不定积分公式大全

Ch4、不定积分

§1、不定积分的概念与性质

1、 原函数与不定积分

定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

① 连续函数一定有原函数；

② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''

x f x F C x F ==+

③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由[]0)()()()()()('2'1'

11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21

故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。

定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。

显然C x F dx x f +=⎰)()(

例1、 求下列函数的不定积分

①⎰+=C kx kdx

②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1

ln 11

11

μμμμμ

C x C x dx x

2、 基本积分表（共24个基本积分公式）

3、 不定积分的性质

①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dx

x f k dx x kf

例2、 求下列不定积分

①⎰

⎰

+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11

)2(22

②⎰

⎰+=++-=

=+--C x C x dx x x

dx 21

)21(1

1)21(21

③⎰+-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 513

1522 ④()()()C x e e x dx dx e dx x e x

x

x x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-⎰⎰⎰ln 21ln 2121ππππ

⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2

⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx x

x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2

2222222

⑦()

⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22

⑧⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424

§2、不定积分的换元法

一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a

dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=

+⎰⎰1

,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(5

1

sin 51555sin 515sin

②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅

-=---=-+C x C x x d x dx x 8177

72116

12117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222C

a x a a x a x d a x a dx +⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰

④()()

)23(arcsin 12

2

2

C

a x a x a x d x

a dx +⎪⎭

⎫

⎝⎛=-=-⎰

⎰

第二类换元法 2、()()

n

n n n n n dx dx x dx x f n

dx x x f ==

--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分

①()()

()

()

C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰2

32

12

12

212

2

12

2

13

1

11

121112

1

1

②()

C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰33

33

23

131 ③⎰⎰⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=+==x d dx x C

x x d x dx x

x 21sin 2cos 2cos

,,

arcsin 11,arctan 11

,

sec tan sec 222

22

2

x a d dx x a x x d dx x

x d dx x

x d xdx x ±±=±=-=+=

例3、 求不定积分

①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C

x C x x x

d dx x x xdx

②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C

x C x x x

d dx x x xdx

③()()()⎰⎰⎰++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()⎰⎰⎰+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc C x x x

x x x d dx x x x x x xdx

⑤()⎰⎰+==C x x

x d dx x x ln ln ln ln ln 1

⑥()()()⎰

⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1

tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()

()

⎰⎰++=++=+C e e

e d dx e e x

x x x x 1ln 111 ⑧()

()

⎰⎰++-=+-+=+C e x e

e e e dx x x x x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x x

x x arctan 112

2 ⑩()

C e x d e dx e x

x x x x +-=+--=++-

+-

+-

⎰⎰2

122

12

12

11