考点42曲线与方程高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 一、曲线与方程的概念

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤 求曲线的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 三、两曲线的交点

（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

考向一 考查曲线与方程的概念

判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系： （1）曲线上的每个点都符合某种条件；

（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满

足方程. 典例1 方程

表示的曲线是

A ．一个圆和一条直线

B ．半个圆和一条直线

C ．一个圆和两条射线

D ．一个圆和一条线段

【答案】C 典例2 方程y =-对应的曲线是

【答案】A 【解析】将y =-平方得x 2+y 2

=4(y ≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，

故选A.

1．方程x 2

＋y 2

－2x +4y +5＝0表示的图形是 A ．一个点 B ．两条直线 C ．一个圆

D ．一条直线与一个圆

考向二 直接法求轨迹方程

直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 典例3 已知坐标平面上一点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M ，且1

2

5MM MM =． （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记（1）中轨迹为C ，过点(2,3)P -的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．

【解析】（1）由

12||5||MM MM =22

22(26)(1)5(2)(1)

x y x y -+-=-+-， 化简得2

2

22230x y x y +---=，

所以点M 的轨迹方程是2

2

(1)(1)25x y -+-=， 该轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．

（2）当直线l 的斜率不存在时，:2l x =-，此时所截得的线段的长为222538-=，

2．在平面直角坐标系中，已知定点()0,2A -，()0,2B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-4，则动点P 的轨迹方程为

A ．()2

2104y x x +=≠ B ．2

214y x += C ．2

214

y x -= D ．()2

2124

y x y -=≠± 3．设,x y ∈R ，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),P x y 的轨迹为除去x 轴上点的 A ．一条直线 B ．一个圆 C ．双曲线的一支

D ．一个椭圆

考向三 定义法求轨迹方程

求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键．

利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制． 典例4 已知圆A

，圆B ：()2

2

1

24

x y -+=

，动圆P 与圆A 、圆B 均外切. （1）求动圆P 的圆心的轨迹C 的方程；

（2）过圆心B 的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求｜MN ｜的最小值. 【解析】（1）设动圆P 的半径为，则│PA │＝52r +

，│PB │=12

r +, 4．设圆(x ＋1)2

＋y 2

＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与

CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为

A ．22

4412125x y -= B ．22

4412521x y += C ．22

4412521

x y -= D ．22

4412125

x y += 5．如果点(),M x y ()

()

2

2

2

22223x y x y -+++=.

（1）说明点M 的轨迹是什么曲线，并求出它的轨迹方程；

（2）若O 是坐标原点，直线l ：2y kx =+交点M 的轨迹于不同的两点,A B ，求AOB △面积的最大值.