数值分析李庆杨版

误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
三、避免误差危害的若干原则
除了分清问题是否病态和算法是否数值稳定外,还要 考虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则. 1.避免‘大数’除以‘小数’ 例6 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组
1.0010 x 1.00 y 1.00 解： x得， 消 (1.00 1.00105 ) y (2.00 1.00105 )
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
f ( ) ( x x*) 2 , 2
在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ( f ( x*)) | f ( x*) | ( x*).
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
误差分析简介 概率分析法 向后误差分析法
x g (a1,, an )， x fl g (a1 1,, an n ).
区间分析法
x [ , ], y [ , ], xy
* * 多元函数f ( x1 ,, xn )，x1 ,, xn为准确值x1 ,, xn的近似值, * * 同理得f ( x1 ,, xn )的误差限
f * ( xk ). ( f *) x k 1 k
n
*
例4 场地面积：s ld s (l*) s (d *). ( s*) l d
* r 0.005/9.80 0.000005/ 0.00980.
定理１设近似数x * 表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) )
* r
(2.1)
其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对 误差限为 1 10( n1)； 2a1
2.避免两个相近数相减
例7 求解x 2 16 x 1 0.
7 例8 计算A 10（ cos 2。. 1 ）
又如：当x, y接近时， x lg y ？ lg x 1 x ？ 当x, x * 接近时， ( x) f ( x*) ? f
３.防止‘大数’吃‘小数’ 例9 仿计算机在3位十进制下，
* r
反之， x *的相对误差限为 若 至少具有n位有效数字.
1 10( n1)，则x * 2(a1 1)
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例３要使 20的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
三、数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * * ( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ) * * ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
例如，x 10 1, y 1000 5.
| x|
10%,
* y
| y|
0.5%.
x 3.1415926,
* * 取三位 x3 3.14, 3 0.002, * * 取五位 x5 3.1416, 5 0.000008.
定义2 若近似值x *的误差限是某一位数字 的半个单位, 该位 到x *的第一位非零数字共有 n位，就说x * 有n位有效数字. 即 x* 10m (a1 a2 101 an 10( n1) ) (2.1)
Cramer法则 vs Gauss消去法. 1、面向计算机 3、良好的计算复杂性 4、数值实验
1 x3 ( x ), 2 3
2、可靠的理论分析,保证收敛性、稳定性
四、如何学好数值分析 1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析
2、注重实际问题，练习、作业 3、积极动手上机实践
§2 数值计算的误差
误差为2%,函数值相对误差为24%.
一般C p 10认为是病态.
其他计算问题也要考虑 条件数,考虑是否病态 .
二、算法的数值稳定性
考虑初始数据误差在计算中的传播问题.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
I n 1 nI n1 , n 1,2,, I 0 1 e1.
100 100 项 项 123 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 123
４.减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法
三、数值分析的特点
1 1 n 1 1 ln 2 1 (1) , 2 3 n
ln(1 x) x 2 x3 x , 2 3
ln 1 x 1 x
vs
1 1 1 1 1 1 1 ln 2 2( 3 5 7 ). 3 3 3 5 3 7 3
数值分析
第1章
一、什么是数值分析
绪论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
二、数值分析的基本内容 1、数值逼近 插值法 函数逼近与曲线拟和 数值积分与数值微分 2、数值代数 线性代数问题(方程组和特征值) 非线性方程(组)数值解法
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
（3.4）
作业
P19, 5, 7, 9.
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题 ,
f ( x*) f ( x ) f ( x) x x

xf ( x ) f ( x)
Cp,
C p 称为计算函数值问题的 条件数.
例如f ( x) x , C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对
10

并估计误差.
I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. * 1 1 e1 I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) ( B) * 2 10 10 1 (1 I * ), n 9,8,,1. I n1 n n 定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入
二、误差、有效数字 定义1 绝对误差，简称误差：
e* x * x, 其中x *为准确值x的近似值 .
. 误差限： * | e* | 的一个上界
例如，毫米尺 765 x 0.5
相对误差：
* er
e * 或 e* e * . , r x* x
* * r | er | 的一个上界. 相对误差限： * x
(2) (1) 10
5
5
1.00105 x 1.00y 1.00 1.00x 1.00y 2.00
5
105 x 1105
1.00001 0.9999899
y
2 105 1105
1.00 10 x 1.00 y 1.00 x* 0.00, y* 1.00 y 1.00 错.为什么,怎么办？
其中a1 0 . 并且 1 x x * 10mn1 (2.2) 2 例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五 入写出上述各数具有四位有效数字的近似数.
例2 考察三位有效数字重力加速度g, 若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2, 1 1 * 10mn1 g 9.80 102 , 2 2 * 1 按(2.1)， 0, n 3. 绝对误差限 1 102. m 2 若以km/s2为单位, g≈0.00980m/s2, 1 g 0.00980 105 , 2 * 1 按(2.1)， 3, n 3. 绝对误差限 2 105. m 2 而相对误差限相同：
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x) Pn ( x) f (0) x x x 1! 2! n! f ( n1) ( ) n1 x 截断误差： Rn ( x) (n 1)! 舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.