导数的综合应用 优秀课件
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高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件
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题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
导数的综合应用优秀课件
导数的综合应用优秀
2021/1/17
§3.3 导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求导数 f′(x)；(2)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数 f(x)的单 调区间． 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；（2）求导数 f′(x)；(3)解方程 f′(x) ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那 么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导； (2)求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值； (3)求函数 f(x)在[a，b]端点处的函数值 f(a)，f(b)； (4)比较函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)的大小，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2021/1/17
4．经过点(3,0)的直线 l 与抛物线 y＝x22交于两点，且两个 交点处的切线相互垂直，则直线 l 的斜率 k= －16 .
解析 设直线 l 的斜率为 k，则其方程为 y＝k(x－3)，设
直线 l 与抛物线的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝x22，
得 x2－2kx＋6k＝0，
2021/1/17
又函数 g(x)＝－x3＋bx＋c＋3 是奇函数，g(0)＝0，
∴c＝－3.
∴a＝－2，b＝4，c＝－3，∴f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.
(2)f′(x)＝－3x2－4x＋4＝－(3x－2)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝23或 x＝－2，
2021/1/17
§3.3 导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求导数 f′(x)；(2)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数 f(x)的单 调区间． 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；（2）求导数 f′(x)；(3)解方程 f′(x) ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那 么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导； (2)求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值； (3)求函数 f(x)在[a，b]端点处的函数值 f(a)，f(b)； (4)比较函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)的大小，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2021/1/17
4．经过点(3,0)的直线 l 与抛物线 y＝x22交于两点，且两个 交点处的切线相互垂直，则直线 l 的斜率 k= －16 .
解析 设直线 l 的斜率为 k，则其方程为 y＝k(x－3)，设
直线 l 与抛物线的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝x22，
得 x2－2kx＋6k＝0，
2021/1/17
又函数 g(x)＝－x3＋bx＋c＋3 是奇函数，g(0)＝0，
∴c＝－3.
∴a＝－2，b＝4，c＝－3，∴f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.
(2)f′(x)＝－3x2－4x＋4＝－(3x－2)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝23或 x＝－2，
导数的综合应PPT课件
又 f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2， f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－2 ln16， ∵e3>16，∴f12－f(2)>0，即 f12>f(2)． ∴f(x)在区间12，2上的最大值 f(x)max＝f12＝1－ln2.
综上可知，函数 f(x)在12，2上的最大值是 1－ln2，最小值是 0.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
例 2：已知函数 f(x)＝1－ axx＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范 围； (2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋ 13＋14＋…＋1n.
解析：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
图4－3－3
关于导数的应用，课标要求 (1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上 不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
导数及其应用PPT教学课件
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
Vf 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
Vx
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
=6Δx+(Δx)2
再求 Vf 6 Vx Vx
再求 lim Vy 6 Vx0 Vx
小结：
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由键是求出：Vf Vx 3 Vx
lim 再求出 Vf Vx0 Vx
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
导数的综合应用优秀课件
x2 4．经过点(3,0)的直线 l 与抛物线 y＝ 交于两点，且两个 2 交点处的切线相互垂直，则直线 l 的斜率 k=
1 －6
.
解析 设直线 l 的斜率为 k，则其方程为 y＝k(x－3)，设 直线 l 与抛物线的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2 y＝ ， 2 由 得 x2－2kx＋6k＝0， y＝k（x－3）， 所以 x1x2＝6k. x2 ∵y′＝ 2 ′＝x， ∴抛物线在 A、B 两点的切线的斜率分别为 x1，x2，于是 1 有 x1x2＝6k＝－1，故 k＝－6.
∴不存在这样的两点使结论成立．
探究提高 探索性问题的求解应先假设要证的结论成立， 然后依据结论出发求解．若得到一个与已知条件或定理等 矛盾的结论，则该探究性问题不存在，否则是存在的．
变式训练 1 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c 图象上的点 P(1，f(1))处的切线方程为 y＝－3x＋1，函数 g(x)＝f(x) －ax2＋3 是奇函数． (1)求函数 f(x)的表达式； (2)求函数 f(x)的极值．
题型分类
题型一
深度剖析
利用导数的几何意义解题
例 1 设函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d (a、b、c、d∈R)的图 2 象关于原点对称，且当 x＝1 时 f(x)有极小值－ . 3 (1)求 a、b、c、d 的值； (2)当 x∈[－1,1]时，问图象上是否存在两点使过此两点 处的切线互相垂直？试证明你的结论．
∴x2 0＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)．
2.奇函数 f(x)＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx 在 x＝1 处有极值x)＝x＋asin x 在 R 上递增，则实数 a 的取值范 围为________ [－1,1] ．
高三数学精品课件：第三课时 导数的综合应用
解析：设 g(x)＝f(x)＋2x，则 g(x)＝ax2－ax＋ln x，只要 g(x)在 (0，＋∞)上单调递增，即 g′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立即可．而 g′(x)＝2ax－a＋1x＝2ax2－xax＋1(x>0)． ①当 a＝0 时，g′(x)＝1x>0，此时 g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点二 利用导数研究与不等式有关问题(核心考点——合作探究)
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以 解答题的形式考查，难度较大，属中、高档题.常见的命题角度 有：1证明不等式.2不等式恒成立问题.3存在型不等式成立 问题.
