高考三角典型例题(教师版)

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考点14 解三角形(教师版) 新课标

A. B. C. D．2
4．（海淀区高三年级第二学期期末练习文）在中，若，，的面积为，则 =.
5．(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)在△ 中，，，，则 ___ __．
【答案】；
【解析】利用正弦定理可知：
6．在中，，AB=5，BC=7，则的面积S=
7．（怀化2012高三第三次模拟考试文）（本小题满分12分）
考点14解三角形
【高考再现】
热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长
1．（2012年高考（重庆文））设△ 的内角的对边分别为 ,且 ,则 ____
2．（2012年高考（天津理））在中,内角 , , 所对的边分别是 ,已知 , ,则（）
A． B． C． D．
3．（2012年高考（陕西理））在中,角所对边长分别为 ,若 ,则的最小值为（）
6．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()
A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定
【名校模拟】
一．基础扎实
1．(2012·长沙模拟)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知A＝，a＝，b＝1，则c等于()
A．1B．2C. －1 D.
2．(2012·福州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4 ，B＝45°，则sinC等于()
2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
热点三、利用正余弦定理求三角形面积
1．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)

高考大题训练(三角函数教师版)共30题王斌高考总复习高考最后冲刺

1．（2010天津文）（17）（本小题满分12分）在∆ABC 中，cos cos AC BAB C=。

（Ⅰ）证明B=C ：（Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分. （Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得s i n B s i n C =cosBcosC.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin （B-C ）=0.因为B C ππ-<-<，从而B-C=0. 所以B=C.（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B,故cos2B=-cos （π-2B ）=-cosA=13.又0<2B<π,于是=3.从而sin4B=2sin2Bcos2B=9，cos4B=227cos 2sin 29B B -=-.所以sin(4)sin 4coscos 4sin333B B B πππ+=+=2．(2009四川卷文）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin A B == （I ）求A B +的值；（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。

解（I ）∵A B 、为锐角，sin A B ==∴ cos A B ====cos()cos cos sin sin 5105102A B A B A B +=-=⨯-⨯=∵ 0A B π<+< ∴ 4A B π+=…………………………………………6分（II ）由（I ）知34C π=，∴sin C =由sin sin sin a b cA B C==得==，即,a c ==又∵1a b -=∴1b -= ∴ 1b =∴a c ==…………………………………………12分.3．（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

2025高考数学必刷题第37讲、三角形四心及奔驰定理(教师版)

