平面向量应用举例课件
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由 200 3 ≤ 200, ∴ cos θ ≥ 3 , 2 2 2 cos θ 2
∴θ ≤ π , 2 6
∴θ ≤ π . 3
r uu F1
θ
r uu F2
0o，60o 绳子才不会断. 从而可知α ∈
主页
ur G
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
【1】如图所示，用两条成 】如图所示，用两条成120º的等长的绳 的等长的绳 子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则 子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为 ， 每根绳子的拉力是________. 每根绳子的拉力是 10N
2.5平面向量应用举例 2.5平面向量应用举例
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
1.平面几何中的向量方法 1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算， 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，பைடு நூலகம்何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的 运算就可以完全转化为“代数”的计算， 运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 距离 角等几何问题
A B
发现： 发现：平行四边形两条对角线 的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。 的两倍。
主页
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗？ 本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 建立平面几何与向量的联系， （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素， 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题； 量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 把运算结果“翻译”成几何关系。 用基底表示
r uuu uuu uuu r 1 r r r Q EB = AB − AE = a − b 2 uuu uuur r 共线， 又因为 ER与 EB 共线，
r b E
D R
F T
C
所以设 因为
uuur uuur uuu r AR = AE + ER
uuu r uuur r 1r ER = m EB = m ( a − b ) A 2
r uu F1 r uu F2
uu r | F1 |= 2cos θ 2 ur |G |
θ
θ
主页
ur G
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
r uu (4)如果绳子的最大承受力为 | F1 |= 200 N , 如果绳子的最大承受力为 ur 在什么范围内,绳子才不会断 在什么范围内 绳子才不会断？ | G |= 200 3 N , θ在什么范围内 绳子才不会断？ ur F
120º
uu r | F1 |=
ur G
2cos θ 2
ur |G |
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
如图,一条河的两岸平行 河的宽度d=500m,一 例4.如图 一条河的两岸平行 河的宽度 ur 如图 一条河的两岸平行,河的宽度 一 艘船从A处出发到河对岸 处出发到河对岸,已知船的速度 艘船从 处出发到河对岸 已知船的速度 | v1 |= 10km / h, uu r ,水流速度 | v2 |= 2km / h, 问行驶航程最短时 所用时间 问行驶航程最短时,所用时间 水流速度 是多少？ 精确到 精确到0.1min) 是多少？(精确到
2
r uu ur | 为什么？ （2） F 1 |能等于 | G | 吗？为什么？ ）
答：在上式中，当 在上式中，
r uu ur | F1 |=| G |
cos θ = 1 , 2 2
即θ=120º时， 时
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体. 生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体 ur uu r 绳子的最大拉力为 | F1 | ,物体重量为 | G | ,分析绳 物体重量为 分析绳 子受到的拉力大小F 与两绳子间的夹角θ的关系 的关系？ 子受到的拉力大小 1与两绳子间的夹角 的关系？ ur F
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
r uu uu r 解：不妨设 | F1 |=| F2 | ,由向量的 平行四边形 ur 法则,力的平衡以及直角三角形的知识 力的平衡以及直角三角形的知识, 法则 力的平衡以及直角三角形的知识 F
r uu 可以知道： 可以知道： | F1 |= 2cos θ 2 ur |G |
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
情景1：两人一起提一个重物时 怎样 情景 ：两人一起提一个重物时,怎样 提它最省力? 提它最省力
夹角越小越省力
情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时 手 情景 一个人静止地垂挂在单杠上时,手 一个人静止地垂挂在单杠上时 臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什 么关系? 么关系
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r uu F1
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
ur r uu |G | | F1 |= 2cos θ 2 uu r
| 为何值时， 最小，最小值是多少？ （1）θ为何值时，| F 1 最小，最小值是多少？ ） 为何值时 uu r cos θ最大，| F1 最小 在上式中， 最大， | 答：在上式中，当θ =0º时， 时 2 ur 且等于 | G | .
