3.3(选)第三章 区间估计-点估计-样本量估计-缺区估计
第三章 参数估计
第三章参数估计重点：1.总体参数与统计量2.样本均值与样本比例及其标准误差难点：1.区间估计2.样本量确实定知识点一：总体分布与总体参数统计分析数据的方法包括：描绘统计和推断统计〔第一章〕推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，包括参数估计和假设检验两大类。
总体分布是总体中所有观测值所形成的分布。
总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。
通常有总体平均数〔μ〕总体方差〔σ2〕总体比例〔π〕知识点二：统计量和抽样分布总体参数是未知的，但可以利用样本信息来推断。
统计量是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。
统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔 s2〕、样本比例〔p〕等。
构成统计量的函数中不能包括未知因素。
由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。
统计量的取值是根据样本而变化的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。
[例题·单项选择题]以下为总体参数的是( )a．样本均值b．样本方差c．样本比例d．总体均值答案：d解析：总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。
通常有总体平均数、总体方差、总体比例题·判断题：统计量是样本的函数。
答案：正确解析：统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔〕、样本比例〔p〕等。
构成统计量的函数中不能包括未知因素。
[例题·判断题]在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。
答案：错误解析：作为推断对象的总体是唯一的，但作为观察对象的样本不是唯一的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。
〔一〕样本均值的抽样分布设总体共有n个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有n n种抽法，即可以组成n n不同的样本，在不重复抽样时，共有个可能的样本。
每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。
区间估计ppt课件
极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。
点估计与区间估计方法例题和知识点总结
点估计与区间估计方法例题和知识点总结在统计学中，点估计和区间估计是非常重要的概念和方法，它们帮助我们从样本数据中推断总体的特征。
下面，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两种估计方法，并对相关知识点进行总结。
一、点估计点估计是用样本统计量来估计总体参数。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
例如，假设我们要估计一个总体的均值。
我们从这个总体中抽取了一个样本，样本均值为 10。
那么，我们就可以用样本均值 10 作为总体均值的点估计值。
再比如，对于一个服从正态分布的总体，其概率密度函数为$f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma\sqrt{2\pi}｝e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＄，其中＄＼mu$ 是均值，＄＼sigma$ 是标准差。
如果我们有一组样本数据，通过最大似然估计法，可以求得使得样本出现概率最大的＄＼mu$ 和＄＼sigma$ 的估计值。
点估计的优点点估计方法简单直接，能够快速给出一个估计值。
点估计的缺点点估计没有给出估计值的误差范围，无法了解估计的精度。
二、区间估计区间估计则是在点估计的基础上，给出一个区间，使得总体参数有一定的概率落在这个区间内。
以估计总体均值为例，我们通常使用的是置信区间。
如果我们要构造一个置信水平为 95%的置信区间，意味着如果我们多次重复抽样并计算置信区间，那么大约 95%的置信区间会包含总体均值。
假设我们抽取了一个样本容量为 n 的样本，样本均值为＄＼overline{x}＄，样本标准差为 s。
当总体标准差＄＼sigma$ 已知时，总体均值＄＼mu$ 的置信区间为：＄＼overline{x} ＼pm z_{＼alpha/2}＼frac{＼sigma}｛＼sqrt{n}｝＄，其中＄z_{＼alpha/2}＄是标准正态分布的分位数。
当总体标准差＄＼sigma$ 未知时，我们用样本标准差 s 代替，此时总体均值＄＼mu$ 的置信区间为：＄＼overline{x} ＼pm t_{＼alpha/2}（n 1)＼frac{s}｛＼sqrt{n}｝＄，其中＄t_{＼alpha/2}（n 1)＄是自由度为 n 1 的 t 分布的分位数。
心理统计——点估计和区间估计
令枢轴量落在大概率事件范围内，反解出未知参数的 范围，此范围即为待估计总体参数的取值范围，即置 信区间。
总体均值估计实例
