第2课时 与方向角、坡度有关的实际问题
23.方向角、坡度问题PPT课件(沪科版)
CF 1 , A
DF 2.5
α
BC EF
∴ AE=9.28 m ，DF=14.5 m.
∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6 m.
i'=1:2.5
βD
新知探究
tan i 1 ,
1.6
tan i ' 1 ,
2.5
∴ 32
i=1:1.6
Aα
BC EF
22
i'=1:2.5
随堂小测
3一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路 基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 （精确到0.1米, 3 1.732, 2 1.414 ）.
D 12米
4米 45°
A
C
30° B
随堂小测
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
在Rt△ABF中，
tan ABF AF BF
解得x=6
tan 30 3x 12 x
AF 3x 6 3 10.4海里
60° B
因为10.4 > 8，所以没有触礁危险.
A 30°
DF
随堂小测
2. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)． 救生员甲在A处的瞭望台上视察海面情况，发现其正北方向的 B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同 时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙立刻从C处入海，径 直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向 B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向上，甲、乙的 游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数 据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
2023年湘教版九年级数学上册第2课时 与坡度、坡角有关的实际问题
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
BE 1，CF 1 ， AE 3 FD 2.5
∴AE=3·BE=3×23=69(m)．
FD=2.5·CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
∵斜坡AB的坡度 i=tan = 1 0.3333，∴α ≈ 18°26′.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 在Rt△ABC中， cos A AC ， AB
∴AB= AC 5.5 6.0m
cos A cos 24
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0m．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
你还可以用 其他方法求 出BC吗？
练习
1.一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽 度l为10m，坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角 α（长度精确到0.1m，角度精确到1°）.
解：设CB中点为D ，则由图可知 AD⊥BC.
在Rt△ABD中，
AD=h=3.5m，BD = 1 BC = 5m. 2
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
【人教版】九年级数学下册：第2课时与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题教案
第 2 课时与方向角、坡角相关的解直角三角形应用题1.能运用解直角三角形解决航行问题.2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.3.理解坡度 i=坡面的铅直高度=tan 坡角 .坡面的水平宽度阅读教材P76，自学“例5”和“概括”，掌握利用解直角三角形的知识解决方向角的实质问题.自学反应独立达成后小组内沟通①利用解直角三角形的知识解决实质问题的一般过程是:a.将实质问题抽象为数学识题，画出图形，转变为解的问题；b.依据条件的特色，适合地采用去解直角三角形；c.获得数学识题的答案；d.最后获得问题的答案.②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的方向 .活动 1小组议论例 1如图，海中一小岛A，该岛周围10 海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55°的 B 处，往东行驶20 海里后抵达该岛的南偏西25°的 C 处，以后，货轮持续向东航行，你以为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解 :如图 ,过点 A 作 AD⊥ BC 交 BC的延伸线于点 D.在 Rt △ ABD 中 ,∵ tan ∠ BAD=BD,AD∴ BD=AD · tan55° .在 Rt △ ACD 中,∵ tan ∠ CAD=CD,AD∴ CD=AD · tan25° .∵ BD=BC+CD,∴ AD · tan55° =20+AD ·tan25° .20≈20.79>10.∴ AD=tan55 tan25∴轮船持续向东行驶 ,不会碰到触礁危险 .应先求出点 A 距 BC 的近来距离， 若大于 10 则无危险， 若小于或等于 10 则有危险 .活动 2 追踪训练 (独立达成后展现学习成就 )如下图， A 、 B 两城市相距 100 km. 现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段 AB).经测量，丛林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西45°的方向上， 已知丛林保护区的范围在以 P 点为圆心， 50 km 为半径的圆形地区内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区 .为何？ (参照数据 :3 ≈ 1.732, 2 ≈1.414)解这种题目时，第一弄清楚方向角的含义；其次是经过作垂线结构直角三角形，将问题转变为解直角三角形 .阅读教材 P77 练习 2，自学对于坡度的问题，弄懂坡度与坡角的实质意义，理解铅垂高度与水平宽度的实质意义 .自学反应独立达成后小组内沟通①拦水大坝的横断面为梯形，此中坡度i 是指与的比，这个值与坡角的值相等 .②坡度 i 一般写成 1∶ m 的形式，坡度 i 的值越大，表示坡角越，即坡越陡 .③已知一大坝的坡角为45°，则它的坡度i 的值等于.经过书上的例题掌握“化整为零，积零为整” “化曲为直，以直代曲”的方法来解决一些实质和数学识题 .活动 1小组议论例 2如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i=1∶ 3，斜坡CD 的坡度 i′=1∶ 2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡 AB 的长 .(精准到 0.1 m)解 :如图 ,过点 B 作 BE⊥ AD 于点 E,过点 C 作 CF⊥AD 于点 F,在 Rt△ ABE和 Rt△ CDF中 , BE=1,CF=1,AE 3 FD 2.5∴AE=3BE=3× 23=69(m),FD=2.5CF=2.5× 23=57.5(m).∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).∵斜坡的坡度i= 1≈0.333 3, 3∴BE=0.333 3,即 tanα =0.333 3. AE∴α≈ 18°26′ .∵BE=sinα , AB∴AB= BE≈23≈ 72.7(m).sin0.3162答 :斜坡 AB 的坡角α约为18° 26′ ,坝底宽 AD 为 132.5 m, 斜坡 AB 的长约为72.7 m.这种问题，第一要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以切割，切割成特别的四边形和直角三角形.活动 2追踪训练如图，已知在山脚的 C 处测得山顶 A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡行进400 m 到点 D 处，测得点 A 的仰角为60°，求出AB 的高度 .第 2 小题，要过点 D 作 AB 和 BC 的垂线，结构两个直角三角形和一个矩形，将AB 分红两段来求 .活动 3讲堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实质问题.2.本节学习的数学方法:数形联合的思想和数学建模的思想.教课至此，敬请使用教案当堂训练部分.【预习导学1】自学反应①直角三角形锐角三角函数等实质②北偏东40°【合作研究1】活动 2追踪训练过点 P 作 PD 垂直 AB 于点 D，可求得 PD≈ 63.4 m>50 m，因此计划修建的这条高速公路不会穿越保护区 .【预习导学2】自学反应①坡面的铅垂高度它的水平宽度正切②大③1【合作研究2】活动 2追踪训练AB=(200 3 +200)m。
最新人教版初中数学九年级下册28.2《方位角、坡度、坡角》教案
最新⼈教版初中数学九年级下册28.2《⽅位⾓、坡度、坡⾓》教案⽅位⾓、坡度、坡⾓掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法教学⽬标：重点：理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义难点：与⽅位⾓有关的实际问题1.掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法指或指⽅向线与⽬标⽅向线所成的⼩于90°的⽔平⾓,叫⽅位⾓,如图,⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅位⾓分别表⽰, , , .2.理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义(1)坡度、坡⽐①如图,我们把坡⾯的⾼度h和宽度l的⽐叫做坡度(或叫做坡⽐),⽤字母i表⽰,即i=.坡度⼀般写成1∶m的形式.②坡⾯与的夹⾓α叫做坡⾓,坡⾓与坡度之间的关系为i==tanα.(2)⽔平距离、垂直距离(铅直⾼度)、坡⾯距离如图, 代表⽔平距离, 代表铅直⾼度, 代表坡⾯距离.重点⼀:与⽅位⾓有关的实际问题解答与⽅位⾓有关的实际问题的⽅法(1)弄清航⾏中⽅位⾓的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定⽅向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.(2)船在海上航⾏,在平⾯上标出船的位置、灯塔或岸上某⽬标的位置,关键在于确定基准点.当船在航⾏时,基准点在转移,画图时要特别注意.1. (2013河北)如图,⼀艘海轮位于灯塔P的南偏东70°⽅向的M处,它以每⼩时40海⾥的速度向正北⽅向航⾏,2⼩时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )(A)40海⾥(B)60海⾥ (C)70海⾥(D)80海⾥2.(2013荆门)A、B两市相距150千⽶,分别从A、B处测得国家级风景区中⼼C处的⽅位⾓如图所⽰,风景区区域是以C为圆⼼,45千⽶为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的⾼速公路.问连接AB的⾼速公路是否穿过风景区,请说明理由.3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°⽅向,点B在点A的南偏东79°⽅向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°⽅向.若⼀艘渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留⼩数点后两位)?(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 47°≈1.07,tan 36°≈0.73,tan 11°≈0.19)重点⼆:与坡度、坡⾓有关的实际问题(1)坡度是坡⾓的正切值,坡度越⼤,坡⾓也越⼤.(2)与坡度有关的问题常与⽔坝有关,即梯形问题,常⽤的⽅法⼀般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直⾓三⾓形和矩形来求解.4.(2014丽⽔)如图,河坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),坝⾼BC=3 m,则坡⾯AB的长度是( )(A)9 m (B)6 m (C)6 m (D)3 m5. (2013安徽)如图,防洪⼤堤的横断⾯是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡⾓α=60°.汛期来临前对其进⾏了加固,改造后的背⽔⾯坡⾓β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)6.如图所⽰,某防洪指挥部发现长江边⼀处长500⽶,⾼10⽶,背⽔坡的坡⾓为45°的防洪⼤堤(横断⾯为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固⽅案是:沿背⽔坡⾯⽤⼟⽯进⾏加固,并使上底加宽3⽶,加固后背⽔坡EF的坡⽐i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;(2)求共需多少⽴⽅⽶⼟⽯进⾏加固.1. 河堤横断⾯如图所⽰,迎⽔坡AB的坡⽐为1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),则坡⾓α为( )(A)30° (B)45° (C)50° (D)60°2.王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100 m 到B地,再从B地向正南⽅向⾛200 m到C地,此时王英同学离A地( )(A)150 m(B)50 m (C)100 m (D)100 m3.如图,先锋村准备在坡⾓为α的⼭坡上栽树,要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶,那么这两树在坡⾯上的距离AB为( )(A)5cos α(B)(C)5sin α(D)4.如图,将⼀个Rt△ABC形状的楔⼦从⽊桩的底端点P处沿⽔平⽅向打⼊⽊桩底下,使⽊桩向上运动,已知楔⼦斜⾯的倾斜⾓为20°,若楔⼦沿⽔平⽅向前移8 cm(如箭头所⽰),则⽊桩上升了( )(A)8tan 20° cm (B) cm(C)8sin 20° cm (D)8cos 20° cm5. (2013潍坊)如图,⼀渔船在海岛A南偏东20°⽅向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海⾥,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°⽅向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°⽅向匀速航⾏.