运筹学 工作指派问题

n
n
n
n
ij
) xij
n n
= M ∑∑ xij − ∑∑ cij xij = nM − ∑∑ cij xij
i =1 j =1
14
1 甲 乙 丙 丁 10 5 5 2 2 9 8 4 3 3 7 7 6 4 4 8 7 5 5
12
例1-15 求最大效率问题
上海港务局装卸队安排五个班组进行五条作 业线的配工，以往各班组完成某项作业的实 际效率的具体数据如下表所示。
项目 班组 甲 乙 丙 丁 戊 400 435 505 495 450 315 295 370 310 320 220 240 320 250 310 120 220 200 180 190 145 160 165 135 100 13 1 2 3 4 5
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(5)变换矩阵，增加0元素。具体方法是： ①在没被直线覆盖的元素中找出最小元素； ②对没被直线覆盖的各元素减去这个最小元素； ③被两条直线覆盖的各元素都加上这个最小元素。 (6)重复第(3)步找最优解，如能找到则结束；否则 重复(4)-(5)步。
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【例1-14】有四项任务，分别由四个人去 完成。他们每个人完成不同的工作所需时 间如表所示，求使总工作时间最少的任务 安排。
地点 机器 1 2 3 4 需求量 1 10 3 2 4 1 2 9 4 1 3 1 3 8 5 1 5 1 4 7 6 2 6 1 机器 总数 1 1xij = ⎨ ⎩0,如果机器i没有安装在地点j
cij 是机器i安装在地点j所需要的费用
数学模型:
min z =
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关于模型的讨论
指派问题是运输问题的特殊情况 当n=m时，平衡指派问题 当n ≠ m 时，不平衡指派问题，此时，可 设置虚工作或虚工作人员，将其化为平 衡指派问题。 对指派矩阵C，任意行（列）减去它的最 小元素后，所构成的指派问题最优解与 原指派问题相同。
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二、 求解工作指派问题的匈牙利法
匈牙利数学家克尼格利用指派问题的特 点，给出了一种更为简便的方法，俗称 匈牙利法。 1.匈牙利法的基本原理 对指派矩阵C，任意行（列）减去它的最 小元素后，所构成的指派问题最优解与原 指派问题相同。因为指派矩阵的这种变化 并不影响数学模型的约束方程组，而只是 使目标函数值减少了某些数值。
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(4)画0元素的最少覆盖线：要用最少的覆盖线将矩 阵表格中的所有0元素都覆盖住。如果覆盖线的条 数少于矩阵的阶数，说明找不到最优解，要转下 步（继续变换矩阵，使0元素增加）。如果覆盖线 的条数等于矩阵的阶数，则说明可以从矩阵表格 的0元素中找出最优解。 画最少覆盖线的具体方法： ①对没有◎的行打√； ②对打√的行中，所有有0元素的列打√； ③对打√的列中，对有◎的行打√； ④重复②、③步直到得不出新的打√的行和列； ⑤对没有打√的行画横线，对打√的列画纵线，这 些横线和纵线就是能把全部0元素都覆盖的最少覆 盖线。
第一章 线性规划的基本 理论及其应用
1
第九节
工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题： 有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的 费用为 cij (i, j = 1, 2, , n),要求确定人和事之间的 一一对应的指派方案，使完成这n件事的总 费用最少。
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一、工作指派的数学模型
【例1-13】机器安装选址问题：某工厂买了四台不 同类型的新机器，可以把它们安装在四个不同的地 点。不同的机器安装在不同地点的费用是不同的， 具体费用见下表。（费用单位：元）
首先将效率最大问题转化为时间最短问 题：用一个不比指派矩阵中最大元素小 的数减去指派矩阵的所有元素。即令
M ≥ max( c ij ), b ij = M − c ij
则有
∑∑ b x = ∑∑ (M − c
i =1 j =1 ij ij n i =1 j =1 n n n i =1 j =1 i =1 j =1
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2.匈牙利法的计算步骤
(1)如有n项任务，则列出一个n阶矩阵表格。 (2)变换矩阵：先对各行元素分别减去本行中的最小 元素，再对各列元素分别减去本列中最小元素， 使得每一行和每一列都出现0元素。 (3)在变换矩阵中找最优解：在矩阵中寻找n个位于 不同行不同列的0元素。找最优解的具体方法：由 有0元素最少的行（或列）开始，圈出一个0元 素，用◎表示，然后划去同行同列的其他元素。 如能找到n个位于不同行不同列的0元素，则得到了 最优解；若找不到，则转下步。
⎧ n ⎪ ∑ xij = 1, j = 1, 2, ⎪ i =1 ⎪ n s.t . ⎨ ∑ xij = 1, i = 1, 2, ⎪ j =1 ⎪ xij = 0或1 ⎪ ⎩
,n ,n
5
指派矩阵
⎡ c11 c12 ⎢c c22 21 C=⎢ ⎢ ⎢ ⎣cn1 cn 2 c1n ⎤ ⎥ c2 n ⎥ ⎥ ⎥ cnn ⎦
∑∑c
j =1 i = 1
4
4
ij
xij
⎧ 4 ⎪ ∑ xij = 1, j = 1, 2, 3, 4 ⎪ i =1 ⎪ 4 s.t . ⎨ ∑ xij = 1, i = 1, 2, 3, 4 ⎪ j =1 ⎪ xij = 0或1 ⎪ ⎩
4
指派问题的一般模型
min z = ∑ ∑ cij xij
j =1 i =1 n n