高一直升班周考数学试题
高中数学：2024年秋季高一数学入学分班考试模拟卷数学数学
2024年秋季高一入学分班考试模拟卷数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =−，则x 的值可以是（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．23．“2x =”是“24x =”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（ ）A ．3,12,11a b c ==−= B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（ ）A ．()()()112x x y x y +−++B ．()()11x y x y ++−−C ．()()11x y x y −+−−D ．()()11x y x y +++−6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（ ）A ．1x ∀>，210xB ．1x ∀>，210x +≤C ．1x ∃>，210x +≤D ．1x ∃≤，210x +≤7．函数y =）A ．[]3,3−B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞ 8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（ ）A ．-20 B ．2 C ．2或-20 D ．2或20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥B ．x ∃∈N ，2x 为偶数C ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数11．下列结论中，错误的结论有（ ）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是 ．13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示） ．14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)1 1.21x x −≤+16．（15分）设全集R U =，集合{}|15A x x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=. (1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A B x x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ，①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值．19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x立方米，水费为y元．(1)试求y关于x的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若,a b之间符合函数关系：247530=−+−．则当b a a两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？。
2021-2022年高一数学上学期抽考试题(直升班)
2021-2022年高一数学上学期抽考试题（直升班）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共120分.考试时间90分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在下列各组中的集合与中， 使的是（ ）A ．{(1,3)},{(3,1)}M N =-=-B ．C ．22{|1,R},{(,)|1,R}M y y x x N x y y x x ==+∈==+∈D ．22{|1,R},{|(1)1,R}M y y x x N t t y y ==+∈==-+∈2．函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列三个结论：①；②；③若，则．其中正确的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．用列表法表示函数，如下：则满足的的值为（ ）A ．或B ．或C ．D ．或5． 如图所示,程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 若且，则函数的图像大致为（ ）7． 已知函数在上是偶函数，且在上是单调函数，若，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和1 2 31 3 1 123 3 2 1A B C D在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共80分）二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了名女生，测量其体重．将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在的人数是；10．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则；11．函数的单调递减区间为；12．下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共4小题，共60分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本题满分14分）已知是定义在上的奇函数，当时，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）若，，求区间．14．（本题满分14分）已知且,.（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）判断的奇偶性并证明；（Ⅲ）若，当时，求函数的值域。
2021年高一上学期周日(1.10)考试数学试题 含答案
2021年高一上学期周日（1.10）考试数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.【2011全国新课示，理5】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）A． B． C． D．2.【xx全国1，理8】为得到函数的图像，只需将函数的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位4.【xx高考新课标1，理2】（）A． B． C． D．5．【xx新课标，理4】钝角三角形的面积是，，，则（）A．5 B． C．2 D．16．【xx课标I，理8】设，且，则（）A． B． C． D．7．【xx全国，理9】已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．【xx新课示，理9】若，是第三象限的角，则（）A． B． C．2 D．-29．【xx年全卷I，理8】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为…（）A． B． C． D．10．【xx高考新课标I，理8】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A ．B ．C ．D ．11．【2011全国新课标，理11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωφωφωφ=+++><的最小正周期为，且，则（ ）A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增12.【xx 课标I ，理6】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在的图像大致为（ ）A ．B ．C ． D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.【2011全国新课标，理16】在中，，，则的最大值为_______． 14.【xx 新课示，理14】函数的最大值为________．15.【xx 课标全国I ，理15】设当时，函数取得最大值，则________． 16.【xx 新课标，理16】在中，为边上一点，，，．若的面积为，则________． 三、解答题：本大题共4题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（10分）【xx 全国2，理17】中，为边上的一点，，求． 18.（10分）【xx 全国，理17】已知分别为三个内角的对边，． （1）求；（2）若，的面积为，求．19.（10分）【xx 高考新课标2，理17】中，是上的点，平分面积是面积的2倍．（1）求；（2）若，求和的长．20.（10分）【xx课标全国I，理17】如图，在中，，，为内一点，．（1）若，求；（2）若，求．参考答案1．B 2．A 3．C 4．D 5．B6．C【解析】由已知得，，去分母得，，所以【解析】结合的图像可知在上单调递减，而，故由的图象向左平移个单位之后可得的图像，故在上单调递减，故应有，解得．8．A【解析】∵，为第三象限，∴,∵2sin211tan cos cos sin(cos sin)2222221tan sin cos sin(cos sin)(cos sin)222222221cos2αααααααααααααααα++++===---+-2231()1sin1sin154cos2cos sin225ααααα+-++====---9．A【解析】：∵的图像关于点对称，即 ∴，∴，∴当时，有最小值． 10．D【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令 ，解得，故单调减区间为，，故选D ． 11．A【解析】由于()sin()cos())4f x x x x πωφωφωφ=+++=++，由于该函数的最小正周期为，得出， 又根据，以及，得出． 因此，，若，则，从而在单调递减， 若，则，该区间不为余弦函数的单调区间，故都错，正确．故选A ． 12．C【解析】如图所示，当时，在中，．在中，；当时，在中，，在中，1sin()cos sin sin 22MD OM x x x x π=-=-=-，所以当时，的图象大致为C ．13．【解析】根据正弦定理得：00022sin(120)sin 2sin120cos 2cos120sin 4sin sin 4sin 5sin ))tan 5AB BC A A A A AA A A A AA A ϕϕϕ+=-+=-+=++=+=+=+=≤其中 所以的最大值为． 14．1【解析】由题意知：[][]()sin(2)2sin cos()sin ()2sin cos()sin cos()cos sin()2sin cos()cos sin()sin cos()sin ()sin f x x x x x x x x x x x xϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+=+++-+=+-+=+-=即，因为，所以的最大值为1． 15．【解析】()sin 2cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=-， 令，则，当时，有最大值1，有最大值，即， 所以25cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=+-=-==-=-． 16．60°【解析】，解得， ∴．在中，220431)2231)cos1206AB =+-⨯⨯⨯=，∴，在中，2242(31)2231)cos 6024123AC ⎡⎤=+-⨯⨯⨯=-⎣⎦∴．则22212323)1cos 22266(31)AB AC BC BAC AB AC +-∠===⨯⨯⨯-，∴．17．【解析】由知，由已知得，从而sin sin()sin cos cos sin 412353351351365BAD ADC B ADC B ADC B∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=,由正弦定理得533sin 13,2533sin sin sin 65AD BD BD BAD BBAD BAD⨯====∠∠ 18．【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=， 因为，所以． 由于，所以．又，故． （2）的面积，故，而，故． 解得．19．【解析】（1），，因为， ，所以，由正弦定理可得．（2）因为，所以，在和中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠．．由（1）知，所以．20．【解析】：（1）由已知得，所以， 在中，由余弦定理得．故． （2）设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即 28567 6F97 澗m 35626 8B2A 謪28651 6FEB 濫40176 9CF0 鳰32670 7F9E 羞 E32054 7D36 紶>0。
陕西省西安市某校高一(上)第一周周考数学试卷(有答案)