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航⾏的速度为( )(A)10海⾥/⼩时 (B)30海⾥/⼩时 (C)20海⾥/⼩时(D)30海⾥/⼩时6.在⼀次⾃助夏令营活动中,⼩明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°⽅向的C处,他先沿正东⽅向⾛了200 m到达B地,再沿北偏东30°⽅向⾛,恰能到达⽬的地C(如图),那么由此可知,B,C两地相距m.7. 如图所⽰,某公园⼊⼝处原有三级台阶,每级台阶⾼为18 cm,深为30 cm,为⽅便残疾⼈⼠,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是cm.8. 如图所⽰,⼀渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°⽅向,这艘船以28海⾥/时的速度向正东航⾏,半⼩时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°⽅向,此时灯塔与渔船的距离是海⾥.9. (2013湘西州)钓鱼岛⾃古以来就是中国的神圣领⼟,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进⾏维权活动,如图,⼀艘海监船以30海⾥/⼩时的速度向正北⽅向航⾏,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°⽅向上,航⾏半⼩时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).10.(2013新疆)如图所⽰,⼀条⾃西向东的观光⼤道l上有A、B两个景点,A、B相距2 km,在A处测得另⼀景点C位于点A的北偏东60°⽅向,在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°⽅向,求景点C到观光⼤道l的距离(结果精确到0.1 km).11.(2013烟台)如图,⼀艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中⼼紧急通知:在指挥中⼼北偏西60°⽅向的C地,有⼀艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°⽅向上,A地位于B地北偏西75°⽅向上,A、B两地之间的距离为12海⾥.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1).12.如图,马路的两边CF、DE互相平⾏,线段CD为⼈⾏横道,马路两侧的A、B两点分别表⽰车站和超市.CD与AB所在直线互相平⾏,且都与马路两边垂直,马路宽20⽶,A,B相距62⽶,∠A=67°,∠B=37°(1)求CD与AB之间的距离;(2)某⼈从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他沿折线A→D→C→B到达超市⽐直接横穿马路多⾛多少⽶参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan67°≈,si n 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈. 13.如图,公路AB为东西⾛向,在点A北偏东36.5°⽅向上,距离5千⽶处是村庄M;在点A北偏东53.5°⽅向上,距离10千⽶处是村庄N(参考数据:sin 36.5°=0.6,cos 36.5°=0.8, tan 36.5°=0.75).(1)求M,N两村之间的距离;(2)要在公路AB旁修建⼀个⼟特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.教学反思：。
28.2.2.2与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解方位角的概念及其在解直角三角形中的应用；
（2）掌握坡度的计算方法及其在实际问题中的应用；
（3）运用解直角三角形的方法解决与方位角、坡度有关的实际问题。
举例使学生理解方位角的概念，并学会在解直角三角形中运用。
4.结合实例，让学生学会在实际情境中运用解直角三角形的知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.理解并掌握方位角、坡度与解直角三角形之间的关系，提高空间想象能力和几何直观；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识；
3.增强学生逻辑推理能力，使其在解决问题过程中能够运用严密的数学思维；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方位角的计算方法和坡度的实际应用这两个重点。对于难点部分，如将实际问题抽象为解直角三角形模型，我会通过具体实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角、坡度相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量并计算实际物体的方位角。
28.2.2.2与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用教案
一、教学内容
本节课选自教材《数学》第八册，章节28.2.2.2，主要内容包括：与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用。具体教学内容如下：
1.方位角的定义及计算方法；
2.坡度的定义及计算方法；
3.利用解直角三角形的方法解决实际生活中的问题，如确定物体方位、计算物体的高度等；
第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
答：坡角为30，坝底宽AD为 4 12 3 米.
5.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有 这样一个问题请你解决：
如图
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜 坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α ，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
解：∵斜坡AB的坡度i=1∶3，BE=23m.
BE 23 1 . AE AE 3
AE 69m. AB 692 232 72.7（m）.
∵斜坡CD的坡度i=1∶2.5，CF=23m.
CF 23 1 . FD FD 2.5
FD 57.5m.
由题意易得BC=EF=6m， ∴AD=AE+EF+FD=132.5（m）.
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
【人教版】九年级数学下册-第2课时 方向角和坡角问题(导学案)
