华中师范大学《高等代数》《数学分析》考研真题(2009-2017汇总)

考试复习重点资料（最新版）

资料见第三页

封

面

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温馨提示

提示：本套资料经过精心编排，前2页是封面和提示部分，后面是资料试题部分。资料涵盖了考试的重点知识和题型，可以很好的帮助你复习备考。资料不在多而在精，一套系统的涵盖考试重点的资料，能够帮助你很好的提高成绩，减轻学习负担，再加上自己勤奋练习，肯定能取得理想的成绩。

寄语：无论你是考研、期末考试还是准备其他考试，既然决定了，就要坚持到底，花几个月的时间，精心准备，在加上资料的帮助，必然会得到回报。

1.一份合理科学的学习计划是你备考的领航灯。要有总体的时间规划，也要有精细到每天的计划，不打无准备的仗。

2.资料需要反复练习，任何一件看似轻而易举的事情，都是经过反复刻意练习的结果。公众号:第七代师兄,学习也是一样的，手里的资料，一定要反复练习几遍，才能孰能生巧，融汇贯通，考场上才能轻松应对。

3.态度决定一切，不要手稿眼底，从最基础的知识学起，基础扎实了，才能平底起高楼，才能将各类知识点运用自如。

4.坚持到底，无论是考试还是做事情，很多人打败自己的永远是自己。切记心浮气躁，半途而废。

5.希望这套资料能够很好的帮助你复习备考，祝学习进步，加油。

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目录

1华中师范大学2009年研究生入学考试试题高等代数4 2华中师范大学2010年研究生入学考试试题高等代数5 3华中师范大学2011年研究生入学考试试题高等代数6 4华中师范大学2012年研究生入学考试试题高等代数7 5华中师范大学2013年研究生入学考试试题高等代数9 6华中师范大学2014年研究生入学考试试题高等代数11 7华中师范大学2015年研究生入学考试试题高等代数12 8华中师范大学2016年研究生入学考试试题高等代数13 9华中师范大学2017年研究生入学考试试题高等代数15 10华中师范大学2009年研究生入学考试试题数学分析17 11华中师范大学2010年研究生入学考试试题数学分析19 12华中师范大学2011年研究生入学考试试题数学分析21 13华中师范大学2012年研究生入学考试试题数学分析23 14华中师范大学2013年研究生入学考试试题数学分析25 15华中师范大学2014年研究生入学考试试题数学分析27 16华中师范大学2015年研究生入学考试试题数学分析29 17华中师范大学2016年研究生入学考试试题数学分析31 18华中师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析33

1.(20分)设a1,¨¨¨,a n是n个复数,x是复变元.求解:x取哪些复数值时下述等式(等式左边是n`1阶行列式)成立:ˇ

ˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ

111¨¨¨1

x a1a2¨¨¨a n

x2a2

1

a2

2

¨¨¨a2n

..

.

..

.

..

.

..

.

x n a n

1

a n

2

¨¨¨a n n

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇ

“0.

2.(20分)设f p x q是n次实系数多项式,ną1.设f1p x q是f p x q的导数多项式.证明:

(1)如果r是f p x q的m重根,mą0,则r是f1p x q的m´1重根(若r是f p x q的零重根则表示r不

是f1p x q的根).

(2)如果f p x q的根都是实数,则f1p x q的根也都是实数.

3.(20分)设A是秩为r的mˆn阶矩阵,B是非零的mˆ1阶矩阵.考虑线性方程组AX“B,其中X

是变元x1,¨¨¨,x n的列向量.证明:

(1)线性方程组AX“B的任意有限个解向量X1,¨¨¨,X k的向量组的秩ďn´r`1.

(2)若线性方程组AX“B有解,则它有n´r`1个解向量是线性无关的.

4.(30分)设A,B,C都是n阶方阵,令˜

A B

C0

¸

是分块构成的2n阶方阵,其中右下块0表示n阶

零方阵.

(1)证明:

rank ˜

A B

C0

¸

ěrank p B q`rank p C q.

这里rank p B q表示矩阵B的秩.

(2)举例说明:p1q中的等号和不等号都可能成立.

5.(30分)设V是有限维向量空间,设U,W是V的两个子空间.

(1)什么是U与W的和子空间U`W?请叙述关于U`W的维数公式.

(2)证明关于和子空间的维数公式.

6.(30分)设A为n阶实矩阵,λi“r`si是A的特征根,其中r,s是实数,i是虚数单位.

(1)证明:1

2

p A`A1q的特征根都是实数,令µ1﨨¨ďµn是

1

2

p A`A1q的全部特征根.

(2)证明:µ1ďrďµn.

(3)你有类似的估计s的办法吗?

1.(20分)设F是任意数域,p p x q P F r x s.证明:p p x q是不可约多项式当且仅当p p x q是素多项式.

2.(20分)

(1)设A是n阶方阵,E是单位矩阵,k‰0.证明:A2“kA当且仅当

rank p A q`rank p A´kE q“n.

(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.

3.(20分)设R表示实数域,V“M3p R q表示所有3ˆ3实矩阵构成的向量空间.对给定的A P M3p R q,

定义V上的线性变换A:VÑV为

A p

B q“AB´BA,对任意的B P M3p R q.

设

AҬ

˚

˝

000

010

002

˛

‹

‚.

求A的特征值和相应的特征子空间;并求此时A的极小多项式.

4.(30分)设有三元实二次型

f p x,y,z q“x2`3y2`z2`4xz.

并设x,y,z满足x2`y2`z2“1.试求f的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达到最大值和最小值.

5.(30分)设R是实数域,V“C1r0,1s是闭区间r0,1s上的实连续可微函数的集合.V在函数的加法和数

乘函数的运算下是一个向量空间.

(1)证明函数f p x q“cos x,g p x q“2x,h p x q“e x在V中线性无关.

(2)任意给定ną0,在V中找出n`1个线性无关的元素,并证明你的结论.

(3)对某个m,是否有V和R m同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.

6.(30分)

(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为λ´矩阵,有λE´A等价于λE´B.

(2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.

(3)试说明上述结论p2q对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?