第37讲三角形四心及奔驰定理知识梳理技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则△ABC 的重心坐标为123123()33x x x y y y G ++++，．注意：（1）在ABC △中，若O 为重心，则0OA OB OC ++= ．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：1133AG AB AC =+ ．奔驰定理：0B A C S OA S OB S OC⋅⋅⋅++=，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ奔驰定理证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++= 11121AOB A OB S S λλ=△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，11231BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△．技巧三．三角形四心与推论：（1）O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0BS S S OA OB OC =⇔++=△△△．（2）O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c aOA bOB cOC =⇔++=△△△．（3）O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOBS S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．（4）O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量AB ACAB AC + 所在的直线上．0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心．（2）外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心．（3）垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心．（4）重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心．必考题型全归纳题型一：奔驰定理例1．（2024·全国·高一专题练习）已知O 是ABC 内部的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，则AOB 与ABC 的面积之比为（）A ．49B ．13C ．29D ．59【答案】A【解析】由正弦定理sin sin sin a b cK A B C===,又3a =，2b =，4c =，所以得()32401O K A OB OC ⋅+⋅+⋅= ,因为10K ≠,所以3240OA OB OC ⋅+⋅+⋅= .设1113,2,4,OA OA OB OB OC OC === 可得1110,OA OB OC ++=则O 是111A B C △的重心，111111OA B OB C OA C S S S S === ，利用11111sin 2S OA OB A OB =⋅⋅∠,11sin sin AOB AOB ∠=∠,所以11111sin 121632sin 2OAB OA OB AOB S OA OB SOA OB OA OB AOB ⋅∠⋅===⋅⋅∠,所以16OAB S S = ,同理可得18OBC S S = ,112AOC S S = .所以AOB 与ABC 的面积之比为1111:4:966812S S S S ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即为49.故选：A.例2．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】如图，设OA OC + OD = ，∵20OA OB OC ++= ，∴2OD OB =-，设AC 与OD 交于点M ，则M 平分,AC BD ，∴OM OB =-，O 是BM 中点，∴1124AOB AMB ABC S S S ∆∆∆==．比值为14．故选：C ．例3．（2024·全国·高一专题练习）若点M 是ABC 所在平面内的一点，点D 是边AC 靠近A的三等分点，且满足5AM AB AC =+，则ABM 与ABD △的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．925【答案】C【解析】M 是ABC 所在平面内一点，连接AM ，BM ，延长AM 至E 使5AE AM =，∵5AM AB AC AE =+= ，∴AB AE AC CE =-= ，连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形，向量AB和向量CE 平行且模相等，由于3AC AD = ，所以13ABD ABC S S =△△，又5AE AM = ，所以15ABM ABE S S =△△，在平行四边形中，ABDABE S S =△△，则ABM 与ABD △的面积比为135153ABEABD S S =△△，故选：C.变式1．（2024·全国·高三专题练习）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】由0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r 得b c a aS S OA OB OC S S =-- ，由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得b c OA OB OC a a =--，根据平面向量基本定理可得b a S b S a -=-，c a S cS a-=-，所以b a S b S a =，c a S c S a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 于F，则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a =||||AC BC =，所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，所以O 为ABC 的内心.故选：B变式2．（2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC∠⋅+∠⋅+∠⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =【答案】D【解析】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则=2O OA O D C B O +=，故,,C O D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边,BC AC 的中线上，故O 为ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B CS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可知，若230OA OB OC ++=，可得::1:2:3A B C S S S =，即B 正确；对于C ：由四边形内角和可知，πBOC BAC ∠+∠=，则cos cos OB OC OB OC BOC OB OC BAC =∠=-∠，同理，cos cos OB OA OB OA BOA OB OA BCA =∠=-∠，因为O 为ABC 的垂心，则()0OB AC OB OC OA OB OC OB OA ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以cos cos OC BAC OA BCA ∠=∠ ，同理得cos cos OC ABC OB BCA ∠=∠ ，cos cos OA ABC OB BAC ∠=∠，则::cos :cos :cos OA OB OC BAC ABC BCA =∠∠∠，令cos ,cos ,cos OA m BAC OB m ABC OC m BCA =∠=∠=∠ ，由1sin 2A S OB OC BOC =∠ ，则21sin cos cos sin 22A m S OB OC BAC ABC BCA BAC=∠=∠∠∠ ，同理：21sin cos sin 22B m S OA OC ABC BAC BCA ABC =∠=∠∠∠ ，21sin cos cos sin 22C m S OA OB BCA BAC ABC BCA=∠=∠∠∠ ，综上，sin sin sin ::::tan :tan :tan cos cos cos A B C BAC ABC BCAS S S BAC ABC BCA BAC ABC BCA∠∠∠==∠∠∠∠∠∠，根据奔驰定理得tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=，即C 正确.对于D ：由5π||||2,6OA OB AOB ==∠= 可知，1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =由1C S =可得，13,24A B S S ==；所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，即D 错误；故选：D.变式3．（多选题）（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，O 是ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是ABC 的三个内角，以下命题正确．．的有（）A ．若2340OA OB OC ++=，则4:::3:2A B C S S S =B ．若2OA OB == ，23AOB π∠=，且2340OA OB OC ++= ，则4ABC S =△C ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC 的垂心D ．若O 为ABC 的内心，且512130OA OB OC ++= ，则π2ACB ∠=【答案】BCD【解析】对选项A ：2340OA OB OC ++=，则::2:3:4A B C S S S =，错误；对选项B ：122sin1202AOB S =⨯⨯⨯︒=△2340OA OB OC ++= ，故::2:3:4A B C S S S =，94ABC A S S =⨯=△对选项C ：OA OB OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OC OB CA OB -⋅=⋅= ，故CA OB ⊥，同理可得CB OA ⊥ ，AB OC ⊥，故O 为ABC 的垂心，正确；对选项D ：512130OA OB OC ++=，故5:12:::13A B C S S S =，设内接圆半径为r ，12A S r BC =⋅，12B S r AC =⋅，12C S r AB =⋅，即5:::12:13B AB C AC =，即222AB AC BC =+，π2ACB ∠=，正确.故选：BCD变式4．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【答案】ACD【解析】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.故选：ACD.题型二：重心定理例4．（2024·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且5AB =，4AC =，则下列各式正确的有______．①3AG BC ⋅=-②6AO BC ⋅=- ③OH OA OB OC =++ ④42AC O AB M HM +=+ 【答案】①③④【解析】对于①，ABC 重心为G ，有21()33AG AM AB AC ==+ ，故22111()()(162)()33335AB AC AC AB AC AG BC AB ⋅====-+--- ，故①正确；对于②，ABC 外心为O ，过三角形ABC 的外心O 分别作AB 、AC 的垂线，垂足为D 、E ，易知D 、E 分别是AB 、AC 的中点，有212522AO AB AB ⋅== ，2182AO AC AC ⋅== ∴25922)8(AO BC AO AC AB =-=⋅=--⋅ ，故②错误；对于③，由欧拉线定理得2OG GH = ，即3OH OG = ，又有0GA GB GC ++=，故OA OB OC ++ ()()()OG GA OG GB OG GC =+++++ 3OG GA GB GC =+++3OG = ，即OH OA OB OC =++，故③正确；对于④，由3OH OG = 得3()MH MO MG MO -=-，故2133MG MO MH =+ ，所以2642M A M B AC A G OM HM +==-=+，故④正确.故答案为：①③④.例5．（2024·全国·高一专题练习）点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC 的三个顶点，B ∠、C ∠分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足()(0)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足()(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP OA PB PC =++，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++> ，∴()(0)||||AB AC AP AB AC λλ=+> ，又||||AB AC AB AC + 在BAC ∠的平分线上，∴AP 与BAC ∠的平分线所在向量共线，所以ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()(0)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ=++> ，∴()||sin ||sin AB AC AP AB B AC Cλ=+ ，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin ||sin AB B AC C AD == ，()AP AB AC ADλ=+ ，向量AB AC + 与BC 边的中线共线，因此ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C λλ=+> ，∴()(0)||cos ||cos AB AC AP AB B AC C λλ=+> ，∴()(||||)0||cos ||cos AB AC AP BC BC BC BC AB B AC C λλ⋅=+⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP BC ⊥ ，所以ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ+=++> ，设2OB OC OE += ，则()||cos ||cos AB AC EP AB B AC C λ=+ ，由④知()0||cos ||cos AB AC BC AB B AC C +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴0EP BC =⋅ ，∴EP BC ⊥，P ∴点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．例6．（2024·河南·高一河南省实验中学校考期中）若O 为ABC 的重心（重心为三条中线交点），且0OA OB OC λ++= ，则λ=___．【答案】1【解析】在ABC 中，取BC 中点D ，连接AD ，由重心的性质可得O 为AD 的三等分点，且2OA OD =-，又D 为BC 的中点，所以2OB OC OD += ，所以20OA OB OC OD OD ++=-+= ，所以1λ=.故答案为：1变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC 的外心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅= ______．（2）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅= ______．（3）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，3A π=，D 为BC 中点，则AO OD ⋅= ____．【答案】8-163-4918【解析】（1）由题意得：如图过O 作OD BC ⊥，垂足为D ，则D 是BC 的中点BC AC AB =-uu u r uuu r uu u r Q ，AO AD DO =+ ，1()2AD AB AC =+ 又3AC = ，5AB =uu u r ()()2211()()822AO BC AD DO BC AD BC AB AC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅=+-=-=-（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分21()33AO AD AB AC ==+ ，BC AC AB =- AO BC ∴⋅= ()22311()(16)33AB AC AC AB AC AB +⋅-=-=- （3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分12OD AO = ，21()33AO AD AB AC ==+ 2221()2cos 25930492AB AC AB AC AB AC A +=++=++⨯= ()2221211494929181818AO OD AO AD AB AC ⋅===+=⨯=故答案为：（1）8-（2）163-（3）4918变式6．（2024·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在ABC 中，2AB =，60ABC ∠=︒，1AC AB ⋅=- ，若O 是ABC 的重心，则BO AC ⋅= ______.【答案】7【解析】如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设(),0C a ，∵2AB =，60ABC ∠=︒，∴(A ，((11AC a ,,AB ,=-=- ∵131AC AB a ⋅=-+=-，解得5a =，∴()5,0C∵O 是ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，则D 为AC 中点，所以3D 骣琪琪桫,∴2233BO BD ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭，(4AC ,= ,∴(2473BO AC ⋅=⨯+⨯.故答案为：7变式7．（2024·江西南昌·高三校联考期中）锐角ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为______．【答案】45⎡⎢⎢⎭⎣，【解析】由题意211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，又AG BG ⊥，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅= ，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=,2cos ()5a b C b a=+，由ABC 为锐角三角形及上式，则2222222225a b c a c b b c a ⎧+=⎪+>⎨⎪+>⎩，即22223232a b b a ⎧>⎨>⎩，可得6623b a >>，所以cos C 在6(,1)3b a ∈上递减，在6(1,)2上递增，则46cos 53C ≤<.故答案为：46[,)53变式8．（2024·全国·高三专题练习）过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，34= PC AC ，= QC nBC ，则n 的值为________.【答案】35【解析】如图，因为O 是重心，所以0OA OB OC ++= ，即=-- OA OB OC ，因为34= PC AC ，所以()34-=- OC OP OC OA ，所以()313131444442=+=--+=-- OP OA OC OB OC OC OB OC ，又= QC nBC ，则()=-- OC OQ n OC OB ，所以()1=-+ OQ OC n B nO 因为P ，O ，Q 三点共线，所以// OP OQ ，所以31(1)42--=-n n ，解得35n =.故答案为：35变式9．（2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，设APQ △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，且,AP AB AQ AC λμ== ，则12S S 的取值范围为_________．【答案】41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，连接AG，作图如下：121sin 21sin 2A AP AQ S S A AB AC λμ⨯⨯==⨯⨯，在三角形ABC 中，因为G 为其重心，故可得()13AG AB AC =+ 结合已知条件可得：1113AG AP AQ λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为,,P G Q 三点共线，故可得11133λμ+=，即113λμ+=，由题设可知(]0,1μ∈，(]0,1λ∈，又(]0,131λμλ=∈-，得1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故21231S S λλμλ==-，令31t λ-=，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()113t λ=+，则121112,,292S t t S t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又1y t t =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()1,2单调递增，当1t =时，1249S S =，当12t =时，1212S S =，当2t =时，1212S S =，故1241,92S S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.题型三：内心定理例7．（2024·湖北·模拟预测）在ABC 中，16AB AC ⋅= ，6ABC S = ，3BC =，且AB AC >，若O 为ABC 的内心，则AO BC ⋅= _________．【答案】3-【解析】因为16AB AC ⋅= ，所以cos 16AB AC A ⋅= ，因为6ABC S = ，所以1sin 62AB AC A ⋅= ，所以sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，cos 0,sin 0A A >>，所以34sin ,cos 55A A ==，所以20AB AC ⋅=，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，又3BC =，所以2241AB AC +=，又AB AC >，所以5,4AB AC ==，所以ABC 为以AB 为斜边的直角三角形，设ABC 的内切圆与边AC 相切于点D ，内切圆的半径为r ，由直角三角形的内切圆的性质可得12AC BC AB r +-==，故1OD =，因为AD BC ⊥，所以0AD BC ⋅= ，因为,OD AC BC AC ⊥⊥，所以//OD BC ，所以3DO BC ⋅=- 所以()3AO BC AD DO BC AD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=- .故答案为：3-.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知Rt ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点.若AP AB AC λμ→→→=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围是______.【答案】7(,1)12【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ，因为I 是三角形ABC 的内心，设三角形ABC 内切圆半径为r ，则()11||||||||||22AC AB BC r AB AC ++⨯=⨯⨯，解得1r =.所以()1,1I ，()()3,0,0,4AB AC →→==.依题意点(),P x y 在三角形IBC 的内部（不含边界）.因为AP AB AC λμ→→→=+(,)R λμ∈，所以()()()(),3,00,43,4x y λμλμ=+=，所以133414x x y y λλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，令1134z x y λμ=+=+，则443y x z =-+，由图可知，当443y x z =-+过()1,1I 时，117113412z =⨯+⨯=.