概率论第二章习题及答案
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设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 , x2 , , xk ,
并设 PX xk pk k 1, 2,
则称上式为离散型随机变量 X 的分布律.
离散型随机变量 X 的分布律还可列成下表.
X
x1
x2
xk
P
p1
p2
pk
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第二章 随机变量及其分布
k!
其中 0为常数
k 0, 1, 2,
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布.
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第二章 随机变量及其分布
4)几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k qk1 p k 1, 2,
其中 p 0,q 0,p q 1
5. 了解随机变量函数的概念,会求随机变量的 简单函数的分布。
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验,S是其样本空间.若对每一个
S, 都有唯一确定的一个实数X 与之对应,则称
X 为一个随机变量.
X
R
S
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
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第二章 习题课
分布函数的性质
10 F( x) 是一个不减的函数 ,
即 当x2 x1时 ,F ( x2 ) F ( x1 ).
20 0 F ( x) 1,且
F () lim F ( x) 0; F () lim F ( x) 1.
x
x
30 F ( x 0) F ( x), 即 F ( x)是 右 连 续 的. 40 对于任意的实数 x1 , x2 ( x1 x2 ),有:
说明 1. 离散型随机变量可完全由其分布律来刻
划. 即离散型随机变量可完全由其可能取值 以及取这些值的概率唯一确定.
2. {X x1}{X x2 }{X xk } S
且 {X xi}{X x j} , (i j)
离散型随机变量分布律的性质:
⑴ 对任意的自然数k,有
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第二章 习题课
六、一些常用的连续型随机变量
1.均 匀 分 布
f (x)
若随机变量 X 的密度函数为
第二章 随机变量及其分布
习题课
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第二章 随机变量及其分布
• 随机变量 • 离散型随机变量及其分布律
• 随机变量的分布函数
• 连续型随机变量及其概率密度
• 随机变量的函数的分布
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要 求:
1. 了解随机变量的概念,会用随机变量表示随 机事件。
2. 理解分布函数的定义及性质,会利用分布函 数表示事件的概率。
p nk
k 0, 1, , n
则称随机变量X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ Bn, p.
其中n为自然数,0 p 1 为参数
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第二章 随机变量及其分布
3)Poisson 分布
如果随机变量 X 的分布律为
PX k k e
pk 0.
⑵ pk 1.
k
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第二章 随机变量及其分布
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 01 p q , PX 1 p
或 P{ X k} pkq1k (k 0 , 1)
X
0
1
P
1-p
p
则称随机变量X 服从参数为p的几何分布.
返回主目录Hale Waihona Puke Baidu
第二章 随机变量及其分布
5)超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
P
X k
C C k nk M NM
k 0, 1, , minM, n
C
n N
其中N, M, n均为自然数.
则称随机变量X 服从参数为N, M, n的超几何分布.
这两条性质是f判(x定) 一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
1
0
x
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第二章 习题课
30 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
x2
f(x)
f ( x)dx. ( x1 x2 )
x1
0 x1 x2 x
40 若f ( x)在 点x处 连 续 , 则 有 F ( x) f ( x).
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第二章 习题课
四、分布函数的定义及其性质
定义 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数, 函数
F ( x) P{ X x}
称为 X 的分布函数.
X
0x
x
F (x) P{X x}
说明 分 布 函 数F ( x)是 x 的 实 值 单 值 函 数, 其 定 义 域 为(,) ,值 域 为[ 0 , 1 ]。
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 } F ( x2 ) F ( x1 ). 返回主目录
第二章 习题课
五、连续型随机变量的概念与性质
如果对于随机变量X 的分布函数 F(x) , 存在非负实函数 f (x) ,使得对于任意
x
实数 x ,有 F ( x) f (t )dt,
则称 X 为连续型随机变量,其中函数 f ( x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度 函数.
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第二章 习题课
说明 f ( x) 不 一 定 连 续 , 但F( x)一 定 连 续 。
概率密度 f(x) 具有以下性质:
10 f ( x) 0.
20
f ( x)dx 1.
3. 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质,会求离散型随机变量的分布率及分布函 数,掌握常见的离散型随机变量分布:两点 分布、二项分布、泊松分布。
4. 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质,掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算,熟悉常见的连续型随机变量分布:均 匀分布、指数分布和正态分布。
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布.
