集合2{|10}A x ax ax =-+≤=∅，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{|04}a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤【答案】B【分析】分00a a =≠，，两种情况求解即可【详解】当0a =时，不等式等价于10<，此时不等式无解； 当0a ≠时，要使原不等式无解，应满足20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<； 综上，a 的取值范围是[)0,4．故选：B ．3．若R x ∈，210ax ax ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,0-B ．(]4,0-C ．[)4,0-D ．[]4,0-【答案】B【分析】分两种情况讨论：0a =和0Δ0a <⎧⎨<⎩，解出实数a 的取值范围，即得. 【详解】对R x ∈，210ax ax ，当0a =时，则有10-<恒成立；当0a <时，则20Δ40a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a . 综上所述，实数a 的取值范围是(]4,0-.故选：B.4．“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”的充要条件是（ ）A ．12a -<<B ．0<<3aC ．13a <<D ．35a << 【答案】B【分析】“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”等价于24120a a ∆=-<,解不等式求得答案.【详解】“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”等价于24120a a ∆=-< ，即0<<3a ，故“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”的充要条件是0<<3a ，故选：B5．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞ 【答案】A【分析】当0k =时，该不等式成立，当0k ≠时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.【详解】当0k =时，该不等式为80≥，成立；当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩，解得01k <≤，综上所述，k 的取值范围是[]0,1，故选：A.6．已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，则有（ ）A ．4m ≤-B ．3m ≥-C ．30m -≤<D ．40m -≤< 【答案】A【分析】由题意可得2min (4)m x x ≤-，由二次函数的性质求出24y x x =-在(]0,3上的最小值即可 【详解】因为关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立， 所以2min (4)m x x ≤-，令224(2)4y x x x =-=--，(]0,3x ∈，所以当2x =时，24y x x =-取得最小值4-，所以4m ≤-故选：A7．若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞ 【答案】A【分析】由题知对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，进而求[1,0]x ∈-，()2214y x =--最值即可得答案.【详解】解：因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max 2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-， 即m 的取值范围是[4,)+∞故选：A8．若两个正实数,x y 满足12+1=x y ，且不等式2+32+<y x m m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(4,1)- B ．(1,4)-C ．()(),41,-∞-+∞ D ．()(),14,-∞-⋃+∞ )()1,+∞.9．已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A【分析】依据题意可将题目转换为非p 命题为真的补集，即“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”对应a 取值集合的补集，进一步只需限制端点小于等于0即可求解【详解】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足， 25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <故选：A ．10．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】B【分析】构造函数2()42f x x x a =---，若不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，可得函数2()42f x x x a =---在区间(1,4)内的最大值大于0即可，根据二次函数的图象和性质可得答案．【详解】令2()42f x x x a =---，则函数的图象为开口朝上且以直线2x =为对称轴的抛物线，故在区间(1,4)上，()f x f <（4）2a =--，若不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则20a -->，解得2a <-，即实数a 的取值范围是(,2)-∞-.故选：B ．11．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞12．设函数2()2f x ax ax =--，若对任意的[1,3]x ∈，()22f x x a >--恒成立，则实数a 的取值范围为_____________.13．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【详解】（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<，即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)．（2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤， 所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．14．设2(1)2y ax a x a =+-+-， 若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；19．设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于2,2x ，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于[]2,2m ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围． 2,2x，f 2,2x 恒成立，对于2,2x 恒成立．261324x ⎫-+⎪⎭2,2x ，则1,2．20．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围．【详解】y <0⇔mx 2－mx －6＋m <0⇔(x 2－x ＋1)m －6<0.∵1≤m ≤3，∴x 2－x ＋1<6m恒成立， ∴x 2－x ＋1<63⇔x 2－x －1<0⇔1－52<x <1＋52. ∴x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52<x <1＋52.。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学1. 引言1.1 介绍数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学的重要性数目统计等。