当443y x z =-+，过()0,4C ，即为直线BC 时，1104134z =⨯+⨯=.所以λμ+的取值范围时7(,1)12.故答案为：7(,1)12例9．（2024·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设I 为ABC 的内心，5AB AC ==，6BC =，AI mAB nBC =+ ，则m n +为________．【答案】1516【解析】因为5AB AC ==，所以取BC 中点为O ，连接AO ，则AO BC ⊥，且ABC 的内心I 在AO 上，IO 即为ABC 的内切圆半径r ，又6BC =，所以AO 4==，因为()1122ABC S BC AO AB BC AC r =⨯=++⨯ ，即()64556IO ⨯=++⨯，所以32IO =，52AI =，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(0,4)A ，(3,0)B -，(3,0)C ，则(3,4)AB =-- ，(6,0)BC = ，50,2AI ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，因为AI mAB nBC =+ ，即(3,4)(56,,20)0n m -⎛⎫⎪+⎭--= ⎝，所以542360m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得55,816m n ==，所以551581616m n +=+=，故答案为：516.变式10．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点O 是ABC ∆的内心，若3177AO AB AC =+ ，则cos BAC ∠=______.【答案】16【解析】因为()()3177OA OB OA OC OA -=-+- ，即()3OC OA OB =-+ ，取AB 中点D ，连接OD ，则2OA OB OD += ，故6OC OD =- ，故点,,C O D 共线，又ACO BCO ∠=∠，故AC BC =，且CD AB ⊥，所以1cos 6DA OD BAC CA OC ∠===.故答案为：16.变式11．（2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= ，则O 为ABC 的__心.【答案】内【解析】 OA AB OB =+ ，OC OA AC =+ ，()()a OAb OBc OC a OA b OA AB c OA AC ∴⋅+⋅+⋅=⋅++++ ()0a b c OA b AB c AC =++⋅+⋅+⋅= ，∴()bc AB AC AO a b c c b =+++ ， AB c ，AC b 分别是AB ，AC 方向上的单位向量，∴向量AB AC c b+平分BAC ∠，即AO 平分BAC ∠，同理BO 平分ABC ∠，O ∴为ABC 的内心，故答案为：内变式12．（2024·贵州安顺·统考模拟预测）已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【答案】C【解析】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC ACuuu r uuu r 为AC 方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪-=+ ⎪⎝⎭，即AB AC AP AB ACλ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.变式13．（2024·江西·校联考模拟预测）已知椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心，则PI PG ⋅=（）A ．43BC ．2D ．163【答案】D【解析】由椭圆2211612x y +=可得4a =，b =，2c ==如图，设12PF F △的内切圆与三边分别相切与A ，B ，C ，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心．则PB PC =，11F A FC =，22F A F B =，所以12122PF PF F F PB PC a c +-==-=，所以()()1212113332PI PG PG PI PO PI PF PF PI PF PI PF PI⋅⋅⋅=+⋅=⋅+⋅== ()()12121133PF PC PF PB PB PF PF =+=+()116233a c a =-⋅=故选：D变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ，I 是其内心，内角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，则（）A ．1()3AI AB AC =+ B ．c AB b AC AI a a =+C ．b AB c AC AI a b c a b c=+++++D ．c AB bAC AI a b a c=+++ 【答案】C【解析】延长,,AI BI CI ，分别交,,BC AC AB 于,,D E F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：,11sin sin sin sin 22BD c CD bADB ADC BAC BAC ==∠∠⎛⎫⎛⎫∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于sin sin ADB ADC ∠=∠，所以,BD CD BD cc b CD b==，,,BD c BD c acBD BD CD b c a b c b c===++++，同理可得c AI BD DI =，c AI AIBD c DI AI AD==++，c AD c b c AI AD AD ac BD c a b c c b c⋅+==⋅=⋅+++++.所以()c c AD AB BD AB BC AB AC AB b c b c =+=+=+-++b c AB AC b c b c =+++，则b c b c b c b cAI AD AB AC AB AC a b c a b c b c b c a b c a b c ++⎛⎫=⋅=⋅+=+ ⎪++++++++++⎝⎭.故选：C变式15．（2024·全国·高三专题练习）在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB y AC x y =+∈，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B．65C．76D．87-【答案】D【解析】如图：圆O 在边,AB BC 上的切点分别为,E F ，连接,OE OF ，延长AO 交BC 于点D设OAB θ∠=，则23cos cos 212sin 4A θθ==-=，则sin 4θ=设x A A D AO B y ACλλλ=+= ∵,,B D C 三点共线，则1x y λλ+=，即1x y +=λ1111821sin 711AO AO AO OF OE AD AO OD AO OF AO AO λθ-==≤===+++++即x y +≤故选：D．变式16．（2024·全国·高三专题练习）点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++= ；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ；（3）0AC BC BA OA O AB B AC BC BA AB 骣骣鼢珑鼢珑鼢×=×-=珑鼢珑鼢珑鼢珑 -梃uuu v uu u v uu v uu v uu u uu u v uuu v uu u v v uu u v uu v ；（4）()()0OA OB AB OB OC BC+⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心；B ．重心、外心、内心、垂心；C ．重心、垂心、内心、外心；D ．外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】（1）0OA OB OC ++=显然得出O 为ABC ∆的重心；（2）()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥，同理,OA CB OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC ∆的垂心；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OA,OB 分别是,BAC ABC ∠∠的角平分线，所以O 为ABC ∆的内心；（4）()020OA OB AB OM AB OM AB +⋅=⇒⋅=⇒⊥（M 是AB 中点）同理ON BC ⊥（N是BC 中点），所以O 为ABC ∆的外心.故选：C .变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①0aOA bOB cOC ++= ；②tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；④0OA OB OC ++= ；则点O 分别为ABC ∆的（）A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1，则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=，可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =OB =O 分中线DB 比为2:3，故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30 ，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为))()(),2,10,033x y x y x y --+--+--=，0x =10y +=，解得1x =-，y =，即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心．故选：D题型四：外心定理例10．（2024·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O 为ABC 的外心，且满足2340OA OB OC ++= ，1OA =，下列结论中正确的序号为______．①78OB OC ⋅=- ；②2AB = ；③2A C Ð=Ð．【答案】①③【解析】由题意可知：1OA OB OC ===．①2340OA OB OC ++= ，则234OA OB OC =--，两边同时平方得到：492416OB OC =+⋅+ ，解得：78OB OC ⋅=- ，故①正确．②2340OA OB OC ++= ，则2254OA OB OB OC -=-- ，254BA OB OC =-- ，两边再平方得到：242516406AB OB OC =++⋅= ．所以|2AB = ，所以②不正确．③2340OA OB OC ++= ，432OC OB OA =--，两边平方得到：1694121312cos OA OB OA OB AOB =++⋅=+∠ ，1cos 4AOB ∠=，π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，同理可得：7cos 8BOC ∠=-，π,π2BOC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2AOB C ∠=∠，2COB A ∠=∠．故1cos 24C =，7cos 28A =-，且π0,4C ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，ππ,42A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2217cos 42cos 2121cos 248C C A ⎛⎫=-=⨯-=-= ⎪⎝⎭，即2A C Ð=Ð．故③正确．故答案为：①③例11．（2024·河北·模拟预测）已知O 为ABC 的外心，3AC =，4BC =，则OC AB ⋅=___________．【答案】72-/-3.5【解析】如图：,E F 分别为,CB CA 的中点，则,OE BC OF AC ⊥⊥()OC AB OC CB CA OC CB OC CA⋅=⋅-∴=⋅-⋅ ()()B EC F OE C OF CAC =⋅-+⋅+ OE CB CB OF C C A E FC CA⋅⋅-=+⋅-⋅ 2211||||22CB CA ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()22117||916.222CA CB =-=⨯-=- 故答案为：72-.例12．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知O 是ABC 的外心，若22AC AB AB AO AC AO mAO AB AC ⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，且sin sin B C +，则实数m 的最大值为______．【答案】32/1.5【解析】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，∴根据向量数量积的几何定义可得：22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，即22bc mr =，∴=222m b c r r⋅，又sin sin B C +，根据正弦定理可得sin 2b B r =，sin 2c C r =，∴22b cr r+∴2322()22224b c m b b r r r r +=⋅≤=，当且仅当22b c r r =时，即ABC 为等边三角形时取等号，∴324m ≤，32m ∴≤，∴实数m 的最大值为32．故答案为：32变式18．（2024·全国·高三专题练习）设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.【答案】2-【解析】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.变式19．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O 是△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，π3A =，且cos cos 2sin sinBC AB AC OA C Bλ⋅+⋅= ，则λ的值为________．【答案】【解析】如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则21122AB OA AB AB c ⋅=-⋅=- ；21122AC OA AC AC b ⋅=-⋅=- ，因为cos cos 2sin sin B C AB AC OA C Bλ⋅+⋅=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===，所以两边同时点乘OA 可得()()2cos cos 2sin sin B C AB OA AC OA OA CB λ⋅⋅+⋅⋅= ,即222cos 1cos 12sin 2sin 2B Cc b R C B λ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以211cos cos 22sin 2sin c bc B b C R C Bλ-⋅⋅-⋅⋅=，所以2112cos 2cos 222R c B R b C R λ-⋅⋅-⋅⋅=,所以()cos cos 2c B b C R λ-+=，所以222222222a c b a b c c b R ac ab λ⎛⎫+-+--⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即2a R λ-=，所以sin sin 23a A R πλ=-=-=-=故答案为：变式20．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，6AB =，AC =．点M 满足1154AM AB AC =+．过点M 的直线l 分别与边,AB AC 交于点,D E 且1AD AB λ= ，1AE AC μ= ．已知点G 为ABC 的外心，AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则AG 为______．【答案】【解析】,,D M E 三点共线，∴可设()()101AM t AD t AE t =+-<<，15AB t AD ∴= ，()114AC t AE =- ，即15AD AB t= ，()141AE AC t =- ，()1151141t t λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，即5t λ=，44t μ=-，()544AG t AB t AC ∴=+- ；()534CG AG AC t AB t AC ∴=-=+- ，()()5144BG AG AB t AB t AC =-=-+- ，G 为ABC 的外心，AG BG CG ∴== ，()()()()()()()()22222222222404044304034254040515188t t AB AC t AC t t AB AC t AC t AB t t AB AC t AB t t AB AC⎧-⋅+-=-⋅+-⎪∴⎨+-⋅=-+--⋅⎪⎩，整理可得：()()()2210873603158810136036t AB AC t AC t t AB AC t AB t ⎧⋅=-=-⎪⎨-⋅=-=-⎪⎩ ，360315360361088t t AB AC t t --∴⋅==-，解得：72t --=（舍）或72t -+=；()()22222223603629001044454488t AG AB AB AC AC t t t t t λλμμ-∴=+⋅+=+-⨯+-- ()2218012607201807490t t t t =--+=-+-=，AG ∴=.故答案为：变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC中，1AB AC BC ===，，点O 是△ABC的外心，则CO AB ⋅=________.【答案】12/0.5【解析】在ABC 中，1AB AC ==，BC =O 是ABC 的外心，又222AB AC BC +=，所以ABC 是等腰直角三角形，所以O是三角形的斜边中点，所以111cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒=⨯= ．故答案为：12．变式22．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点P 是ABC 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-，则点P 一定是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】设BC 中点为D ，所以2AB AC AD +=，所以()()2222AP BC AC AB AC AB AC AB BC AD ⋅=-=+-=⋅ ，即()0BC AD AP BC PD ⋅-=⋅= ，所以BC PD ⊥ ，又由D 为BC 中点可得点P 在BC 的垂直平分线上，所以点P 是ABC 的外心，故选：B题型五：垂心定理例13．（2024·全国·高三专题练习）设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++= ，则M 是ABC ∆的（）A ．重心（三条中线交点）B ．内心（三条角平分线交点）C ．垂心（三条高线交点）D ．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，∵OA OB OC OM ++= ，∴OA OB OM OC +=- ，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD = ，∴CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上．同理可证，AM 在BC 边的高线上，故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心，故选：C例14．（2024·全国·高三专题练习）已知H 为ABC 的垂心（三角形的三条高线的交点），若1235AH AB AC =+ ，则sin BAC ∠=______.【答案】3【解析】因为1235AH AB AC =+ ，所以2235BH BA AH AB AC=+=-+，同理1335CH CA AH AB AC=+=-，由H为△ABC的垂心，得0BH AC⋅=，即22035AB AC AC⎛⎫-+⋅=⎪⎝⎭，可知222cos53AC AC AB BAC=∠，即3cos5ACBACAB∠=，同理有0CH AB⋅=，即13035AB AC AB⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭，可知213cos35AB AC AB BAC=∠，即5cos9ABBACAC∠=，所以21cos3BAC∠=，2231cos2sin113∠∠=-=-=BACBAC，又()0,πBAC∠∈，所以sin BAC∠.例15．（2024·北京·高三强基计划）已知H是ABC的垂心，2340HA HB HC++=，则ABC的最大内角的正弦值是_________．【答案】7【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有tan:tan:tan2:3:4A B C=，设tan,tan,tanA B C分别为2,3,4t t t，根据三角恒等式tan tan tan tan tan tanA B C A B C++=，可得234234t t t t t t t++=⋅⋅⇒=因此ABC的最大内角的正切值为4t=7．法2：因为H是ABC的垂心，故HA HB HB HC HC HA⋅=⋅=⋅，设HA HB HB HC HC HA m×=×=×=-，则()2340HA HA HB HC×++=，故272mHA=，同理，22HB m =，254m HC =，而πA BHC B CHA C BHA +Ð=+Ð=+Ð=，故cos HB HC A BHC HB HC ×=-Ð=-=×同理，cos B =cos C =因为cos cos cos C B A <<，故C最大，故sin C =.故答案为：7变式23．（2024·全国·高三专题练习）设H 是ABC 的垂心，且4560HA HB HC ++= ，则cos AHB ∠=_____．【答案】11-【解析】∵H 是ABC 的垂心，∴HA BC ⊥ ，()0HA BC HA HC HB ⋅=⋅-= ，∴HA HB HC HA ⋅=⋅ ，同理可得，HB HC HC HA ⋅=⋅ ，故HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ ，∵4560HA HB HC ++= ，∴24560HA HA HB HA HC +⋅+⋅= ，∴2411HA HB HA -=⋅ ，同理可求得212HA HB HB ⋅=- ，∴2cos 411HA HB HA HB HA AHB HB HA ∠⋅==- ，21cos 2HB HB HA HB HA AHB HB HA∠⋅==- ，∴22os 11c AHB ∠=，即cos 11AHB ∠=.故答案为：11-．变式24．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，点O 、点H 分别为ABC 的外心和垂心，||5,||3AB AC ==，则OH BC ⋅= ________.【答案】8【解析】OH AH AO =- ，()AO OH BC AH BC AH BC AO BC ⋅=-⋅=⋅-⋅ ，因为H 为垂心，所以0AH BC ⋅= ，OH BC AO BC ⋅=-⋅ ，设,AOB A AOB B ∠=∠=，外接圆的半径为r ，由余弦定理得2222cos AB AO OB AO OB A =+-⋅⋅，2222cos r r r A =+-⋅，2222cos r r A =-⋅，同理2222cos AC AO OC AO OC A =+-⋅⋅，2222cos r r r B =+-⋅，2222cos r r B =-⋅，所以()AO BC AO BO OC ⋅=⋅+ ，AO BO AO OC =⋅+⋅ ，OA OB OA OC =⋅-⋅ ，cos cos OA OB A OA OC B =⋅⋅-⋅⋅ ，22cos cos r A r B =⋅-⋅，()22182AC AB =-⨯=-，所以OH BC ⋅= 8，故答案为：8变式25．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，AB AC =，4tan 3C =，H 为ABC 的垂心，且满足AH mAB nBC =+ ，则m n +=___________.【答案】2132【解析】如图所示，D 为BC 的中点，不妨设4AD m =，则3BD m =.因为4tan tan 3BD BHD C HD ∠===，则94HD m =，则77416AH m AD ==，77177161621632AH AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，由此可得2132m n +=.故答案为：21 32。

