电磁场习题解2(上)(西安交通大学)
第二章习题解
2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
解：设z r ?=
,y r x r y r x
r ?',?',?',?'2321-=-=== z y r r R z x r r R z y r r R z x
r r R ??';??';??';??'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=
84?15?6?
3
)
????(41
0244
42333222221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=
+++=
2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。
(a) (b) (c)
题2-2图
解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E
(b) 由对称性0321=++=E E E E
(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为
y
a
y x y x a E E E l
l a ?2)}??()??{(40021περπερ-=--+-=
+=
半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为
y a E l
b ?20περ=
总电场为0=+=b a E E E
2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。
解:在无限长的半边圆筒上取宽度为?ad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为
?ρρad s l =,对?积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为
y d x y a d r a E s
s s ?)?cos ?sin (22?00
00
0??-=--==πππερ???περπε?ρ 题2-3图 题2-4图
2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。
解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，在点
),(y x 处产生的电场为
ρρ
ρπε'?21
),(0dx y x E d s =
其中
22)'(y x x +-=ρ；2
2
)'(??)'(?y
x x y y x
x x +-+-=ρ
对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为
)}2
/2/(2?)2/()2/(ln ?{4),(2
2220y a x arctg y a x arctg y y
a x y a x x y x E s --+++-++=περ 2-5.已知电荷分布为
ρ=≤>?????r a r a
r a
2
20;;
ρs b r a ==;
r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。求电场强度。
解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理
??=?s
q
S d E 0
ε
等式左边为
r s
E r S d E ??
=?2
4π 半径为 r 的球面内的电量为???
????>+<=a
r ba a a r a r q ;554;542
325
ππ 因此，电场强度为
???????>+<=a r r
ba a a r a
r E r ;55;5202
32
03
εε
2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为
ρ=≤>?????r a r a
r a
;;0
r 为场点到z 轴的距离，a 为常数。求电场强度。
解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理
??=?s
q
S d E 0
ε
等式左边为 r s
E r S d E ??=?π2
半径为 r 的圆柱面内的电量为???????><=a r a a r a
r q ;3
2;32
2
3
ππ 因此，电场强度为
???????><=a r r a a r a r E r ;3;30
202
εε
2-7. 在直角坐标系中电荷分布为
ρρ(,,);;x y z x a
x a =≤>???
00
求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，
取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为
?
??><=a x aS a x xS q ;2;200ρρ
因此，电场强度为 ???????><=a x a a x x
E x ;;0
00
0ερερ 题2-9图
题2-7图
2-8. 在直角坐标系中电荷分布为
ρ(,,);;x y z x x a
x a =≤>???
求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过
面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为 ?
??><=a x S a a
x S x q ;;22
因此，电场强度为 ???????><<=a x a a x x E x ;20;202002ερερ???
????-<-<<--=a x a x a x E x ;20;202
2
εε