感谢配合！在数学教学中，数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学的重要性不可忽视。
数形结合思想是现代数学教育中的重要理念，它将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
而初中一元一次不等式求解是数学学科中的基础内容，其掌握对学生后续学习和职业发展都具有重要意义。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学的结合，可以更好地帮助学生理解抽象的数学概念。
通过将不等式问题转化为图形问题，学生可以直观地看到问题的本质，从而减少解题时的困惑和误解。
这种思维方式不仅可以增加学生对数学的兴趣和信心，还可以帮助他们培养解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学的结合也可以培养学生的创新能力和实际解决问题的能力。
通过不断地分析和解决实际问题，学生可以培养解决问题的能力，提高解决问题的效率和准确性。
这种能力在学生未来的学习和工作中都是至关重要的。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学是一项至关重要的教育任务，它不仅可以提高学生的学习兴趣和成绩，还可以培养他们的实际解决问题的能力，为他们未来的发展打下良好的基础。
2. 正文2.1 数形结合思想的基本概念数、格式等。
感谢理解与配合！数形结合思想是一种数学教学方法，通过将抽象的数学概念与具体的图形形象结合起来，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
在初中一元一次不等式求解教学中，数形结合思想可以起到重要的作用。
学生通过观察图形，可以直观地感受到不等式两边的大小关系，从而更深入地理解不等式的意义和性质。
这种直观感受可以激发学生的兴趣，提高他们对数学学习的积极性。
数形结合思想的基本概念包括：首先是要理解数学概念的本质和特点，例如不等式中的符号和含义；其次是要能够将抽象的数学概念与具体的图形相联系，通过观察和比较图形，深入理解数学问题；最后是要能够将图形分析和数学计算相结合，运用数形结合思想解决实际问题。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学数形结合思想是数学教学中的一种重要思维方式，它通过将抽象的数学概念与具体的图形进行结合，帮助学生更直观地理解数学知识，提高他们的数学思维能力。
在初中数学教学中，一元一次不等式求解是一个重要的内容，通过数形结合思想教学，可以使学生更深入地理解不等式的性质和解题方法，提高他们的数学学习兴趣和成绩。
本文将探讨数形结合思想与初中一元一次不等式求解的教学方法，并提出一些教学实践建议。
1.引导学生观察图形，培养数形结合思维在教学中，教师可以通过引导学生观察图形的方式来培养他们的数形结合思维。
对于简单的一元一次不等式如x+2>0，教师可以画出x轴和表示不等式对应的直线x=-2，然后让学生观察直线所在的位置和不等式的关系，引导他们发现不等式解的性质和规律。
通过这样的观察和思考，学生可以更直观地理解不等式的意义和解题方法，从而提高他们的数学思维能力。
2.利用图形演示不等式解的过程在教学中，教师可以利用图形来演示不等式解的过程，例如通过画图的方式来解一元一次不等式的题目，让学生直观地理解解题的过程和方法。
通过这样的演示，学生可以更形象地理解不等式的解题过程，提高他们的解决问题的能力和学习兴趣。
3.提出实际问题，引导学生运用数形结合思想解决问题在教学中，教师可以提出一些实际问题，引导学生运用数形结合思想来解决问题。
通过实际问题引入不等式的内容，然后让学生利用数形结合思想来解决问题，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
通过这样的实际问题引入，可以使学生更加深入地理解不等式的意义和应用，提高他们的学习兴趣和成绩。
1.注重引导学生观察和思考2.注重利用实例和案例引入不等式内容3.注重培养学生的解决问题能力。
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3 解之得： a=0 或 a= ，舍去 a=0， 2 3 得答案： a= ． 2
2
例 5． （2012 浙江理 17）设 a∈ R，若 x＞ 0 时均有 [(a–1) x–1](x2–ax–1)≥0，则 a= ．
原不等式等价于 9 x 2 3 6x x 2，
令y1 9 x 2 ，y 2 3 6 x x 2 ，
变形得x2+ y12=9(y1≥0)，
(x–3)2+(y2–3)2=9(y2≤3)，
作图， 由图形可知，
不等式的解集
为{x| 0＜x＜3}．
例 3.（ 2009 江西理15）若不等式 9 x2 k ( x 2) 2 的解集为区 间[ a， b]，且b–a=2，则 k= ．
y2 = 13–13a 2 设y1=(x–3) ，y2=13–13a， 作出函数y1在区间(–∞，–2)
x 2或x 2 2 ( x 3) 13 13a
∪(2，+∞)的图象， 由图象可知，1＜13–13a≤4，
9 12 a . 解得 13 13
小结：
1. 抽象问题 直观化、生动化
x＞0 时不恒成立；
当 a≠1 时，由于方程 x2–ax–1=0 有一正一负两根，考虑三 次函数 y=[(a–1) x–1](x2–ax–1)的图象，
则方程[(a–1) x–1](x2–ax–1) =0 有两个根，
1 所以 为方程 x2–ax–1=0 的正根， a 1 1 由根与系数关系得 +1–a=a， a 1
6
x
x
3
p 5p
6
]
C．[ ,
3
p 2p
3
]
D． [ ,
2
p 3p
2
]
2．(2008四川 理16)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10， S5≤15，则a4的最大值为 ．
3.（2009天津理10）设0＜b＜1+a，若关于x 的不等式(x–b)2＞(ax)2的 解集中的整数恰有3个，则（ ） A．–1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6
（一）数形结合解不等式
例1.(2003全国 理14)使log2(–x)＜x+1成立的x的取值范围
是
． g(x)=x+1
解：令f(x)= log2(–x)，
g(x)=x+1， f(x)= log2(–x)
作出两函数的图象，
由图象可知， x的取值范围是(–1，0) .