专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧

一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有 ABC 及其内一点 O，构成如图所示图形，若将OAB ，△OBC ，
OCA 的面积分别记作 Sc ， Sa ， Sb ，则有关系式 Sa ⋅OA + Sb ⋅OB + Sc ⋅OC = 0 ．因图形和奔驰车的 logo 很相
似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若满足
1 2
a
⋅
h2
，
S
OA=C
1 2
b
⋅
h3
，
S
OA=B
1 2
c
⋅
h1
，
因为
S△OBC
⋅
OA
+
S△OAC
⋅
OB
+
S△OAB
⋅
OC
= 0 ，则
1 2
a
⋅
h2
⋅
OA
+
1 2
b
⋅
h3
⋅
OB
+
1 2
c
⋅
h3
⋅
OC =0
，即
a ⋅ h2 ⋅ OA + b ⋅ h3 ⋅ OB + c ⋅ h1 ⋅ OC =0 ，又因为 a ⋅ OA + b ⋅ OB + c ⋅ OC =0 ，所以 h=1 h=2 h3 ，所以点 P 是△ABC 的内
内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（）
A．若 OA + 2OB + 3OC = 0 ，则 SA : SB : SC = 1: 2 : 3
B．若 O=A

高考理科数学复习专题09三角函数(教师版)