r uu v2
B
r v
r 2 2 | v |= | v1 | − | v 2 | =
96 ( km / h ),
A
d 0.5 所以 t = = × 60 ≈ 3.1(min). |v| 96 行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。 答：行驶的航程最短时，所用的时间是 。
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ur v1
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
两臂的夹角越小,手臂就越省力
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
在日常生活中,你是否有这样的经验 例3.在日常生活中 你是否有这样的经验 两个人 在日常生活中 你是否有这样的经验:两个人 共提一个旅行包,夹角越大越费力 夹角越大越费力;在单杠上做引 共提一个旅行包 夹角越大越费力 在单杠上做引 体向上运动,两臂的夹角越小越省力 两臂的夹角越小越省力， 体向上运动 两臂的夹角越小越省力，你能从数 ur 学的角度解释这种现象吗？ 学的角度解释这种现象吗？ F 分析： 分析：上述的问题跟如图所示的是同个 问题，抽象为数学模型如下： 问题，抽象为数学模型如下： uu r uu r θ 用向量F 表示两个提力,它们 用向量 1 ,F2 表示两个提力 它们 F1 F2 的合向量为F， 物体的重力用向量G 的合向量为 ， 物体的重力用向量 来表示， 的夹角为θ， 来表示， F1，F2的夹角为 ，如右图 所示，只要分清F， 和 三者的关系 三者的关系， 所示，只要分清 ，G和θ三者的关系， ur 就得到了问题得数学解释！ 就得到了问题得数学解释！ G
猜想： 猜想： AR=RT=TC
A E
D
F
C
R
T
B
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
uuur r uuur r uuur r 解：设 AB = a , AD = b , AR = r ,
uuur r r 则 AC = a + b r r ur uuu r uuur 共线， 由于 AR 与 AC 共线，所以设 r = n(a + b), n ∈ R
uu r 通过上面的式子，知当 由 到 通过上面的式子，知当θ由0º到 θ F2 θ 180º逐渐变大时， 由0º到90º逐渐 逐渐变大时， 2 到 逐渐 逐渐变大时 θ 变大， 的值由大逐渐变小. 变大， cos 的值由大逐渐变小 2 uu r ∴| F 1 | 由小逐渐变大 ur 由小逐渐变大. G uu r uu r 之间的夹角越大越费力,夹角越 即 F1 与 F2 之间的夹角越大越费力 夹角越 小越省力！ 小越省力！
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ ）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ 使小船垂直于河岸方向行驶（ 解:使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速 使小船垂直于河岸方向行驶 方向指向河对岸),小船过河所用时间才最短 度,方向指向河对岸 小船过河所用时间才最短 方向指向河对岸 小船过河所用时间才最短.
A D C
B
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例 D C 判断：矩形 ABCD 中，对角线 判断：
长度与两条邻边长度之间是否 有关系如下： 有关系如下：
A D B
AC + DB = 2( AB + AD )
2 2 2 2
C
探索： 探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？ 以上关系是否依然成立？
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ ）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船 ）小船过河的问题有一个特点， 在垂直于河岸的方向上的位移是不变的， 在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要 使得在垂直于河岸方向上的速度最大， 使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所 用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这 用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的， 个分速度和垂直于河岸的方向没有关系， 个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小 船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度， 船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指 向河对岸），小船过河所用时间才最短。 ），小船过河所用时间才最短 向河对岸），小船过河所用时间才最短。
充分利用向量这个工具来解决
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 如图， 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？ 条邻边长度之间的关系吗？ uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB = AB − AD, AC = AB + AD, 猜想： 猜想： 1.长方形对角线的长度 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ 何关系？ 2.类比猜想， 2.类比猜想，平行四边 类比猜想 形有相似关系吗？ 形有相似关系吗？
r a
B
r 1 r r 1 r 所以 r = 2 b + m ( a − 2 b ) r r 1 r r 1 r 因 此 n(a + b ) = b + m (a − b ) 2 2
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
r m −1 r r )b = 0 即 ( n − m )a + ( n + 2 r r 不共线， Q a , b 不共线，
∴ t = d ur | v1 |
ur v1
= 0 .5 × 6 0 = 3 . 10
∴ n n − + m m = 0 − 1 = 2
D E R
F T B
C
0A
1 解 得 ： n= m = 3
uuur 1 uuur uuu 1 uuur r uuur 1 uuur 所 以 AR = AC , 同 理 TC = AC , 于 是 RT = AC 3 3 3
故AT=RT=TC
向量运算
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翻译几何结果
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
如图， ABCD中 分别是AD DC边 例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点， BF分别与AC交于 分别与AC交于R 两点， 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR TC之间的关系吗 之间的关系吗？ 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
ur v1
r v
uu r v2
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
r ur uu ur r v 分 析 ： 如 图 ， 已 知 v = v 1 + v 2， 1 = 1 0 k m / h , uu r r uu r v 2 = 2 k m / h， v ⊥ v 2， 求 t .
