以数学故事串联知识点对数概念

接下着，让 学 生 谈 谈 对 对 数 这 个 新 定 义
不唯一。
的认识，帮 助 学 生 把 握 对 数 式 与 指 数 式 之 间
师 为什么真数 Ｎ＞０？
的联系，从 而 将 对 数 概 念 融 入 自 己 已 有 的 知
生 因为 在 实 数 范 围 内，正 数 的 任 何 次 幂 都
识体系。这也为进一步讨论式子中字母的取
远超当时数学家 的 一 般 水 平 ，那 么，大 家
即ａｂ＝Ｎ，那 么 就 称 ｂ 是 以ａ 为 底 的 Ｎ
一起来 尝 试 解 决 它。 要 解 决 一 个 问 题，
的对数，记 作ｌｏｇａＮ ＝ｂ。 开 普 勒 首 先 引
首先要搞清楚这个问题的本质。它是什
入符号ｌｏｇａＮ ，其 助 手、瑞 士 钟 表 匠 比 尔
解常用对 数 和 自 然 对 数；掌 握 几 个 简 单 的 对 由来，并以 数 学 故 事 的 形 式 让 学 生 感 知 人 类
数恒等式。（２）通过 对 问 题 的 探 究，体 会 引 入 在漫漫历史长河中对 对 数 的 追 寻 和 有 关 概 念
对数概 念 的 必 要 性 和 合 理 性 。（３）感 受 从 特 的发明历程，从而使 数 学 知 识 不 再 枯 燥 生 硬 ，
在满足ａ＞０，ａ≠１，ｂ∈Ｒ，Ｎ ＞０ 的 指 数 式的底 数、指 数 和 幂 这 ３ 个 数 中，我 们 就
师 通过 几 个 实 例，我 们 体 会 了 对 数 式 与 指 数式的 关 系，初 步 学 会 了 运 用 对 数 解 决
可以“知二求一”。 由 对 数 的 定 义 可 知 这
问题。其 实，对 数 的 发 明 解 决 了 困 扰 天
二 、教 学 设 想
识 和 方 法 ，体 会 到 数 学 的 价 值 和 力 量 。
对数的发明 是 数 学 史 上 的 伟 大 成 就 之
三 、教 学 过 程
一，作为一个困扰天 文 学 家、数 学 家 多 年 的 问
（一 ）创 设 情 境 ，探 索 新 知
题，高中生 在 面 对 这 个 抽 象 的 概 念 时 的 认 知
数和 指 数，通 过 乘 方 运 算 可 以 求 得 幂；已
师 这是 我 国 古 代 最 著 名 的 数 学 专 著 《九 章
知指数 和 幂，则 通 过 用 开 方 运 算 或 分 数
算术》中 的 第 １９６ 题，大 家 一 起 来 思 考
指数幂 运 算 可 以 求 得 底 数。 那 么，已 知
一下。
么类 型 的 问 题？你 见 过 跟 它 类 似 的 问
吉制作了世界上首张对数表。
题吗？
师 按照 上 述 定 义，你 能 写 出 这 个 问 题 的 答
生 这 个 问 题 是 已 知 底 数 和 幂 的 值，要 求
案吗？
课堂回放
教育研究与评论·课堂观察
２０１４年第１０期
生 ｘ＝ｌｏｇ２（２＋槡６）。
存在 ，例如ｌｏｇ（－２）９ 不 存 在 。ａ＝０ 时 ，若
师 对！我 们 可 以 用ｌｏｇ２（２＋槡６）表 示 这 个
Ｎ≠０，则ｂ不存在；若 Ｎ＝０，则ｂ 可 以 是
结果，ｘ 的值近似等于２．１５３ ６４。
任何正数，不唯一。ａ＝１时，若 Ｎ≠１，则
（二 ）理 解 概 念 ，建 构 知 识
ｂ不 存 在；若 Ｎ＝１，则ｂ 可 以 是 任 何 数，
数的学习，掌握了研 究 函 数 的 一 般 方 法，经 历 的概念成为“有源之水”、“有根之木”。
过从特殊到一般、从 具 体 到 抽 象 的 研 究 过 程。
本节课中另一个容易被轻视的知识点是
对数概念 的 学 习，是 对 指 数 概 念 和 指 数 函 数 常用对数 与 自 然 对 数 的 概 念，通 常 的 做 法 是
助 数 学 史 上 的 一 些 故 事 ，让 学 生 了 解 常 用 对
指数运 算 的 逆 运 算。 那 么，这 个 对 数 和
数 和 自 然 对 数 的 产 生 过 程 ，既 避 免 了 强 记 概
原式中的那个指数是什么关系？
念 ，又 把 握 了 概 念 之 间 的 内 在 联 系 ，在 拓 展
５ ４
３章第２节《对 数 函 数》的 第 １ 课 时 内 容。 在 展开认知 与 建 构，从 特 殊 到 一 般 体 会 对 数 发