陕西省西安市某校高一（上）第一周周考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共50分）．1. 若U={1,2,3,4}，M={1, 2}，N={2, 3}，则∁U(M∪N)=()A.{1, 2, 3}B.{2}C.{1, 2, 3}D.{4}2. 设集合M={x|−2≤x≤2}，N={x|x<1}，则M∩N=()A.{x|1<x<2}B.{x|−2<x<1}C.{x|1<x≤2}D.{x|−2≤x<1}3. 在①1⊆{0, 1, 2}；②{1}∈{0, 1, 2}；③{0, 1, 2}⊆{0, 1, 2}；④⌀⊊{0}上述四个关系中，错误的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4. 设全集U=Z，A={1, 3, 5, 7, 9}，B={1, 2, 3, 4, 5, 6}，则如图中阴影部分表示的集合是（）A.{1, 4, 5}B.{7, 9}C.{2, 4, 6}D.{1, 3, 5}5. 已知集合M={0, 1, 2}，N={x|x=2a, a∈M}，则集合M∩N=()A.{0}B.{0, 1}C.{1, 2}D.{0, 2}6. 已知集合M={(x, y)|x+y=2}，N={(x, y)|x−y=4}，那么M∩N为()A.x=3，y=−1B.(3, −1)C.{3, −1}D.{(3, −1)}7. 下列四个集合中，是空集的是（）A.{x|x+3=3}B.{(x, y)|y2=−x2, x, y∈R}C. {x|x2−x+1=0, x∈R}D.{x|x2≤0}8. 设U={1, 2, 3, 4, 5}，A∩B={2}，(∁U A)∩B={4}，(∁U A)∩(∁U B)={1, 5}，则下列结论正确的是（）A.3∉A且3∉BB.3∉B且3∈AC.3∉A且3∈BD.3∈A且3∈B9. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C10. 已知集合A={−1, 1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A.1B.−1C.1或−1D.1或−1或0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）设集合A={5, (a+1)}，集合B={a, b}．若A∩B={2}，则A∪B=________．设U=R，M={x|x>2或x<0}，则∁U M=________．设集合A={1, 2}，则满足A∪B={1, 2, 3}的集合B的个数是________．∈Z, m∈Z}=________．用列举法表示集合：M={m|10m+1某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共25分）.已知集合A={x|2≤x<8}，B={x|1<x<6}，C={x|x>a}，U=R．（1）求A∪B，(∁U A)∩B，A∪(∁U B)；（2）若A∩C≠⌀，求a的取值范围．（1）已知集合A={a2, a+1, −3}，B={a−3, 2a−1, a2+1}，若A∩B={−3}，求实数a的值；（2）已知集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素，用集合表示a的取值范围．四．附加题（10分）若A={x|−2≤x≤3}，B={x|2m−1≤x≤m+1}，（1）当B⊆A时，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析陕西省西安市某校高一（上）第一周周考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共50分）．1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用两个集合的并集的定义求出M∪N，再利用集合的补集的定义求出C U(M∪N)．【解答】解：M∪N={1, 2}∪{2, 3}={1, 2, 3}，∴∁U(M∪N)={4}.故选D．2.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义可知即要求两集合的公共解集，求出两集合的交集即可．【解答】解：因为集合M={x|−2≤x≤2}，N={x|x<1}，则M∩N={x|−2≤x<1}．故选D．3.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及表示符号，及规定空集是任何非空集合的真子集，即可找出错误的个数．【解答】解：元素属于集合用：∈表示，所以①错误；“∈“表示元素与集合的关系，不表示集合与集合的关系，所以②错误；根据子集的定义，{0, 1, 2}是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；所表示的关系中，错误的个数是2．故选B．4.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】根据已知中图中阴影部分表示的集合是属于B的，但不属于A的元素组成的集合，结合已知中A={1, 3, 5, 7, 9}，B={1, 2, 3, 4, 5, 6}，将B中元素去掉与A共有的元素，即可得到答案．【解答】解：∵全集U=Z，A={1, 3, 5, 7, 9}，B={1, 2, 3, 4, 5, 6}，图中阴影部分表示属于B的，但不属于A的元素组成的集合即(C U A)∩B={2, 4, 6}故选C5.【答案】D【考点】函数的值域及其求法交集及其运算【解析】集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集【解答】解：由题意知，N={0, 2, 4}，故M∩N={0, 2}.故选D.6.【答案】D【考点】二元一次方程组的解交集及其运算【解析】将集合M与集合N中的方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．【解答】解：将集合M和集合N中的方程联立得：{x+y=2①，x−y=4②，①+②得：2x=6，解得：x=3，①−②得：2y=−2，解得：y=−1，∴方程组的解为：{x=3，y=−1.则M∩N={(3, −1)}．故选D.7.【答案】C【考点】集合的表示法【解析】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可．【解答】解：∵x+3=3，∴x=0，A={0}；A不是空集，A不正确．∵y2=−x2，x，y∈R∴x=0，y=0；B={(0, 0)}；B不是空集，B不正确．∵x2−x+1=0，x∈R，△<0，∴C=⌀；C是空集，C正确．∵x2≤0∴x=0；D={0}．D不是空集，D不正确．故选：C．8.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意画出图形，确定出A与B，即可做出判断．【解答】解：全集U={1, 2, 3, 4, 5}，若A∩B={2}，(∁U A)∩B={4}，(∁U A)∩(∁U B)= {1, 5}，由图可知：∴A={2, 3}，B={2, 4}，则3∈A且3∉B．故选B9.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)10.【答案】D【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】利用A∪B=A⇒B⊆A，写出A的子集，求出各个子集对应的m的值．【解答】解：∵A∪B=A，∴B⊆A，∴分B=⌀；B={−1}；B={1}三种情况.当B=⌀时，m=0.当B={−1}时，m=−1.当B={1}时，m=1.故m的值是0；1；−1.故选D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）【答案】{1, 2, 5}【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】先通过A∩B={2}得出a+1=2，b=2，进而解得a，b，再求得集合A，B，再取并集．【解答】解：∵A∩B={2},∴a+1=2，b=2,∴a=1，b=2,∴A={5, 2}，B={1, 2},∴A∪B={1, 2, 5},故答案为：{1, 2, 5}.【答案】{x|0≤x≤2}【考点】补集及其运算【解析】由全集U=R，以及M，求出M的补集即可．【解答】解：∵U=R，M={x|x>2或x<0}，∴∁U M={x|0≤x≤2}．故答案为：{x|0≤x≤2}【答案】4【考点】子集与真子集【解析】由题意判断出3是集合B的元素，且是{1, 2, 3, 4}的子集，再由B中元素的个数一一列出集合B的所有情况．【解答】解：∵A={1, 2}，且A∪B={1, 2, 3}，∴3∈B，B⊆{1, 2, 3}，∴则B可能为{3}，{1, 3}，{2, 3}，{1, 2, 3}，个数为4．故答案为：4．【答案】{−11, −6, −3, −2, 0, 1, 4, 9}【考点】集合的含义与表示【解析】首先根据M={m|10m+1∈Z，m∈Z}，对m值进行分析，当10m+1为整数时记录m的值，最后综合m的值构成集合M【解答】解：∵M={m|10m+1∈Z，m∈Z}；m=−11时，10m+1=−1；m=−6时，10m+1=−2；m=−3时，10m+1=−5；m=−2时，10m+1=−10；m=0时，10m+1=10；m=1时，10m+1=5；m=4时，10m+1=2；m=9时，10m+1=1；∴M={−11, −6, −3, −2, 0, 1, 4, 9}故答案为：{−11, −6, −3, −2, 0, 1, 4, 9}【答案】12【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15−x)人，只喜爱乒乓球的有(10−x)人，由此可得(15−x)+(10−x)+x+8＝30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15−x)人，只喜爱乒乓球的有(10−x)人，由此可得(15−x)+(10−x)+x+8＝30，解得x＝3，所以15−x＝12，即所求人数为12人，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共25分）.【答案】解：（1）∵A={x|2≤x<8}，B={x|1<x<6}，U=R，∴A∪B={x|1<x<8}，∁U A={x|x<2或x≥8}，∁U B={x|x≤1或x≥6}，则(∁U A)∩B={x|1<x<2}，A∪(∁U B)={x|x≤1或x≥2}；（2）∵A={x|2≤x<8}，C={x|x>a}，且A∩C≠⌀，∴a<8．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）由A与B，求出两集合的并集，求出A与B的补集，找出A补集与B的交集，A与B 补集的并集即可；（2）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|2≤x<8}，B={x|1<x<6}，U=R，∴A∪B={x|1<x<8}，∁U A={x|x<2或x≥8}，∁U B={x|x≤1或x≥6}，则(∁U A)∩B={x|1<x<2}，A∪(∁U B)={x|x≤1或x≥2}；（2）∵A={x|2≤x<8}，C={x|x>a}，且A∩C≠⌀，∴a<8．【答案】解：（1）A={a2, a+1, −3}，B={a−3, 2a−1, a2+1}，由A∩B={−3}，得a−3=−3或2a−1=−3．若a−3=−3，则a=0，此时A={0, 1, −3}，B={−3, −1, 1}，A∩B={−3, 1}，不符合题意；若2a−1=−3，则a=−1，此时A={0, 1, −3}，B={−4, −3, 2}，A∩B={−3}，符合题意；∴实数a的值为−1；（2）∵集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素，∴a=0或{a≠0(−3)2−8a≤0，解得a=0或a≥98．∴a的取值范围是{0}∪{a|a≥98}．【考点】交集及其运算集合中元素个数的最值【解析】（1）由A∩B={−3}，得a−3=−3或2a−1=−3，分别求出a的值后验证得答案；（2）集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素，说明方程ax2−3x+2=0为依次方程，或者是二次方程时判别式小于等于0，由此求解得答案．【解答】解：（1）A={a2, a+1, −3}，B={a−3, 2a−1, a2+1}，由A∩B={−3}，得a−3=−3或2a−1=−3．若a−3=−3，则a=0，此时A={0, 1, −3}，B={−3, −1, 1}，A∩B={−3, 1}，不符合题意；若2a−1=−3，则a=−1，此时A={0, 1, −3}，B={−4, −3, 2}，A∩B={−3}，符合题意；∴实数a的值为−1；（2）∵集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素，∴a=0或{a≠0(−3)2−8a≤0，解得a=0或a≥98．∴a的取值范围是{0}∪{a|a≥98}．四．附加题（10分）【答案】解：（1）B⊆A，若B=⌀，则2m−1>m+1，∴m>2；若B≠⌀，则{2m−1≤m+12m−1≥−2m+1≤3，解得−12≤m≤2；∴实数m的取值范围是[−12，+∞)；（2）根据已知条件知：A∩B=⌀；∴若B=⌀，由（1）知，m>2；若B≠⌀，则{2m−1≤m+1m+1<−2，或2m−1>3，解得m<−3；∴实数m的取值范围为(−∞, −3)∪(2, +∞)．【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】（1）根据已知条件，讨论B=⌀，和B≠⌀两种情况，B=⌀时，得到m>2；B≠⌀时，得到−12≤m≤2，这样便求出了m的范围；（2）根据已知条件知：A∩B=⌀，所以讨论B=⌀，和B≠⌀．B=⌀时，由（1）已经求出，B≠⌀时，写出限制a的不等式，解不等式即可，这两种情况的m求并集即可．【解答】解：（1）B⊆A，若B=⌀，则2m−1>m+1，∴m>2；若B≠⌀，则{2m−1≤m+12m−1≥−2m+1≤3，解得−12≤m≤2；∴实数m的取值范围是[−12，+∞)；（2）根据已知条件知：A∩B=⌀；∴若B=⌀，由（1）知，m>2；若B≠⌀，则{2m−1≤m+1m+1<−2，或2m−1>3，解得m<−3；∴实数m的取值范围为(−∞, −3)∪(2, +∞)．。