2-9.在电荷密度为ρ（常数）半径为a 的带电球中挖一个半径为b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c 解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为 3ερR E a = 完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为 3ερr E b -= 所以，空腔中某点的电场为 00 3)(3ερερc r R E E E b a =-=+= c 为从球心指向空腔中心的矢量。 2-10.已知电场分布为 E x b x b x b x x b x x b =-<<>- ? ??22222 ;// ;/ ;/ 求电荷分布。 解:由0/ερ=??E 得 ?????><=??=2 /;02 /;200b x b x b E εερ 2-11. 已知在圆柱坐标中，电场分布为 E Cr r a r b r a r b =<<<>????? ;;,0 求电荷分布。 解: 由0/ερ=??E 得 00=??=E ερ 在r=a,r=b 的面上，电场不连续，有面电荷.电荷面密度为 ???=-====b r b C a r a C E D n n s ;/;/0 00εεερ 2-12.若在直角坐标系中电位为 B Ax +=Φ 其中A ，B 均为常数，求电荷密度。 解:由02 /ερ-=Φ?得 =Φ?-=2 0ερ0 2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。 (a) (b) 解:(a) 方形均匀线电荷在轴线上的电位 对于方形，每条边均匀线电荷的电位 2 /)2 (2 /)2( ln 4''4)(22220 2 /2 /220 L L d L L d x d dx d l L L l -+++=+= Φ? -περπερ 其中 2 2 2 )2/(L z d += 方形均匀线电荷在轴线上的电位为 2 /2/2 /2/ln )(22220L L z L L z z l -+++=Φπερ (b) 圆形均匀线电荷在轴线上的电位 2 2 020 2 2 2'4)(z a a z a ad z l l += += Φ? ερ?περπ 2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。 解: 题2-5给出的电荷分布的电场为 ??? ????>+<=a r r ba a a r a r E r ;55;5202 32 03 εε 由电位的定义,电位为 ? ∞ =Φr r dr E r )( 对于r>a ?∞ +=+=Φr r ba a dr r ba a r 02 32 0235555)(εε 对于r 2 04 02022032023202055555)(a r a ba a dr a r dr r ba a r a a r εεεεε-++=++=Φ??∞ 2-15.半径为a ，长度为L 的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为 P P z =0 (P 0为常数）。求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为0'=?-?=P ρ (2) 介质表面的束缚电荷面密度为P n s ?=?'ρ 在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为0'P s ±=ρ. (3) 上下端面上束缚电荷产生的电场 由例题2.2, 圆盘形电荷产生的电场为 ???????<++->+-=0 ');''1(20');''1(2)'(220 2 20z a z z z a z z z E s s z ερερ 式中a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。 对上式做变换,2/'L z z -=,0P s =ρ,可上端面上束缚电荷产生的电场为 ??? ????<+--+->+---=2 /);)2/(2/1(22/);)2/(2/1(2)(22002 20 1L z a L z L z P L z a L z L z P z E z εε 同理,做变换,2/'L z z +=,0P s -=ρ,可下端面上束缚电荷产生的电场为 ???????-<++++->+++--=2 /);)2/(2/1(22/);)2/(2/1(2)(220 02 20 2L z a L z L z P L z a L z L z P z E z εε 上下端面上束缚电荷产生的总电场为 ????? ??????-<+---+++<<-+---++++->+---+++=2/);)2/(2 /)2/(2/(22/2/);)2/(2/)2/(2/2(22 /);)2/(2 /)2/(2/(222220022220 022220 0L z a L z L z a L z L z P L z L a L z L z a L z L z P L z a L z L z a L z L z P E z εεε 2-16.半径为a 的介质球均匀极化， P P z =0 ，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为0'=?-?=P ρ (2) 介质表面的束缚电荷面密度为 θρcos ???'00P P r z P n s =?=?= 题2-16图 (3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场 在介质球表面取半径为θsin a r =宽度为θad dl =的环带,可看成 半径为θsin a r =,θcos a z -=,电荷线密度为θθρd aP l cos 0=的线电荷圆环,例2.1给出了线电荷圆环的电场,对θ积分得 0002 0002/32223003cos cos 2] )cos ()sin [(cos sin 2εθθεθθθθθεππP d P a a d a P E z =-=+=?? 2-17.无限长的线电荷位于介电常数为ε的均匀介质中，线电荷密度ρl 为常数，求介质中的电场强度。 解: 设无限长的线电荷沿 z 轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为 περ ρρ2l E = ρ为场点到线电荷的距离. 2-18. 半径为a 的均匀带电球壳，电荷面密度ρs 为常数，外包一层厚度为d 、介电常数为ε的介质，求介 质内外的电场强度。 解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，利用高斯定理 ??=?S q S d D 上式左右两边分别为 s r a D r ρππ2 244= 由此得 2 2r a D s r ρ= 因为E D ε=，所 以 ???????+>+<<=d a r r a d a r a r a E s s r ;;20 22 2ερερ 2-19.两同心导体球壳半径分别为a 、b ，两导体之间介质的介电常数为ε，求两导体球壳之间的电容。 解：设内导体带电荷为 q ，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 2 4r q E r πε= 两导体球壳之间的电压为 )11(4b a q dr E V b a r -= =? πε 两导体球壳之间的电容为 a b ab V q C -= = πε4 2-20. 两同心导体球壳半径分别为a 、b ，两导体之间有两层介质，介电常数为ε1、ε2，介质界面半径为c ，求两导体球壳之间的电容。 