例2：解不等式： 9 x 2 6x x 2 3
2
y1=x+1
y2=x2–1
交于点 A( 2， 3) ， 若不等式成立， 则直线 y=ax 过点 A，
A
3 故 a= ． 2
y=ax
思考题．已知在关于x的不等式loga(x2–4)＞loga(6x–13a)(0＜a＜1)
的解集中，有且只有两个整数解，求a的取值范围．
解：∵0＜a＜1，
2 x 4 0 原不等式 2 ∴ x 4 6 x 13a
有助于把握数学问题的本质
2. 复杂问题 简单化
避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程
3. 在解选择题、填空题中更显其优越
4. 注意问题：
准确把握代数式的几何意义，实现“数”向“形”的转 化
千万不要得意忘“形”呦！
课后练习：
1．设函数f(x)=sinx，g(x)= 9( ) 2 9( ) ，则使g(x)≥f(x)的 p p 4 x取值范围是（ ）. A．[0，p] B． [ ,
(a－1) x－1 0 (a－1) x－1 0 2 或 2 ． x －ax－1 0 x －ax－1 0
分析 3：[(a–1)x–1](x2–ax–1)≥ 0 [ ax–(x+1)][ax–( x2–1)]≤0．
设 y1=x+1，y2=x –1， 作出两个函数的图象，
数形结合解与不等式有关的问题
教学目标：
1．知识教学点 掌握用数形结合的思想方法解不等式及求参数的取值范围使不等式 （能、恰、恒）成立． 2．能力训练点
在用数形结合的思想方法解题过程中，通过对函数、解析几何、向
量、导数等各部分知识的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而 提高分析问题解决题的能力． 3．学科渗透点 在解决问题的过程中，形成和发展理性思维，提高学生数学素质及 创新意识．
2 【解】设 y1= 9 x ，y2=k( x+2) – 2 ，
作出两函数的图象， 由图象可知，不等式的解集为区间[xC，xB]， ∵B(3，0) 且b–a=2，∴xC=1，
A
A(1， 2
2)
B C
代入 y2 k ( x 2) 2， 解得 k 2.
M (2， 2)
（二）数形结合解含参数不等式成立问题
例4.已知函数f(x)=x2+2x+1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，
f(x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
f(x)=(x–2)2 y=x
解： f(x)=(x+1)2，令y=x， f(x)=(x+1)2 依题意，则在区间[1，m] 上f(x+t)的图象在直线y=x 下方． 作图， 由图形可知，当f(x+t)=
3 3 解得：a=0 或 a= ，舍去 a=0，得答案：a= ． 2 2
分析 2：函数 y1=(a–1)x–1，y2=x2–ax–1都过定点 P( 0，–1)．
1 函数 y1=( a–1)x–1 的图象过 M( ，0)，且 a＞1 a 1
显然函数 y2=x2–ax–1：
1 过点 M( ， 0)， a 1
(x–2)2时，实数m的值最大，
解方程(x–2)2=x，得x=1，4 ． 即m的最大值4，故选C．
例 5． （2012 浙江理 17）设 a∈ R，若 x＞ 0 时均有 [(a–1) x–1](x2–ax–1)≥0，则 a= ．
分析 1： 当 a=1 时， [(a–1)x–1](x2–ax–1)≥0x2–x–1≤0，
问题：是否存在实数 a，使得关于x的不等式ln(1+x)＜ax在
(0，+∞)上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在， 说明理由． 解：令f(x)= ln(1+x)，g(x)=ax， 作出两函数的图象， 由图象可知，当g(x)=ax从 f(x)在原点处的切线开始逆 时针旋转时,不等式恒成立. 所以a＞f(0)=1. f(x)= ln(1+x) g(x)=ax
4．已知函数f(x)=x2+ax+3，a∈R，当x∈[–2，2]时，f(x)≥a恒成 立，求a的取值范围． 5．思考：数形结合解题应注意哪些问题？