解：由已知条件得 v ⋅ v2 = 0
∴θ ≤ π , 2 6
∴θ ≤ π . 3
r uu F1
θ
r uu F2
0o，60o 绳子才不会断. 从而可知α ∈
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ur G
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
【1】如图所示，用两条成 】如图所示，用两条成120º的等长的绳 的等长的绳 子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则 子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为 ， 每根绳子的拉力是________. 每根绳子的拉力是 10N
2.5平面向量应用举例 2.5平面向量应用举例
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
1.平面几何中的向量方法 1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算， 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，பைடு நூலகம்何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的 运算就可以完全转化为“代数”的计算， 运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 距离 角等几何问题
A B
发现： 发现：平行四边形两条对角线 的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。 的两倍。
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗？ 本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 建立平面几何与向量的联系， （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素， 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题； 量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 把运算结果“翻译”成几何关系。 用基底表示
r uuu uuu uuu r 1 r r r Q EB = AB − AE = a − b 2 uuu uuur r 共线， 又因为 ER与 EB 共线，
r b E
D R
F T
C
所以设 因为
uuur uuur uuu r AR = AE + ER
uuu r uuur r 1r ER = m EB = m ( a − b ) A 2
r uu F1 r uu F2
uu r | F1 |= 2cos θ 2 ur |G |
θ
θ
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ur G
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
r uu (4)如果绳子的最大承受力为 | F1 |= 200 N , 如果绳子的最大承受力为 ur 在什么范围内,绳子才不会断 在什么范围内 绳子才不会断？ | G |= 200 3 N , θ在什么范围内 绳子才不会断？ ur F
120º
uu r | F1 |=
ur G
2cos θ 2
ur |G |
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
如图,一条河的两岸平行 河的宽度d=500m,一 例4.如图 一条河的两岸平行 河的宽度 ur 如图 一条河的两岸平行,河的宽度 一 艘船从A处出发到河对岸 处出发到河对岸,已知船的速度 艘船从 处出发到河对岸 已知船的速度 | v1 |= 10km / h, uu r ,水流速度 | v2 |= 2km / h, 问行驶航程最短时 所用时间 问行驶航程最短时,所用时间 水流速度 是多少？ 精确到 精确到0.1min) 是多少？(精确到
2
r uu ur | 为什么？ （2） F 1 |能等于 | G | 吗？为什么？ ）
答：在上式中，当 在上式中，
r uu ur | F1 |=| G |
cos θ = 1 , 2 2
即θ=120º时， 时
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生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体. 生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体 ur uu r 绳子的最大拉力为 | F1 | ,物体重量为 | G | ,分析绳 物体重量为 分析绳 子受到的拉力大小F 与两绳子间的夹角θ的关系 的关系？ 子受到的拉力大小 1与两绳子间的夹角 的关系？ ur F
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
r uu uu r 解：不妨设 | F1 |=| F2 | ,由向量的 平行四边形 ur 法则,力的平衡以及直角三角形的知识 力的平衡以及直角三角形的知识, 法则 力的平衡以及直角三角形的知识 F
r uu 可以知道： 可以知道： | F1 |= 2cos θ 2 ur |G |
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情景1：两人一起提一个重物时 怎样 情景 ：两人一起提一个重物时,怎样 提它最省力? 提它最省力
夹角越小越省力
情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时 手 情景 一个人静止地垂挂在单杠上时,手 一个人静止地垂挂在单杠上时 臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什 么关系? 么关系
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r uu F1
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
ur r uu |G | | F1 |= 2cos θ 2 uu r
| 为何值时， 最小，最小值是多少？ （1）θ为何值时，| F 1 最小，最小值是多少？ ） 为何值时 uu r cos θ最大，| F1 最小 在上式中， 最大， | 答：在上式中，当θ =0º时， 时 2 ur 且等于 | G | .