记作 X ~ B1, p. 其中0 p 1 为参数
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布. 返回主目录
第二章 随机变量及其分布
2)二 项 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
PX
k
C
k n
pk 1
并设 PX xk pk k 1, 2,
则称上式为离散型随机变量 X 的分布律.
离散型随机变量 X 的分布律还可列成下表.
X
x1
x2
xk
P
p1
p2
pk
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第二章 随机变量及其分布
k!
其中 0为常数
k 0, 1, 2,
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布.
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第二章 随机变量及其分布
4)几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k qk1 p k 1, 2,
其中 p 0,q 0,p q 1
5. 了解随机变量函数的概念,会求随机变量的 简单函数的分布。
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验,S是其样本空间.若对每一个
S, 都有唯一确定的一个实数X 与之对应,则称
X 为一个随机变量.
X
R
S
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
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第二章 习题课
分布函数的性质
10 F( x) 是一个不减的函数 ,
即 当x2 x1时 ,F ( x2 ) F ( x1 ).
20 0 F ( x) 1,且
F () lim F ( x) 0; F () lim F ( x) 1.
x
x
30 F ( x 0) F ( x), 即 F ( x)是 右 连 续 的. 40 对于任意的实数 x1 , x2 ( x1 x2 ),有:
说明 1. 离散型随机变量可完全由其分布律来刻
划. 即离散型随机变量可完全由其可能取值 以及取这些值的概率唯一确定.
2. {X x1}{X x2 }{X xk } S
且 {X xi}{X x j} , (i j)
离散型随机变量分布律的性质:
⑴ 对任意的自然数k,有
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第二章 习题课
六、一些常用的连续型随机变量
1.均 匀 分 布
f (x)
若随机变量 X 的密度函数为
第二章 随机变量及其分布
习题课
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第二章 随机变量及其分布
• 随机变量 • 离散型随机变量及其分布律
• 随机变量的分布函数
• 连续型随机变量及其概率密度
• 随机变量的函数的分布
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要 求:
1. 了解随机变量的概念,会用随机变量表示随 机事件。
2. 理解分布函数的定义及性质,会利用分布函 数表示事件的概率。
p nk
k 0, 1, , n
则称随机变量X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ Bn, p.
其中n为自然数,0 p 1 为参数
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第二章 随机变量及其分布
3)Poisson 分布
如果随机变量 X 的分布律为
PX k k e
pk 0.
⑵ pk 1.
k
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第二章 随机变量及其分布
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 01 p q , PX 1 p
或 P{ X k} pkq1k (k 0 , 1)
X
0
1
P
1-p
p
则称随机变量X 服从参数为p的几何分布.
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第二章 随机变量及其分布
5)超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
P
X k
C C k nk M NM
k 0, 1, , minM, n
C
n N
其中N, M, n均为自然数.
则称随机变量X 服从参数为N, M, n的超几何分布.
这两条性质是f判(x定) 一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
1
0
x
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30 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
x2
f(x)
f ( x)dx. ( x1 x2 )
x1
0 x1 x2 x
40 若f ( x)在 点x处 连 续 , 则 有 F ( x) f ( x).
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第二章 习题课
四、分布函数的定义及其性质
定义 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数, 函数
F ( x) P{ X x}
称为 X 的分布函数.
X
0x
x
F (x) P{X x}
说明 分 布 函 数F ( x)是 x 的 实 值 单 值 函 数, 其 定 义 域 为(,) ,值 域 为[ 0 , 1 ]。
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 } F ( x2 ) F ( x1 ). 返回主目录
第二章 习题课
五、连续型随机变量的概念与性质
如果对于随机变量X 的分布函数 F(x) , 存在非负实函数 f (x) ,使得对于任意
x
实数 x ,有 F ( x) f (t )dt,
则称 X 为连续型随机变量,其中函数 f ( x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度 函数.
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第二章 习题课
说明 f ( x) 不 一 定 连 续 , 但F( x)一 定 连 续 。
概率密度 f(x) 具有以下性质:
10 f ( x) 0.
20
f ( x)dx 1.
3. 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质,会求离散型随机变量的分布率及分布函 数,掌握常见的离散型随机变量分布:两点 分布、二项分布、泊松分布。
4. 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质,掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算,熟悉常见的连续型随机变量分布:均 匀分布、指数分布和正态分布。
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布.
记作 X ~ B1, p. 其中0 p 1 为参数
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布. 返回主目录
第二章 随机变量及其分布
2)二 项 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
PX
k
C
k n
pk 1