平面几何定理公理总结
平面几何定理公理总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
平面几何定理公理总结
一、线与角
1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。
2.直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。
3.一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。
4.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
5.不在同一直线上的三点确定一个角。
6.两直线相交，对顶角相等。
7.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
8.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
9.经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
10.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
11.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
12.平行线
(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平
行。
(2)平行线的判定方法：
(3)①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
(4)②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(5)③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(6)④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
(7)平行线的性质：
(8)①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
(9)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
(10)③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(11)④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。
(12)⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。
(13)⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。
13.平行线等分线段定理：
(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也
相等。
(2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。
(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。
14.平行线分线段成比例定理：
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。
15.线段的垂直平分线：
(1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
(2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
16.角平分线：
(1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)判定：在角的内部，且到此角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
二、三角形及多边形
1.三角形的任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。
2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
3.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。
4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。
5.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6.三角形外角性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
7.三角形中位线定理：三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半。
8.等腰三角形的相关公理、定理：
(1)等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”）。
(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（“三线合一”）。
9.等边三角形的公理、定理：
(1)三个边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。
(2)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；有两个角为60°的三角形是等边三角形
(3)等边三角形的三边相等；等边三角形的三角相等，且都等于60°。
(4)等边三角形三条角平分线、三条中线、三条高均交于同一点，该点是等边三角形的中
心。
10.直角三角形的公理、定理：
(1)直角三角形的两锐角互余。
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边是其外接圆直径，斜边上的中点是其
外接圆圆心）。
(3)若三角形一边的中线等于这边的一半，那此三角形为直角三角形。
(4)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(5)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那它所对的角等于30°。
(6)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(7)勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这
个三角形是直角三角形。
11.三角形全等：
(1)性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2)判定：
(3)①有三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
(4)②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
(5)③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
(6)④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；
(7)⑤直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。
12.相似三角形的判定：
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的
比例叫做相似比（或相似系数）。
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形于原三角形相似。
(3)判定：
(4)①两角对应相等，两三角形相似。
(5)②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
(6)③三边对应成比例，两三角形相似。
(7)引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行于三角形的第三边。
(8)直角三角形相似的判定：
(9)①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，两三角形相似。
(10)②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么两三角形相似。
(11)③如果两个直角三角形的斜边和一条直角边于另一个三角形的斜边和一条直角边成比
例，那么两三角形相似。
13.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
(2)相似三角形周长的比等于相似比。
(3)相似三角形面积比等于相似比的平方。
(4)相似三角形的外接圆、内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆、内切圆的面积比
等于相似比的平方。
14.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；
两直角边分别是它在斜边上的射影于斜边的比例中项。
15.也可表述为：直角三角形的直角顶点，到斜边端点和斜边上高的垂足三点中其中一点的
距离（线段），是该点到其它两点的距离（线段）的比例中项。
16.三角形垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这点到三个顶点
距离相等，这点为三角形外接圆的圆心（简称“外心”）。
17.三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线相交于一点，且这点到三边距离相等，这
点为三角形内切圆的圆心（简称“内心”）。
18.三角形中线的性质：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
19.三角形高的性质：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。
三、多边形