2.专题09三角函数【2021年高考全国I卷理数】函数sinxf(x)=一cosxx—在［,］的图像大致为xA.-ITC.门Tsin( x) ( x)【斛析】由 f ( x) 2cos( x) ( x)称,排除A.又fsin x x2cosx x- 1,f(力f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对立.........——2 0 ,排除B, C,应选D.1冗【名师点睛】此题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答此题时,A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.【2021年高考全国I卷理数】关于函数f(x)先判断函数的奇偶性,得f(x)是奇函数,排除sin |x| |sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数③f(x)在［,］有4个零点②f(x)在区间(一,)单调递增2④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③冗当一x2/时,fx九时,fsin sin x sin2sinx,它在区间一22sinx ,它有两个零点:sin x f x , f x为偶函数,故①正确.单调递减,故②错误.0 ；当兀x 0时,f x sin x sinx当 x 2k ,2k k N 时,f x 2sin x ；当 x 2k , 2k 2 k N 时,f x sinx sinx 0,又f x 为偶函数,f x 的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确,应选 C. 【名师点睛】此题也可画出函数f x sin x sinx 的图象(如以下图),由图象可得①④正确.3.【2021年高考全国n 卷理数】以下函数中,以3为周期且在区间(7, 3)单调递增的是A . f(x)=|cos2x|B . f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D . f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出由于 y sin |x|的图象如以下图1,知其不是周期函数,排除 D ；由于y cos|x| cosx,周期为2兀,排除C ；作出ycos2x|图象如图2,由图象知,其周期为 -,在区间(一,一)单调递增,A 正确；24 2....一一一一一,一___ __________ 兀 •一、一作出y sin2x 的图象如图3,由图象知,其周期为一,在区间(一,一)单调递减,排除 B,2 4 2应选A.2sin x ,它有一个零点:冗,故f x 在有3个零点:,故③错误.图3【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各函数图象,即可作出选择.此题也可利用二级结论：①函数 y f (x)的周期是函数y f(x)周期的一半；②y sin x 不是周期函数2222I2sin a cos a,又sin cos 1, 5sin a 1,sin a 一,又 sin 0, sin 5B.【名师点睛】此题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数根本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答此题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.5.【2021年高考全国出卷理数】设函数f x =sin ( x —)( >0),f X 在0,2有且仅有5个零点,下述四个结论:①f x 在(0,2 )有且仅有3个极大值点 ②f x 在(0,2 )有且仅有2个极小值点4. 2021年高考全国n 卷理数】(0, —),2sin2 a=cos2 o+1,贝U sin OF2B.Q2sin2 a cos2 a 1,4sin c cos 2 2cos a.Q 瓜cos 0 0 , sin0,图2③f x在(0, —)单调递增10④的取值范围是［但,29) 5 10其中所有正确结论的编号是A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】①假设f(x)在［0,2句上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2时有且仅有3个极大值点.故①正确;②由图1、2可知,f (x)在(0,2时有且仅有2个或3个极小值点.故②错误;④当f x =sin ( x -)=0 时, x —=k Tt (kC Z)5 5,所以x由于f(x)在［0,2 句上有5个零点,所以当k=5时,* 2/当k=6时,12,解得—529w —,10故④正确.③函数f x =sin x 一)5 的增区间为:2k z 九10 130 2k7t取k=0,7,12 ,〜71当一时,单调递增区间为一冗x 一冗, 5 24 829 ....................... 7 3当 —时,单倜递增区间为 —x x —%,10 29 29一. 一 _.冗 ........... .. .综上可得,f X 在0,— 单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故此题正确答案为 D.【名师点睛】此题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理解深度高,考查数形结合思想.注意此题中极小值点个数是动态的, 易错,正确性考查需认真计算,易出错.6.【2021年高考天津卷理数】函数 f(x) Asin( x )(A 0,0,| | )是奇函数,将f X 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为C.x .假设g x 的最小正周期为2私且g"那么f,2【解析】••• f(x)为奇函数,,f (0) Asin 0, Z, k 0, 0;g(x)八. 1-I- 2冗Asin - x, T -- 2 区22,f(x)32sin2x, f (一)V 2.应选 C.8【名师点睛】此题主要考查函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数 g x ,再根据函数性质逐步得出A,,的值即可.17 .【2021年局考全国出卷理数】假设sin -,那么cos27 - 98 - 9 819 7-9♦ ♦B D1 9 7【解析】cos2 1 2sin 2 1 2 (―)2 —3 9应选B.【名师点睛】此题主要考查三角函数的求值,考查考生的运算求解水平,考查的核心素养是数学运算.8.【2021年高考全国卷II 理数】假设f x cosx sinx 在 a,a 是减函数,那么a 的最大值是花A . 一43冗 C.—— 4【答案】A(2)周期T求对称轴.⑶由 2k 冗 2ku k Z花求增区间；由一 2k ：t23冗—2ku k Z 求 2减区间 9.【2021年高考天津理数】将函数 y sin(2x一)的图象向右平移一个单位长度,所得图象对应的函5 103 5 ............A,在区间［3—,5—］上单调递增4 4,一一 .3 一B .在区间［,］上单调递减4【解析】由于fcosxsinx A /2cos x —,4所以由0 2k/花2kXk Z)得一43冗——2kXk Z), 4因此 a,a兀 ................ TT 一,从而a 的取大值为一, 4应选A.【名师点睛】解答此题时,先确定三角函数单调减区间, 再根据集合包含关系确定a 的最大值 .函数y Asin B(A 0,.)的性质:⑴ y max =A+B, y min AB .令k 1可得一个单调递增区间为令k 1可得一个单调递减区间为:应选A.【名师点睛】此题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化水平和计算求解水平10.【2021年高考浙江卷】函数 y=2"sin2x 的图象可能是C.在区间［3 ......... ,3-］上单调递增D.在区间3 -［斗［万,2 ］上单调递减【解析】由函数图象平移变换的性质可知:sin 2x的图象向右平移二个单位长度之后10的解析式为y sin 2 x7t 10 7t5sin2x .那么函数的单调递增区间满足 2k%2x 2ku花,即 k ：t — x4.......................... 冗函数的单调递减区间满足： 2 k 冗22x 3冗2k 冗—k Z , IP k u — x243冗 k k ——k4A . 【答案】DB.D.f x2忸sin2x 为奇函数,排除选项 A, B ；...兀. 一_ 一一 ... . . .由于x —,冗时,f x 0,所以排除选项C, 2应选D.............. ....................... ............ 冗 ................................ 【名师点睛】解答此题时,先研究函数的奇偶性,再研究函数在一,冗上的符号,即可作出判断2有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置; (2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.C1: y=cos x, C2： y=sin (2x+ 2^),那么下面结论正确的选项是3得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2【解析】由于 C I ,C 2函数名不同,所以先将 C 2利用诱导公式转化成与 C I 相同的函数名,那么_ _ 2 7t _ 27t 冗 _ 冗 . .一 .................................. 1 C 2: y sin(2x ——)cos(2x —— 一)cos(2x —),那么由C 1上各点的横坐标缩短到原来的一3 3 2 6 2,、、. _ . ....... .. 兀. .............. 4 倍变为y cos2x,再将曲线向左平移一个单位长度得到c 2,应选D.12【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,【解析】令f x 2l x sin2x ,由于x R, f x2 x sin2 x2〞sin2 x11.【2021年高考全国出理数】曲线把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移」个单位长度,6B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. ....... 一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向右平移」个单位长度, 6 D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. .......一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12y Asin x 或 y Acos x b 的形式...,、一...、_ ____________________________ _ 冗(2)求f x Asin( x ) 0的对称轴,只需令 x ku - k Z,求x ；求f(x)的2对称中央的横坐标,只需令 xkXk Z)即可.5.一.一 —兀兀 . ..需要重点记住sin cos( -),cos sin( -)；另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸 2 2缩,而先伸缩后平移在测试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.12.【2021年高考全国出理数】设函数 f x cos(x1,那么以下结论错误的选项是A. f(x)的一个周期为 2几8B. y f(x)的图象关于直线x 8^对称 3C. f (x 花)的一个零点为x -6D. f(x)在(/)单调递减【答案】D____ _ _ _…… 2兀 _ _ 【解析】函数f (x)的最小正周期为T —— 2/,那么函数f(x)的周期为T 2k ：tk Z ,取k 1,1可得函数f x 的一个周期为 2任,选项A 正确;一…,―......TT函数f (x)图象的对称轴为 x — k u k Z,即x 38关于直线x —对称,选项B 正确；3冗一一 .一 ..一,ku — k Z ,取k 3,可得y=f(x)的图象 37tcos x37tcos x —,函数f(x)的零点满足x — ku k Z ,即332, 冗. _ 「I x k 冗—k Z,取 k 60,可得f (x-- -一TT ... .冗)的一个零点为x -,选项C 正确;6-,冗时,x -52,4』,函数f (x)在该区间内不单调,选项 D 错误.23 6 3应选D. 【名师点睛】1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y Asin( x )或 y Acos( x)的形式,那么最小正周期为T奇偶性的判断关键是解析式是否为13.【2021年高考天津卷理数】设函数f(x) 2sin( x ) , x R ,其中0, | | •假设f (一)2,8【解析】由题意得11 8又T 2- 2 ,所以0 1,所以 2,2k 1—,3 12由得 —,应选A. 12【名师点睛】关于 y Asin( x )的问题有以下两种题型： ①提供函数图象求解析式或参数的取值范围, 一般先根据图象的最高点或最低点确定A,再根据最小正周期求,最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式,求出满足条件的的值；②题目用文字表达函数图象的特点,如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等,根据题意自己画出大致图象,然后寻求待定的参变量,题型很活,一般是求或的值、函数最值、取值范围等.【2021年高考北京卷理数】函数 f (x) =sin 22x 的最小正周期是 . , 冗【答案】- 2【解析】函数f x sin 22x 1 co s4x ,周期为-.2 2【名师点睛】此题主要考查二倍角的三角函数公式？三角函数的最小正周期公式,属于根底题 .将所给的函数利用降哥公式进行恒等变形,然后求解其最小正周期即可f( .) 0,且f(x)的最小正周期大于 2 ,那么12B.12C.24D.2414.2k l 一12............ _,其中k 1,k 2 Z ,所以k215. 【2021年高考江苏卷】tan tan —4一,那么sin 2 一的值是 ▲3 410tan 21类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan 的值,然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可 16.【2021年高考全国I 理数】函数f x 2sinx sin2x,那么f x 的最小值是21【斛析】f x 2cos x 2cos 2x 4cos x 2cos x 2 4 cosx 1 cosx 一 ,21 (1)所以当cosx -时函数单调递减,当 cosx 一时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为 2 2 2k ：t 55,2kTt - k Z ,函数的递增区间为 2ku -, 2k u - k Z , 33 33tantan tan 1 tan2 「九 tan 1 tan 13'tan 一—41 tan2 ,或 tan1 .3【解析】由解得tan得 3tan 2 5tan 2 0,sin 2 sin 2花cos- 4 cos2 冗 sin 一4工~2~sin 2 cos2 2sin 2cos cos_■ 2sin2tan1 tan2 2 sin 2 cos当tan2时,上式=立 2 2 2 22 1 221W ；当tan1 ,,, 一时,上式= 32 [—〔3〕2〔J 〕213一10综上,sin、210【名师点睛】此题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分_冗 _ . __ ... .x 2k u — ,k Z 时,函数f x 取得最小值,此时 sinx3【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的函数的求导公式, 需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值_........................................ .... ................ 7t..7t ........................................... ..17.【2021年高考北京卷理数】设函数 f (x) =cos( x -)(0),假设f(x)f(-)对任意白^实数x 都成64立,那么3的最小值为【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象和性质,考查考生的逻辑推理水平以及运算求解水平, 考查的核心素养是逻辑推理、数学运算查的核心素养是数学运算所以当所以f x .2min二垓",故答案是空3sin2 x 2由于f对任意白^实数x 都成立,所以f -取最大值,4所以-42ku6由于0,所以当 0时,..... ............. 2 w 取取小值为一318.【2021年高考全国出理数】函数cos兀的零点个数为Q0 x花3x619 7t由题可知3x解得xx4」,或7J ,故有3个零点.【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象与性质, 考查数形结合思想和考生的运算求解水平,考19.【2021年高考江苏卷】函数y sin 2x一〕的图象关于直线x —对称, 23值是减区间.【解析】化简三角函数的解析式:【名师点睛】此题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称三个二次〞,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法 .一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.21.【2021年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中,角〞与角3均以Ox 为始边,它们的终边关1于y 轴对称.右sin-,贝U cos( ) =.【解析】由题意可得 sin kXk Z),由于花所以20,【名师点睛】由对称轴得kXk Z),再根据限制范围求结果.函数y Asin(A>0,3>0)的性质:(1) ymaxAB, y min(2)最小正周期 ⑶由 x-ku k Z~. 一冗 ~2k u k Z 求增区间；由一2k/2 3冗—2k 冗 k 220.【2021年高考全国n 理数】函数x sin 2 x \ 3 cosx3 4(x花0,一2)的最大值是 f x 1 cos 2 x \ 3 cosx cos 2 x _ 3 cosxcosx由自变量的范围:0 -可得: ’2cosx 0,1 ,当cosx 立时, 2函数f x 取得最大值1.1,cos 2是数学运算.23.【2021年高考江苏卷】假设tan(」) 4【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路: ①适当变换式,进而求得待求式的值；②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角.24.【2021年高考浙江卷】设函数 f(x) sinx,x R .【解析】由于和关于y 轴对称,所sinsincoscos2.2 3(或 cos cos2J ) 3 所以coscos cos sin sin2. 2c • 2/cossin2sin 1【名师点睛】此题考查了角的对称关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含：假设边关于y 轴对称,那么冗2ku,k Z ,假设与的终边关于x 轴对称,那么2kRk Z ,假设与的终边关于原点对称,那么22.【2021年高考全国n 理数】 sin a cos 3 1, cos a sin 3 0 ,那么sin( a3)【解析】由于sin cos 1, cos sin0, 所以sincos1,所以sin因止匕sin1sin cos cos sin 一22cos. 2sin【名师点睛】此题主要考查三角恒等变换,考查考生分析问题、解决问题的水平, 4考查的核心【解析】tan tan[( 4)-]tan( ) tan — 4 41 tan( ) tan —4 41 16_ 1」 6(1)给角求值：关键是正确选用公式, 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(1) ［0,2工函数f (x )是偶函数,求的值;；(2) [1即 sinxcos cosxsin sinxcos cosxsin ,故 2sinxcos 0 , 所以cos 0 . 又 [0, 2冗),1 3cos 2x 『2 3【名师点睛】此题主要考查三角函数及其恒等变换等根底知识,同时考查运算求解水平25.【2021年高考浙江卷】函数f (x) sin 2 x cos 2 x 2V3sin xcosx(x f(—)的值.3f(x)的最小正周期及单调递增区间.单调递增区间是［—k ,2 6 3(2)求函数y［f(x万『［f(x产值域・【解析】(1)由于 f(x sin(x )是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ),(1)由.2sin 一3.32 , cos —2.3 2 1 2“于(万)(2)得f (23 )2.(2)由 cos2x.2sin x 与 sin 2x2sin xcosx 得 f (x)cos2x、、3sin2x]•因此,或上7tx127t4sin 27tx 一12sin 2 xcos 2xcos 2x&os2x 2久in2x2因此,函数的值域是［1,3 .3 y ,1 一 ]•(1)求 (2)求2sin(2 x -). 6所以 ^3cosx 3sin x .于是tan x又x 0,冗即x 0时,f x 取到最大值3;5工时,f x 取到最小值 266所以f(x)的最小正周期是 .由正弦函数的性质得一 2k2-2斛得一k x — k , k63所以,f(x)的单调递增区间是32x -——2k ,k Z , 6 2Z ,[-k ,— k ], k Z . 6 3【名师点睛】此题主要考查了三角函数的化简,以及函数y Asin x的性质,是高考中的常考知识点,属于根底题,强调根底的重要性；三角函数解做题中,涉及到周期,单调性,单调区间以及最值等考点时,都属于考查三角函数的性质,首先应把它化为三角函数的根本形式即y Asin x ,然后利用三角函数 y Asin u 的性质求解.26.【2021年高考江苏卷】向量a (cosx, sin x),b (3,扃x [0,4(1)假设 a// b,求x 的值; (2)记f(x) a b ,求f (x)的最大值和最小值以及对应的一 5冗 _(1) x ——；(2) x 0 时, 6x 取到最大值3；5冗x ——时,f x 取到最小值 2 J3 . 6(1)由于 a (cosx,sin x),(3, V 3) , all b,假设 cosx 0, 那么 sin x 0 ,与 sin 2 xcos 2 x 1 矛盾,故 cosx0.(2) f (x)a b (cos x,sin x) (3,、3) 3cos x \ 3 sin x「兀2,3cos(x -).6由于x0,所以冗冗7冗x -[-,-],6 6 6从而cos(x27.【2021年高考浙江卷】角 a 的顶点与原点 O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点45)(1)求sin ( a+兀)的值;5 〜(2)右角3满足sin ( a+优=一,求cos 3的值.134【答案】(1) — ; (2) COS5【解析】(1)由角的终边过点所以sin( 访 sin【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式,考查考生分析问题、解决问题的水平,运算求解水平,考查的数学核心素养是数学运算求解三角函数的求值问题时,需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换 (1)首先利用三角函数的定义求得 sin ,然后利用诱导公式,计算 sin (妙兀)的值;结合同角三角函数的根本关系,计算 cos( )的值,要注意该值的,利用两角差的余弦公式,通过分类讨论,求得 cosB 的值(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.【答案】(1)—；(2)-.25 11【解析】(1)由于tan 4 , tan §n 一3cos4— cos 356T 16 瓦或cos —3 4『P( -, 一Win5 5(2)由角由 sin( 由 ( 34的终边过点P( 一,一)得cos 5 5 、5 3 , 、 12)而得.问)行) 得 cos cos( )cossin()sin ,所以cos史或cos6516 65(2)根据sin (廿3)的值, 正负,然后根据 28.【2021年高考江苏卷】为锐角,tan4一,cos( 3所以sin 由于sin 22cos因此tan(因此,tan( ) tan[2 (tan 2 tan( )2"1 tan 2 tan( )11由于tan4-, 八一,所以tan 2 3 2 tan 1 tan 2 24一,7【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求解水平.三角函数求值的三种类型:(1)给角求值：关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异. 般有如下两种思路:①适当变换式,进而求得待求式的值;②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角. _ .............. .... ... 冗29.【2021年局考山东卷理数】设函数 f(x) sin( x —) sin( x 6」),其中0 2 3. 花 f(-) 0. 6 (1)求 (2)将函数y f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍 (纵坐标不变),再将得到的图象向左平移」个单位,得到函数y g(x)的图象,求g(x)在［-,3」］上的最小值 44 4 3 【答案】(1) 2 ; (2)最小值为一. 2_ __ 冗冗【斛析】(1)由于 f (x) sin( x —) sin( x —), 62一, o 9 所以cos——,因此,cos2 2cos 2 17 25(2)由于,为锐角,所以(0, ).又由于cos(所以sin(...1 cos 2(2、5 ----- , 5所以f(x) .3 1——sin x cos x cos x 2 23；「 3 ———sin x —cos x2 23(』sin x -cos x)2 2、.3sin( x -). 3,-.一. Tt由题设知f (-) 0,6- Tt Tt . 一所以」」ku, k Z.6 3故6k 2 , k Z ,又0 3 ,所以2.(2)由(1)得f (x) >/3sin 2x —3所以g (x) . 3 sin x ——4 3 ?3 sin x —12所以x122 3, 3〜…,.,、 3所以当x 一一,即x 一时,g(x)取得最小值一.12 3 4 2【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答此题时,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是无视设定角的范围.难度不大,能较好地考查考生的根本运算求解水平及复杂式子的变形水平(1) 2; (2) f(x)的最小正周期是。