28.2.2 应用举例第2课时方向角和坡角问题一、新课导入1.课题导入情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？问题：怎样由方向角确定三角形的内角？2.学习目标（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.3.学习重、难点重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P76例5.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.（4）自学参考提纲：①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.b.根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65°，∠B= 34°，PA= 80 .c.作高构造直角三角形：如图所示.d.写出解答过程：在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=72505sin sin34.PCB=︒≈130（n mile）.②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.∴AE=AD·sin60°=12×32=63(海里)＞8海里.∴无触礁的危险.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.1.自学指导（1）自学内容：教材P77.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结.（4）自学参考提纲：①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：a.坡角α和β的度数；b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生解答问题的情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.（2）在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4 m”，你能求出坝底BC的长吗？（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：三、评价1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.一、基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m，则这两棵树在坡面上的距离AB为5133m．（结果保留根号）3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB=513，则这个菱形的面积为65 .4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).解：∵i=115.ACBC=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.∴AB=228125.AC BC+=≈9(m).5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,AB=25×4=100.在Rt△ABC中，BC=12AB=50，AC=32AB=503.在Rt△ACP中，CP=AC=503.∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).二、综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB 的长度（结果保留小数点后两位）.解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=533,BD=103cos303BE=︒≈5.77(m).在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=45°,∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=533+3.40-5.00≈1.29(m).三、拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=12AP=16(n mile).∴PB＜16n mile.∴轮船有触礁危险.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.又∵AP=32，,∴∠PAC=45°,∴α=15°.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.。
教案：解直角三角形的应用（第二课时）刘新旺
abcB CA铅直线视线仰角 俯角视线 春来初中集体备课教学案春来初中集体备课教学案年级年级九科别科别 数学数学周次周次月 日主备课人主备课人刘新旺刘新旺课题课题 解直角三角形的应用（第二课时）一、 教学目标：教学目标：1. 知道方向角、方位角、坡角、坡比（坡度）的意义. 2. 能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题. 3. 培养严谨致学的学习态度. 二、 教学重点：教学重点：把实际问题转化为解直角三角形的问题. 三、 教学难点：教学难点：将实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中元素间的关系. 四、 教具准备：课件教具准备：课件 五、 教学过程：教学过程： （一）知识回顾：（一）知识回顾： 1.解直角三角形解直角三角形在直角三角形中,除直角外,由已知两元素（必有一边）求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(1)三边之间的关系: a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； (2)两锐角之间的关系:∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º；(3)边角之间的关系: sinA ＝a ccosA ＝b ctanA ＝a b3、仰角和俯角、仰角和俯角 在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. （二）探究新知：（二）探究新知：65°34°PCA 30° 45° BOA（结果保留小数点后一位）？一位）？900的角,叫BADF60°30°i=1:1.5 .问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？ 楼厅比楼外的地面高0.4米，求残疾人通道的坡度与坡角 (角，其他近似数取四位有效数字). hLa()222223AD D Fx x x--=A F 3tan 30x=31:1.6 2.8 1.2).米22223.20.4AB BC --AD6mα βi =1:3i =1:1.5 B F =2269117313+=»。
人教版八年级下册数学课件方位角、坡度、坡角问题pptx
解析：∵ AB =2CD，∴ 设 CD =x m ,则 AB =2x m .
∵
tan37°= = ≈0.75，∴
DF =
x.
A
∵ AE 的坡度 i =1：2，
C
∴ BE =2AB =4x.
故 BD-EF =BE+FD =13-3=4x+
解得 x =
，故
AB =2×
=
∵AC + BC = AB，
∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45° = 200，
即
PC＋PC = 200，解得 PC ≈ 126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
C
200km
23.1.3 一般锐角的三角函数值
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思考
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
人教版
28.2.3 方位角、坡度、坡角问题
九年级下
目
录
01
学习目标
02
新课引入
03
新知学习
04
课堂小结
23.1.3 一般锐角的三角函数值
