往年北京高考试题(理科)

普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理工农医类） （北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上． 1．在复平面内，复数1+i

i

对应的点位于（ ） Ａ．第一象限

Ｂ．第二象限

Ｃ．第三象限

Ｄ．第四象限

2．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c =g g ”是“()a b c ⊥-”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ） A ．36个 B ．24个 C ．18个 D ．6个

4．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） Ａ．一条直线 Ｂ．一个圆 Ｃ．一个椭圆 Ｄ．双曲线的一支 5．已知()()3141

log 1-+<⎧⎪=⎨⎪⎩，，，

a a x a x f x x x ≥是()-∞+∞，上的减函数，那么a 的取值范围是

（ ） Ａ．()01，

Ｂ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

Ｃ．1173⎛⎫ ⎪⎝⎭

， Ｄ．117⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

6．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间()12，上的任意1x ，()212x x x ≠，

()()2121f x f x x x -<-恒成立”的只有（ ）

Ａ．()1

f x x

=

Ｂ．()f x x =

Ｃ．()2f x =

Ｄ．()2

f x x =

7．设()()4

7

10

31

22222n f n n +=+++++∈N L ，则()f n 等于（

）

Ａ．

()2817

n

- Ｂ．

()1

2817

+-n Ｃ．

()3

2817

n +- Ｄ．

()2

2817

n +- 8．下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口Ａ，Ｂ，Ｃ

的机动车辆数如图所示，图中123x x x ，，分别表示该时段单位时间通过路段»

»»AB BC CA ，，的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则

（ ） A ．123x x x >> B ．132x x x >> C ．231x x x >>

D ．321x x x >>

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

9．22132

lim 1

x x x x →-++-的值等于__________．

10．在7

2⎛⎫- ⎪⎝⎭

x x 的展开式中，2

x 的系数是__________．（用数字作答）

11．若三点()22A ，，()0B a ，，()()00C b ab ，≠共线，则

11

a b

+的值等于__________． 12．在ABC △中，若sin sin sin 578A B C =∶∶∶∶，则B ∠的大小是__________．

13．已知点()P x y ，的坐标满足条件41x y y x x +⎧⎪

⎨⎪⎩

，

，，≤≥≥点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于

______，最大值等于______．

14．已知A ，B ，C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么A ，B 两点的球面距离为__________，球心到平面ABC 的距离为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题共12分）

已知函数(

)π124cos x f x x

⎛

⎫- ⎪

⎝⎭=．

（Ⅰ）求()f x 的定义域；

（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4

tan 3

α=-，求()f α的值． 16．（本小题共13分）

已知函数3

2

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点

(10)，，(20)，，如图所示．求：

（I ）0x 的值；

（II ）a b c ，，的值． 17．（本小题共14分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC PB ⊥；

（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小． 18．（本小题共13分）

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

P B

C

A

E

D

x