(新高考)高考二轮精品专题六三角函数与解三角形教师版

1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l rα=．相关公式：①l =|α|r②21122S lr r α==（2）诱导公式：正弦余弦正切α+k ⋅2πsin αcos αtan αα+π―sin α―cos αtan α―α―sin αcos α―tan απ―αsin α―cos α―tan α2πα+cos α―sin α2πα-cos αsin α32πα+―cos αsin α32πα-―cos α―sin α（3）同角三角函数关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos ααα=（4）两角和与差的三角函数：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α―β)=sin αcos β―cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β―sin αsin βcos(α―β)=cos αcos β+sin αsin βtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（5）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-（6）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=2．三角函数性质性质y =sin x ，x ∈Ry =cos x ，x ∈R奇偶性奇函数偶函数单调性在区间()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是增函数，在区间()32,222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是减函数在区间[―π+2kπ，2kπ](k ∈Z )上是增函数，在区间[2kπ，π+2kπ](k ∈Z )上是减函数最值在()22x k k ππ=+∈Z 时，y max ；在()22x k k ππ=-∈Z 时，y min在x =2kπ(k ∈Z )时，y max ；在x =2kπ+π(k ∈Z )时，y min对称中心(kπ，0)(k ∈Z )(),02k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z x =kπ(k ∈Z )正切函数的性质图象特点定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z 图象与直线2x k k ππ=+∈Z ，没有交点最小正周期为π在区间,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，上图象完全一样在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是增函数图象在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是上升的对称中心为,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，图象关于点,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，成中心对称3．函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换（1）φ对函数y =sin(x +φ)的图象的影响（2）ω(ω>0)对y =sin(ωx +φ)的图象的影响（3）A(A >0)对y =A sin(ωx +φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义（2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos 356πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则x 0=（）ABCD【答案】C【解析】∵,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,636πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又3cos 65πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以,063ππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴0cos cos cos cos sin sin 666666x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=，故选C ．【点评】本题容易忽视6πα+的范围，而导致sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭出错．2．已知 tan 2θ―4tan θ+1=0，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C（70分钟）经典训练题【解析】由 tan 2θ―4tan θ+1=0，可得1tan 4tan θθ+=，所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅=，211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭，故选C ．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有1tan 4tan θθ+=，从而可得1cos sin 4θθ⋅=，由21cos 21sin 22cos 422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭12sin cos 2θθ-=可解，属于中档题．3．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．―2B ．2C ．―3D ．―1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π，则1ω=，∴f (x )=2sin(x +φ)，将点,14A π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选A ．【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sin cos sin CA B<变形为sin C <sin B cos A ，由内角和定理可得sin(A +B)<cos A sin B ，化简可得：sin A cos B <0，∴cos B <0，所以2B π>，所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．5．（多选）已知函数f(x)=3sin x +sin 3x ，则（）A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数且最小正周期为2πC ．f(x)的值域是[―4，4]D ．当x ∈(0，π)时，f(x)>0【答案】ABD【解析】A ．f (―x )=3sin(―x )+sin(―3x )=―3sin x ―sin 3x =―f (x )，故f(x)是奇函数，故A 正确；B ．因为y =sin x 的最小正周期是2π，y =sin 3x 的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是f(x)的最小正周期，故B 正确；C ．分析f(x)的最大值，因为3sin x ≤3，sin 3x ≤1，所以f(x)≤4，等号成立的条件是sin x =1和sin 3x =1同时成立，而当sin x =1，即()22x k k ππ=+∈Z 时，()3362x k k ππ=+∈Z ，sin 3x =―1，故C 错误；D ．展开整理可得()2()3sin sin cos 2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当x ∈(0，π)时，f(x)>0，故D 正确，故选ABD ．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．二、解答题．6．已知m =(2sin x ，sin x ―cos x )，n =(3cos x ，sin x +cos x )，函数f(x)=m ⋅n ．求函数f(x)的最大值以及取最大值时x 的取值集合．【答案】f(x)的最大值为2，,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【解析】()()()cos sin cos sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+m n2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数f(x)的最大值为2，当2262x k πππ-=+，即,3x k k ππ=+∈Z 取得，即集合为,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题．7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-．（1）求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．【答案】（1）[―2，2]；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()2cos 2sin(2224x x x f x x x x π=+-==+，令4U x π=+，∵x ∈[0，π]，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知，sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数f(x)的值域为[―2，2]．（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>，∵f(ωx)=3，2sin(4x πω∴+=，即sin()4x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ，由于方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为f(x)=A sin(ωx +φ)，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．8．已知函数f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥．【解析】（1）f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1cos 21133212cos 2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，∴f(x)的为最小正周期22T ππ==，值域为()15,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）记f(x)=t ，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由f 2(x)―k ⋅f(x)―2≤0恒成立，知t 2―kt ―2≤0恒成立，即kt ≥t 2―2恒成立，∵t >0，∴222t k t t t-≥=-．∵()2g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，max 5541722510g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围是1710k ≥．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求a +b +c 的最小值．【答案】（1）13；（2）4+．【解析】（1）由3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ，∵A +B +C =π，所以228(sin sin )sin sin sin 3B C A B C +=+，由正弦定理可得228()3b c a bc +=+，则22223b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 23b c a A bc +-==．（2）由1cos 3A =，得sin A =，∵1sin 2ABC S bc A ==△，∴bc =12，由22223b c a bc +-=，得222224216333a b c bc bc bc bc =+-≥-==，∴a ≥4，当且仅当b =c =23时，等号成立．又b +c ≥2bc =43，当且仅当b =c =23时，等号成立．∴a +b +c ≥4+43，当且仅当b =c =23时，等号成立．即a +b +c 的最小值为4+．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a +b ，ab ，a 2+b 2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．10．设函数f(x)=12cos 2x ―43sin x cos x ―5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=―5，a =3，求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π，[―43+1，43+1]（2）(3+3，33]．【解析】（1）f (x )=12cos 2x ―43sin x cos x ―5=12cos 2x ―23sin 2x ―56cos 221216x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，T π∴=，值域为[―43+1，43+1]．（2）由f(A)=―5，可得212cos cos A A A =，因为三角形为锐角△ABCsin A A =，即tan A =，3A π=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，22sin 2sin()3c C B π==-，所以212sin sin()2(sin sin )32a b c B B B B B π⎡⎤++=++-=++⎢⎥⎣⎦32(sin ))26B B B π==++，因为△ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C π<<，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin(16B π<+≤，即36B π+<+≤，所以周长的取值范围为区间(3+3，33]．【点评】在解三角形的周长范围时，将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b )(sin A ―sin B )=(b +c )sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =2，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（1）23π；（2）23．【解析】（1）由题意得(a +b)(a ―b)=(b +c)c ，∴b 2+c 2―a 2=―bc ，1cos 2A ∴=-，()0,A π∈，23A π∴=．（2）1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()2222211244AD AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()1224AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅，当且仅当AB =AC 时，等号成立，∴AB ⋅AC ≤8，11sin120822S AB AC =⋅︒≤⨯=故△ABC 的面积的最大值是23．【点评】用三角形中线向量进行转化是解题关键．12．如图，在△ABC 中，AB =2AC ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ．（1）求ABD ADCS S △△的值；（2）若AC =1，BD =2，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，即sin ∠BAD =sin ∠CAD，∴1sin 21sin 2ABDADC AB AD B AB AD S S AC AD A ACC D ⋅∠∠==⋅V V ，又∵AB =2AC ，∴2ABD ADC S S =△△．（2）由（1）知2ABD ADC S AB S AC ==△△，而1212ABDADC BC h S BC S CDCD h ⋅==⋅△△，2AB BD AC CD ∴==且AC =1，BD =2，∴2AB =，CD =∵∠BAD =∠CAD ，∴cos ∠BAD =cos ∠CAD ，在△ABD 中，22222422cos 2224AB AD BD AD AD BAD AB AD AD AD+-+-+∠===⋅⨯⨯，在△ACD 中，2222211122cos 2212AD AD AC AD CD CAD AC AD AD AD +-++-∠===⋅⨯⨯，∴2212242AD AD AD AD ++=，∴AD =1．【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力．13．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ．（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求a +b 的取值范围．【答案】（1）3C π=；（2）(23，4]．【解析】（1）由题意知(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵C ∈(0，π)，∴3C π=．（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===a A =，b B =，∴)2sin sin sin sin 3a b A B A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又∵ΔABC 为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上a +b 的取值范围为(23，4]．【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．一、选择题．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“b cos A ―c <0”，是“△ABC 为锐角三角形”的（）条件．A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】C高频易错题即sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A >sin B cos A ，∴sin A cos B >0，因为sin A >0，∴cos B >0，所以B 为锐角．当B 为锐角时，△ABC 不一定为锐角三角形；当△ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角，所以“b cos A ―c <0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C ．【点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法．我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________．【答案】(22，23)【解析】由sin2sin b a A A=，得4cos b A =，由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒，01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos A A ︒<<︒⇒<<cos A <<b =4cos A ∈(22，23)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．三、解答题．3．已知a >0，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，―5≤f (x )≤1．（1）求常数a ，b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【答案】（1）2a =，5b =-；（2）递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【解析】（1）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)2,6a x a a π-+∈-，所以f (x )∈[b ，3a +b]，又因为―5≤f (x )≤1，可得531b a b =-⎧⎨+=⎩，解得2a =，5b =-．（2）由（1）得()4sin(2)16f x x π=-+-，则()74sin(214sin(21266g x f x x x πππ⎛⎫=+=-+-=+- ⎪⎝⎭，又由lg g (x )>0，可得g (x )>1，所以4sin(2116x π+->，即1sin(2)62x π+>，所以5222666k x k k πππππ+<+<+∈Z ，，当222662k x k k πππππ+<+≤+∈Z ，时，解得6k x k k πππ<≤+∈Z ，，此时函数g (x )单调递增，即g (x )的递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；当5222266k x k k πππππ+<+<+∈Z 时，解得63k x k k ππππ+<<+∈Z ，，此时函数g (x )单调递减，即g (x )的递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力．一、选择题．1．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是（）AB．CD ．23【答案】A【解析】如图，记∠COP =α，在Rt △OPC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt △OAD中，OA DA BC α===，所以2cos AB OB OA αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S，(2cos )2sin S AB BC ααα=⋅=⋅精准预测题24sin cos 2sin 22ααααα==+-)6πα=+，由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S =，故选A ．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．2．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为（）A ．221124x y +=B ．sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移12π个单位得2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin[ω(x +φ)]=sin(ωx +ωφ)，而不是y =sin(ωx +)，考查运算求解能力，是基础题．3．（多选）如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（）A ．ω=2B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，f (x )的一个对称中心C ．23πϕ=D ．函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，A =2，函数f (x )的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==，故A 正确；因为1111112sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得423k πϕπ=-，k ∈Z ，又|φ|<π，所以23πϕ=，故C 正确；函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为22sin 22sin 06633f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,06π⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数f (x )的一个对称中心，故B 错误；令23222232m x m πππππ+≤+≤+，m ∈Z ，得51212m x mx πππ-≤≤+，m ∈Z ，当m =―1时，1371212x ππ-≤≤-，因为4137,,51212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确，故选ACD ．【点评】已知()(sin 0,0)()f x A x A ωϕω+>>=的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由2Tπω=，即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=(或0x ωϕπ+=)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．二、解答题．4．已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数()()0,42g x x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()12f A =-，△ABC 的面积为33，b ―c =2，求a 的值．【答案】（1）ω=2，值域为[―1，2]；（2）4．【解析】（1）因为函数f(x)=cos(ωx)的最小正周期为π，由2T ππω==，2ω=，又因为ω>0，所以ω=2．此时f(x)=cos 2x ，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即g(x)=3sin 2x ―cos 2x ，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以所求函数的值域为[―1，2]．（2）由题意得1cos 22A =-，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则得2A ∈(0，π)，所以223A π=，解得3A π=，因为△ABC 的面积为33，则得1sin 2bc A =，即1sin 23bc π=，即bc =12．又因为b ―c =2，由余弦定理，得a =b 2+c 2―2bc cos A =b 2+c 2―bc =(b ―c )2+bc =22+12=4，所以a =4．【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=A sin(ωx +ϕ)+k 形式），然后利用正弦函数性质确定求解．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A +B ―C )=c sin(B +C )．（1）求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+23．【解析】（1）∵a sin(A +B ―C)=c sin(B +C)，∴sin A sin(π―2C)=sin C sin A ，∴2sin A sin C cos C =sin C sin A ，∵sin A sin C ≠0，1cos 2C ∴=，0C π<<，3C π∴=．（2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得，c 2=12，c =23，此时周长为6+23．【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．6．如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=．记∠EPM =θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S 的最小值．【答案】（1）4sin cos PM θθ=+，PN =，30arctan 34πθ≤≤-；（2）8(2―1)平方米．【解析】（1）在△PME 中，∠EPM =θ，4PE AE AP =-=米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ⨯∠===∠+；同理在PNE △中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin PE PEN PN PNE ⨯∠===∠当M 与E 重合时，θ=0；当N 与D 重合时，tan ∠APD =3，即∠APD =arctan 3，3πarctan 3arctan 344πθπ=--=-，所以30arctan 34πθ≤≤-．（2）△PMN 的面积214sin 2cos sin cos S PM PN MPN θθθ=⨯⨯∠=+481cos 21sin 2cos 21sin 222θθθθ===++++，因为30arctan 34πθ≤≤-，所以当242ππθ+=，即30,arctan 384ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S)81=-，所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2―1)平方米．【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．7．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos 2A =0，且△ABC 为锐角三角形，a =7，c =6，求b 的值；（2）若a =3，3A π=，求b +c 的取值范围．【答案】（1）5b =；（2）b +c ∈(3，23]．【解析】（1）22223cos cos 223cos 2cos 10A A A A +=+-=Q ，∴21cos 25A =，又∵A 为锐角，1cos 5A =，而a 2=b 2+c 2―2bc cos A ，即2121305b b --=，解得b =5或135b =-（舍去），∴b =5．（2）由正弦定理可得()22sin sin 2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<Q ，∴5666B πππ<+<，∴1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴b +c ∈(3，23]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．。