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学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
重点
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性
较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角
0.01n mile）？
65°
P
A
C
34°
B
23.1.3 一般锐角的三角函数值
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解：如图 ，在 Rt△APC 中，
九年级数学下册 28.2.2 应用举例 第2课时 与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题练习 (新版)新人教版
第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用方向角解直角三角形1．(石家庄校级模拟)如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置( )A．50 3 B．40 C．30 D．202．(新疆内高班)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是( ) A．253海里B．252海里C．50海里D．25海里3．(珠海中考)如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)知识点2 利用坡度解直角三角形4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为( )A．12米B．43米C．53米D．63米5．四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(平直的)分别为300 m，250 m，200 m，200 m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法()A．A的最高B．B的最高C．C的最高D．D的最高6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)02 中档题7．(南京中考)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°.此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)8．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)03综合题9．(营口中考)如图，我国南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53°方向上．(1)求C 、D 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)参考答案1．A 2.D3．(1)过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°.∵AM＝180海里，∴MD＝AM cos45°＝902(海里)．答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是902海里．(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°.∵MD＝902海里，∴MB＝MDcos30°＝606(海里)．∴606÷20＝36≈3×2.45＝7.35≈7.4(小时)．答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．4．A 5.B6．作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BE＝20米，BEAE＝12.5，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝CFtan D＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(米)．答：坝底AD的长度约为90.6米．7．设B处距离码头O为x km.在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝CO AO， ∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝4.5＋x.在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵tan ∠DBO ＝DO BO， ∴DO ＝BO·tan ∠DBO ＝x·tan 58°.∵DC ＝DO －CO ，∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)．∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5. 因此，B 处距离码头O 大约13.5 km .8．过点E 作EF⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°. ∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米． ∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米． 在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米．∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米． 9．(1)过点C 作CG⊥AB 交AB 于点G ，过点D 作DF 垂直CG 于点F ，BC ＝30×12＝15(海里)， CG ＝BC sin 30°＝7.5海里，FG ＝AD ＝1.5海里，CF ＝7.5－1.5＝6(海里)，CD ＝6cos 53°＝10海里． (2)设t 小时后，两船在E 处会合，则ED ＝3t ，CE ＝30t. 过点E 作EH⊥CD 交CD 于点H.∵CG ∥AE ，∴∠GCD ＝∠CDE，HE ＝ED sin 53°＝12t 5，CE ＝30t.在Rt △CEH 中，sin ∠ECD ＝125t 30t ＝225.。
第2课时 坡度、方位角与解直角三角形
四：Байду номын сангаас
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.拦水坝横断面如图28－2－85所示，迎水坡AB的坡比为1∶，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是(D)
A.15 mB．20mC．10mD．20 m
2.小强沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降了(A)
A.1米B.米C．2米D.米
图28－2－85图28－2－86图28－2－87
图28－2－81图28－2－82
教师讲解：如图28－2－82，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度或坡比，坡面与水平面的夹角叫做坡角，通常用α表示，即tanα＝.显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
3.总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的过程：
师生活动：师生共同总结过程，学生进行口述，教师引导.