一位研究者希望研究体育锻炼对心理健康的影响， 他随机抽取了100名被试，并让他们参加为期半 年的体育锻炼。在随后实施的心理健康测试表明， 该样本的心理健康均值为85分，同类所有人口的 心理健康常模分数为80±10分。 请问参加体育锻炼半年后，总体的心理健康水平 的均值是多少？
标准误
S X的标准误＝S X n n
心理统计和SPSS 7
想想看！
假设你正在研究平均一个驾车的中国人一年要 得到多少交通罚单，报告研究结果的方法有两 种：10或者“8－12之间”，你更喜欢用哪一个 值来代表一个驾车的中国人一年领到的交通罚 单数？为什么？
心理统计和SPSS
8
点估计(point estimation)
参数估计
郭璐 Margaret_guo@
本章你将学到什么？
什么是参数估计
点估计 区间估计
点估计的步骤
无偏估计的标准
区间估计的步骤
置信区间的 影响因素
心理统计和SPSS
2
一起来思考！
Gallup就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国、 日本的消费者分别进行了调查，结果表明：有55％的美 国人相信美国产品的质量非常好，而持同样看法的德国 人和日本人的比例分别是 26 ％和 17 ％。其抽样误差为 3%, 怎么来估测美国、德国和日本总人口对美国产品的 看法呢？ 你是否认为美国、德国和日本的消费者在评价美国产品 的质量时所持的观点的确不同呢？
总体
样本
（随机子集）
心理统计和SPSS
5
总体和样本的关系
点估计和区间估计公式
点估计和区间估计公式统计学中，点估计和区间估计是两个重要的概念。
点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值，而区间估计则是通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间。
本文将详细介绍点估计和区间估计的公式及其应用。
一、点估计公式点估计是通过样本数据来估计总体参数的值。
在统计学中，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指在给定样本数据的情况下，选择使得样本出现的概率最大的总体参数值作为估计值。
矩估计是指通过样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
点估计的公式如下：最大似然估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本概率密度函数为f(x;θ)，则总体参数的最大似然估计为：θ^=argmaxθL(θ;x1,x2,…,xn)=argmaxθ∏i=1nf(xi;θ)其中，L(θ;x1,x2,…,xn)为似然函数，θ^为总体参数的最大似然估计值。
矩估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本矩为μ1,μ2,…,μk，则总体参数的矩估计为：θ^=g(μ1,μ2,…,μk)其中，g为函数，θ^为总体参数的矩估计值。
二、区间估计公式区间估计是通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间。
在统计学中，常用的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据来估计总体参数的值所在的区间，使得该区间内的真实总体参数值的概率达到一定的置信水平。
预测区间估计是指通过样本数据来估计未来观测值的区间，使得该区间内的未来观测值的概率达到一定的置信水平。
区间估计的公式如下：置信区间估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本均值为x̄，样本标准差为s，置信水平为1-α，则总体参数的置信区间为：x̄±tα/2,n−1×s/√n其中，tα/2,n−1为自由度为n-1、置信水平为1-α的t分布的上分位数。
预测区间估计：设总体参数为θ，样本数据为x1,x2,…,xn，样本均值为x̄，样本标准差为s，置信水平为1-α，则未来观测值的预测区间为：x̄±tα/2,n−1×s×√1+1/n其中，tα/2,n−1为自由度为n-1、置信水平为1-α的t分布的上分位数。
3-33区间估计-PPT课件
解：已知Ｘ~N(，102)，n = 25, 1- = 95%， u1-/2=1.96。根据样本数据计算得： 。由于是正态总体，且方差已知。总 x 105 . 36 体均值 在 1- 置信水平下的置信区间为
xu 1 2
Байду номын сангаас
10 105 .36 1 .96 n 25 105 .36 3 .92 101 .44 ,109 .28
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 , 2 ( n 1 ) ( n 1 ) 1 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
( 3 )
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少 ） 2 n X 2 i ~ (n ) ， 由概率 取枢轴量 Q
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ P { } 1 L
则称 ˆ L 是θ 的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限.
