导数的综合应用 优秀课件

得y=1+at2,所以N(0,1+at2),
2 2 (1 at ) 所以△OMN的面积S(t)= . 4at
2 4 2 2 2 3a t 2at 1 (at 1)(3at 1) (2)S′(t)= , 4at 2 4at 2
由a＞0,t＞0,S′(t)=0，得3at2-1=0，即 t 1 .
3a
当3at2-1＞0,即t＞
1 2 ) 4 2. 1 3 2
考点二
利用导数研究函数的零点与方程的根的问题
【考情分析】此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指 数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几 年高考命题热点，一般有两种形式考查: (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题. (2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取 值范围问题.
1 时,S′(t)＞0; 3a 1 当3at2-1＜0，即0＜t＜ 时，S′(t)＜0. 3a 1 所以当t= 时，S(t)有最小值. 3a 1 1 已知在t= 1 处，S(t)取得最小值，故有 ， 2 3a 2 4 (1 3 所以 a 4 . 故当 a 4 , t 1 时,S(t)min= S( 1 ) 4 2 3 3 2 4 3
【加固训练】(2015·银川模拟)某建筑公司要在一 块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影
部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开
(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a＞0)的一
部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，设
P(t,f(t)).
【变式训练】(2015·沈阳模拟)据统计某种汽车的最高车速为120千 米/小时，在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小 时)之间有如下函数关系：y 距100千米. (1)若汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多 少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少 为多少升？
(2)当汽车的行驶速度为x千米/小时时，从甲地到乙地需行驶 100 小时.
x
设耗油量为h(x)升，依题意，
800 15 1 3 100 = 1 2 ) · x ,0＜x 120, x 8 3 1 280 x 4 128 000x 80 x 3 3 x 80 (0＜x≤120). h′(x)= x 800 640 x 2 640x 2
r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5 3 ) 时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5 3 )上为减函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水 池的体积最大.
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t).
(2)若在t= 1 处,S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值.
2
【解析】(1)f′(x)=-2ax,所以切线斜率是-2at,
所以切线方程为y-(1-at2)=-2at(x-t).
2 1 at 2 1 at 令y=0，得x= ，所以M( ,0)，令x=0, 2at 2at
热点专题突破系列(一)
导数的综合应用
考点一
利用导数解决实际生活中的优化问题
【考情分析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、 利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的 能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、 导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查.
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最
大.
【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域 ,
通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值 .
【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,
底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)
1 3 x 3 x 8. 已知甲、乙两地相 128 000 80
【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 需耗油 (
1 3 403 40 8) 2.5 =17.5(升). 128 000 80
100 =2.5(小时)， 40
所以汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油 17.5 升.
【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答. 提醒：解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域.
元.根据题意得
200πrh+160πr2=12000π,所以h= 1 (300-4r2),从而V(r)=πr2h = (300r-4r3).
5 5r
因r>0,又由h>0可得r< 5 3 ,故函数V(r)的定义域为(0, 5 3 ).
(2)因V(r)= (300r-4r3).故V′(r)= (300-12r2).令V′(r)=0,解得 5 5
得h(x)=(
令h′(x)=0,得x=80, 因为当x∈(0,80)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时,h′(x)＞0,h(x)是增函数，所以当x=80时，h(x)取得 最小值h(80)=11.25.
所以当汽车以80千米/小时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最 少为11.25升.源自文库
【典例1】(2015·重庆模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米. 假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面
的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π 元(π
为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.