[考点分类·深度剖析] 课时作业
角由度ex≥2 k＋不x等，式得恒k成≤立ex－问x题.
令 f(x)＝(1e)xe－x≥x，k＋所x以在f′R(上x)＝恒e成x－立1，. 则实数 k 的取值范围为 令 f′(x)＝0，解得 x＝0，x<0 时，f′(x)<0，x>0 时，f′(x)>0. ( A) A所．以k≤f(x1)在(－∞，0)上B是．减k≥函1数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案：[0,8]
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点二 利用导数研究与不等式有关问题(核心考点——合作探究)
[方法总结] 利用导数解决不等式的恒成立中参数范围问题的 策略 1．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值， 进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围． 2．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值 问题．
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点一 利用导数研究函数的零点或方程根(核心考点——合作探究)
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点二 利用导数研究与不等式有关问题(核心考点——合作探究)
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以 解答题的形式考查，难度较大，属中、高档题.常见的命题角度 有：1证明不等式.2不等式恒成立问题.3存在型不等式成立 问题.
[考点分类·深度剖析] 课时作业
角由度ex≥2 k＋不x等，式得恒k成≤立ex－问x题.
令 f(x)＝(1e)xe－x≥x，k＋所x以在f′R(上x)＝恒e成x－立1，. 则实数 k 的取值范围为 令 f′(x)＝0，解得 x＝0，x<0 时，f′(x)<0，x>0 时，f′(x)>0. ( A) A所．以k≤f(x1)在(－∞，0)上B是．减k≥函1数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案：[0,8]
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点二 利用导数研究与不等式有关问题(核心考点——合作探究)
[方法总结] 利用导数解决不等式的恒成立中参数范围问题的 策略 1．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值， 进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围． 2．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值 问题．
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点一 利用导数研究函数的零点或方程根(核心考点——合作探究)
导数的应用教学课件ppt
乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
第3章 第16讲 导数的综合应用
研题型 ·技法通关
第11页
栏目导航
第三章 导数及其应用
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
导数的几何意义和函数单调性 已知函数f(x)＝xln x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 【解答】 因为函数f(x)＝xln x，所以f′(x)＝lnx＋1，当x＝1时，f′(1)＝ln1＋1 ＝1，f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
第20页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
(2)若f(x)<0对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
【解答】f(x)＝xlnx－a(x－1)2－x＋1<0在(1，＋∞)上恒成立．因为x>0，即lnx－ ax－1x2＋x－1<0在(1，＋∞)上恒成立．
不妨设h(x)＝lnx－ax－1x2＋x－1，x∈(1，＋∞)， 则h′(x)＝－x－1axx2＋a－1. ①当a≤0时，ax＋a－1<0，故h′(x)>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而 h(x)>h(1)＝0，所以h(x)<0不成立．
第12页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
(2)求f(x)的单调区间；
【解答】函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)＝0，得x
＝1e.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
0，1e
1 e
1e，＋∞
f′(x)
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
第11页
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第三章 导数及其应用
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
导数的几何意义和函数单调性 已知函数f(x)＝xln x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 【解答】 因为函数f(x)＝xln x，所以f′(x)＝lnx＋1，当x＝1时，f′(1)＝ln1＋1 ＝1，f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
第20页
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
(2)若f(x)<0对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
【解答】f(x)＝xlnx－a(x－1)2－x＋1<0在(1，＋∞)上恒成立．因为x>0，即lnx－ ax－1x2＋x－1<0在(1，＋∞)上恒成立．
不妨设h(x)＝lnx－ax－1x2＋x－1，x∈(1，＋∞)， 则h′(x)＝－x－1axx2＋a－1. ①当a≤0时，ax＋a－1<0，故h′(x)>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而 h(x)>h(1)＝0，所以h(x)<0不成立．
第12页
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
(2)求f(x)的单调区间；
【解答】函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)＝0，得x
＝1e.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
0，1e
1 e
1e，＋∞
f′(x)
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第三章 导数及其应用
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
2020版数学新攻略课件：导数的综合问题(52张)
考点突破
栏目索引
1-1 (2019江苏苏锡常镇四市高三模拟)某单位将举办庆典活动,要在广
场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩门的面积 为S(单位:m2),高为h(单位:m)(S,h为常数).彩门的下底BC固定在广场地 面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架 的长度和记为l.