ˆ ˆ( 定义4: 设 是统计量, 若对给定的 ,..., X ) U UX 1 n
α(0<α<1), 对任意的θΘ, 有
ˆ} P { 1 U
总体方差的区间估计 (例题分析)
【例 3 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从 某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量 如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以 95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 。
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
五. 总体比率的置信区间 (大样本)
• 总体比率 Population Proportion : p ˆ • 样本比率 Sample Proportion: p 如果是大样本，则：
《点估计与区间估计》课件
区间估计在假设检验中的应用
在假设检验中，我们通常使用区间估计来确定样本数据是 否支持原假设或备择假设。
点估计与区间估计在回归分析中的应用
点估计在回归分析中的应用
在回归分析中，我们通常使用最小二乘法等统计方法来得到参数的点估计值，并以此为 基础进行预测和推断。
区间估计在回归分析中的应用
除了点估计外，我们还可以使用区间估计来评估模型参数的可能取值范围，从而更全面 地了解模型的预测精度和不确定性。
适用场景
适用于已知概率分布模型的情况，广泛应用于统 计学、机器学习等领域。
最小二乘法
总结词
基于误差平方和最小的点估 计方法
详细描述
最小二乘法是一种基于误差 平方和最小的点估计方法。 它通过最小化观测值与预测 值之间的误差平方和来估计 参数。这种方法在回归分析 、时间序列分析等领域广泛 应用。
数学公式
计算方法
根据样本数据和适当的统计量，通过计算得到参数的 置信下限和置信上限。
应用场景
当需要了解某一参数的可能取值范围时，可以使用双 侧置信区间。
置信区间与置信概率
定义
置信区间是指在一定置信概率下 ，某一参数的可能取值范围。而 置信概率是指对参数取值范围的 信任程度。
关系
置信概率越高，则对应的置信区 间越窄，说明对参数的估计越精 确。
应用场景
在统计推断中，经常需要根据样 本数据和适当的统计量，计算某 一参数的置信区间和对应的置信 概率，以评估对参数的估计精度 和信任程度。
05
点估计与区间估计
的应用场景
点估计在统计推断中的应用
总体参数的点估计
点估计是对总体参数的一个具体的数值估计， 例如，使用样本均值来估计总体均值。
数据模型决策-统计学3-参数估计
均值和方差
若T ~ t(n) ，则 E(T ) = 0
D(T ) = n (n > 2) n−2
第3t 分章布与参正数态分估布计的比较
第3章 参数估计
(4) t分布（Students 分布）
性质:
当n很大时，
lim f (t) =
n→∞
1
− t2
e2
2π
此时，tα/2≈uα/2，t 分布近似标准正态分布
2分布，即
V ~ χ 2 (n1) , W ~ χ 2 (n2,)
则随机变量 F = V / n1 W / n2
服从F分布, n1，n2分别是它的第一自由度和第二自由度，
且通常记为 F ~ F (n1, n2 )
第3章 参数估计
第3章 参数估计
(3) F分布
F分布查表
∞
∫ P(F > Fα ) = Fα f (x)dx = α (0 <α < 1)
第3章 参数估计
抽样与抽样分布 点估计 区间估计 样本容量的确定
第3章 参数估计
3.1 抽样与抽样分布
总体由研究对象的全体所组成。 样本是总体中的部分元素所组成的集合。
有限总体和无限总体 无放回抽样和有放回抽样
简单随机抽样（x1, x2,…, xn）:
简单随机抽样是指从总体中抽取样本容量为n 的样本时，x 1, x2,…, xn这n个随机变量必须具备以下两个条件：
与 t 分布有关的理论通常称为“小样本理论”
查表问题： P{t(n) > tα (n)} = α
第3章 参数估计
P(t(7)>1.8946)=0.05
第3章 参数估计
（5） 样本平均数的抽样分布
点估计与区间估计
切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』指令按鈕, 於『分析工具』處選「敘述統計」
1. 2. 3. 4.
