常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

6、随机变量的独立性：若

F(x,y) F X (x)F Y (y)则称随机变量 X , Y 相互独立。简称 X 与Y 独立。

概率与数理统计重点摘要

X

1正态分布的计算：

F(x) P(X x) ( )。

X 是服从某种分布的随机变量，求 Y f(X)的概率密度：f Y (y) f X (x)[h(y)] h'(y)。(参见P66〜72)

x y ..

f (u, v)dudv 具有以下基本性质:

⑴、是变量x , y 的非降函数;

⑵、0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x , y 有：F( , y) F(x, ) 0;

⑶、F(x, y)关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的(为，yd (X 2, y 2),捲 X 2,y 1 y ，有下述不等式成立：

Fgy) F(X 1,y 2)F(X 2,yJ

5、二维随机变量的边缘分布:

f x (X ) f (x,y)dy 边缘概率密度：

f Y (y)

f (x, y)dx

F X (X )

X

F(x,) [ f (u, y)dy]du

边缘分布函数：

y

二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

F Y (¥)

y

F( ,y)

[

f (x, v)dx]dv

2、随机变量函数的概率密度:

3、分布函数F(x, y)

4、一个重要的分布函数:

arcta n -)(— 2

arCtany)

的概率密度为: 2

f(x,y)

F(x,y)

x y

6

2 2 2 (x 4)( y 9)

F(x, y)

7、两个独立随机变量之和的概率密度:

f z (Z ) f x (x)f Y (z x)dx f Y (y)f x (z y)dy 其中 Z = x + Y

8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z aX bY : N (a 1 b 2,a 2 12 b 2 2。 9、期望的性质: (3)、E(X Y) E(X) E(Y) ;(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y)。 2 2

10、方差：

D(X) E(X ) (E(X))。

不相关，则 D(X Y) D(X) D(Y)，否则 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y),

D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 11、协方差：Cov(X,Y) E[(X E(X))(Y E(Y))]，若 X ，Y 独立，则Cov(X,Y) 0,此时称：X 与Y 不相关。

12、相关系数： XY Cov(X,Y) _Cov (X , Y)_

(X) (Y) D(X)jD(Y)，

XY

1，当且仅当 X 与Y 存在线性关系时 XY

1，且

XY

1, 1, 当 b>0;

当

b<0。

13、k 阶原点矩：v k k

E (X )

, k 阶中心矩: k

E[(X k

E(X))]。

14、切比雪夫不等式:

P X E(X) E(X)

lim P

n 0

15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律:

1 n

1 n

因

P

X i

1

2，所以

lim P X i

I i 1 I

n 0

I i 1

1

。贝努利大数定律:

畔或P

16、独立同分布序列的中心极限定理: (1)、当n 充分大时，独立同分布的随机变量之和

X i i 1

的分布近似于正态分布 N(n , n

2

)。

(2)、对于 X 1,X 2,...X n 的平均值 X

1

X

i

n i 1

有 E(X)

1 n

E(X i )亠

n i 1

n

，D(X) D(X i )

n "2 n

，即独立同分布的随机

变量的均值当n 充分大时，近似服从正态分布 N(

)。

m 是n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意 x ,

(1) 、当n 充分大时，m 近似服从正态分布， N(np npq)。 (2) 、当n 充分大时，—近似服从正态分布，

N( p,卫。

n n

18、 参数的矩估计和似然估计： (参见P200) 19、 正态总体参数的区间估计：

(3)、由上可知：lim P a Z n

b

n

(b) (a) P a Z n b (b) (a)。

lim P

n

m np .npq

(x),其中 q 1 p 。

17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设

20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P24&

20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P24&