解：设内导体带电荷为 q ，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，采用高斯定理可得， 2 4r q D r π= 两导体球壳之间的电场为 ??? ????<<<<=b r c r q c r a r q E r ;4;42221πεπε 两导体球壳之间的电压为 )1 1(4b a q dr E V b a r -= =?πε 两导体球壳之间的电容为 a b ab V q C -= =πε4 2-21. 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a 、b ，两导体之间介质的介电常数为ε，介质的击穿场强为E b ，求此电容器的耐压。 解：设内导体带电荷为 q ，由于电荷与介质分布具有轴对称性，取半径为 r 的柱面，忽略边缘效应，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 rl q E r πε2= 内导体表面上的电场最强，设等于击穿场强b E ，则al E q b πε2=。两导体球壳之间的电场用击穿场强b E 表示为 r aE E b r = 两导体球壳之间的耐压为 a b aE dr E V b a b r ln max ? == 2-22.已知电场强度为 E x y z =+-345 ，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 解：由于0=??E ，从而?=?l l d E 0 ，即对E 的线积分与路径无关，因此从点(0,0,0)到点(1,2,1)之间对 E 的线积分的路径可取沿如图所示的路径，点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压为 题2-22图 ???=?+?+?=10 20 10 6???dz z E dy y E dx x E V 2-23.已知在球坐标中电场强度为 E r r = 3 2 ，试求点(,,) aθ? 11 与点(,,) bθ? 22 之间的电压。 解：由于0 = ? ?E ，从而?= ? l l d E0 ，即对E 的线积分与路径无关，因此从点(,,) aθ? 11 到点(,,) bθ? 22之间对E 的线积分的路径可取从(,,) aθ? 11 沿径向到点) , , ( 1 1 ? θ b，再从) , , ( 1 1 ? θ b沿球面到点(,,) bθ? 22 的路径，而第二条路径的切向与E 垂直，线积分为零，因此 ??- = = ? = l b a ba a b dr r l d E V ) (3 3 2 2-24.已知在圆柱坐标中电场强度为 E= 2 ρ ρ ，试求点(,,) a? 1 0与点(,,) b? 2 0之间的电压。 解：由于0 = ? ?E ，从而?= ? l l d E0 ，即对E 的线积分与路径无关，因此从点(,,) a? 1 0到点(,,) b? 2 0之间对E 的线积分的路径可取从(,,) a? 1 0沿径向到点)0, , ( 1 ? b，再从)0, , ( 1 ? b沿柱面到点(,,) b? 2 0的路径，而第二条路径的切向与E 垂直，线积分为零，因此 ??= = ? = l b a a b d l d E V ln 2 2 ρ ρ 2-25已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为ε，在球心放一电量为q的点电荷，求电场强度。 解：由题意，电场具有球对称结构。利用高斯定理??= ? S q S d D ，在半径为r的球面上 2 4r q D rπ = 由E D ε =得 ? ? ? ?? ? ? < < > < = b r a r q b r a r r q E r ; 4 , ; 4 2 2 πε πε 2-26.有三层均匀介质，介电常数分别为εεε 123 ,,,取坐标系使分界均平行于xy面。已知三层介质中均为匀强场，且 E x z 1 32 =+ ，求 E E 23 ,。 解：因为三层介质中均为匀强场， E x z 1 32 =+ ，设第二、三层介质中的电场强度分别为 z E y E x E E z y x ? ? ? 2 2 2 2 + + = ；z E y E x E E z y x ? ? ? 3 3 3 3 + + = 由边界条件 t t E E 2 1 =可得 3 1 3 2 = = = x x x E E E，0 1 3 2 = = = y y y E E E 由边界条件 n n D D 2 1 =，可得 1 1 3 2 2ε = = = z z z D D D，即 2 1 2 / 2ε ε = z E； 3 1 3 / 2ε ε = z E 所以z x E? / 2 ?3 2 1 2 ε ε + = ，z x E? / 2 ?3 3 1 3 ε ε + = 题2-27图 题2-28图 2-27.半径为a 的导体球中有两个半径均为b 的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q 的点电荷，如图所示，求导体球腔中及球外的电场强度。 解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为2 1 01 14?R R q E πε= ，1R 为从空腔中心指向该空腔中场点的位置矢量。 （2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。 （3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为 2 04r q E r πε= r 为导体球心到场点的距离。 2-28.同轴圆柱形电容器内外半径分别为a 、b ，导体之间一半填充介电常数为ε1的介质，另一半填充介电常数为ε2的介质。当电压为V 时，求电容器中的电场、电容及电荷分布。 解：设内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为 r 的圆柱面，利用高斯定理 ??=?S q S d D 在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为 q E E rl r r =+)(22211εεπ 由介质边界条件r r r E E E ==21，可得 r l q E r )(221εεπ+= 内外导体之间的电压为 a b l q dr E V b a r ln ) (221εεπ+= =? 由此得a b V l q ln )(221εεπ+= ；从而得 a b r V E r ln = a b l V q C ln )(221εεπ+== 由n D s ??= ρ，电荷分布为 ε1介质侧???????? ?