按
鈕
於『輸入範圍』處，以選取方式設定要處理之資料範圍（B1:B201） 於『分組方式』選「循欄」 點選「類別軸標記是在第一列上(L)」（因資料含『一週飲料花費』之字串標 記） 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之D1位置 點選「摘要統計(S)」 點選「平均數信賴度(N)」，設定「95%」
馬上練習
以範例Ch10.xlsx『運動時間』工作表內容，求α=0.05時，大學生每 週運動時間之均數µ的點估計及其95%信賴區間。
馬上練習
續上題，求α=0.01、α=0.05與α=0.1時，運動時間之均數µ的信賴區間 分別為何？
信賴區間之範圍CONFIDENCE() 信賴區間之範圍
CONFIDENCE(α,σ,n) CONFIDENCE(顯著水準,標準差,樣本數) 本函數可傳回母體平均數的信賴區間之範圍，α為顯著水準，α=0.05時 表求算95%信賴區間之範圍。σ為母體標準差，n為樣本數。 若處理對象為常態分配，母體標準差（σ）已知，其計算公式為：
點估計之優點為算法簡單，意義簡單明瞭；但其缺點為無法判斷估計 結果的準確性，且其估計值會因樣本不同而有所差異。所以才會有區 間估計之推出。 假定，我們估計全體大學生平均每月可用零用金為5000元，那是點估 計，該估計為單一數值，可視為線上的一點；若我們估計全體大學生 平均每月可用零用金介於4000~6000元，那就是區間估計，因為涉及 兩點，可視為線上的一個區段。
如為雙尾，即求左右兩尾之陰影部份：
t分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。以自由度為10之情況下， 不同t值所求得之單尾及雙尾累計機率分別為：（詳範例Ch10.xlsx『TDIST』 工作表）
应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第三章3
◎ 与点估计的比较
点
区间
置信度 未指明
1– α 已指明
误差
无确定范围 有确定范围 ⎡⎣ ξ − C , ξ + C ⎤⎦
那个好呢，具体场合具体分析（项目 资金数）
3
2. σ 2 未知
造 区 间 ：(ξ − C , ξ + C )去 套 μ
{ } 使 P ξ − μ < C = 1 − α
ξ
（μ
）
P
n
= u1−α / 2 ,
C=
σ
n u1−α / 2
–u1–α/ 2
1−α α/ 2
u1-α/ 2
2
◎ 置信区间
⎛ ⎜ξ
−
σ
u1−α / 2 , ξ +
σ
⎞ u1−α / 2 ⎟
=
⎛ ⎜ξ
±
σ
u1−α / 2
⎞ ⎟
⎝n
n
⎠⎝ n
⎠
◎ 置信度(confidence degree)： 1− α,
(置信区间能套住μ真值的概率)
( ) ξ ～ N
μ
1
,σ
2 1
,
( ) η ～ N
μ
2
,σ
2 2
,
σ
2 1
=?
σ
2 2
σ2 1
≈
σ S ,*2
2
1
2
≈
S2*2 ,
2
*2
σ S 1
1
≈ , 2
*2
σ S 2
2
S *2 1
S *2 2
≈1
σ2 σ2
1
2
造区间：
k1
区间估计 课件
}? 1? ?
n
故总体(zǒng?t的ǐ)均置值信水平为 1－ ? 的置信区间为
?
?
x
?
t?
2
?
S n , x ? t? 2
S? n ??
x?
也可简记(jiǎn
S
jt?ì)2为 n
。
第十八页，共38页。
例 3: 设有一批胡椒粉，每袋净重(jìnXg（zh单òn位g)(dānwèi)：克）服
从正态分布 . 从中任取８袋，测得净重(jìngzhòng)分别为：
布N(μ,0.4 2).现在(xiànzài)2从0 只中内抽环取,其平均高度为 32.3 毫米.求内环平均高度的置信度为 95%的置信区间 .