20.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。
21.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。
22.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
23.如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分。
四、特殊四边形
1.平行四边形的性质：
(1)平行四边形的对角相等。(2)平行四边形的对边相等。
(3)平行四边形的对角线互相平分。
2.平行四边形的判定：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边
形。(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边
形。
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形。(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边
形。
(5)两组邻角分别互补的四边形是平行四边
形。(6)对角线互相平分的四边形是平行四边
形。
3.矩形的性质：
(1)矩形的四个角都是直角。(2)矩形的对角线相等。
4.矩形的判定：
(1)有三个角是直角的四边形是矩形。(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩
形。
(3)有一个角是直角的平行四边形是矩形。(4)对角线相等的平行四边形是矩形。
5.菱形的性质：
(1)菱形的四条边相等。
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角。
6.菱形的判定：
(1)四边都相等的四边形是菱形。(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(3)邻边相等的平行四边形是菱形。(4)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(5)两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形。
(6)有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
7.正方形的性质：
(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等
(2)邻边相等且垂直的是正方形；对角线垂直且相等的平
(3)正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
8.正方形的判定：
(1)邻边相等的矩形是正方形。(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)对角线相等的菱形是正方形。
(5)邻边相等且垂直的是平行四边形正方
形。(6)对角线垂直且相等的平行四边形是正方
形。
(7)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
9.等腰梯形的性质：
(1)等腰梯形在同一底上的两个角相等；(2)等腰梯形的两对角线相等；
10.等腰梯形的判定：
(2)对角线相等的梯形是等腰梯形。
(1)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯
形；
11.梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于梯形的两
底边，并且等于两底和的一半。
五、圆
1.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹（集合），是以定点为圆心，定长为半
径的圆。
2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3.有关圆周角、圆心角的定理和性质：
(1)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(3)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心
距相等。
(4)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一
半；相等的圆周角所对的弧相等。
(5)统一推论：在同圆或等圆中，两个圆心角（圆周角）、两条弧、两条弦、两个弦的弦心
距，只要有一组量相等，那么其余对应的各组量均相等。
(6)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧
是半圆。
4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
(1)推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
(2)推论2：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
(3)推论3：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论：一条直线，只要满足以下中的2条作为条件就可以推知其他3条，知二推三。
(1)平分弦所对的优弧； (2)平分弦所对的劣弧；（即：平分弦所对的两条弧）；
(3)平分不是直径的弦； (4)垂直于弦； (5)经过圆心。
(4)在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
(5)两条相等的弧两个外端点的连线于两个内端点的连线平行。
5.关于两圆及其连心线的性质与定理：
(1)两圆内切时，两圆连心线过切点且与公切线垂直。
(2)推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：
(3)(1)过一圆圆心； (2)过另一圆圆心； (3)过两圆切点； (4)公切线垂直。
(4)两圆相交时，两圆的连心线垂直平分公共弦。
(5)推论：两圆相交时，以下4条，知二推二：
(6)(1)过一圆圆心； (2)过另一圆圆心； (3)过公共弦中点； (4)垂直公共弦。
(7)两圆相切时，两圆的连心线过切点且与一条公切线垂直。
(8)推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：
(9)(1)过一圆圆心； (2)过另一圆圆心； (3)过两圆切点； (4)内公切线垂直。
(10)两圆相离时，两圆的连心线过内公切线交点，且平分内公切线所成夹角。
(11)推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：
(12)(1)过一圆圆心 (2)过另一圆圆心； (3)过内公切线交点； (4) 平分内公切线所成夹角。
(13)注：满足(4)条件时，已经满足(3)条件，故知(1)(2)(3)其中两条可推知其它两条，知(4)可推知(1)(2)(3)。
(14)两圆关系不为内切时，两圆连心线平分两外公切线所成夹角（两圆半径相等）或于两外
公切线平行（两圆半径相等）
(15)逆定理亦成立，同时也可作为上面三条的条件。
6.切线的性质及判定：
(1)性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
(2)判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(3)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
(4)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
7.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线
平分这两条切线的夹角。
8.弦切角定理：
(1)弦切角的定义：定点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫弦切角。
(2)定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角（或表述为：弦切角等于弦所对的圆周角）。
9.圆内接四边形的性质和判定：
(1)性质1：圆的内接四边形的对角互补。
(2)性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
(3)判定1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
(4)判定2：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
10.圆幂定理：过任意不在圆上的一点引两条直线，分别与圆交于两点（重合时为切线），则
该点到每条线与圆的交点的两条线段的乘积相等，该乘积叫做该点到圆的幂。
(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长的平方是从割线上从这点
到两个交点的线段长的乘积。
(3)割线定理：过圆外一点引圆的两条割线，交点到每条割线于圆的交点的两条线段的积相
等。
(4)切线长定理。
六、变换
1.轴对称：
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴
是对应点连线的垂直平分线；
(2)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴
上；
(3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴
上；
(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对
称。
2.平移：
(1)平移不改变图形的形状和大小（即平移前后的两个图形全等）；
(2)对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等；
(3)经过平移，两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.旋转：
(1)旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）；
