结构力学力法的计算

（ A =0） 基本体系
l/2
l/2
A
原结构（ A= 0）
B
基本结构
16
二. 多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未
知力 X i 分别作用下的位移图。
q
q
C
D
C
D
FP 原结构
A ΔBH = 0, B ΔBV = 0, θB = 0。
FP 基本体系
A ΔBH = X0,3 B ΔBV = 0, X1 θB = 0。X2
A
Δ2P =0
D
Δ1P B
C
A
X 1 1 δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X 2 1 δ22
D
B
C
34
2. 力法的典型方程为:
11 X1 12 X 2 1P B( L,R) 0 21 X1 22 X 2 2P C ( L,R) 0
方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数的 物理意义。
n=3
X3
X2
8
9
§7-2 力法的基本原理
求解任何一个超静定结构，除应满足平衡条件 外，还必须满足位移协调条件。
一. 一次超静定结构的力法计算
1. 力法的基本体系和基本未知量
如下图示单跨超静定梁，去掉支座B的链杆，
用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。 去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法
一般规则为： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；
4
3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件，相当 于去掉三个约束；
4）将梁式杆上的一个刚结点改为一个简单铰结点，
相当于去掉一个约束。
举例说明：
b)
a)
X1
X2
单跨悬臂梁
n=2
原结构
X1
X2
多跨静定梁
n=2
采用力法求解连续梁的内力，选取的基本体系
? 时最好是将杆件在中间支座处的刚结点改变为铰结
点，如下图所示。
q X1
X2
A
B
C
D
基本体系: 静定的多跨连续梁
33
原结构的位移连续条件为:
B(L,R) 0 —— 铰 B 左右截面相对转角等于零。
C(L,R) 0 —— 铰 C 左右截面相对转角等于零。
q
1P —— 基本结构在FP 作用下沿X1方向的位移。
13
3. 力法计算 1) 求系数及自由项:
FP l 2A
FP MP 图
A B
l
l/2
M图
11
1 EI
1ll 2 l
2
3
l3 3EI
1P
1 EI
1 2
FP l 2
l (2 23
l
1 3
l) 2
1 FP l 2 5 l 5FP l 3 EI 8 6 48EI
基本结构。
FP
A
EI
B
l/2 l/2
10
FP
A
EI
BA
l/2 l/2
原结构（ΔBV=0） A
A
+Δ11
X1 B
A
11 11 X1
A
11
X1 1 B
FP B
基本体系 X1
基本结构 FP
B
B Δ1P
11
2. 力法方程
力法方程为: 11 1P BV 0
基本结构的位移=原结构的位移
BV——原结构B截面竖向位移
5
静定多跨梁
b)
X2
原结构 X2
X1 n=2
悬臂刚架
n=2 X1
X2
n=2 X1 简支刚架
6
c) 原结构
d)
原结构
X
X
1
2
X1
X 3 X 2 X 3 n=3 内部超静定
X2
X1
X
X
2
1
n=2
7
e) 原结构
f) 原结构
X1 X1 n=1
不能把原结构拆成几
何可变体系。此外，要把 超静定结构的多余约束全 X1 部拆除完。
2 j X j
L
2nXn
2P
0,
M M M M L M L M M 0,
i M
i
1
X1 M
下i2三XM2角 i3MX3
L L
ij
Xj M
L
L
in
X
n M
iP M
0, 0,
n n1 X1 n2 X2 n3 X3 L ij X j L nn Xn nP 0。
?
A X1 1
B
11 X1 26
小结： 1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上 可能保留有支座移动，也可能没有支座移动。应当 尽量取无支座移动的基本体系。
2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：
1C FRKCK
FRK 为基本体系由 Xi 1 产生的支座反力； CK 为基本体系的支座位移。 3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗 弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。
3. 求方程中的系数和自由项: (i )作 M 1 图，M 2 图及 MP 图见下页图示。 下述弯矩图具有一个共同特征：弯矩图的局部化。
35
q
A ql 2 8
B
C
X1 1
A
B
C
1
X2 1
A
C
B
(ii)计算系数和自由项: 1
D MP 图 D M1 图 D
M2 图
11
2 EI
1 2
l
1
2 3
2l 3EI
31
§7-3 采用力法求解超静定结构举例
一. 多跨连续梁 例7-3-1 试求图示多跨连续梁的在均布荷载作用下的 内力, 并作 M 图和 FS 图。
q
A EI l
D
B EI C EI
l
l
原结构 B( L,R) 0 , C ( L,R) 0 。
32
解:
1. 确定多跨连续梁结构的超静定次数,选取基本体系: 容易确定此结构的超静定次数为 2 次。
一. 超静定结构的组成
超静定结构具有如下特征： 1. 从几何构造分析的角度来看，超静定结构是具有多
余约束的几何不变体系。 2. 从静力学的角度来看，若只考虑静力平衡条件，超
静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一 地确定，还要补充位移协调条件。
2
若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反 力可以有无穷多组解答。
Bl
X1 1
l
C X2 1
l
1
l A0
M1 图
l
M2 图
0A l
基本体系 I
1
1C (1 a l ) a l
2C (1 b l ) (b l )
30
l l
B
X1 1
A 1
C
B1
C
1
M1 图
X2 1
1 基本体系 II l
M2 图 1 A
1C (1 b) b
1
b
2C
( l
b)
l
θ
A
EI l
B
原结构
θ
A
EI l
B
基本体系I X1
（受X1及支座转角θ 共同作用）
θ
A
EI l
B
X1 基本体系II
（只有X1作用，支座转 角θ 对杆端A无影响） 23
解：
1）选两种不同的基本体系进行求解,如下图示:
θ
θ
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A
EI l
BA
EI l
B
基本体系 I X1 X1 基本体系 II
（受 X1 及支座转角θ 共同作用）
2）建立力法的典型方程:
11 X1 12 X2 1C 0
21 X1 22 X2 2C 0
11 X1 12 X2 1C a
21 X1 22 X 2 2C
讨论力法的典型方程的系数及自由项的物理意义。29
3）求系数和自由项: 本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。
B
C
未知量 X i（ i 1, 2, 3,L , n）。
21
写成矩阵形式为:
主对角线:主系数(位移) ij (i j),正值。 自由项:任意值。
上三角
1 11 X1 12 X2 13 X3 L 1 j X j K 1n Xn 1P 0,
2
21 X1
22 X2
23 X3 L
31 X1 32 X2 33 X3 3P B 0。
根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。
主系数：δ11，δ22，δ33 恒大于零,永远为正值。 副系数：δij ( i≠j ) 可能大于，等于或小于零。 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。
19
由位移互等定理：δij= δji，即δ12= δ21，δ23= δ32， δ31= δ13。
B X1 1
14
2) 求未知力X1 :
X1
1P
/ 11
5FP l 3 48 EI
3 EI l3
5 16
FP
3) 作内力图:
3 16 FPl
M MX1 MP
A
11 16 FP
B
5 32 FPl5
16 FP
A
B
M图
FS 图
15
思考题:
如何计算?