解： 1 ? ? ? 0.95 , 查表得 z? / 2 ? z0.025 ? ? (0.975 ) ? 1.96
又 x ? 32.3,? ? 0.4, n ? 20,算得
在保证可靠(kěkào)度的条件下尽可能提高
精度(. jīnɡ dù)
第八页，共38页。
? 参数 ?的区间估计的意义可以 解释为 : 随机
区间[?( X1, X 2,..., X n ), ?( X 1, X 2 ,..., X n )]包含参数 ? 的真值的概率为1 ? ? ,因此若认为 区间([?q,ū?]j包iān) 含着参数(?c的ān真shù值) ,则犯错误的概率(gài?l.ǜ)为
现考察正态总体均值 ? 的区间估计。
第十二页，共38页。
（一）方差 ? 2已知时总体均值的区间估计
设 x1, x2 ,L , xn 为来自(lái zì)正N态(?总,? 体2 ) 的一个(yī ɡè)样本，其中方 差 ? 2 已知， x 和 S 2 分别是样本(yàngběn)均值和样本(yàngběn)方差。
《点估计与区间估计》课件
研究热点
贝叶斯估计：基 于贝叶斯理论的 点估计和区间估 计方法
非参数估计：适 用于非参数模型 的点估计和区间 估计方法
稳健估计：在存在 异常值或离群值的 情况下，仍能提供 可靠估计的方法
自适应估计：根 据数据特性自动 调整估计方法的 方法
未来展望
技术进步：随着大数 据和人工智能的发展， 点估计和区间估计的 方法和技术将得到进 一步改进和完善。
优缺点
优点：计算简单，易于理解
缺点：可能存在较大误差，无 法反映真实情况
优点：适用于样本量较小，数 据分布较为均匀的情况
缺点：不适用于样本量较大， 数据分布较为复杂的情况
常用方法
矩估计法：利用样本矩来估计总体参数 最大似然估计法：利用样本数据来估计总体参数 贝叶斯估计法：利用样本数据和先验信息来估计总体参数 区间估计法：利用样本数据来估计总体参数的置信区间
区间估计
定义
区间估计是一种统计推断方法，用于估计参数的取值范围。 区间估计通常包括置信区间和预测区间两种类型。 置信区间是指在给定的置信水平下，参数可能取值的范围。 预测区间是指在给定的预测水平下，未来观测值的可能取值范围。
性质
区间估计可以 提供估计值的 置信区间，表 示估计值的不
确定性
区间估计可以 反映估计值的 精度和准确性
常用方法
置信区间：通过样本数据计算置信区间，表示估计值的可信程度 置信水平：表示估计值的可信程度，通常为95%或99% 区间估计：通过样本数据计算置信区间，表示估计值的范围 区间估计的准确性：通过样本数据计算置信区间，表示估计值的准确性
点估计与区间估计的比较
相同点
都是统计推断的 方法
都需要样本数据
比较分析实例
概率论与数理统计课件--区间估计
1 2
2
得2的区间估计为
n
Xi 2
i1
,
2 (n)
2
n
Xi
2
i 1
2 (n)
1 2
小结
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 假设置信水平为1- （4）均值未知，对方差的区间估计
构造2-统计量，查2-分布临界值表，
确定2的双侧分位数 2 (n 1), 2 (n 1)
1 2
2
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E¶X x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
X
u
2
n , X u 2
n
而 x 14.95, 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
9.22910000 92290 （公斤）
最多准备
10.77110000 107710 （公斤）
正态总体均值已知，对方差的区间估计
如果总体X~N（，2），其中已知，2未知
由 Xi ~ N (0,1) 构造2-统计量
n
2
n i1
X
i
2
i 1
Xi 2
2
~ 2 (n)
查2- 分布表，确定双侧分位数 2 (n), 2 (n)
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
心理统计名词解释点估计和区间估计
心理统计名词解释：1. 点估计点估计是一种通过样本数据估计总体参数的方法。
在心理统计学中，研究者通常只能获得一部分总体数据，因此需要利用样本数据来估计总体的特征。