高一上数学周考试卷(含答案)
高一上数学周考试卷（含答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 设集合A={-1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是( )【A】{0，1} 【B】{0，-1} 【C】{1，-1}【D】{1，0，-1}2. 已知集合M={(x,y)|x+y=3}，N={(x,y)|x−y=5}，那么集合M∩N为( )【A】x=4，y=−1 【B】(4,−1)【C】{4，−1} 【D】{(4,−1)}3. 设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，(∁UA)∩B={4}，(∁UA)∩(∁UB)={1，5}，则下列结论正确的是( )。
【A】3∉A，3∉B【B】3∉A，3∈B【C】3∈A，3∉B【D】3∈A，3∈B4.设全集U是实数集R，M={x∣x2＞4}，N={x∣1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）【A】[1，2）【B】（1，2）【C】（1，2]【D】[1，2]5.已知集合{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数是（）【A】8 【B】7【C】 4 【D】36.设集合A={x|x+1＞0}，B={x|x≤a}，若A∩B≠Ф，则实数a的取值范围是( )【A】a＜-1【B】a≤-1【C】a＞-1【D】a≥-17.已知全集U={1,2,3,4,5},A={x∣x2−5x+m=0},B={x∣x2+nx+12=0},且(∁UA)∪B={1,3,4,5}，则m+n的值为( )【A】1【B】−1【C】2【D】−28.已知集合A={k x2−8x+16=0}只有一个元素，则实数k的值( ) 【A】0或-1【B】0或1【C】0或2【D】-1或19. 若集合A={-1，2}，集合B={x|x2+ax+b=0}，且A=B，则a+b的值为( )【A】0 【B】1【C】-3【D】-110.定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中所有元素之和为( )【A】0 【B】2【C】3【D】6二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共22分）11. 已知U=R，A=[0,2]，B=(1,+∞)，则A∩CUB=______.12. 下列四个命题：(1)空集没有子集；(2)空集是任何一个集合的真子集；(3)空集的元素个数为零；(4)任何一个集合必有两个或两个以上的子集。
甘肃省武威市某校高一(下)周考数学试卷(有答案)
甘肃省武威市某校高一（下）周考数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1. 设k是直线4x+3y−5=0的斜率，则k等于（）A.−43B.43C.34D.−342. 圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3. 已知直线l方程为2x−5y+10=0，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|a+b|等于（）A.3B.7C.10D.54. 设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=()A.1B.√2C.√3D.25. 已知直线方程l1:2x−4y+7=0，l2:x−2y+5=0，则l1与l2的关系（）A.平行B.重合C.相交D.以上答案都不对6. 将圆x2+y2−2x−4y+1=0平分的直线是( )A.x+y−1=0B.x+y+3=0C.x−y+1=0D.x−y+3=07. 若直线过点(1, 2)，(4,2+√3)，则此直线的倾斜角是（）A.60∘B.45∘C.30∘D.90∘8. 如果直线ax+2y+2＝0与直线3x−y−2＝0平行，那么实数a等于（）A.−6B.−3C.−32D.239. 原点到直线x+2y−5=0的距离为( )A.1B.√3C.2D.√510. 圆x2+y2＝1与直线y＝kx+2没有公共点的充要条件是（）A.k∈(−√2,√2)B.k∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞)C.k∈(−√3,√3)D.k∈(−∞,−√3)∪(√3,+∞)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．直线y=1与直线y=√3x+3的夹角为________已知两直线l1:3x+4y−2=0，l2:2x+y+2=0，则l1与l2的交点坐标为________．圆x2+y2−2x−2y+1＝0上的动点Q到直线3x+4y+8＝0距离的最小值为________．若圆C经过坐标原点和点(4, 0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是________．三．解答题：本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：，经过点A(8, −2)；（1）斜率是−12（2）经过点B(4, 2)，平行于x轴；，−3；（3）在x轴和y轴上的截距分别是32（4）经过两点P1(3, −2)，P2(5, −4)．.已知直线l经过点P(−2, 5)，且斜率为−34(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．已知圆C经过A(1, 1)，B(2, −2)，且圆心C在直线l:x−y+1＝0上，求圆C的方程．已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，(1)求证：直线l恒过定点；(2)判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．已知动点M到点A(2, 0)的距离是它到点B(8, 0)的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．参考答案与试题解析甘肃省武威市某校高一（下）周考数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1.【答案】A【考点】直线的斜率【解析】直线化为斜截式方程，即可求出直线的斜率．【解答】解：直线3x+4y−5=0的斜截式方程为：y=−43x+53，所以直线的斜率为：−43．故选：A．2.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的一般方程【解析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(−2, 0)，半径r=2．圆(x−2)2+(y−1)2=9的圆心C2(2, 1)，半径R=3，两圆的圆心距d=√(−2−2)2+(0−1)2=√17，R+r=5，R−r=1，R+r>d>R−r，所以两圆相交，故选B．3.【答案】A【考点】直线的截距式方程【解析】直接利用直线方程求出在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，然后求解|a+b|．【解答】解：直线l方程为2x−5y+10=0，且在x轴上的截距为a=−5，在y轴上的截距为b=2，所以|a+b|=|−5+2|=3．故选A．4.【答案】 D【考点】直线与圆相交的性质 【解析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r ，根据圆心在直线y =x 上，得到AB 为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长． 【解答】解：由圆x 2+y 2=1，得到圆心坐标为(0, 0)，半径r =1， ∵ 圆心(0, 0)在直线y =x 上， ∴ 弦AB 为圆O 的直径， 则|AB|=2r =2． 故选D 5.【答案】 A【考点】两条直线平行的判定 【解析】求出两条直线的斜率，可得它们的斜率都等于12，再由它们在y 轴的截距不相等，可得两条直线平行． 【解答】解：∵ 直线l 1方程：2x −4y +7=0，∴ 直线l 1的斜率k 1=12 同理可得直线l 2的斜率k 2=12∴ k 1=k 2，∵ 两条直线在y 轴上的截距分别为74和52，不相等 ∴ l 1与l 2互相平行 故选：A 6. 【答案】 C【考点】直线和圆的方程的应用 圆的一般方程【解析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程． 【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：(x −1)2+(y −2)2=4， 可得出圆心坐标为(1, 2)，将x =1，y =2代入A 选项得：x +y −1=1+2−1=2≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入C选项得：x−y+1=1−2+1=0，故圆心在此直线上；将x=1，y=2代入D选项得：x−y+3=1−2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，则直线x−y+1=0将圆平分．故选C.7.【答案】C【考点】斜率的计算公式【解析】根据直线所过的两点，做出直线的斜率，直线的斜率就是直线的倾斜角的正切值，根据倾斜角的范围，写出结果．【解答】解：∵直线过点(1, 2)，(4,2+√3)，∴此直线的斜率是2+√3−24−1=√33，即tanθ=√33，∵θ∈[0∘, 180∘]∴θ=30∘故选C．8.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】根据它们的斜率相等，可得−a2=3，解方程求a的值．【解答】∵直线ax+2y+2＝0与直线3x−y−2＝0平行，∴它们的斜率相等，∴−a2=3，∴a＝−6．9.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】用点到直线的距离公式直接求解．【解答】解：d=√1+22=√5．故选D．10.【答案】 C【考点】直线与圆相交的性质 【解析】当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件． 【解答】依题圆x 2+y 2＝1与直线y ＝kx +2没有公共点⇔d =√1+k 2>1⇔k ∈(−√3,√3)．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 【答案】 60∘【考点】 直线的斜率 【解析】根据题意，做出图象，进而通过图象，以及根据两直线的夹角的定义即可求出夹角． 【解答】解：l 1与l 2表示的图象为（如下图所示） y =1与x 轴平行，y =√3x +3与x 轴倾斜角为60∘，所以y =1与y =√3x +3的夹角为60∘．故答案为60∘【答案】 (−2, 2) 【考点】两条直线的交点坐标 【解析】联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得即可．【解答】解：联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得{x =−2y =2．∴ l 1与l 2的交点坐标为(−2, 2)．故答案为：(−2, 2)． 【答案】 2【考点】直线与圆的位置关系 【解析】根据题意可知，当Q 为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q 到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离． 【解答】把圆的方程化为标准式方程得：(x −1)2+(y −1)2＝1， 所以圆心A(1, 1)，圆的半径r ＝1， 则圆心A 到直线3x +4y +8＝0的距离d =√32+42=3，所以动点Q 到直线距离的最小值为3−1＝2 【答案】(x −2)2+(y +32)2=254【考点】 圆的标准方程 【解析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程． 【解答】解：设圆的圆心坐标(a, b)，半径为r ，因为圆C 经过坐标原点和点(4, 0)，且与直线y =1相切， 所以{a 2+b 2=r 2,(a −4)2+b 2=r 2,|b −1|=r,解得{a =2,b =−32,r =52.所求圆的方程为：(x −2)2+(y +32)2=254．故答案为：(x −2)2+(y +32)2=254．三．解答题：本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【答案】解：（1）斜率是−12，经过点A(8, −2)，由点斜式可得：y +2=−12(x −8)，化为x +2y −4=0；（2）经过点B(4, 2)，平行于x 轴，∴ 直线方程为y =2，即y −2=0；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，−3，由截距式可得x 32+y−3=1，化为2x −y −3=0；（4）经过两点P 1(3, −2)，P 2(5, −4)，x−35−3=y+2−4+2，化为x +y −1=0．