此之前，学生已经学 习 过 函 数 的 概 念、表 示 方 明的必要 性 和 合 理 性，在 化 归 转 化 中 把 握 指
５ ２
法和一般 性 质，完 成 了 分 数 指 数 幂 和 指 数 函 数与对数 的 关 系，使 一 个 看 似 人 为 编 造 出 来
以数学故事串联知识点
———对数学史辅助“对数概念”教学的探索
吕建林
（江 苏 省 南 京 市 第 一 中 学 ，２１０００１）
一 、学 情 分 析
探究，通过 一 个 数 学 名 著 中 的 趣 题 激 发 学 生
“对数概念”是苏 教 版 高 中 数 学 必 修 １ 第 的研究兴 趣，启 发 学 生 结 合 已 有 的 指 数 知 识
首先，以 中 国 古 代 数 学 名 著 中 的 一 道 趣
难度可 想 而 知。 因 此，本 节 课 充 分 借 助 数 学 题引入，启发学生思 考，从 而 了 解 该 题 的 本 质
史上与对数有关的问题和故事展开对知识的 是如何依据底数和幂的值求指数。
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算 技 巧 ，体 会 化 归 转 化 的 思 想 方 法 ，并 为 今
指数了。
后探究 对 数 的 有 关 性 质 作 铺 垫。教 材 中 常
师 很 好！ 对 数 是 一 种 新 的 运 算，是 知 道 了
用 对 数 和 自 然 对 数 的 出 现 比 较 突 然 ，这 里 借
底数和幂 的 值 求 指 数 的 一 种 运 算 ，它 是
学习的深化，也是后续学习对数函数的基础 。 直接给出 这 两 个 概 念，但 会 使 学 生 觉 得 比 较
因此，本 节 课 的 教 学 目 标 是：（１）理 解 对 突然，不 利 于 其 接 受 理 解 和 准 确 使 用。 笔 者
数概念，能够进行对 数 式 与 指 数 式 的 互 化 ；了 尝试从数学史中找到 常 用 对 数 和 自 然 对 数 的
是：教材第７４ 页 的 练 习 ３、４、５、７。 希 望
起见，对 数ｌｏｇ１０Ｎ 简 记 为ｌｇＮ。 在 科 学
大家通过 练 习 掌 握 对 数 的 基 本 概 念 ，我
技术中，有 一 种 对 数 比 常 用 对 数 使 用 更
们明天继 续 研 究 对 数 的 运 算 性 质 ，进 一
为广泛，叫 作 自 然 对 数。 它 是 用 变 量 的
纳皮尔研究 出 一 个 结 论：如 果 选 择 以 １０
我们感受到科学家思考问题的 奇 妙 历
为底数，那 么 编 造 出 来 的 对 数 表 会 更 加
程，也感 受 到 数 学 发 展 推 动 人 类 探 索 和
有用。于是就有了今天我们所说的常用
认识世界的强大力量。今天的课后作业
对数，也 叫 作 布 里 格 斯 对 数。 为 了 方 便
（教师 出 示 问 题：今 有 垣 厚 五 尺，两 鼠 对
指数。
穿。大 鼠 日 一 尺，小 鼠 亦 日 一 尺。 大 鼠 师 通过前面的学 习，我 们 已 经 知 道，在 指 数
日自 倍，小 鼠 日 自 半。 问：几 何 日 相 逢？
式的底数、指数 和 幂 这 ３ 个 数 中：已 知 底
各 穿 几 何 ？）
是正数，所以 Ｎ 始终大于零。
值范围和用对数进行运算奠定了基础。
（三 ）数 学 应 用 ，联 系 建 构
师 你怎么理解对数？
通 过 与 对 数 概 念 有 关 的 一 系 列 问 题 ，引 导学生把 握 指 数 式 与 对 数 式 相 互 转 换 的 运
生 有了 对 数，就 可 以 根 据 底 数 和 幂 的 值 求
作深入研究，找 出 解 决 此 类 问 题 的 方 法，
攻克了 这 个 难 题。 他 的 解 决 方 式 是：发
因而，错 过 了 人 类 数 学 史 上 的 一 项 重 大
明了一个 新 的 数 学 概 念———对 数。 一 般
成就。今 天，你 们 掌 握 的 数 学 知 识 已 经
地，如果ａ（ａ＞０，ａ≠１）的ｂ 次 幂 等 于 Ｎ ，
（ ） 尔选择了以 １－１１０７
－１０７
＝２．７１８ ２８１…