点估计就是利用样本数据计算出一个数值作为总体参数的估计值，常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
2. 区间估计区间估计是一种用来估计总体参数范围的方法。
与点估计不同，区间估计不仅给出了参数的点估计值，还给出了参数估计的置信区间。
置信区间是总体参数的估计范围，通常表示为一个区间，例如(μ-δ, μ+δ)，其中μ为参数的点估计值，δ为置信区间的半径。
心理统计中的点估计和区间估计在研究中具有重要意义。
通过点估计和区间估计，研究者可以对总体的特征进行估计，并对估计结果的可靠性进行评估。
这两种估计方法在量化研究中被广泛应用，对于从样本数据推断总体特征具有重要的参考价值。
点估计和区间估计的应用：3. 点估计的应用在心理统计学中，点估计通常用来估计总体的各种参数，如均值、方差、比例等。
研究者利用样本数据计算出点估计值，并将其作为总体参数的估计值。
在一项实验中，研究者可以利用样本数据计算出实验组和对照组的平均得分，以此作为两组总体均值的估计值。
4. 区间估计的应用区间估计在心理统计学中具有重要意义，它不仅给出了总体参数的估计值，还给出了估计的可靠范围。
研究者通常会根据置信水平选择相应的置信区间，常见的置信水平包括95、99等。
在研究中，研究者可以利用区间估计来估计总体均值的置信区间，从而评估估计结果的可靠性。
点估计和区间估计的特点：5. 点估计的特点点估计给出了总体参数的一个具体数值估计，具有直观性和简单性。
研究者可以通过点估计方便地获得总体参数的估计值，并基于这一估计值进行推断和决策。
然而，点估计也存在一定局限性，它无法提供参数估计的置信范围，使得估计结果的可靠性无法直观评估。
6. 区间估计的特点区间估计不仅给出了总体参数的估计值，还给出了参数估计的可靠范围。
《点估计与区间估计》课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
点估计和区间估计公式
点估计和区间估计公式估计是统计学中的一个重要分支，它是通过样本数据对总体参数进行推断的过程。
估计可以分为点估计和区间估计。
在本文中，我们将介绍点估计和区间估计的基本概念和公式。
一、点估计点估计是通过样本数据估计总体参数的一种方法。
它的基本思想是利用样本数据的统计量，如平均值、标准差等，来估计总体参数的值。
点估计得到的结果通常是一个单独的数值，称为点估计量。
点估计量通常用希腊字母表示，如θ̂，表示总体参数的估计值。
点估计的公式如下：θ̂=g(X1,X2,...,Xn)其中，θ̂表示总体参数的估计值，g()表示样本数据的某种统计量，如平均值、标准差等，X1,X2,...,Xn表示样本数据。
例如，假设我们要估计某个城市的人均收入，我们可以通过抽取该城市的一部分居民的收入数据来进行估计。
我们可以利用样本数据的平均值来估计总体参数的值，即：θ̂=1/n*ΣXi其中，θ̂表示总体参数的估计值，n表示样本容量，Xi表示第i个样本数据。
二、区间估计区间估计是指通过样本数据构造一个区间，该区间包含总体参数真实值的概率较高。
区间估计得到的结果是一个范围，称为置信区间。
置信区间的长度取决于样本容量和置信水平。
置信水平通常为95%或99%。
区间估计的公式如下：(θ̂-zα/2*σ/√n, θ̂+zα/2*σ/√n)其中，θ̂表示总体参数的点估计值，zα/2表示标准正态分布的上分位数，α表示置信水平，σ表示总体参数的标准差，n表示样本容量。
例如，假设我们要估计某个城市的人均收入，我们可以通过抽取该城市的一部分居民的收入数据来进行估计。
我们可以构造一个置信水平为95%的置信区间来估计总体参数的值，即：(θ̂-1.96*σ/√n, θ̂+1.96*σ/√n)其中，θ̂表示总体参数的点估计值，σ表示总体参数的标准差，n 表示样本容量。
三、总结点估计和区间估计是统计学中常用的估计方法。
点估计通过样本数据的统计量来估计总体参数的值，得到的结果是一个单独的数值。
概率论与数理统计--区间估计
由标准正态分布的上 分位点的定义知
P
X
/
n
z
/
2
1,
即
P X
n
z
/
2
X
n
z
/
2
1
,
于是得的一个置信水平为 1 的置信区间
X
n z / 2 ,
X
n
z
/
2
.
这样的置信区间常写成
X
由一个样本值算得样本均值的观察值 x 5.20,
则置信区间为(5.20 0.49), 即 (4.71, 5.69).