(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角）；
(3)经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等。
4.中心对称：
(1)关于中心对称的两个图形是全等形；
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；
(3)如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这
一点对称。
5.位似：
(1)如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两
个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比；
(2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
2016年5月2日
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版
任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??） 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3
立体几何公理及定理
立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有： 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ
立体几何公理、定理推论汇总(修订)
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：////a b a c ??? 图形语言：
线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=?I 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? I 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=?I I 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7） 符号语言：////a a βααβ????? 图形语言： 面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8） 符号语言：//a a ββαα????⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。（9） 符号语言：//////αβαγγβ??? 图形语言：
几何五大定理
第一大定理：共角定理（鸟头定理） 即在两个三角形中，它们有一个角相等（互补），则它们就是共角三角形。它们的面积之 比，就是对应角（相等角、互补角）两夹边的乘积之比。 雪帆华数: 这个不建议记，符合这种的直接用，不符合这种的呢？还不如直接记推导的思 路。
2013-5-20 22:15 回复
第二大定理：等积变换定理。 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形（底）高相等，面积之比等于高（底）之比。 3、在一组平行线之间的等积变形。
如图所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果 S△ACD=S△BCD，则可知直线 AB 平行于 C D。 第三大定理：梯形蝴蝶定理。
这个为了竞赛，不得不记
对，竞赛的数学图形题都是这一类型的题。 任意四边形中，同样也有蝴蝶定理。
2013-5-20 22:15 回复 2013-5-22 13:22 回复
上述的梯形蝴蝶定理，就是因为 AD‖EC 得来的。
如果知道鸟头定理是怎么推导的，这个简直就是小菜。
2013-5-20 22:16 回复
:是的，共角定理。
2013-5-21 12:22 回复
这个很好，尤其是由△ABC 和△ADC 的面积得出对角线的比，对于任意四边形都可以，可 以当个定理来用了。
2013-5-21 19:17 回复
第四大定理：相似三角形定理。 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线 相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线！
几何五大模型之二(鸟头定理)
三角形之鸟头模型 共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则 AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ??=?=?? (夹角两边：大 大小 小??) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解： 1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积． 3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2， 平方厘米12=?ADE S ，求△ABC 的面积．
4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘 米，求ABC △的面积． E D C B A 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A
初中数学知识内容概况：公理和定理
初中数学知识内容概况《公式和法则》 一、数的有关概念和运算 1、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数. 2、零的相反数是零 3、一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零； 一个负数的绝对值是它的相反数. 4、两个负数，绝对值大的反而小. 5、有理数的运算： （1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数. （2）有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数. （3）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同零相乘，都得零.不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零. （4）有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数. (注意：0不能作除数.) 有理数除法符号法则:两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 零除以任何一个不等于零的数，都得零. （5）有理数乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. （6）有理数混合运算的运算顺序规定如下：① 先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 6、（1）加法交换律：a+b =b+a ；加法结合律：a+b+c =a+（b+c ）；乘法交换律：a ·b =b ·a ；乘法结合律：abc =a （bc ）；乘法分配律：a （b +c ）=ab +ac . （2）幂的运算：a m ·a n =a m+n （m 、n 为正整数）；mn n m a a =)(（m 、n 为正整数）；()n n n b a ab =（n 为正整数）；n m n m a a a -=÷（m 、n 为正整数，m >n ，a ≠0），a 0=1（a ≠0）；n n a a 1=-（a ≠0，n 为正整数）. （3）乘法公式：平方差公式：()()2 2b a b a b a -=-+；完全平方公式：()2b a +=222b ab a ++ 二、式的有关概念和运算 1、合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变． 2、去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号． 3、添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号． 4、整式加减的一般步骤可以总结为： (1) 如果有括号，那么先去括号；(2) 如果有同类项，再合并同类项． 5、二次根式的运算：()0,0≥≥=?b a ab b a ；b a b a =（0,0>≥b a ）
几何五大模型汇总
小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A
三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A
平面几何-五大定理及其证明
平面几何定理及其证明 梅涅劳斯定理 1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1） AD FA 因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BE C F ，即得 A D C F EC FA DB EC FA 2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若 二、 塞瓦定理 3 .塞瓦定理及其证明 定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC 不是ABC 的顶点，则有 AD BE CF 1 DB EC 由（1）宁（2） DB 可得兀 AD BE CF DB EC FA 1 ，那么，D E 、F 三点共线. 证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有 AD / BE CF 丽 EC FA 因为AD Bl CF DB EC FA 1，所以有誥 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D 鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线. 证明： 运用面积比可得 AD DB S ADP S BDP S ADC S BDC 根据 等 比定理有 S ADP S ADC S ADC S ADP S APC S S BDP BDC S BDC S BDP S
