14经典数学名题欣赏

第十四节 经典数学名题(2课时)

第1课时

1． 鸡兔同笼。今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚。鸡兔各几只?

解：设鸡有x 只，则免有(35)x -只，依题意得：

24(35)94x x +-=

解之得：23x =

则：3512x -=

答：鸡有23只，则免有12只.

2．求碗问题。我国古代《孙子算经》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）。题目意思是：一位农妇在河边洗碗。邻居问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗?”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只菜碗，共享65只碗。”她家里究竟来了多少位客人?

解：设客人是x 人，依题意得：

11165234

x x x ++= 解之得：60x = 答：她家来了60位客人

3．有女善织。有一位善于织布的妇女，每天织的布都比上一天翻一番。五天共织了5丈（50尺）布，她每天各织布多少尺?

想：若把第一天织的布看作1份，可知她第二、三、四、五织的布分别是2、4、8、16份。根据织布的总尺数和总份数，能先求出第一天织的尺数，再求出以后几天织布的尺数。

解：设第一天织x 尺，则第二天织2x 尺，第三天织4x 尺，第四天织8x 尺，第五天织16x 尺，依题意得：

2481650x x x x x ++++= 解之得：5031

x =

则：100231x =，200431x =，400831x =，8001631

x = 答：第一天织5031尺，第二天织10031尺，第三天织20031尺，第四天织40031尺，第五天织80031尺。 4．托尔斯泰问题。俄国大文学家托尔斯泰对数学很感兴趣，曾经编过这样一道题：一组割草人要把两块草地的草割掉，大的一块草地比小的一块大一倍。全体组员用半天时间割大的一块，下午他们便对半分开，一半组员仍留在大块草地上，到傍晚时把草割完了。另外一半组员到小草地上割草，到傍晚时还剩下一块，这块由一个割草人又用了一天时间才割完。假若每人割草的进度都相同，这组割草人共有多少? 解：设这组割草人共有x 人，每人每天割草量为a ，依题意得：

111112()22222

ax a x a x a +⨯=⨯+ 解之得：8x =

答：这组割草人共有8人。

5．苏步青爷爷做过的题目。甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里。如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多少里路? 想：只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间。但转个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同。由此便能求出答案。

解：设相遇的时间为t 小时，依题意得：

64100t t +=

解之得：10t =，

所以，狗从开始到停止跑的时间10小时，狗在甲乙之间来回奔跑的路程为：1010100⨯=（里） 答：这只狗共跑了100里路.

第2课时

6．巧分银子。10个兄弟分100两银子，从小到大，每两人相差的数量都一样。又知第八个兄弟分到6两银子，每两个人相差的银子是多少?

想：因为每两个人相差的数量相等，第一与第十、第二与第九、第三与第八，……每两个兄弟分到银子的数量和都是20两，这样可求出第三个兄弟分到银子的数量。又可推想出，从第三个兄弟到第八个兄弟包含5个两人的差。由此便可求出两人相差的银子是多少。

解：设第十个兄弟分得x 两银子，从小到大，每两人相差y 两银子，依题意得：

26x y += 解之得： 2.8x =

100(9)5

x x y ++= 1.6y = 答：每两人相差的银子是1.6两

7．牛顿问题。英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天?

想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22－16×10＝60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22－10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。

解：原有草可供1头牛吃x 天，每天新长的草可供1头牛吃y 天，依题意得：

221022x y +=⨯

解之得：110x =

101610x y +=⨯ 5y =

设25头牛可以吃z 天，则：110525z z +=，解之得 5.5z =天

答：供25头牛可以吃5.5天

8．韩信点兵。今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何。 这是我国古代名著《孙子算经》中的一道题。意思是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。

9．三女归家。今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问三女何日相会?这道题也是我国古代名著《孙子算经》中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是：一家有三个女儿都已出嫁。大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会?

想：从刚相会到最近的再一次相会的天数，是三个女儿间隔回家天数的最小公倍数。

10．兔子问题。十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子?

想：第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；第四个月初，有3对兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子……。把这此对数顺序排列起来，可得到下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13，……

观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。

11．泊松问题。法国数学家泊松少年时被一道数学题深深地吸引住了，从此便迷上了数学。这道题是：某人有8公升酒，想把一半赠给别人，但没有4公升的容器，只有一个3公升和一个5公升的容器。利用这两个容器，怎样才能用最少的次数把8公升酒分成相等的两份?

想：利用两次小容器盛酒比大容器多1公升，和本身盛3公升的关系，可以

凑出4公升的酒。

12.五个大小相同的一元人民币硬币。要求两两相接触，应该怎么摆？