在例2中如果给定 0.05,
则又有
P
z0.04
X
/
n
z0.01
0.95,
即
P{ X
n
z0.01
X
n
z0.04
}
0.95,
另外定义中的表达式
P{ ( X1 , X 2 ,, X n ) ( X1 , X 2 ,, X n )} 1
还可以描述为 : 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区间( , ),
每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值, 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
第三节 区间估计
一、区间估计的基本概念 二、典型例题 三、小结
一、区间估计的基本概念
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P( u y ) y ( u y ) 1
0.01
接受区域
95%
0.00 255 270 285 300 315 330 345
估计两个总体比例之差时 样本量的确定
1. 设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定 n1=n2
2. 根据比例之差的区间估计公式可得两个样 本的容量n为
n1 n2 n
( z 2 ) 2 1 (1 1 ) 2 (1 2 ) E2
1 (1 1 ) 2 (1 2 )
是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均
结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数 学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。 抽象地，随机变量的数字特征是指随机变量的数学期 望值。
对于离散型(间断性)随机变量y的分布列为：P{y=yi}=pi ， 其中，i=1，2，…，那么随机变量y的数学期望E(y)为：
（一）在两总体方差已知或大样本时
( y y ) u
1 2
y1 y2
( y y ) u
1 2 1 2
y1 y2
L1 ( y1 y2 ) u y1 y2 L2 ( y1 y2 ) u y1 y2
（二）小样本，两总体方差未知，可两总体方差 相等时
d t sd d d t sd
L1 d t sd ,
L2 d t sd
三、
二项总体百分数p的点估计和区 间估计
(一）np，nq>30,
ˆ u p L1 p ˆ, ˆ u p L2 p ˆ
p ˆ
ˆ (1 p ˆ) p n
即应抽取193位消费者作为样本
七、缺区的参数估计方法
第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准 第二节 矩法
第三节 最小二乘法
第四节 极大似然法
第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准
一、农业科学中的主要参数
农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括: (1)总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产 量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应；
如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其
期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计 量。
(3) 相合性 用估计量估计参数涉及一个样本容量大小问题， 如果样本容量越大估计值越接近真值，那么这种估计量是相 合估计量。 除以上三方面标准外，还有充分性与完备性也是常考虑 的。
充分性指估计量应充分利用样本中每一变量的信息；
这就是随机变量函数的数学期望。同理，离散型随机 变量方差的数学期望为：
D( y) yi E( y) pi
2 i 1
(8· 4)
连续型随机变量方差的数学期望为：
( y) f( y)dy D ( y) yE 2
(8· 5)
数学期望有这样一些常用的性质： (1) 常数的数学期望为常数本身； (2) 随机变量与常数的乘积的数学期望是常数与随机 变量的数学期望的乘积；
第四章 参数的区间估计和点估计
一、总体平均数μ的置信度和置信区间
二、 两总体平均数差数(μ1- μ2)的置信限
三、二项总体百分数p的置信限
四、 两个二项总体百分数差数(p1- p2)的置信限
五、区间估计与假设测验 六、实验中样本量的确定
七、缺区估计ຫໍສະໝຸດ 在一定概率保证下，估计出一个区间以能够覆盖 参数μ，称为区间估计。这个区间称置信区间 (confidence interval，CI)，区间的上、下限称为
E( y) yi pi
i 1
(8· 1)
这样可以求得总体平均值。 对于连续型随机变数y的数学期望E(y)为：
E ( y) yf( y)dy
(8· 2)
其中f(y)为随机变量y的概率密度函数，这样可以求得总 体均值。
用D(y)表示方差，有 D(y)=E [y－E(y)]2
(8· 3)
（二）二项总体百分数p的置信限 5<np，nq<30,
p ˆ
ˆ (1 p ˆ) p n
四、两个二项总体百分数差数(p1- p2)的 置信限 (一）np，nq>30, ˆ1 p ˆ 2 ) u pˆ pˆ ] ( p1 p2 ) [( p ˆ1 p ˆ 2 ) u pˆ pˆ ] [( p
( y u y ) ( y u y )
并有置信限（下限和上限）：
L1 ( y u y ),
L2 ( y u y )
样本平均数对总体平均数的点估计表 示为：
一、
总体平均数μ的置信限
（一）、在总体方差σ2为已知、或大样本时 μ的置信区间为： ( y u ) ( y u ) y y
[( y1 y2 ) t s y1 y2 ] 1 2 [( y1 y2 ) t s y1 y2 ]
L1 ( y1 y2 ) t s y1 y2 ,
L2 ( y1 y2 ) t s y1 y2
（三）小样本成对数据总体差数μd的置信限
μ＝34g的假设，即新引入品种与当地品种的千粒重没
有显著差异。
6. 样本量的确定 6. 估计总体比例时样本量的确定
估计一个总体比例时样本量的确 定
1. 根据比例区间估计公式可得样本量 n为 2
n
( z 2 ) (1 ) E
2
其中： E z 2
(1 )
n
2. 3.