=-==b r a b b V a r a b a V s ;ln ;ln 11εερ；ε2介质侧???? ?????=-==b r a b b V a r a b a V s ;ln ;ln 22εερ 2-29.z>0半空间为介电常数为ε1的介质，z<0半空间为介电常数为ε2的介质，当 (1)电量为q 的点电荷放在介质分界面 (2)电荷线密度为ρl 的均匀线电荷放在介质分界面 求电场强度。 解：（1）电量为q 的点电荷放在介质分界面 以点电荷为中心作以半径为r 的球，利用高斯定理 ??=?S q S d D 设上、下半球面上的电位移矢量分别1D 、2D ，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有 (22 r π)21n n D D +=q 根据边界条件t t E E 21=，因此 2 21)(2r q E n εεπ+= （2）电荷线密度为ρl 的均匀线电荷放在介质分界面 以线电荷为轴线作以半径为r 单位长度的圆柱面，利用高斯定理 ??=?S l S d D ρ 设上、下半柱面上的电位移矢量分别1D 、2D ，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有 (r π)21n n D D +=l ρ (r π)2211n n E E εε+=l ρ 根据边界条件n n E E 21=，因此 r E l n )(21εεπρ+= 2-30.面积为A ，间距为d 的平板电容器电压为V ，介电常数为ε厚度为t 的介质板分别按如图a 、b 所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中的电容、电场及电荷分布。 题2-30图 解：（a ）设导体板之间介质与空气中的电场分别为e E 、0E ，那么e E 、0E 满足关系 V t d E t E e =-+)(0 00E E e εε= （边界条件） 求解以上两式得 ) (t d t V E r e -+= ε； )(0t d t V E r r -+=εε 根据导体表面上的边界条件n s D =ρ，在上、下导体表面上的电荷面密度为 )(t d t V r s -+±=εερ 电容为 ) (t d t AS V A C r s -+==εερ (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 d V E /= 根据导体表面上的边界条件n s D =ρ，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为 d V s /00ερ±= 在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 d V es /ερ±= 电容为 ad At ad t a A V A A C e es s εερρ+ -= += ) (000 2-31.电荷分布为 ?? ? ??><<<=d x d x x x x ;00;0;0)(ρ 在x=0处电位为0，求电位分布。 解：由电荷分布可知，电位仅是x 的函数，电位满足的方程为 ?? ?><<<-=Φd x x d x x dx d ,0;00;/022ε 其通解为 在d x <<0 210 3 16c x c x ++-=Φε 在0 002 1==Φ=Φx ;d x =Φ=Φ3 1; 021=Φ=Φx dx d dx d ;d x dx d dx d =Φ= Φ3 1 当∞→x 时，电荷分布可看成薄层，薄层外电场具有对称分布，32E E -=，即 ∞ →Φ= -∞→Φ- x dx d x dx d 32 得0 3 602531423;4;0εεd c d c c c c c = =-==== 即 ???? ??? ??>+-<<+- <=Φ d x d x d d x x d x x x d x ;340;460;4)(03 020203 02 εεεεε 2-32.两块电位分别为0和V 的半无限大的导电平板构成夹角为α的角形区域，求该角形区域中的电位分 布。 解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是?的函数，在导电平板之间电位方程为 012 22 =Φ =Φ?? ρd d 其通解为 01c c +=Φ? 由边界条件V ==Φ==Φ)(;0)0(α??，得 ?α V =Φ φ=V c α b φ=0 a 题2.32A 图 题2.31图 2-33.由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V 外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。 解：用分离变量法，可得电位的通解为 )(sin sin ),,(1 ,z mn z m n mn e B e y c n x a m A z y x ααππ+=Φ-∞ =∑ 22)()( c n a m π πα+= 利用边界条件V b z z ==Φ==Φ)(;0)0(，可求出系数 1-=mn B ) (162 b sh mn V A mn απ= （m 、n 为奇数） 0=mn A （m 、n 为偶数） 题2-33图 题2-34图 2-34.在 E E x =0 的匀强电场中沿z 轴放一根半径为a 的无限长导电圆柱后，求电位及电场。 解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为 ∑∞ =-+++ +=Φ1 00)sin )(cos (ln ),(m m m m m m m b m d c d c ??ρρρ?ρ （1） 设0)0(==Φρ，当∞→ρ时的电位等于无导电圆柱的电位，即 ?-=-=?=∞→Φ=∞→Φ00000cos ?)()(x E x E dx x E ?ρρρ （2） 要使式（1）的电位在∞→ρ时等于式（2），可得到系数 01E c -=，01=≠m c ，0=m b ，00=d 再由导体界面的边界条件0)(==Φa ρ得 0,1021==≠m d E a d 因此，电位的特解为 ?ρ ρ?ρcos )(),(2 0a E - -=Φ 2-35.在无限大的导电平板上方距导电平板h 处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为ρl ，求导电平板上方的电场。 解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-ρl 的线电荷, 导电平板上方的电场为 )(222 2 1110r r r r E l -=περ 式中1r 、2r 分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。