情感态度
进一步提高学生数形结合、分析问题以及解决问题的能力和应用数学知识的意识，树立理论来源于实践又应用于实践的辩证唯物主义观点．
教学
重点
利用方位角的相关知识，借助锐角三角函数解决航海等实际问题．
教学
难点
把实际问题转化为数学问题；直角三角形解法的灵活应用．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
通过分析图形，教师引导学生板书解题过程.
PC＝PA·cos25°＝80×cos25°≈72.505.
在Rt△BPC中，PB＝≈≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
2.关于坡度问题的探究：
问题：如图28－2－81所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度较大？你是根据什么来进行判断说明的呢？
新湘教版九年级上册初中数学 课时2 坡度、方位角问题 教学课件
塔距离最近的位置所需的时间是
()
B
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
第二十二页，共二十四页。
当堂小练
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 90° ．
第二十三页，共二十四页。
拓展与延伸
4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方
BE AE
1， AE 3
3BE
3 23
69 m .
第十页，共二十四页。
新课讲解
在Rt△DCF中，同理可得
i CF 1 ， FD 2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m ，
AD AE EF FD=69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB AE2 BE2 692 232 72.7m .
向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北
方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南
偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为
33.5海里．
(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，
cos43°=0.73，tan43°=0.93)
北
C
43°
A
B
第二十四页，共二十四页。
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
6
B
C
i=1:3 A
E
i=1:2.5 23 α FD
第十一页，共二十四页。
新课讲解
练一练
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为
九年级数学下册教学课件《与方向角、坡角有关的应用问题》
练习
1.海中有一个小岛A，它周围8n mile内有暗礁.渔 船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在 北偏东60°方向上，航行12n mile到达D点，这 时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不 改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
北
西
东
南
60° B
A
30° D
解：如图，过A点作AE⊥BD，
提问
结合题目的条件，你能确定 图中哪些线段和角？ PA= 80，∠A= 65° ，∠B= 34° . 要求的问题是什么？你能写 出解答过程吗？ PB之间的距离.
解：如图，在 Rt△APC 中， PC=PA·cos（90°- 65°） =80×cos 25° ≈72.505．
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
校的距离相等，则学校在小明家的（ D ）
A.南偏东50°
B.南偏东40°
C.北偏东50°
D.北偏东40°
2. 如 图 ， 某 村 准 备 在 坡 度 为 i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求 相邻两棵树之间的水平距离 为5 m，则这两棵树在坡面
5 13
上的距离AB为 3 m.（结 果保留根号）
3.如图，为方便行人横过马路，打算修建一座 高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为 1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).
∴轮船自A处开始至少沿南偏 东75°方向航行,才能安全通 过这一海域.
课后作业
1.从课后习题中选取； 3AE .
tan30
在Rt△ADE中，DE= AE 3 AE .
tan60 3
E
∴BE-DE=BD= 2 3 AE=12， 3
∴AE= 6 3（n mile）> 8 n mile，