考点突破
栏目索引
考点突破
考点一
典例1
导数在实际问题中的应用
(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))图①是一斜拉桥的
航拍图,为了分析大桥的承重情况,某研究小组将其抽象成图②所示的 数学模型.索塔AB,CD均与桥面AC垂直,通过测量知两索塔的高度均为 60 m,桥面AC上一点P到索塔AB,CD的距离之比为21∶4,且∠BPD=135°.
3 π
, 3 2 π π
↘
0 极小值
+ ↗
考点突破
栏目索引
S 所以lmin=f . = 3h+ h 3 S 2 1 答:(1)l表示成关于α的函数为l=f(α)= +h 0 α ; 2 h sin α tan α S (2)当α= 时,l有最小值,为 3 h+ . 3 h
.
答案 2
1 x 解析 f '(x)= · e +ax-(a+1)(a>0).当x<1时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x>1时, e a f '(x)>0, f(x)单调递增.又x→+∞, f(x)→+∞, f(1)= ,所以y=f(x)的值域是 2
a .则函数y=f(f(x))的值域为 a ,则f(x)的范围包含[1,+∞),即[1,+ , , 2 a a , ∞)⊆ ,所以 ≤1,即a≤2,则实数a的最大值为2. 2 2 2
导数的应用课件
02
导数在函数中的应用
Chapter
函数的单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性 ，通过导数的正负来判断函数在 某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0 ，则函数在此区间内单调递增； 如果导数小于0，则函数在此区间 内单调递减。
函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，当导数 由正变为负或由负变为正时，函数在 此点取得极值。
06
导数在其他领域的应用
Chapter
在化学反应速率中的应用
总结词
导数在化学反应速率中的应用主要表现在反 应速率的计算和反应机理的研究上。
详细描述
在化学反应中，反应速率是描述反应快慢的 重要参数。通过导数的计算，可以精确地描 述反应速率随温度、压力、浓度等条件的变 化情况，进而研究反应的动力学特征和机理 。导数分析有助于深入理解化学反应的本质 ，为优化反应条件和提高产率提供理论支持 。
速度与加速度
速度
瞬时速度是物体在某一时刻或经过某一位置时的速度，它由物体运动的距离和时间的比值定义。导数可以用来计 算瞬时速度，通过求位移函数的导数，得到瞬时速度的表达式。
加速度
加速度是速度的变化率，表示物体运动的快慢和方向。导数可以用来计算加速度，通过求速度函数的导数，得到 加速度的表达式。
斜抛运动
05
导数在经济学中的应用
Chapter
边际分析
01
边际成本
导数可以用来计算边际成本，即生产某一数量的产品所需增加或减少的
成本。通过导数分析，企业可以确定生产某一数量的产品时，成本增加
或减少的速度。
02
边际收益
导数还可以用来计算边际收益，即销售某一数量的产品所增加或减少的
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
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汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
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1 3 x 3 x 8. 已知甲、乙两地相 128 000 80
【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 需耗油 (
1 3 403 40 8) 2.5 =17.5(升). 128 000 80
100 =2.5(小时)， 40
所以汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油 17.5 升.
r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5 3 ) 时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5 3 )上为减函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水 池的体积最大.
3a
当3at2-1＞0,即t＞
1 2 ) 4 2. 1 3 2
考点二
利用导数研究函数的零点与方程的根的问题
【考情分析】此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指 数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几 年高考命题热点，一般有两种形式考查: (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题. (2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取 值范围问题.
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t).
(2)若在t= 1 处,S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值.
2
【解析】(1)f′(x)=-2ax,所以切线斜率是-2at,
所以切线方程为y-(1-at2)=-2at(x-t).
2 1 at 2 1 at 令y=0，得x= ，所以M( ,0)，令x=0, 2at 2at
【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答. 提醒：解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域.
元.根据题意得
200πrh+160πr2=12000π,所以h= 1 (300-4r2),从而V(r)=πr2h = (300r-4r3).
5 5r
因r>0,又由h>0可得r< 5 3 ,故函数V(r)的定义域为(0, 5 3 ).
(2)因V(r)= (300r-4r3).故V′(r)= (300-12r2).令V′(r)=0,解得 5 5
1 时,S′(t)＞0; 3a 1 当3at2-1＜0，即0＜t＜ 时，S′(t)＜0. 3a 1 所以当t= 时，S(t)有最小值. 3a 1 1 已知在t= 1 处，S(t)取得最小值，故有 ， 2 3a 2 4 (1 3 所以 a 4 . 故当 a 4 , t 1 时,S(t)min= S( 1 ) 4 2 3 3 2 4 3
得h(x)=(
令h′(x)=0,得x=80, 因为当x∈(0,80)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时,h′(x)＞0,h(x)是增函数，所以当x=80时，h(x)取得 最小值h(80)=11.25.