高考数学真题09 三角函数的图象与性质问题(教师版)

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
8．答案1解析依题意，f(x)＝sin2x＋ cosx－＝－cos2x＋ cosx＋＝－ 2＋1，因为x
∈ ，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝时，f(x)max＝1．
9．(2013·全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
9．答案－解析f(x)＝sinx－2cosx＝＝ sin (x－φ)，其中sinφ＝，
则＜ωπ＋ ≤3π，解得＜ω≤ ，即ω∈( ， ]．故选C．
【知识总结】
1．三种三角函数的图象和性质
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝cosx
正切函数y＝tanx
图象
定义域
R
R
{x|x≠ ＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1] (有界性)
[－1,1] (有界性)
R
零点
{x|x＝kπ，k∈Z}
{x|x＝＋kπ，k∈Z}
专题09三角函数的图象与性质问题
【高考真题】
1．(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()
A．f(x)在(－，－ )上单调递减B．f(x)在(－， )上单调递增
C．f(x)在(0， )上单调递减D．f(x)在( ， )上单调递增
1．答案C解析因为f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x．对于A选项，当－＜x＜－时，－π＜2x＜－，则

解三角形历年部分高考题——教师版文科

4.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴= 2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D6．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （）A 15B ．34C ．315D ．11166、（湖南文）17．（本小题满分12分）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（Ⅰ）求角C 的大小；（II 3cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在V ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=32，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。

【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=o ，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 22sin 23b A B a ===o ，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+o o o2321312()2+=⨯+⨯=. 【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。

三角函数的最值高考真题教师版

三角函数的最值一．选择题（共3小题）1．（2015•全国）函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-的最大值为( )A ．1B ．34C ．34-D ．1-2．（2013•天津）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0，]2π上的最小值是( )A ．1-B ．CD ．03．（2012•山东）函数2sin()(09)63x y x ππ=-的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．0C ．1-D ．1-二．填空题（共5小题）4．（2020•北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为．5．（2018•北京）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为． 6．（2016•江苏）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是．7．（2013•上海）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是．8．（2011•上海）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为．三．解答题（共4小题）9．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．10．（2015•福建）已知函数2()cos 10cos 222x x x f x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．()i 求函数()g x 的解析式；()ii 证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．11．（2010•湖南）已知函数2()22sin f x x x -．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）求函数()f x 的零点的集合．12．（2010•北京）已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．三角函数的最值参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2015•全国）函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-的最大值为( )A ．1B ．34C ．34-D ．1-【解答】解：函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-2(sin cos )1x x =-21sin 214x =- 11cos4142x -=⨯- 17cos488x =--，当cos 41x =-时，函数y 取得最大值为173884max y =-=-．故选：C ．2．（2013•天津）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0，]2π上的最小值是( )A ．1-B ．CD ．0【解答】解：由题意[0,]2x π∈，得2[44x ππ-∈-，3]4π，∴sin(2)[4x π-∈1]∴函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为．故选：B ．3．（2012•山东）函数2sin()(09)63x y x ππ=-的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．0C ．1-D ．1-【解答】解：因为函数2sin()(09)63x y x ππ=-，所以7[,]6336x ππππ-∈-，所以2sin()[63x ππ-∈，所以函数2sin()(09)63x y x ππ=-的最大值与最小值之和为2故选：A ．二．填空题（共5小题）4．（2020•北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 2π ．【解答】解：()sin()cos sin cos cos sin cos sin cos (1sin )cos )f x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕθ=++=++=+++，其中cos θ=，sin θ，所以()f x 2，所以22cos (1sin )4ϕϕ++=，即22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=，所以22k πϕπ=+，k Z ∈时ϕ均满足题意，故可选0k =时，2πϕ=．故答案为：2π． 5．（2018•北京）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 23 ．【解答】解：函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，可得：246k ππωπ-=，k Z ∈，解得283k ω=+，k Z ∈，0ω> 则ω的最小值为：23．故答案为：23． 6．（2016•江苏）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 8 ．【解答】解：由sin sin()sin()sin cos cos sin A A B C B C B C π=-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，①由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0B >，cos 0C >，在①式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又tan tan tan tan()tan()1tan tan B C A A B C B C π+=--=-+=--②，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C B C+=--，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得22(tan tan )tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由A ，B ，C 为锐角可得tan 0A >，tan 0B >，tan 0C >，由②式得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---， 2211111()24t t t -=--，由1t >得，211104t t--<，因此当且仅当2t =时，tan tan tan A B C 的最小值为8；另解：由已知条件sin 2sin sin A B c =，sin(B 十)2sin sin C B C =，sin cos B C 十cos sin 2sin cos B C B C =，两边同除以cos cos B C ，tan B 十tan 2tan tan C B C =，tan tan(A B -=十tan tan )1tan tan B C C B C+=-， tan tan tan tan A B C A ∴=十tan B 十tan C ，tan tan tan tan A B C A ∴=十2tan tan 22tan B C A令tan tan tan 0A B C x =>，即22x x ，即8x ，或0x （舍去），所以x 的最小值为8．当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tantan 2B C =，解得tan 2B =，tan 2C =，tan 4A =，（或tan B ，tan C 互换），此时A ，B ，C 均为锐角．7．（2013•上海）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 5 ．【解答】解：函数434sin 3cos 5(sin cos )5sin()55y x x x x x =+=+=+∅，（其中，4cos 5∅=，3sin )5∅= 故函数的最大值为5，故答案为5．8．（2011•上海）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为．【解答】解：123sin()cos()cos cos()sin(2)26623y x x x x x ππππ+=+-=-=++ 三．解答题（共4小题）9．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．【解答】解：22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-．（1）()f x 的最小正周期22T ππ==；（2）g ()()3cos(2)3cos 22x x x f x ==-=-， [0x ∈，]3π， 3cos [3x ∴-∈-，3]2-．即()g x 在区间[0，]3π的最大值为32-，最小值为3-．10．（2015•福建）已知函数2()cos 10cos 222x x x f x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．()i 求函数()g x 的解析式；()ii 证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．【解答】解：（Ⅰ）2()cos 10cos 5cos 510sin()52226x x x f x x x x π=+=++=++， ∴所求函数()f x 的最小正周期2T π=；（Ⅱ）()i 将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()10sin 5g x x a =+-的图象，函数()g x 的最大值为2，1052a ∴+-=，解得13a =，∴函数()10sin 8g x x =-．()ii 要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=，由正弦函数的性质可知，当0(x α∈，0)πα-时，均有4sin 5x >，因为sin y x =的周期为2π，所以当0(2x k πα∈+，02)k ππα+-， ()k Z ∈时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数0(2k x k πα∈+，02)k ππα+-，使得4sin 5k x >，即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．11．（2010•湖南）已知函数2()22sin f x x x -．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）求函数()f x 的零点的集合．【解答】解：（Ⅰ）2()22sin 2cos212sin(2)16f x x x x x x π=-+-=+- 故函数()f x 的最大值等于211-=（Ⅱ）由()0f x =得cos x 22sin x x =，于是sin 0x =sin x =x 即tan x 由sin 0x =可知x k π=；由tan x 3x k ππ=+．故函数()f x 的零点的集合为{|x x k π=或3x k ππ=+，}k Z ∈12．（2010•北京）已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）2239()2cos sin 4cos 12333344f ππππ=+-=-+-=-；（Ⅱ）22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--23cos 4cos 1x x =--2273(cos ),33x x R =--∈，因为cos [1x ∈-，1]，所以当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，取最小值73-．。

高考数学真题08 三角恒等变换问题(教师版)