（ ） 为底数，比 尔 吉 选 择 了 以
１＋１１０４
１０４
＝
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课堂回放
２．７１８ １４５… 为 底 数。 后 来，布 里 格 斯 和 师 同 学 们，今 天 我 们 认 识 了 对 数，透 过 它，
生 是 一 样 的 ，只 是 说 法 不 同 。
学 生 认 知 的 同 时 ，激 发 了 他 们 学 习 对 数 的
师 说得好！对 数 式ｌｏｇａＮ 实 际 上 就 是 指 数
兴趣。
式中的 指 数ｂ 的 一 种 新 的 记 法。 自 此，
（学 生 做 与 对 数 概 念 有 关 的 题 组 练 习 。）
殊到一 般、化 归 转 化 的 思 想 方 法。 本 节 课 的 变得生动 有 趣，并 把 看 似 联 系 不 大 的 知 识 点
教学重难点是：对数 式 与 指 数 式 的 相 互 转 化， 有机地 串 联 起 来，形 成 一 个 整 体。 这 样 的 教
对数概念的建构与理解。
学，符合学生的认知 规 律，便 于 其 掌 握 数 学 知
根据 ２５＝３２ 就 知 道 ｘ＝５。 不 是 特 殊 值 就 没 办 法 了 ，只 能 求 近 似 值 。 师 很 好！ 以 方 程 ２ｘ ＝５ 为 例，怎 么 找 出 ｘ 的 近 似 值 ，你 能 说 说 吗 ？ 生 可以 数 形 结 合，转 化 为 求 两 个 函 数 图 像
（ ） １ １－２１ｘ
书》面 世 以 后，消 息 很 快 传 遍 了 欧 洲 大
陆。两年后，伦 敦 格 雷 沙 姆 学 院 的 几 何
学教授布里格斯慕名去爱丁堡拜见了他
图１
（学 生 看 图 、思 考 。） 师 为 什 么 要 规 定 ａ＞０ 且 ａ≠１？ 生 ａ＜０时，当 Ｎ 取某些值的时候，ｂ 可 能 不
无比崇敬 的 天 才 纳 皮 尔。 刚 开 始，纳 皮
师 我们已经成功地把这个问题转化为解方
一个根。 虽 然 表 达 不 出 来，但 我 们 可 以
程２ｘ＝２＋槡６，但解不出来。《九 章 算 术》
给出的答 案 是：二 又 十 七 分 之 二 日，即 ｘ ＝２１２７。 但 是，２１２７只 是 一 个 近 似 答 案。
肯定的是，这个根是由底数２和 幂 的 值 ５ 确定的。 生 可以用底数和幂来表示这个根。 师 是 的。 在 很 长 一 段 时 间 里，人 们 都 没 有
１－
１ ２
＝５。
交点的横坐 标，把 ｙ＝２ｘ 的 图 像 画 出 来， 再作出ｙ＝５的图 像，交 点 的 横 坐 标 就 是 方 程 ２ｘ ＝５ 的 根 。
生 方程可以化简为２ｘ＝２＋槡６，但 接 下 来 就
师 通过他的分析，我 们 不 难 发 现，这 个 方 程
５ ３
不知道怎么求ｘ了。
有根，而 且 根 据 指 数 函 数 的 单 调 性，只 有
两个等式是ａ，ｂ，Ｎ 这３个量之间 的 同 一
文学家 很 久 的 数 学 难 题，它 的 应 用 非 常
个关系的 不 同 表 现 形 式。（出 示 图 １）我
广泛。关于对数的发明还有一些历史趣
们可以通过这样一个图来比较指数式与
事 ，你 们 想 知 道 吗 ？
对数式的关系。
生 （齐 ）想 。
师 １６１４年，纳皮尔的《奇妙的对数 定 理 说 明
底 数 和 幂 ，如 何 求 指 数 呢 ？
生 设 两 鼠 ｘ 日 相 逢，由 题 意 可 知 （１＋２＋ 生 在有些特殊情况下可以 求，比 如 ２ｘ＝３２，
（ ２２＋ … ＋２ｘ－１ ）＋
１＋
１ ２
＋
１ ２２
＋
…
＋
） １
２ｘ－１
＝５。
师 由 等 比 数 列 求 和 公 式，可 得１（１１－－２２ｘ）＋
在公元１ 世 纪 左 右 的 汉 朝，能 得 到 如 此 近似的结 果 已 经 是 非 常 了 不 起 的 成 就。
想到 解 决 这 个 问 题 的 办 法。 直 到 １６１４ 年，苏 格 兰 数 学 家 纳 皮 尔 （１５５０～１６１７）
遗憾的 是，古 代 中 国 的 数 学 家 们 未 能 再
在研究 天 文 学 的 过 程 中，为 简 化 计 算 而