数学必修五知识点总结归纳

必修五知识点总结归纳
（一）解三角形
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外
接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c
C R
=；
③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 2、三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．
3、余弦定理：在C ∆AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ，2
2
2
2cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
4、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222
cos 2a c b ac
+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．
5、射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+
6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2
2
2
a b c +=，则90C =； ②若2
2
2
a b c +>，则90C <；③若2
2
2
a b c +<，则90C >．
(二)数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +->
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-<
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2
a c
b +=
，则称b 为a 与c 的等差中项． 13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 14、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1
1
n a a d n -=-； ④11n a a n d -=
+；⑤n
m
a a d n m
-=-． 15、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*
q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+．
16、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=
；②()
112
n n n S na d -=+
． 17、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为(
)*
2n n ∈N
，则()21n
n n S
n a a +=+，且
S S nd -=偶奇，
1
n n S a
S a +=奇偶．
②若项数为()
*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1
S n
S n =
-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．
18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
19、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比项 ．若2
G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是G ±
20、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1
1n n a a q -=．
21、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③11
n n a q a -=；④n m
n m
a q
a -=． 22、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*
q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；
若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*
q ∈N ），则2
n p q a a a =⋅．
23、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()
()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩
．
24、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()
*2n n ∈N ，则
S q S =偶奇
．
②n
n m n m S S q S +=+⋅．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（0n S ≠）．
（三）不等式
1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．
2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；
⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式2
4b ac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆<
二
次
函
数
2y ax bx c =++
()0a >的图象
一元二次方程2
ax bx +
0c +=()0a >的根
有两个相异实数根
1,22b x a
-±∆=()12x x < 有两个相等实数根
122b
x x a
==-
没有实数根
一元二次不等式的解集
20
ax bx c ++>()0a >
{}1
2
x x x x x <>或
2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩
⎭
R
20
ax bx c ++<()0a >
{}1
2x x
x x <<
∅ ∅
若二次项系数为负，先变为正 5、设a 、b 是两个正数，则2
a b
+称为正数a 、b ab a 、b 的几何平均数．
6、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即
2
a b
ab +≥ 7、常用的基本不等式：①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2
a b ab a b R +≤∈；
③()20,02a b ab a b +⎛⎫
≤>> ⎪⎝⎭；④()2
22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭
．
8、极值定理：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．
⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．。