【考点】直线的一般式方程 【解析】（1）由点斜式可得：y +2=−12(x −8)； （2）斜率为0，可得直线方程为y =2； （3）由截距式可得x 32+y−3=1；（4）由两点式可得x−35−3=y+2−4+2．【解答】解：（1）斜率是−12，经过点A(8, −2)，由点斜式可得：y +2=−12(x −8)，化为x +2y −4=0；（2）经过点B(4, 2)，平行于x 轴，∴ 直线方程为y =2，即y −2=0； （3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，−3，由截距式可得x 32+y −3=1，化为2x −y −3=0；（4）经过两点P 1(3, −2)，P 2(5, −4)，x−35−3=y+2−4+2，化为x +y −1=0． 【答案】解：(1)由点斜式写出直线l 的方程为 y −5=−34(x +2)，化简为 3x +4y −14=0． (2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x +4y +c =0， 由点到直线的距离公式， 得√32+42=3，即|14+c|5=3，解得c =1或c =−29，故所求直线方程 3x +4y +1=0， 或 3x +4y −29=0．【考点】点到直线的距离公式直线的一般式方程与直线的平行关系 直线的点斜式方程 【解析】（1）由点斜式写出直线l 的方程为 y −5=−34(x +2)，化为一般式．（2）由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x +4y +c =0，由点到直线的距离公式求得待定系数c 值，即得所求直线方程． 【解答】解：(1)由点斜式写出直线l 的方程为 y −5=−34(x +2)，化简为 3x +4y −14=0． (2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x +4y +c =0， 由点到直线的距离公式，得√32+42=3，即|14+c|5=3，解得c=1或c=−29，故所求直线方程3x+4y+1=0，或3x+4y−29=0．【答案】∵A(1, 1)，B(2, −2)，∴k AB=1−(−2)1−2=−3，∴弦AB的垂直平分线的斜率为13，又弦AB的中点坐标为(1+22, 1−22)，即(32, −12)，∴弦AB的垂直平分线的方程为y+12=13(x−32)，即x−3y−3＝0，与直线l:x−y+1＝0联立，解得：{x=−3y=−2，∴圆心C坐标为(−3, −2)，∴圆的半径r＝|AC|=√42+32=5，则圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2＝25．【考点】圆的一般方程【解析】由A和B的坐标，求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为−1求出线段AB垂直平分线的斜率，再由A和B的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段AB垂直平分线的方程，与直线l联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心C的坐标，再由C和A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的值，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可．【解答】∵A(1, 1)，B(2, −2)，∴k AB=1−(−2)1−2=−3，∴弦AB的垂直平分线的斜率为13，又弦AB的中点坐标为(1+22, 1−22)，即(32, −12)，∴弦AB的垂直平分线的方程为y+12=13(x−32)，即x−3y−3＝0，与直线l:x−y+1＝0联立，解得：{x=−3y=−2，∴圆心C坐标为(−3, −2)，∴圆的半径r＝|AC|=√42+32=5，则圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2＝25．【答案】(1)证明：直线l的方程可化为(2x+y−7)m+(x+y−4)=0,联立{2x +y −7=0,x +y −4=0,解得{x =3,y =1,所以直线恒过定点(3, 1).(2)当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短，直线l 的斜率为k =−2m+1m+1，k CP =1−23−1=−12， 由−2m+1m+1．(−12)=−1解得m =−34，此时直线l 的方程是2x −y −5=0，圆心C(1, 2)到直线2x −y −5=0的距离为d =|2−2−5|√5=√5, |AP|=|BP|=√r 2−d 2=√25−5=2√5,所以最短弦长是|AB|=2|AP|=4√5.【考点】直线恒过定点直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系点到直线的距离公式斜率的计算公式【解析】（1）直线l 的方程可化为(2x +y −7)m +(x +y −4)=0，要使直线l 恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得{2x +y −7=0x +y −4=0，易得定点； （2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短【解答】(1)证明：直线l 的方程可化为(2x +y −7)m +(x +y −4)=0,联立{2x +y −7=0,x +y −4=0,解得{x =3,y =1,所以直线恒过定点(3, 1).(2)当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短，直线l 的斜率为k =−2m+1m+1，k CP =1−23−1=−12， 由−2m+1m+1．(−12)=−1解得m =−34，此时直线l 的方程是2x −y −5=0，圆心C(1, 2)到直线2x −y −5=0的距离为d=√5=√5,|AP|=|BP|=√r2−d2=√25−5=2√5,所以最短弦长是|AB|=2|AP|=4√5.【答案】解：（1）设动点M(x, y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P={M||MA|=12|MB|}．由两点距离公式，点M适合的条件可表示为√(x−2)2+y2=12√(x−8)2+y2，平方后再整理，得x2+y2=16．（2）设动点N的坐标为(x, y)，M的坐标是(x1, y1)．由于A(2, 0)，且N为线段AM的中点，所以x=2+x12，y=0+y12所以有x1=2x−2，y1=2y①由（1）题知，M是圆x2+y2=16上的点，所以M坐标(x1, y1)满足：x12+y12=16②将①代入②整理，得(x−1)2+y2=4．所以N的轨迹是以(1, 0)为圆心，以2为半径的圆【考点】轨迹方程【解析】（1）设动点M(x, y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P={M||MA|=12|MB|}．由两点距离公式，能求出动点M的轨迹方程．（2）设动点N的坐标为(x, y)，M的坐标是(x1, y1)．由A(2, 0)，且N为线段AM的中点，知x1=2x−2，y1=2y，由M是圆x2+y2=16上的点，知M坐标(x1, y1)满足：x12+y12=16，由此能求出点N的轨迹．【解答】解：（1）设动点M(x, y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P={M||MA|=12|MB|}．由两点距离公式，点M适合的条件可表示为√(x−2)2+y2=12√(x−8)2+y2，平方后再整理，得x2+y2=16．（2）设动点N的坐标为(x, y)，M的坐标是(x1, y1)．由于A(2, 0)，且N为线段AM的中点，所以x=2+x12，y=0+y12所以有x1=2x−2，y1=2y①由（1）题知，M是圆x2+y2=16上的点，所以M坐标(x1, y1)满足：x12+y12=16②将①代入②整理，得(x−1)2+y2=4．所以N的轨迹是以(1, 0)为圆心，以2为半径的圆。
2023-2024学年江西省高一直升班下学期联考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江西省高一直升班下册联考数学试题一、单选题1．已知复数i1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数虚部为（）A ．1i2B ．1i2-C ．12D ．12-【正确答案】D【分析】根据复数的概念，共轭复数的定义与运算法则即可求解.【详解】依题意，因为()()()()i 1i i 1i i 1i 1i 1i 1i 222z --====+++-，所以1i 22z =-，其虚部为12-．故选：D.2．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＝（）A ．3215B ．1115C ．815-D ．2915-【正确答案】A【分析】通过三角函数定义得出角α的三角函数值，利用诱导公式化简表达式后求出数值.【详解】角α终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-.πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭4432tan sin 3515αα=-+=+=.故选：A.3．已知向量()2,1,2a =- ，()1,2,3b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为（）A ．422,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．212,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．424,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．212,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】向量b 在向量a 上的投影为a b a⋅ ，投影向量为a b e a ⋅⋅ ，其中e 为与a 同向的单位向量，分别计算a b e a⋅，代入即可.【详解】因为()2,1,2a =- ，()1,2,3b = ，所以6a b ⋅=.向量b 在向量a上的投影为623a b a⋅== 设e 为与a同向的单位向量，则()12,1,23a e a ==- 向量b 在向量a上的投影向量为()24242,1,2,,3333a b e a⋅⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭故选：C4．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【正确答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C5．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增B ．()f x 图象的对称轴方程为ππ12x k =+，Z k ∈C ．()f x 图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．当函数()f x 取得最大值时，π2π12x k =+，Zk ∈【正确答案】C【分析】法一：根据图象求出函数,,A ωϕ，可得函数解析式，结合正弦函数的单调性即可判断A ；求出函数的对称轴方程即可判断B ；求出函数的对称中心可判断C ；求出函数取得最大值时对应的x 的值，可判断D.法二：根据函数图象求得函数解析式中的参数，可得函数解析式，采用特殊值法或者代入验证的方法一一判断各选项，即可判断出答案.【详解】法一：设函数()f x 的最小正周期为T ,由题图可知2A =，7ππ31264T ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3π344T =，所以πT =，所以2π2Tω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．因为7π7π2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7ππ22π122k ϕ⨯+=-+，Z k ∈，即5π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，又因为π02ϕ<<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，当0k =时，5ππππ1212k x k -+≤≤+即为5ππ1212x -≤≤，而5ππ1212π4--≤≤，但ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是5ππ[,]1212-的子集，所以函数()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎣⎦上不是单调递增的，故A 不正确；令ππ2π32x k +=+，Z k ∈，得ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ122k x =+，Z k ∈，故B 不正确；令π2π3x k +=，Z k ∈，得ππ62k x =-+，Z k ∈，令1k =，则π3x =，所以函数()f x 图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；当ππ22π32x k +=+，Z k ∈，即ππ12x k =+，Z k ∈时，函数取得最大值，故D 不正确．