所以当汽车以80千米/小时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最 少为11.25升.
【加固训练】(2015·银川模拟)某建筑公司要在一 块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影
部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开
(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a＞0)的一
部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，设
P(t,f(t)).
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最
大.
【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域 ,
通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值 .
【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,
底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)
热点专题突破系列(一)
导数的综合应用
考点一
利用导数解决实际生活中的优化问题
【考情分析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、 利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的 能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、 导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查.
【变式训练】(2015·沈阳模拟)据统计某种汽车的最高车速为120千 米/小时，在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小 时)之间有如下函数关系：y 距100千米. (1)若汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多 少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少 为多少升？
(2)当汽车的行驶速度为x千米/小时时，从甲地到乙地需行驶 100 小时.
x
设耗油量为h(x)升，依题意，
800 15 1 3 100 = 1 2 ) · x ,0＜x 120, x 8 3 1 280 x 4 128 000x 80 x 3 3 x 80 (0＜x≤120). h′(x)= x 800 640 x 2 640x 2
【典例1】(2015·重庆模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米. 假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面
的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π 元(π
为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.
得y=1+at2,所以N(0,1+at2),
2 2 (1 at ) 所以△OMN的面积S(t)= . 4at
2 4 2 2 2 3a t 2at 1 (at 1)(3at 1) (2)S′(t)= , 4at 2 4at 2
由a＞0,t＞0,S′(t)=0，得3at2-1=0，即 t 1 .
【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 需耗油 (
1 3 403 40 8) 2.5 =17.5(升). 128 000 80
100 =2.5(小时)， 40
所以汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油 17.5 升.
r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5 3 ) 时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5 3 )上为减函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水 池的体积最大.
3a
当3at2-1＞0,即t＞
1 2 ) 4 2. 1 3 2
考点二
利用导数研究函数的零点与方程的根的问题
【考情分析】此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指 数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几 年高考命题热点，一般有两种形式考查: (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题. (2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取 值范围问题.
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t).
(2)若在t= 1 处,S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值.
2
【解析】(1)f′(x)=-2ax,所以切线斜率是-2at,
所以切线方程为y-(1-at2)=-2at(x-t).
2 1 at 2 1 at 令y=0，得x= ，所以M( ,0)，令x=0, 2at 2at
【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答. 提醒：解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域.
元.根据题意得
200πrh+160πr2=12000π,所以h= 1 (300-4r2),从而V(r)=πr2h = (300r-4r3).
5 5r
因r>0,又由h>0可得r< 5 3 ,故函数V(r)的定义域为(0, 5 3 ).
(2)因V(r)= (300r-4r3).故V′(r)= (300-12r2).令V′(r)=0,解得 5 5
1 时,S′(t)＞0; 3a 1 当3at2-1＜0，即0＜t＜ 时，S′(t)＜0. 3a 1 所以当t= 时，S(t)有最小值. 3a 1 1 已知在t= 1 处，S(t)取得最小值，故有 ， 2 3a 2 4 (1 3 所以 a 4 . 故当 a 4 , t 1 时,S(t)min= S( 1 ) 4 2 3 3 2 4 3
得h(x)=(
令h′(x)=0,得x=80, 因为当x∈(0,80)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时,h′(x)＞0,h(x)是增函数，所以当x=80时，h(x)取得 最小值h(80)=11.25.
所以当汽车以80千米/小时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最 少为11.25升.
【加固训练】(2015·银川模拟)某建筑公司要在一 块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影
部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开
(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a＞0)的一
部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，设
P(t,f(t)).
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最
大.
【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域 ,
通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值 .
【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,
底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)
热点专题突破系列(一)
导数的综合应用
考点一
利用导数解决实际生活中的优化问题
【考情分析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、 利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的 能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、 导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查.
【变式训练】(2015·沈阳模拟)据统计某种汽车的最高车速为120千 米/小时，在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小 时)之间有如下函数关系：y 距100千米. (1)若汽车以40千米/小时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多 少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少 为多少升？
(2)当汽车的行驶速度为x千米/小时时，从甲地到乙地需行驶 100 小时.
x
设耗油量为h(x)升，依题意，
800 15 1 3 100 = 1 2 ) · x ,0＜x 120, x 8 3 1 280 x 4 128 000x 80 x 3 3 x 80 (0＜x≤120). h′(x)= x 800 640 x 2 640x 2
【典例1】(2015·重庆模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米. 假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面
的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π 元(π
为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.
得y=1+at2,所以N(0,1+at2),
2 2 (1 at ) 所以△OMN的面积S(t)= . 4at
2 4 2 2 2 3a t 2at 1 (at 1)(3at 1) (2)S′(t)= , 4at 2 4at 2
由a＞0,t＞0,S′(t)=0，得3at2-1=0，即 t 1 .