专题08 三角恒等变换问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos(α＋π4)sin β，则( )A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－11．答案 C 解析由已知得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β ＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0．所以tan(α－β)＝－1．故选C ． 2．(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝__________，cos2β＝__________．2．答案31010 45 解析 α＋β＝π2，∴sin β＝cos α，即3sin α－cos α＝10，即10(31010sin α－1010cos α) ＝10，令sin θ＝1010，cos θ＝31010，则10sin(α－θ)＝10，∴α－θ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即α＝θ＋π2＋2k π，∴sin α＝sin(θ＋π2＋2k π)＝cos θ＝31010，则cos2β＝2cos 2β－1＝2sin 2α－1＝45．故答案为31010与45．【知识总结】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1⇒sin α＝±1－cos 2α. (2)商的关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 2．三角函数的诱导公式3．三角恒等变换 (1) 和角差角公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(2)二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .【同类问题】题型一给角求值 1．tan 105°等于( )A ．2－3B ．－2－3C ．3－2D ．－31．答案 B 解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝4＋23－2＝－2－3．2．sin 10°1－3tan 10°等于( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．322．答案 B 解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14．3．化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( )A ．33 B ．233C ． 3D ．2 3．答案 B 解析原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5°＝11－2sin 215°＝ 1cos 30°＝233． 4．sin 40°(tan 10°－3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．答案 D 解析 sin 40°·(tan 10°－3)＝sin 40°·⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝sin 40°·2(cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°)cos 10°＝sin 40°·2sin (10°－60°)cos 10°＝sin40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1．5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝．5．答案－18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18．6．cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B ．3 C ． 2 D ．2 6．答案 C 解析原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2．7．tan 67.5°－1tan 67.5°的值为( )A ．1B ．2C ．2D ．47．答案 C 解析 tan 67.5°－1tan 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－1sin 67.5°cos 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－cos 67.5°sin 67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin 67.5°cos 67.5°＝－cos 135°12sin 135°＝2．8．求值：3－tan 12°(2cos 212°－1)sin 12°＝． 8．答案 8 解析原式＝3－sin 12°cos 12°cos 24°sin 12°＝3cos 12°－sin 12°cos 24°sin 12°cos 12°＝2sin (60°－12°)14sin 48°＝2sin 48°14sin 48°＝8．9．已知m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( )A ．－14B ．－12C ．14D ．129．答案 B 解析因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，因此 1－2cos 2153°m n ＝－cos 306°2sin 18°·2cos 18°＝－cos 54°2sin 36°＝－sin 36°2sin 36°＝－12． 10．(多选)下列各式中，值为12的是( )A ．cos 2π12－sin 2π12 B ．tan 22.5°1－tan 222.5°C ．2sin 195°cos 195°D ．1＋cosπ6210．答案 BC 解析 cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32，故A 错误；tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5＝ 12tan 45°＝12，故B 正确；2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，故C 正确；1＋cosπ62＝2＋34＝2＋32≠12，故D 错误．题型二给值求值11．(2021·全国乙)cos 2π12－cos 25π12等于( )A ．12B ．33C ．22D ．3211．答案 D 解析因为cos 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12 ＝cos π6＝32．12．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A ．53 B ．23 C ．13 D ．5912．答案 A 解析由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53． 13．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．25513．答案 B 解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55． 14．(2021·全国甲)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A ．1515 B ．55 C ．53 D ．15314．答案 A 解析方法一因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝ cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515．方法二因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515． 15．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．29B ．－29C ．79D ．－7915．答案 C 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13．∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1 －2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1－29＝79． 16．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6等于( ) A ．23 B ．29 C ．－19 D ．－7916．答案 D 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13，∴12sin α－32cos α ＋3cos α＝13，∴12sin α＋32cos α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79． 17．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－3 B ．13 C ．－13D ．317．答案 C 解析由cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－21－1×(－2)＝－13． 18．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝． 18．答案－5665 解析因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝1213，所以cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665． 19．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝． 19．答案 4－3310 解析由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即 sin 2θ＝45．因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310．20．设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．20．答案－1665 解析因为tan α2＝12，所以sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22．又α∈(0，π)，所以a ∈⎝⎛⎭⎫π4，π3，又β∈(0，π)，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，4π3．又sin(α＋β)＝513∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫56π，π，所以cos(α＋β)＝－1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665．题型三给值求角与多选题21．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于( ) A ．3π4 B ．5π4 C ．7π4 D ．7π621．答案 C 解析因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－ 32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55，因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255．由sin B ＝1010，且B 为钝角，得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010．所以cos(A＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22．又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，所以A ＋B ＝7π4．22．已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝，2α－β＝．22．答案 17 π3 解析因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17．又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314，因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32．因为α为锐角，所以0<2α<π．又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3．23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为．23．答案－3π4 解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，且α∈(0，π)，∴0<α<π2．又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2．∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0．∵tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1，∴2α－β＝－3π4．24．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A ．3π4 B ．π4或3π4 C ．π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )24．答案 C 解析由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α ＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4．25．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝．25．答案－3π4 解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－3a ＋1＝1．又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0，所以tan α<0且tan β<0，所以－π2<α<0且－π2<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4．26．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为． 26．答案 [－1，1] 解析由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4．∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．27．已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π827．答案 B 解析由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝2tan y 1＋3tan 2y＝21tan y＋3tan y ≤33，当且仅当tan y ＝33时等号成立，由于f (x )＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则x －y 的最大值为π6． 28．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( ) A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝1228．答案 BCD 解析对于A ，方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24．方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误．对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确．对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确．29．(多选)已知cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( ) A ．sin 2α＝1213 B ．cos(α－β)＝19565 C ．cos αcos β＝8565 D ．tan αtan β＝11829．答案 AC 解析因为cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，所以sin 2α＝1－cos 22α ＝1213，故A 正确；因为sin(α＋β)＝255，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－55＋1213×255＝29565，故B 错误；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝12⎝⎛⎭⎫－55＋29565＝8565，故C 正确；sin αsin β＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝12⎣⎡⎦⎤29565－⎝⎛⎭⎫－55＝21565，所以tan αtan β＝218，故D 错误．30．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6C ．f (x )＝sin x 2＋cos x2的最大值为2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝130．答案 AD 解析对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故B 错误；对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，所以f (x )的最大值为2，故C 错误；对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．。

高一三角函数经典练习题(教师版)-(1)

《三角函数》一、选择题：1，α终边有一点)0(),2,(<-a a a ,则αsin =（）A.55-B.552- C.55 D.5522，若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）3，）A 4， A 5， 6A 7，）8，若θ是第二象限角，则( )A ．sin 2θ＞0 B ．cos 2θ＜0 C ．tan 2θ＞0 D ．cot 2θ＜09，若α是第四象限的角，则πα-是（） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角10，给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-； ③)10tan(-；④917tancos 107sin πππ.其中符号为负的有（）A ．①B ．②C ．③D ．④ 1112） A 1314 A 15C ．{}3,1- D ．{}1,1-16，如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A ．5.0sin 1 B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．tan0.517，已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2,则扇形的中心角的弧度数是（）A.1B.1或4；C.4D.2或4 二、填空题 1234.___4， 0、5， b 8取值范围为 10度数是。

11，与02002-终边相同的最小正角是_______________。

三，解答题1，弧度角度互化：30°；45°；3π；2π；120°；135°；150°；54π2,若（-4，3）是角α终边上一点，求)5cos()3sin()4tan()3cos(π+α⋅α-ππ-α⋅π-α的值.33sin(24）23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--6,求值：1)tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值2)3)sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765⋅+--++4)6)7)已知α是第三象限角,且)sin()2cos()sin()(πααπαπα----=f（1）化简)(αf ；（2）若51)si n (=+απ,求)(αf ；（3）若︒-=1860α,求)(αf8)(1)（2（39)。

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高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。

因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。

以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。

一、知识整合1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ωϕ=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．二、考点分析各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。

主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。

如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。

如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。

如分段函数值，求复合函数值域等。

三、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab 确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解题策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值. 解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2．求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4πt x x x =+=+∈，则原函数可化为 22131()24y t t t =++=++，因为[t ∈，所以当t =时，max 3y =12t =-时，min 34y =，所以，函数的值域为3[34y ∈，。

例3．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；（2）证明：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。

解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--2sin 22cos 2)4πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，所以，当2242ππx k π-=+，即38πx k π=+时，()f x最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称，只要证明对任意x R ∈，有()()88ππf x f x --=-+成立，因为())]2)28842ππππf x x x x --=---=--=-，())]2)28842ππππf x x x x -+=-+-=-+=-，所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。

例4．已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+k π,k ∈Z} （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6π)的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π)的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6π)的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像。

综上得到y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图像。

说明：本题属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+ϕ)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx ≠0时，y=x x x x x 222cos sin cos sin 23cos 21+++1=x x 2tan 1tan 2321+++1 化简得：2(y －1)tan 2x －3tanx+2y －3=0∵tanx ∈R ，∴△=3－8(y －1)(2y －3)≥0,解之得：43≤y ≤47 ∴y max =47，此时对应自变量x 的值集为{x|x=k π+6π,k ∈Z}例5．已知函数.3cos 33cos 3sin )(2x x x x f += （Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域. 解：23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f （Ⅰ）由)332sin(π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ213)(332得即对称中心的横坐标为z k k ∈-，π213 （Ⅱ）由已知b 2=a c，，，，，，231)332sin(31)332sin(3sin |295||23|953323301cos 21212222cos 22222+≤+<∴≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴=-≥-+=-+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x )(x f 的值域为]231,3(+. 综上所述，]3,0(π∈x ， )(x f 值域为]231,3(+ . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例6．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 3cos C a c B b-=， (1)求sin B 的值； (2)若b =a=c ，求ABC ∆的面积。

解：(1)由正弦定理及cos 3cos C a c B b -=，有cos 3sin sin cos sin C A C B B-=，即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，所以sin()3sin cos B C A B +=，又因为A B C π++=，sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以1c o s 3B =，又0B π<<，所以sin 3B ==。

(2)在ABC ∆中，由余弦定理可得222323a c ac +-=，又a c =，所以有22432243a a ==，即，所以ABC 的面积为211sin sin 22S ac B a B ===例7．已知向量25 (cos sin)(cos sin)||aααbββa b=-=，，=，，，(1)求cos()αβ-的值；(2)(2)若500sin sin2213ππαββα<<-<<=-，，且，求的值。

解：(1)因为(cos sin)(cos sin)aααbββ=，，=，，所以(cos cos sin sin)a bαβαβ-=--，，又因为25||5a b-=，所以5=，即4322cos()cos()55αβαβ--=-=，；(2)00022ππαβαβπ<<-<<<-<，，，又因为3cos()5αβ-=，所以4sin()5αβ-=，5sin13β=-，所以12cos13β=，所以63sin sin[()]65ααββ=-+==例9．平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos),cos,1(ππ-∈xxQxP（1）求向量OP和OQ的夹角θ的余弦用x表示的函数)(xf；（2）求θ的最值.解：（1）θcos⋅=⋅，xxxxx22cos1cos2coscos)cos1(coscos+=∴+=+∴θθ即xxxf2cos1cos2)(+=)44(ππ≤≤-x（2）xxcos1cos2cos+=∴θ，又]223,2[cos1cos∈+xx，]1,322[cos∈∴θ，0min=∴θ，322arccosmax=θ.说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。