第5章 杆件的内力图

示。
列出右段的平衡方程：
Fy 0, FQD FP 0 M D 0, M D FP 0
解得： FQD FP , M D 0
5.2.1 轴力图
§5.2 轴力图与扭矩图
轴向载荷：沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为轴向载荷 (normal load)。杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
T 7024 P (N m) n
其中：P — 功率，马力 （Horsepower）
n — 转速，转/分（rpm）
5.2.2 扭矩图
§5.2 轴力图与扭矩图
扭矩图：扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagram of torsional moment)。 绘制扭矩图的步骤：
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.2 杆件横截面上的内力与外力的相依关系
当杆件上的外力(包括载荷与约束力)沿杆的轴线方向发生 突变时，内力的变化规律也将发生变化。
外力突变： 指有集中力、集中力偶
作用的情形；分布载荷间断 或分布载荷集度发生突变的 情形。
内力变化规律：
指表示内力随截面位置 变化的函数或变化的图线。
5.2.1 轴力图
§5.2 轴力图与扭矩图
绘制轴力图的步骤：
① 确定约束力。 ② 根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴 力图的分段点。 ③ 应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的 截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件 建立平衡方程，确定控制面上的轴力。
解： 1．将轴分段 （确定控制面）
由题分析知，可以将轴分为AB、BC、CD共3段，各段上任意截面上 的扭矩相同。
§5.2 轴力图与扭矩图
2．应用截面法确定各段圆轴内 的扭矩
AB段：
M x 0, M x1 315 0
M x1 315N m
BC段：
M x 0, M x2 315 315 0
本 章 内 容： §5.1 基本概念与基本方法 §5.2 轴力图与扭矩图 §5.3 剪力图与弯矩图 §5.4 结论与讨论
任意截面上的内力与内力分量
根据空间力系的简化，作用在截面上的内力可以简化为一 主矢FR和主矩M，共有6个分量。
轴力：FN，使杆件沿轴线方向产生拉伸 或压缩变形。
剪力： FQy、FQz，使杆件两相邻截面
P
FN
A
Fx 0 FN P 0 FN P
§5.1 基本概念与基本方法
【例题5.1】图示之一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁(canti-
lever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面 C及截面D上的剪力和弯矩。
解：分析：所求问题为截面上的内力分 量，故可采用截面法求解，具体步骤 可依截面法的八字方针进行。
3．建立Mx-x坐标系，画出扭矩图
由所求得的各段的扭矩，得到扭矩图如图所示（在轴上外力偶矩作 用处的截面两侧扭矩发生突变）。
§5.3 剪力图与弯矩图
5.3.1 剪力方程与弯矩方程 一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变
而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程， 分别称为剪力方程(equation of shearing force)和弯矩方程 (equation of bending moment)。
直线。
而在截面B处，由于集中力F1的作用，轴力发生突变，即截面b”与b’ 轴力发生突变。由此得到杆件的轴力图如右图所示。
§5.2 轴力图与扭矩图
实际中更常用的轴力图的求法：
①根据杆件上作用的轴向载荷（主要指集中载荷），确定不同 截面位置处轴力的变化情况，将杆件分段（杆件上两集中载荷 中间部分的轴力相同）。 ②应用截面法，求不同分段处杆件截面上的轴力。
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.4 杆件内力分量的正负号规则
轴力FN：无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为
负。
剪力FQ(FQy或FQz)：使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆
时针方向转动者为负。
弯矩M(My或Mz)：作用在左侧截面上使截开部分逆时针方向转动；或
者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。
(B”和B’)为控制面。
3．应用截面法求控制面处的轴力
用假想截面分别从控制面A、 B” 、B’、C处将杆截开，假设横
截面上的轴力均为正方向(拉力)， 并考察截开后下面部分的平衡， 如右图所示。
§5.2 轴力图与扭矩图
根据平衡方程：
Fx 0
解得各控制面上的轴力分别为：