小学数学几何五大模型教师版
几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
（3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
初中几何公理、定理
初中几何公理、定理 一、线与角 1、两点之间，线段最短 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等 4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”） 6、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行③同旁内角 互补，两直线平行④平行于同一直线的两直线平行⑤垂直于同一直线的两直线平行 7、平行线的性质： ①经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 ③两直线平行，同位角相等④两直线平行，内错角相等⑤两直线平行，同旁内角互补 ⑥平行线间的距离处处相等 9、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 10、垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 二、三角形、多边形 11、三角形中的有关公理、定理： （1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ②三角形的外角和等于360° （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° （3）三角形的任何两边的和大于第三边、两边的差小于第三边 （4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 12、多边形中的有关公理、定理： （1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180° （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360° （3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2 13、等腰三角形中的有关公理、定理：
高中立体几何公理定理汇编
高中数学立体几何模块公理定理汇编 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． ?．（作用：证明直线在平面内） ∈，Bα ∈?lα ∈，B l A l ∈，且Aα 公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面） 推论①直线与直线外一点确定一个平面． ②两条相交直线确定一个平面． ③两条平行直线确定一个平面． 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∈，且Pβ ∈．（作用：证明三点/多点共线） Pα ＝l，且P l ∈?αβ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性） 空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行． 线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短． 面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行． 面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．
最新初一数学中的公理定理
（一）学过的公理： 1、直线公理：两点确定一条直线。 2、线段公理：两点之间，线段最短。 3、垂线公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 5、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。 6、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。 7、全等三角形性质公理：全等三角形对应边相等，对应角相等 （二）学过的定理及推论 1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180° ?推论1：直角三角形两锐角互余 ?推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ?推论3：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 2、公理：两点之间，线段最短。 ?定理：三角形两边之和大于第三边 ?推论：三角形两边之差小于第三边。 3、补角的性质：同角或等角的补角相等 4、余角的性质：同角或等角的补角相等 5、对顶角的性质：对顶角相等 6、垂线的性质：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 7、平行线公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相 平行。 8、平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行，简记为：同位角相等，两直线平行。 ?定理1：内错角相等，两直线平行。 ?定理2：同旁内角互补，两直线平行 9、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。 ?定理1：两直线平行，内错角相等。 ?定理2：两直线平行，同旁内角互补。 推论：垂直于同一直线的两直线的互相平行。
澳洋医院办公楼及综合楼 网络方案 目录 第一章．概述 ................................................................................................... 错误!未定义书签。 1.1建筑群网络建设背景.................................................................... 错误!未定义书签。 1.2建网需求分析................................................................................ 错误!未定义书签。 1.2.1 一般建网需求.......................................................................... 错误!未定义书签。 1.2.2 网络安全需求分析和对策...................................................... 错误!未定义书签。第二章．总体网络设计和网络特点................................................................ 错误!未定义书签。 2.1 网络设计的原则................................................................................ 错误!未定义书签。 2.2 网络拓扑 ........................................................................................... 错误!未定义书签。 2.3 方案说明 ........................................................................................... 错误!未定义书签。 2.4方案特色技术简介............................................................................. 错误!未定义书签。 2.4.1 路由规划.................................................................................. 错误!未定义书签。 2.4.2 IP地址规划.............................................................................. 错误!未定义书签。 2.5无线方案 ....................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.1无线网络优势........................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.2无线局域网总体架构选择....................................................... 错误!未定义书签。 2.5.3供电问题................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.4频率规划................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.5频率复用................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.6信号覆盖范围控制................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.7 AP防盗设计............................................................................. 错误!未定义书签。 ?