故选：C ．法二：设函数()f x 的最小正周期为T ．由题图可知，2A =，7ππ31264T ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3π344T =，所以πT =，所以2π2Tω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．因为7π7π2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7ππ22π122k ϕ⨯+=-+，Z k ∈，所以5π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，又因为π02ϕ<<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令πππ,1246x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，因为πππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有最大值且不是在端点处取到，故A 不正确；由题图可知，直线7π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴，但不满足ππ12x k =+，Z k ∈，故B 不正确；当π3x =时，π2ππ2sin()0333f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()f x 图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，C 正确；当ππ12x =+时，ππππ2sin 2π212123f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，此时函数()f x 取得最大值，但不满足π2π12x k =+，Z k ∈，故D 不正确．故选：C ．6．已知圆()()22:681C x y -+-=和两点()0,A m -，()()0,0B m m >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【正确答案】B【分析】将问题转化为以AB 为直径的圆O 与圆C 有公共点的问题来列不等式，解不等式求得m 点的取值范围，由此求得m 点的最大值.【详解】解：以AB 为直径的圆O 的方程为222x y m +=，圆心为原点，半径为1r m =.圆221)68):((C x y -+-=的圆心为()6,8，半径为21r =.要使圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则圆O 与圆C 有公共点，所以1212r r OC r r -≤≤+，即11m m -≤≤+，所以1101100m m m ⎧-≤⎪+≥⎨⎪>⎩，解得911m ≤≤，所以m 的最大值为11.故选：B.7．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、下底面分别1，则该刍童的外接球的表面积为（）A ．16πB ．18πC ．20πD ．25π【正确答案】C【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解.【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO ∆中，224R h =+①，在11AOO ∆中，()2211R h =++②，联立①②得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故选.C8．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，过1F 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，21112,MF MF a MF NF NF -=+=，则椭圆C 的离心率为（）A ．25B ．105C ．155D ．64【正确答案】B【分析】由已知条件和椭圆定义，将212||,||,||,||MN MF MF NF 用a 表示，在2MNF 中求出2cos NMF ∠，在12MF F △用余弦定理，建立,a c 等量关系，即可求解.【详解】由椭圆的定义可得212,MF MF a +=结合21MF MF a -=可得2131,,22MF a MF a ==由112MF NF NF +=可得1212a NF NF +=，由椭圆的定义可得212,NF NF a +=所以2153,,44NF a NF a ==在2MNF 中，2222222229||||||34cos 152||||54aMN MF NF NMF MN MF a +-∠===，在12MF F △中，22221212122||4||||2||||cos F F c MF MF MF MF NMF ==+-∠，22221313384()()2222255c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，22210,55c e a ∴=∴=.故选：B方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b a c =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．直线20x y ++=在y 轴上的截距是2-B ．直线10x +=的倾斜角是60︒C ．直线()20mx y m m -++=∈R 恒过定点()1,2-D ．过点()1,2且在x .轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【正确答案】AC【分析】对于A ，令0x =，求出y ，即可判断；对于B ，求出直线的斜率，进而可得倾斜角，即可判断；对于C ，直线方程可化为()120x m y +-+=，再令10x +=即可判断；对于D ，分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断.【详解】对于A ，令0x =，则=2y -，所以直线20x y ++=在y 轴上的截距是2-，故A 正确；对于B ，直线10x +=的斜率为3-，所以其倾斜角为150︒，故B 错误；对于C ，直线()20mx y m m -++=∈R 化为()120x m y +-+=，令1020x y +=⎧⎨-+=⎩，得12x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()20mx y m m -++=∈R 恒过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当直线过原点时，直线方程为2y x =，当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，将()1,2代入解得3a =，此时直线方程为30x y +-=，所以过点()1,2且在x .轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=或2y x =，故D 错误.故选：AC.10．下列说法中正确的是（）A ．非零向量a 和b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为60︒B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b，则a 在b 方向上的投影向量的模为aD ．若()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】BC【分析】利用数量积的运算律可得212a b a ⋅= ，再求出a b + ，最后根据夹角公式计算即可判断A ，由124e e = 即可判断B ，根据投影的定义判断C ，根据()0a a b λ⋅+> 且a 与a b λ+ 不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.【详解】对于A ：由a b a b ==- ，b a =-，所以22222a b a a b b ==-⋅+ ，即212a b a ⋅= ，所以a b +=，所以()2232cos ,2a a a b a a b a a b ⋅++===⋅+ ，所以a 与a b + 的夹角为30︒，故A 错误；对于B ：由()12,3e =- ，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以124e e =，则1e 与2e 共线，不能作为平面向量的基底，故B 正确；对于C ：//a b r r，则,0a b = 或,πa b = ，则a 在b 方向上的投影向量的模为cos ,a a b a ⋅= ，故C 正确；对于D ：由()1,2a =r，()1,1b = ，则()1,2a b λλλ+=++ ，若a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则()0a a b λ⋅+> 且a 与a b λ+ 不能同向，即()()142530212a a b λλλλλλ⎧⋅+=+++=+>⎪⎨+≠+⎪⎩ ，解得53λ>-且0λ≠，故D 正确；故选：BC ．11．如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π6POQ ∠=，C 是扇形弧PQ 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记POC α∠=．则下列说法正确的是（）A ．弧PQ 的长为π6B ．扇形OPQ 的面积为π6C ．当1sin 3α=时，矩形ABCD 的面积为2239D ．矩形ABCD 的面积的最大值为232【正确答案】ACD【分析】根据弧长公式可判断A ；根据扇形的面积公式可判断B ；解直角三角形求得,AB BC 的长，即可求出矩形ABCD 的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C ，D.【详解】由题意知，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π6POQ ∠=，故弧PQ 的长为ππ166⨯=，A 正确；扇形OPQ 的面积为1ππ12612⨯⨯=，B 错误；在Rt OBC △中，cos cos ,sin sin OB OC BC OC αααα=⋅==⋅=，在Rt OAD △中，333sin ,cos 3sin OA AD BC AB OB OA ααα====-=-,则ABCD 的面积(cos 3sin )sin S AB BC ααα=⋅=-133π3sin 2cos 2sin(2)23222ααα=-=+-，当1sin 3α=时，又π06α<<，故22cos α=则2427sin 22sin cos ,cos 212sin 99ααααα===-=，则πππ421734273sin 2sin 2cos cos 2sin 333929218ααα+⎛⎫+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭则π342322733sin(2)823291S α+=-=-+即矩形ABCD 2239-，C 正确；由C 的分析可知矩形ABCD 的面积π3sin(23)2S α=+，当πsin(2)13α+=，即π12α=时，矩形ABCD D 正确，故选：ACD关键点睛：解答本题的关键C ，D 选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边,AB BC 的长，从而表示出矩形ABCD 的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误.12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:||||C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（）A ．曲线C 围成的图形的面积是2π+B ．曲线C 围成的图形的周长是C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过2D ．若(,)P m n 是曲线C 上任意一点，则|3412|m n +-【正确答案】ABD【分析】根据方程分析曲线C 的性质以及图象，根据曲线C 的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断.【详解】对于曲线22:||||C x y x y +=+上任一点(),P m n ，则22||||m n m n +=+，点(),P m n 关于y 轴对称的点为()1,P m n -，则()2222||||||||m n m n m n m n -+=+=+=-+，即点()1,P m n -在曲线C 上，故曲线C 关于y 轴对称；点(),P m n 关于x 轴对称的点为()2,P m n -，则()2222||||||||m n m n m n m n +-=+=+=+-，即点()2,P m n -在曲线C 上，故曲线C 关于x 轴对称；点(),P m n 关于原点对称的点为()3,P m n --，则()()2222||||||||m n m n m n m n -+-=+=+=-+-，即点()3,P m n --在曲线C 上，故曲线C 关于原点对称；综上所述：曲线C 关于坐标轴和原点对称.