A截面：FNA F2 - F1 5kN B截面：FNB F2 - F1 5kN B截面：FNB F2 10kN C截面：FNC F2 10kN
产生剪切变形。
扭矩： Mx ，使杆件两相邻截面产生绕
杆件轴线的扭转变形。
弯矩： My、Mz，使杆件两相邻截面产
生弯曲变形。
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.1 整体平衡与局部平衡的概念
整体平衡与局部平衡：弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则 从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或 总体平衡(overall equilibrium)；后者称为局部平衡(local equilibrium)。
解：1．将轴分段 （确定控制面） 由题分析知，可以将轴分为AB、BC共2段，各段上任意截面上的扭
矩相同。 2．应用截面法确定各段圆轴内的扭矩 AB段：
Mx(AB) 0, Mx(AB) Me =0 ,Mx(AB) Me
BC段：
§5.2 轴力图与扭矩图
Mx(BC) 0, Mx(BC) Me - 3Me 0 , Mx(BC) 2Me
1．确定约束力 取整体为研究对象，受力图如图示：
平衡方程为：
Fx 0, FA F1 F2 0
解得： FA 5kN
§5.2 轴力图与扭矩图
2．确定控制面 依据控制面的确定原则，
选取集中载荷F2作用处的C截 面、约束力FA作用处的A截面， 以及集中载荷F1作用点B处的
上、下两侧用虚线表示的截面
④ 建立FN一x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出
轴力图。
§5.2 轴力图与扭矩图 5.2.1 轴力图
【例题5.2】 图示之直杆，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中 F1=5kN，F2=10kN。试画出杆件的轴力图。
解：分析：所求问题为画出杆件的轴力图，由题 意知，杆件作用有两个轴向载荷，故在杆件不同 位置处的截面，轴力可能并不相同，因此需要按 照轴力图画法的步骤进行求解。
一种内力分量FN。
杆件承受轴向载荷时轴力的特点：杆件只在两个端截面处承受 轴向载荷时，杆件的所有横截面上的轴力都是相同的；如果杆 件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点 之间的横截面上的轴力是相同的。
轴力图：表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为轴力图 (diagram of normal force)。
1．求截面C上的剪力和弯矩
用假想截面从截面C处将梁截开，
取右段为研究对象，舍弃的左段对右段
的外力为剪力FQC和弯矩MC，右段的受力
分析如右图所示。 列出右段的平衡方程：
Fy 0, FQC FP 0 MC 0, MC MO FPl 0
解得： FQC FP , MC FPl
§5.2 轴力图与扭矩图
4．建立FN-x坐标系，画轴力图
FN-x坐标系中，x坐标轴沿着杆件 的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标
在FN-x坐标系中，得到a、b”、b’和c
四点。
因为在A、B”之间以及B’、C之间，
没有其他外力作用，故这两段中的轴
力分别与A(或B”)截面以及C(或B’)截 面相同。这表明a点与b”点之间以及c 点与b’点之间的轴力图为平行于x轴的
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.3 控制面
在一段杆上，内力按一种函数规律变化，这一段杆的两个 端截面称为控制面(control cross-section)。控制面也就是 函数定义域的两个端点 。
※可能为控制面的截面：
✓集中力作用点两侧截面 ✓集中力偶作用点两侧截面 ✓集度相同、连续变化的分 布载荷起点和终点处截面
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
§5.2 轴力图与扭矩图
（2）同理，可求得AB、 BC、CD段内力分别为：
N2
BC
D
- N2 PB PC PD 0 N2 3P PB
- N3 PC PD 0 N3 5P N3
整体与局部的概念：整体是指杆件所代表的某一构件。局部是 指：① 用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；② 两相距 无穷小截面所截出的一微段；③ 围绕某一点截取的某种微元 或微元的局部等。
弹性体平衡原理：这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用 于弹性杆件，而且适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平 衡原理(equilibrium principle for elastic body)。
-N4 +PD 0 N4 P
N4
PC C PC
PD D
D PD
N
5P
PD
轴力图如右图
2P
+
+
P
x
–
3P
5.2.2 扭矩图
§5.2 轴力图与扭矩图
传动轴的传递功率P、转速n与外力偶矩T的关系 ：
P dW Td T Tn
dt dt
30