r uu v2
B
r v
r 2 2 | v |= | v1 | − | v 2 | =
96 ( km / h ),
A
d 0.5 所以 t = = × 60 ≈ 3.1(min). |v| 96 行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。 答：行驶的航程最短时，所用的时间是 。
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ur v1
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
两臂的夹角越小,手臂就越省力
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
在日常生活中,你是否有这样的经验 例3.在日常生活中 你是否有这样的经验 两个人 在日常生活中 你是否有这样的经验:两个人 共提一个旅行包,夹角越大越费力 夹角越大越费力;在单杠上做引 共提一个旅行包 夹角越大越费力 在单杠上做引 体向上运动,两臂的夹角越小越省力 两臂的夹角越小越省力， 体向上运动 两臂的夹角越小越省力，你能从数 ur 学的角度解释这种现象吗？ 学的角度解释这种现象吗？ F 分析： 分析：上述的问题跟如图所示的是同个 问题，抽象为数学模型如下： 问题，抽象为数学模型如下： uu r uu r θ 用向量F 表示两个提力,它们 用向量 1 ,F2 表示两个提力 它们 F1 F2 的合向量为F， 物体的重力用向量G 的合向量为 ， 物体的重力用向量 来表示， 的夹角为θ， 来表示， F1，F2的夹角为 ，如右图 所示，只要分清F， 和 三者的关系 三者的关系， 所示，只要分清 ，G和θ三者的关系， ur 就得到了问题得数学解释！ 就得到了问题得数学解释！ G
猜想： 猜想： AR=RT=TC
A E
D
F
C
R
T
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
uuur r uuur r uuur r 解：设 AB = a , AD = b , AR = r ,
uuur r r 则 AC = a + b r r ur uuu r uuur 共线， 由于 AR 与 AC 共线，所以设 r = n(a + b), n ∈ R
uu r 通过上面的式子，知当 由 到 通过上面的式子，知当θ由0º到 θ F2 θ 180º逐渐变大时， 由0º到90º逐渐 逐渐变大时， 2 到 逐渐 逐渐变大时 θ 变大， 的值由大逐渐变小. 变大， cos 的值由大逐渐变小 2 uu r ∴| F 1 | 由小逐渐变大 ur 由小逐渐变大. G uu r uu r 之间的夹角越大越费力,夹角越 即 F1 与 F2 之间的夹角越大越费力 夹角越 小越省力！ 小越省力！
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（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ ）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ 使小船垂直于河岸方向行驶（ 解:使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速 使小船垂直于河岸方向行驶 方向指向河对岸),小船过河所用时间才最短 度,方向指向河对岸 小船过河所用时间才最短 方向指向河对岸 小船过河所用时间才最短.
A D C
B
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2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例 D C 判断：矩形 ABCD 中，对角线 判断：
长度与两条邻边长度之间是否 有关系如下： 有关系如下：
A D B
AC + DB = 2( AB + AD )
2 2 2 2
C
探索： 探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？ 以上关系是否依然成立？
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ ）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船 ）小船过河的问题有一个特点， 在垂直于河岸的方向上的位移是不变的， 在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要 使得在垂直于河岸方向上的速度最大， 使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所 用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这 用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的， 个分速度和垂直于河岸的方向没有关系， 个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小 船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度， 船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指 向河对岸），小船过河所用时间才最短。 ），小船过河所用时间才最短 向河对岸），小船过河所用时间才最短。
充分利用向量这个工具来解决
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例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 如图， 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？ 条邻边长度之间的关系吗？ uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB = AB − AD, AC = AB + AD, 猜想： 猜想： 1.长方形对角线的长度 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ 何关系？ 2.类比猜想， 2.类比猜想，平行四边 类比猜想 形有相似关系吗？ 形有相似关系吗？
r a
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r 1 r r 1 r 所以 r = 2 b + m ( a − 2 b ) r r 1 r r 1 r 因 此 n(a + b ) = b + m (a − b ) 2 2
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r m −1 r r )b = 0 即 ( n − m )a + ( n + 2 r r 不共线， Q a , b 不共线，
∴ t = d ur | v1 |
ur v1
= 0 .5 × 6 0 = 3 . 10
∴ n n − + m m = 0 − 1 = 2
D E R
F T B
C
0A
1 解 得 ： n= m = 3
uuur 1 uuur uuu 1 uuur r uuur 1 uuur 所 以 AR = AC , 同 理 TC = AC , 于 是 RT = AC 3 3 3
故AT=RT=TC
向量运算
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翻译几何结果
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如图， ABCD中 分别是AD DC边 例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点， BF分别与AC交于 分别与AC交于R 两点， 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR TC之间的关系吗 之间的关系吗？ 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
ur v1
r v
uu r v2
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r ur uu ur r v 分 析 ： 如 图 ， 已 知 v = v 1 + v 2， 1 = 1 0 k m / h , uu r r uu r v 2 = 2 k m / h， v ⊥ v 2， 求 t .
解：由已知条件得 v ⋅ v2 = 0