对于方程22||||x y x y x y +=+=+，令0y =，则2||x x =，解得0x =或1x =±，即曲线C 与x 轴的交点坐标为()()()1,0,0,0,1,0A O C -，同理可得：曲线C 与y 轴的交点坐标为()()()0,1,0,0,0,1B O D -，当0,0x y ≥≥时，则22||||x y x y x y +=+=+，整理得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且90AOB ∠=︒，故曲线C 在第一象限内为以111,22O ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径2r =的半圆，由对称性可得曲线C 为四个半圆外加坐标原点，对A ：曲线C围成的图形的面积211411π2π222S ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，A 正确；对B ：曲线C围成的图形的周长是142π22L =⨯⨯⨯=，B 正确；对C ：联立方程22111222x y y x⎧⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，即曲线C 与直线y x =在第一象限内的交点坐标为()1,1M ，由对称可知曲线C 与直线y x =在第三象限内的交点坐标为()1,1N --，则2MN =，C 错误；对D ：由图结合对称性可知：当(,)P m n 在第一象限时，点(,)P m n 到直线:34120l x y+-=的距离|3412|5m n d +-=相对较小，∵111,22O ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线:34120l x y +-=的距离111|3412|1722510d ⨯+⨯-==，则点(,)P m n 到直线:34120l x y+-=的距离117102d d r ≥-=-，∴|3412|5m n d +-=≥故|3412|mn +-，D 正确.故选：ABD.方法点睛：（1）通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性；（2）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．三、填空题13．在空间直角坐标系中，记点()1,2,1M -关于x 轴的对称点为(),1,1,2P N -关于平面yOz 的对称点为Q ，则PQ =___________.6【分析】利用对称性求对称点坐标，应用空间两点距离公式求PQ .【详解】依题意，()1,2,1M -关于x 轴的对称点为()1,2,1,P -()1,1,2N -关于yOz 平面的对称点为()1,1,2,Q --所以222(11)(21)(12)6PQ =++-++-=614．直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线方程为__________．【正确答案】710x y --=【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在1:10l x y +-=任取一点，求得其关于直线2:330l x y --=的对称点，即可求得答案.【详解】联立1:10l x y +-=和直线2:330l x y --=，求得它们的交点为0(1)A ，,在直线1:10l x y +-=取点(0,1)B ，设其关于2:330l x y --=的对称点为(,)C a b ，则113133022b a a b -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩，解得121(,)55C ，故直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称的直线为AC ,其斜率为11512715=-，直线方程为1(1)7y x =-，即710x y --=，故710x y --=15．在ABC 中，G 满足0GA GB GC ++=，过G 的直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点.若(0)AM mAB m => ，(0)AN n AC n =>，则3m +n 的最小值为_______.【正确答案】43+【分析】根据题意可知G 为三角形的重心，利用三点共线可得11313m n+=，再由均值不等式即可求最值.【详解】取BC 中点D ，连接GD，如图，由0GA GB GC ++=可得20GA GD →→+=，即2GA GD →→=-，所以,.A G D 三点共线且2AG GD =，即G 为ABC 的重心，所以2211113323AG AD AB AC AM AN m n →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,,M G N 三点共线，所以11313m n+=，又1143(3)=+3333n m m n m n m n m n⎛⎫+=+++⎪⎝⎭，0,0m n >>，所以433m n +≥+=3n m m n =，即31,93m n ==时，等号成立，16．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，114，AB AA ==，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为_____.【分析】过1C 做与直线1B E 垂直的平面α，则点P 的轨迹的长即为平面α与正四棱柱的交线长.【详解】如图，连接11B D ，11A C ，由题可知，1111AC B D ⊥，1ED ⊥平面1111D C B A .因11AC ⊂平面1111D C B A ，则111ED AC ⊥.又11B D ⊂平面11EB D ，1ED ⊂平11EB D ，1111∩ED B D D =，则11A C ⊥平面11EB D .又1B E ⊂平面11EB D ，则111C A B E ⊥；如图，过E 做11D C 平行线，交1CC 于F ，则F 为1CC 中点.连接1，EF B F ，过1C 做1B F 垂线，交1BB 于G .由题可得，11D C ⊥平面11BCC B ，又11EF D C ∥，则EF ⊥平面11BCC B .因1C G ⊂平面11BCC B ，则1C G EF ⊥.又1B F ⊂平面1B FE ，FE ⊂平面1B FE ，1∩FE B F F =，则1C G ⊥平面1B FE .因1B E ⊂平面1B FE ，则11C G B E ⊥；因1C G ⊂平面11C GA ，11C A ⊂平面11C GA ，1111∩C A C G C =，则1B E ⊥平面11C GA .连接1A G ，则点P 轨迹为平面11C GA 与四棱柱的交线，即11AC G △.注意到1111111111B C G GC F GC F B FC B C G B FC ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，1111C B G FC B ∠=∠，则1111C B F FC B ，故1111111122C B FC B G B G C B ==⇒=.则点P的轨迹的长为1111AG C G AC ++=+=.故答案为+关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂线.四、解答题17．已知直线l 经过点(2,1)P -，且与直线x ＋y ＝0垂直.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m 2，求直线m 的方程.【正确答案】(1)30x y -+=(2)50x y -+=或10x y -+=.【分析】(1)根据直线垂直的性质设出直线l 的方程为0x y n -+=，将点(2,1)P -代入即可求解；（2）设直线m 的方程为0x y t -+=，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）设直线l 的方程为0x y n -+=，因为直线l 经过点(2,1)P -，所以210n --+=，解得：3n =，所以直线l 的方程为30x y -+=.（2）结合（1）设直线m 的方程为0x y t -+=，因为点(2,1)P -到直线m 2，由点到直线的距离公式可得：2122td --+5t =或1t =，直线m 的方程为：50x y -+=或10x y -+=.故50x y -+=或10x y -+=.18．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -，且过点()2,3Q -，椭圆第一象限上的一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)求12PF F △外接圆的标准方程．【正确答案】(1)2211612x y +=(2)2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程求,,a b c ，由此可得椭圆方程；（2）由条件结合椭圆定义求12,PF PF ，根据勾股定理证明212PF F F ⊥，由此确定外接圆的圆心和半径，由此确定圆的方程.【详解】（1）椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()2,3Q -，且焦点为()12,0F -，()22,0F ，则222222491c a b c a b=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得：216a =，212b =，所以椭圆方程为：2211612x y +=．（2）由121228PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得：15PF =，23PF =，又 214F F =，∴212PF F F ⊥，所以点P 的坐标为()2,3，故外接圆圆心是1PF 的中点，圆心的坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径11522r PF ==，所以12PF F △外接圆的标准方程为：2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．19．已知函数()π4sin cos 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)将函数()f x 图像向右移动π6个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的(01)a a <<倍得到()y g x =的图像，若()y g x =在区间[]1,1-上至少有4个最大值，求a 的取值范围．【正确答案】(1)5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)40,7π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）化简()f x 的解析式，利用整体代入法求得函数()f x 的单调递增区间.（2）根据三角函数图像变换的知识求得()g x ，根据对称性以及最值列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）函数()144322πsin cos sin cos sin f x x x x x x⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21πsin 22sin 2cos 22sin 22223x x x x x ⎛⎫-⎛⎫=-⋅=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，所以单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈（2）将函数()f x 的图像向右移动π6个单位，可得2sin 2y x =的图像；再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的()01a a <<倍，得到()22sinxy g x a==的图像．如果()y g x =在区间[]1,1-上至少有4个最大值，则()y g x =在区间[]0,1上至少有2个最大值，在[]1,0-上至少有2个最大值，当[]1,1x ∈-时，222,x a a a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，252272a aππ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，∴407πa <≤，故实数a 的范围为40,7π⎛⎤⎝⎦．20．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，18AA =，4AB =，60BAD ∠= ，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.(1)证明：//MN 平面1C DE ；(2)求三棱锥1N C DE -的体积.