1 k 总体的k阶原点矩，记为 E( y ) ，有 E( y ) N
k k y i ；用观测 i 1 N
值减去平均数得到的离均差的k次方的平均数称为总体的k阶
N 1 中心矩，记为 E[(y ) ] 或 k ，有 E[( y ) ] ( y i )k N i 1
完备性指该估计量是充分的唯一的无偏估计量。
第二节 矩法
一、矩的概念 矩( moment )分为原点矩和中心矩两种。 对于样本y1,y2,…yn，各观测值的k次方的平均值，称为 n 1 k k 样本的k阶原点矩，记为 y k，有 y yi , 用观测值减去 n i 1 平均数得到的离均差的k次方的平均数称为样本的k阶中心矩, n 1 k k ˆ k ，有( y y ) ( y y )k 。 记为 ( y y) 或 i n i 1 对于总体y1,y2,…yN，各观测值的k次方的平均值，称为
L1 y u y ,
L2 y u y
（二）、在总体方差σ2为未知时，n < 30,
σ2需由样本均方s2估计，于是置信区间为：
( y t s y ) ( y t s y )
L1 y t s y ,
L2 y t s y
二、 两总体平均数差数(μ1- μ2)的置信限
因而接受H0；反之，如果对参数所作的假设落
在置信区间之外，则说明假设与参数不同，所
以应否定H0，接受HA。
[例] 原来春小麦千粒重μ0＝34g，新引入春小麦品种的千粒重
y 35.2 g , s y 0.58
, 故其95%置信区间的两个置信限为：
L1=35.2-(2.365×0.58）＝33.8(g) L2=35.2+(2.365×0.58）＝36.6(g) 假设H0：μ＝34g，正好落入上述置信区间，接受H0：
值，即无偏性表示估计值与真值间平均差异为0，近似可以
用估计值作为真值的一个代表。 同一个参数可以有许多无偏估计量，但不同估计量的期望 方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计 量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越 差；否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差，方 差最小说明最有效。
估计两个总体比例之差时样本量的 确定 (例题分析)
解: E=10%, 1-=95%，z/2=1.96，由于没有 的信息，用0.5代替
n1 n2 ( z 2 ) 2 1 (1 1 ) 2 (1 2 ) E2 1.96 2 0.5 (1 0.5) (0.5 (1 0.5) 0.12 192.08 193
(3) 多个随机变量分别与常数的乘积的求和函数的数
学期望是常数与多个随机变量的数学期望的乘积的和； (4) 多个相互独立的随机变量的乘积的数学期望是多 个随机变量的数学期望的乘积。
(二) 参数估计量的评选标准 评价估计量优劣的标准主要有无偏性、有效性、相合性等 (1) 无偏性 参数估计量的期望值与参数真值是相等的，这 种性质称为无偏性，具有无偏性的估计量称为无偏估计量。
1 2 1 2
ˆ1 p ˆ 2 ) u p L1 ( p ˆ1 p ˆ2 ,
ˆ1 p ˆ 2 ) u p L2 ( p ˆ1 p ˆ2
五、
区间估计与假设测验
因为置信区间是一定置信度下总体参数的所 在范围，故对参数所作假设若恰好落在该范围
之内，则这个假设与参数就没有真实的不同，
例如，在抽样分布中已经介绍了离均差平方和除以自由度得
到的均方的平均数等于总体方差，即该均方的数学期望等于 相应总体参数方差，这就是说该均方估计量是无偏的。 估计量的数学期望值在样本容量趋近于无穷大时与参数 的真值相等的性质称为渐进无偏性，具有渐进无偏性的估计 量称为渐进无偏估计量。
(2) 有效性 无偏性表示估计值是在真值周围波动的一个数
置信限 (confidence limit），区间的长度称为置信