小学奥数之几何五大定理(五六年级使用)
小学奥数之几何五大定理 1：共高定理——这是最基本最重要最常用最简单的定理，要求熟练掌握，牢固记忆 2：鸟头定理——鸟头定理又叫共角定理，是由共高定理推出来的。 3：沙漏定理（相似里的平行线截线段） 4：蝴蝶定理——这个也是由共高定理推出来的 S 1×S 3=S 2×S 4。 5:燕尾定理 12S a S b =或者12::S S a b = （共高三角形面积比等于底的比。） 如图在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点则ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ???=?= ?。 证明：连DC ，根据共高定理，则ADE ADC S AE S AC ??= ，ADC ABC S AD S AB ??= 所以 ADC ADE ADE ADC ABC ABC S S S AD AE AD AE S S S AB AC AB AC ????????==?= ?。 1423S S OD S S OB == 也可以用外项之积等于内项之积来写：1324S S S S ?=?。 用文字叙述为：梯形的对角线将梯形分成四个三角形，腰上两个三角形面积的乘积等于上、下底两个三角形面积之乘积。 由共高定理得，,,.BCF ABF ADF BCF DCF DCF S S S AF AF BC S CF S CF S DC ??????=== 所以， =,.BCF ABF ADF ABF BCF DCF ADF DCF S S S S AF BC S CF S S S DC ????????=== 这里的最后一行就是燕尾定理，整个过程是燕尾定理怎么用共高定理推出来。
高中立体几何公理及推论及定理总汇表
高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据 （2 ）判定点在平面内的方法 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依 据 （1）判定若干条直线共 面 推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内一一有无数个公共点 （2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点 （3 ）直线和平面平行一一没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直
三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2
平面几何定理公理总结
平面几何定理公理总结 一、线与角 1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。 2.直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。 3.一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。 4.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 5.不在同一直线上的三点确定一个角。 6.两直线相交，对顶角相等。 7.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 8.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 9.经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 10.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 11.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 12.平行线 (1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (2)平行线的判定方法： (3)①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 (4)②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 (5)③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (6)④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 (7)平行线的性质： (8)①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 (9)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 (10)③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (11)④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。 (12)⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 (13)⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。 13.平行线等分线段定理： (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相 等。 (2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。 (3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。 14.平行线分线段成比例定理： (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。 15.线段的垂直平分线： (1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 (2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 16.角平分线： (1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何五大模型之五(燕尾定理)
燕尾定理 燕尾定理： 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O， 那么， :: ABO ACO S S BD DC ?? = O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题 如右图，D是BC上任意一点，请你说明： 1423 ::: S S S S BD DC == S 3 S 1 S 4 S 2E D C B A 【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有 14 :: S S BD DC =； 三角形ABE与三角形EBD同高， 12 :: S S ED EA =； 三角形ACE与三角形CED同高， 43 :: S S ED EA =，所以 1423 :: S S S S =； 综上可得， 1423 ::: S S S S BD DC ==. 例题精讲
【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在 BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积 . 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =， AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？ O E D C B A 【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于 点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． X Q P A B C 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分
几何五大模型之四(相似定理)
任意四边形、梯形与相似模型 模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长 度是多少？ F E D C B A 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？
60 5040 30 2010 E A D C B 【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。 A E D C B 【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==， 则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 。 E G F A D C B 【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长。 A E D C B 【巩固】如图， ABC △中，DE ， FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====， 则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 。 Q E G N M F P A D C B