【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得四边形MNDE 为平行四边形，根据线面平行的判定可证得结论；（2）结合平行关系和体积桥可知所求为1D C ME V -，由线面垂直的判定可证得DE 为三棱锥1D C ME -的高，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）连接1,ME B C ，,M E 分别为1,BB BC 中点，M E ∴为1B BC 的中位线，1//ME B C ∴且112ME B C =，又N 为1A D 中点，11//A D B C ，11A D B C =，1//ND B C ∴，112ND B C =，//ME ND ∴，ME ND =，∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE .（2）由（1）得：//MN 平面1C DE ，111N C DE M C DE D C ME V V V ---∴==，连接1,C M ME ，在矩形11BCC B 中，1111113248812C ME BCC B BEM C B M CC E S S S S S =---=---= ；四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ，E 为BC 的中点，DE BC ∴⊥，1DE CC ⊥ ，1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11BCC B ，DE ∴⊥平面11BCC B ，则DE 为三棱锥1D C EM -的高，DE = ，11111233D C ME C ME V S DE -∴=⋅=⨯⨯= ∴三棱锥1N C DE -的体积为21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题.①2sin sin 2sin cos 0A C B C --=；②2S CB =⋅（其中S 为ABC 的面积）；③222sin b a c B c +=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)若4b =，3ac =，求+a c 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，求222a cb +的取值范围.【正确答案】(1)5ac +=.(2)5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦.【分析】对于①:由()sin sin A B C =+代入经三角恒等变换得3B π=；对于②:由面积公式与数量积公式得3B π=；对于③:使用余弦定理2222cos b a c ac B =+-代入化简得3B π=.在(1)中，使用余弦定理及其变形求得+a c 的值；在(2)中，使用正弦定理将边化为角，用23A C π=-将A 转化为C 的三角函数，使用三角恒等变换化为一般式42sin 2336y C π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求范围.【详解】（1）选择①:2sin sin 2sin cos 0A C B C --=，在ABC 中，()A B C π=-+，所以()sin sin A B C =+，所以2sin()sin 2sin cos 0B C C B C +--=，整理得2sin cos 2cos sin sin 2sin cos 0B C B C C B C +--=，即2cos sin sin B C C =，因为0C π<<，sin 0C ≠，故1cos 2B =，而()0,B π∈，从而3B π=；选择②:2S CB ⋅ ，则sin cos ac B B =，所以tan B =，又()0,B π∈，则3B π=；选择③:222sin 3a b a c B c +=-，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2cos 3B B =，所以tan B ，又()0,B π∈，则3B π=；若4b =，3ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2222162cos()3()93a c ac a c ac a c π=+-=+-=+-，所以5a c +=.（2）由ABC 为锐角三角形及3B π=，得20,32A C ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭且0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得()22222222sin sin 4sin sin sin 3a c A C A Cb B ++==+224222sin sin 1cos 21cos 23333C C C C ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2142222sin 2322336C C C π⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52666C πππ<-<，1sin 2126C π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以542sin 223336C π⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即222a c b +的取值范围是5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．已知圆C ：()2221x y -+=，点P 是直线:0l x y +=上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)若P 的坐标为()1,1P -，求过点P 的切线方程；(2)试问直线AB 是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；(3)直线0x y m -+=与圆C 交于E ，F 两点，求OE OF 的取值范围（O 为坐标原点）.【正确答案】(1)1y =或3410x y +-=(2)是，31(,22-(3)[2,5+【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程（2）设P （t ，﹣t ），，可得PC 为直径得方程222)20(x y t x ty t +-+++=，可求得直线AB 得方程为(2)320t x ty t +-+﹣＝，即可得定点.(3)由220(2)1x y m x y -+=⎧⎨-+=⎩可得22(2)()1x x m -++＝，进而可得：OE •OF = 212121)2x x y y m +++(=，可求得其范围.【详解】（1）设切线方程为1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=圆心坐标为(2,0)，半径1r =根据圆的切线的定义可知：1d =，即()22311k k +=+解得：0k =或34k =-代回方程可求得切线方程为：1y =或3410x y +-=1y =或3410x y +-=（2）∵圆22(2)1C x y +：﹣＝∴圆心C （2，0），半径r ＝1设P （t ，﹣t ），由题意知A ，B 在以PC 为直径的圆上，又C （2，0）∴()(2)()(0)0x t x y t y --++-=，即222)20(x y t x ty t +-+++=又圆C ：22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=故直线AB 的方程为(2)320t x ty t +-+﹣＝，即23(2)0x t x y ----＝由23020x x y -=⎧⎨--=⎩，解得32x =，12y =-即直线AB 恒过定点31(,)22-.（3）由220(2)1x y m x y -+=⎧⎨-+=⎩，得22(2)()1x x m -++＝∴()2222430x m x m +-++＝设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴122x x m +-＝，21232m x x +=22(24)42(3)0m m ∆⨯+-=->⨯∴22m -<-，222212121212()2313)()((2)222m y y x m x m x x m x x m m m m m m +++=+++=++=++=﹣OE •OF = 222212123132231)2222m x x y y m m m m m ++=+++++++＝(∵22m -<-∴2(1)225[m ++∈+，∴OE •OF 的取值范围为[25+，.。
广东省某校高一(上)周考数学试卷(有答案)
广东省高一（上）周考数学试卷（7）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列函数中，与函数y =x 表示同一函数的是（ ） A.y =√x 2B.y =x 2xC.y =a log a x (a >0，且a ≠1)D.y =log a a x (a >0，且a ≠1)2. 如果log 5a >log 5b >0，那么a ，b 之间的大小关系是（ ） A.0<a <b <1 B.1<a <b C.0<b <a <1 D.1<b <a3. 函数f(x)=2√1−x+lg (3x +1)的定义域是( ) A.(−13, +∞)B.(−13, 1)C.(−13, 13)D.(−∞, −13)4. 2log a (M −2N)=log a M +log a N ，则MN 的值为（ ） A.14B.4C.1D.4或15. log a 23<1，则a 的取值范围是（ ） A.(0,23)∪(1,+∞)B.(23,+∞)C.(23，1) D.(0,23)∪(23,+∞)6. 已知0<a <1，b <−1，函数f(x)=a x +b 的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7. 已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x −12等于（ ） A.13 B.√36C.√24D.√338. 已知f(x)={(3−a)x −4a,x <1log a x ，x ≥1是(−∞, +∞)上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(1, +∞)B.(−∞, 3)C.(35, 3)D.(1, 3)9. 三个数0.76，60.7，log 0.76的大小关系为( ) A.0.76<log 0.76<60.7 B.0.76<60.7<log 0.76 C.log 0.76<60.7<0.76 D.log 0.76<0.76<60.710. [文]已知f(x)=a x ，g(x)=log a x(a >0，且a ≠1)，若f(3)⋅g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）方程(log 5x)2+2log 25x −2=0的解集是________．设3a =5b =√15，则1a +1b =________．若函数f(x)=13x +1+a 是奇函数，则a =________．已知0<a <1，0<b <1，如果a log b (x−3)<1，那么x 的取值范围为________． 三、解答题（共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）计算题(1)计算|1×lg0.001|+√lg213−4lg3+4+lg6−lg0.02的值；(2)已知log23=a,log37=b，用a，b表示log1456.设集合P={x|−2≤x≤3}，Q={x|2a≤x≤a+3}（1）P∪Q=P，求实数a的取值范围；（2）若P∩Q=⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q={x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围．已知函数−3≤log12x≤−12，求函数y=log2x2⋅log2x4的最大值和最小值．已知函数f(x)=log21+x1−x，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．设函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．（1）若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析广东省某校高一（上）周考数学试卷（7）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】分析给出的四个选项是否与函数y=x为同一函数，关键看给出的四个函数的定义域和对应关系是否与函数y=x一致，对四个选项逐一判断即可得到正确结论．【解答】解：函数y=x的定义域为R，函数y=√x2=|x|={x(x≥0)−x(x<0)，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数；y=x2x的定义域是{x|x≠0}，所以与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数y=a log a x(a>0，且a≠1)的定义域是{x|x>0}，与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数y=logaa x(a>0，且a≠1)=x，与函数为同一函数．故选D．2.【答案】D【考点】对数函数的图象与性质【解析】由于函数y=log5x在定义域(0, +∞)上是增函数，且log5a>log5b>0，由此求得a，b之间的大小关系．