A X1 EI FP B
l/2
l/2
A
EI FP B
2 3
l 3EI
1C FRKCK l
4）求未知力X1 :
X1
1C
/
11
l
3EI l3
3EI l2
(
)
X1
/ 11
3EI l
3EI ( )
l
25
5）作内力图:
A
BA
B
3EI l
M 图 3EI
l2
3EI l2
FS 图
3EI l2
在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示， 则力法方程成为：
如下图所示的单跨静定梁，若只满足平衡条件， 支座 B 处的竖向反力可以是任意值。
q
A
B
EI , l
3 ql
8
3
二. 结构的超静定次数的确定 结构的超静定次数n = 结构中多余约束的数目n 为了确定结构的超静定次数n：
通常使用的方法是拆除多余约束法 (或切断多余 联系法），即将原结构变成为静定结构所必须拆除（ 或切断）的多余约束（或联系）的总数目n。
因为:
11 11 X1
所以力法方程可写为:
11 X1 1P 0
12
讨论： 1）力法方程的实质是位移协调方程。
2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1 共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位 移。 3）系数及自由项的物理意义：
11 —— 基本结构在X1 1 作用下沿X1方向的位移。
即: 副系数(位移) ij ji (i j) ，任意值。
ij nn
Xi
n1
iP
n1
0 n1
22
三. 超静定结构在支座移动时的力法计算
超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解
力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超静 定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形，而且 有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动时力法 的解题思路。
27
例7-2-1 写出图示刚架的在支座发生移动时的力法方 程,并求出方程中的自由项ΔiC。
EI l C
EI l
A
b
原结构
a
解: 1）分别取两种不同的基本体系如下图示:
28
B
C
B
C
X2 X1
θ
A b
ΔCH = 0；
a
ΔCV = 0。
基本体系 I
X2 A
X1
b AH a;
θA = θ 。
基本体系 II
1P
1 EI
2 3
l
1 8
ql 2
1 2
ql 3 24EI
22
2l 3EI
12
21
1 EI
1 2
1
l
1 3
1
l 6EI
2P 0
36
4.求解基本未知量:
将系数和自由项代入力法方程：
2l 3EI
X1
l 6EI
X2
ql 3 24EI
0
l 6EI
X1
2l 3EI
X2
0
ql2
i
i1X1 i2X2 i3X3 L
ij X j
L
in Xn
iP
0,
M
M
M
M L
M L
M M 0,
n n1 X1 n2 X2 n3 X3 L ij X j L nn Xn nP 0。
这是一个关于基本未知量X i的n元一次的线性方程组。
解此线性方程组，可求得n次超静定结构的基本
17
C
D
δ31
A
B
δ21
δ11 X 1 1
C
D
C
D
δ32
A
B
δ22
X2 1
q
δ12
C
D
FP
δ33
A
δ23
B
δ13
X 1 3
A
Δ3P Δ1P
B Δ2P
18
力法方程为:
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0,
21 X1 22 X2 23 X3 2P BV 0,
20
对于任意一个n次超静定结构，已知n个位移条 件时，其力法的一般（典型）方程为:
1 11 X1 12 X2 13 X3 L 1 j X j K 1n Xn 1P 0,
2
21 X1 22 X2 23 X3
L
2 j X j
L
2nXn
2P
0,
M M M M L M L M M 0,
（只有 X1 作用，支座转 角θ 对杆端A无影响）
2）力法的典型方程: 位移条件: BV 0 力法方程: 11 X1 1C 0
A 11 X1
24
3）求系数和自由项:
A F R1 l
B
A X1 1
B
X1 1
l
M图
1
M图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
l3 3EI
11
1 EI
1l 2
1
作 M 图及 MP 图，求出力法方程的系数和自由 项，解方程求出力法未知量 X i ，然后根据下式求最 后内力为：
M( x) M1( x)X1 M2( x)X2 M3(x)X3 MP (x)
FS ( x) F S1( x)X1 FS2( x)X2 FS3(x)X3 FSP (x)
FN ( x) F N1( x)X1 F N2(x)X2 F N3(x)X3 FNP (x)
第二篇 超静定结构
第七章 力 法
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数的确定 §7-2 力法的基本原理 §7-3 采用力法解超静定结构举例 §7-4 力法的简化计算 §7-5 温度变化及有弹性支座时结构的计算 §7-6 超静定结构的位移计算及力法计算的校核
1
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数的确定