【解答】解：由于函数y=log5x在定义域(0, +∞)上是增函数，且log5a>log5b>0，∴a>b>1，故选D．3.【答案】B【考点】对数函数的定义域函数的定义域及其求法【解析】依题意可知要使函数有意义需要1−x>0且3x+1>0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需{1−x >0，3x +1>0，解得−13<x <1． 故选B . 4.【答案】 B【考点】对数的运算性质 【解析】化简方程，求出M 、N 的关系，然后确定MN 的值．【解答】解：2log a (M −2N)=log a M +log a N ，化为 (M −2N)2=MN (M >2N >0) 可得M 2−5MN +4N 2=0即：(MN )2−5MN +4=0解得MN =4 故选B ． 5.【答案】 A【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】题目条件可化为：log a 23<log a a 利用对数函数的单调性与特殊点，分类讨论即可得a的取值范围． 【解答】解：∵ log a 23<1∴ log a 23<log a a①当a >1时，a >23∴ a >1 ②当0<a <1时，a <23∴ 0<a <23综上：a 的取值范围是(0,23)∪(1,+∞)；故选A ． 6.【答案】 A【考点】指数函数的图象 【解析】先考查y =a x 的图象特征，f(x)=a x +b 的图象可看成把y =a x 的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的，即可得到f(x)=a x+b的图象特征．【解答】解：∵0<a<1，b<−1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过(0, 1)，f(x)=a x+b的图象可看成把y=a x的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的，故函数f(x)=a x+b的图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，故选A．7.【答案】C【考点】对数的运算性质【解析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x的值，求出值．【解答】解：由条件知，log3(log2x)=1，∴log2x=3，∴x=8，∴x−12=√24．故选C8.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点函数单调性的性质【解析】由题意可得{a>1 3−a>03−a−4a<loga 1=0，由此求得a的取值范围．【解答】解：由题意可得{a>13−a>03−a−4a<loga1=0，解得1<a<3，故选D．9.【答案】D【考点】指数函数与对数函数的关系【解析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76<0，再指数函数的图象和性质，可得0.76< 1，60.7>1从而得到结论．【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质,可知：log0.76<0.由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质,可知0<0.76<1，60.7>1.∴log0.76<0.76<60.7.故选D.10.【答案】C【考点】指数函数的性质对数函数的图象与性质【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，f(x)=a x，g(x)=logax(a>0，且a≠1)在(0, +∞)上单调性相同，再由关系式f(3)⋅g(3)<0即可选出答案．【解答】解：由指数函数和对数函数的单调性知，f(x)=a x，g(x)=logax(a>0，且a≠1)，在(0, +∞)上单调性相同，可排除A、D，再由关系式f(3)⋅g(3)<0可排除B故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）【答案】{125，5}【考点】对数的运算性质函数的零点【解析】化简对数方程的表达式，然后按照二次方程分求解方法，求解即可．【解答】解：因为(log5x)2+2log25x−2=0，所以(log5x)2+log5x−2=0，所以log5x=−2或log5x=1，解log5x=−2得x=125；解log5x=1得x=5．所以方程的解集为：{125，5}．故答案为：{125，5}．【答案】2【考点】基本不等式【解析】把指数式化为对数式，即可得出答案．【解答】解：∵3a=5b=√15，∴a=log3√15=lg√15lg3，b=log5√15=lg√15lg5，∴1a +1b=lg√15lg√15=lg√15=lg1512lg15=2．故答案为2．【答案】−1 2【考点】函数奇偶性的性质【解析】先判断出函数的定义域为R，进而利用f(0)=0可得参数a的数值．【解答】解：由题意得函数f(x)的定义域为R，且函数是奇函数，所以f(0)=0，即f(0)=12+a=0解得：a=−12．故答案为：−12．【答案】(3, 4)【考点】指数函数的单调性与特殊点对数函数的单调性与特殊点【解析】根据条件0<a<1，0<b<1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x的取值范围．【解答】解：∵0<a<1，0<b<1，如果a log b(x−3)<1，∴log b（x−3）>0，∴0<x−3<1，∴3<x<4，故答案为：(3, 4)．三、解答题（共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】解：(1)|1×lg0.001|+√lg213−4lg3+4+lg6−lg0.02=|1×(−3)|+2−lg3+lg6−lg2+2=7+lg6−(lg2+lg3)=7.(2)log1456=log256log214=log27+log28log27+log22=log27+3log27+1，因为log23=a，log37=b，所以log23⋅log37=log27=ab，所以log1456=log27+3log27+1=ab+3ab+1.【考点】换底公式的应用对数的运算性质【解析】(1)直接利用对数的运算性质求解即可．(2)利用换底公式以及对数的运算性质，用a，b表示log1456即可．【解答】解：(1)|1×lg0.001|+√lg213−4lg3+4+lg6−lg0.02=|1×(−3)|+2−lg3+lg6−lg2+2=7+lg6−(lg2+lg3)=7.(2)log1456=log256log214=log27+log28log27+log22=log27+3log27+1，因为log23=a，log37=b，所以log23⋅log37=log27=ab，所以log1456=log27+3log27+1=ab+3ab+1.【答案】解：（1）若Q=⌀，此时2a>a+3，解得a>3；若Q≠⌀时，由P={x|−2≤x≤3}，Q={x|2a≤x≤a+3}，P∪Q=P，得到2a≥−2且a+3≤3，解得：−1≤a≤0，综上，a的范围为[−1, 0]∪(3, +∞)；（2）∵P∩Q=⌀，∴2a>3或a+3<−2，解得：a<−5或a>32，则a的范围为(−∞, −5)∪(32, +∞)；（3）∵P∩Q={x|0≤x≤3}，∴a=0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）分两种情况考虑：当Q为空集时，满足题意，此时2a大于a+3，求出a的范围；当Q不为空集时，由两集合的并集为P，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，得到a的范围；（2）由两集合的交集为空集，得到2a大于3或a+3小于−2，求出a的范围即可；（3）由两集合及两集合的交集，即可得到a的值．【解答】解：（1）若Q=⌀，此时2a>a+3，解得a>3；若Q≠⌀时，由P={x|−2≤x≤3}，Q={x|2a≤x≤a+3}，P∪Q=P，得到2a≥−2且a+3≤3，解得：−1≤a≤0，综上，a的范围为[−1, 0]∪(3, +∞)；（2）∵P∩Q=⌀，∴2a>3或a+3<−2，解得：a<−5或a>32，则a的范围为(−∞, −5)∪(32, +∞)；（3）∵P∩Q={x|0≤x≤3}，∴a=0．【答案】解：∵−3≤log12x≤−12，∴−3≤−log2x≤−12，即log2x∈[12,3]，而函数y=(log2x−1)(log2x−2)=log22x−3log2x+2=(log2x−32)2−14…上式是关于log2x的二次函数，在[12, 32]上单调递减，[32, 3]上单调递增，故当log2x=32，即当x=2√2时，y min=−14；…当log2x=3，即x=8时，y max=2；…【考点】函数的值域及其求法【解析】由对数函数的性质可得即log2x∈[12,3]，而函数式可化为y=(log2x−32)2−14，由二次函数区间的最值得求法可得答案．【解答】解：∵−3≤log12x≤−12，∴−3≤−log2x≤−12，即log2x∈[12,3]，而函数y=(log2x−1)(log2x−2)=log22x−3log2x+2=(log2x−32)2−14…上式是关于log2x的二次函数，在[12, 32]上单调递减，[32, 3]上单调递增，故当log2x=32，即当x=2√2时，y min=−14；…当log2x=3，即x=8时，y max=2；…【答案】解：由题意，令1+x1−x>0，解得−1<x<1，故函数的定义域为(−1, 1)由于f(−x)=log2(1+x1−x)−1=−f(x)，∴函数是奇函数当x∈(−1, 1)时y=1−x是减函数y=21−x是增函数y=21−x−1是增函数f(x)=log21+x1−x是增函数综上，函数的定义域为(−1, 1)，此函数是一个奇函数，也是一个增函数【考点】对数函数图象与性质的综合应用函数奇偶性的判断【解析】由题，可令1+x1−x >0，解出函数的定义域，由f(−x)=log2(1+x1−x)−1=−f(x)，依据奇函数定义得出函数的奇偶性，再由复合函数单调性的判断方法判断出单调性即可【解答】解：由题意，令1+x1−x>0，解得−1<x<1，故函数的定义域为(−1, 1)由于f(−x)=log2(1+x1−x)−1=−f(x)，∴函数是奇函数当x∈(−1, 1)时y=1−x是减函数y=21−x是增函数y=21−x−1是增函数f(x)=log21+x1−x是增函数综上，函数的定义域为(−1, 1)，此函数是一个奇函数，也是一个增函数【答案】解：（1）若f(x)=lg(ax2+2x+1)的定义域是R，∴u=ax2+2x+1>0恒成立．当a=0或a<0不合题意，∴{a>0△=4−4a<0，解得a>1，故实数a的取值范围是(1, +∞)．（2）若f(x)的值域是R，则函数u=ax2+2x+1能够取遍所有的正数．当a<0时不合题意；a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数．a>0时，由其判别式△=22−4×a×1≥0，解得0<a≤1．综上可得，当0≤a≤1时f(x)的值域是R．【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法函数恒成立问题【解析】（1）由题意可得u=ax2+2x+1>0恒成立，可得{a>0△=4−4a<0，解得a>1，由此求得实数a的取值范围．（2）若f(x)的值域是R，则函数u=ax2+2x+1能够取遍所有的正数，分a<0、a=0、a>0三种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，即得所求．【解答】解：（1）若f(x)=lg(ax2+2x+1)的定义域是R，∴u=ax2+2x+1>0恒成立．当a=0或a<0不合题意，∴{a>0△=4−4a<0，解得a>1，故实数a的取值范围是(1, +∞)．（2）若f(x)的值域是R，则函数u=ax2+2x+1能够取遍所有的正数．当a<0时不合题意；a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数．a>0时，由其判别式△=22−4×a×1≥0，解得0<a≤1．综上可得，当0≤a≤1时f(x)的值域是R．。
江西省南昌市南昌县莲塘一中2018届直升班周末练试卷数学试题(精编含解析)
的一个对称中 ，使得
填 4.
【点睛】
对于
18.已知函数 m 的取值范围是____． 【答案】 【解析】
∵函数
，转化为 的值域
的值域。
，若关于 x 的不等式
的解集为 ，且
①若 m=0，则不等式即 ＞ ，显然不成立．
，则实数
②若 ＞0，函数 ＞ ， ＜0，故 m 无解．
在 R 上是增函数，如图 1 所示：由
程即得到关于 的等量关系式,结合 程即得解，计算的准确性很关键.
,把 用 替换,两边同时除以 即得到关于 的二次方
7.等比数列 的前 项和 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】
（ 为常数），若
恒成立，则实数 的最大值是（ ）
由题意可知 且 ,可得 以由钩型函数可知,当 n=1 时, 【点睛】
，
，② ③
由②③解得
或
(其他方法类似给分)
（3）设
又
得
由④、⑤得
， ，则
④ ，⑤ ，⑥
由于关于 的方程⑥有无数组解，所以
，
解得 所以满足条件的定点有两组 22.已知数列 和 满足 （1）求 和 ；
若 为等比数列，且
（2）设 ①求 ；
，记数列 的前 项和为
②求正整数 k，使得对任意
均有
.
【答案】（1）an＝2n(n∈N*)．bn＝n(n＋1)(n∈N*)．（2）(i) Sn＝ 【解析】
平面 ，同理 平面
又
，且 平面 ， 平面
平面 平面
又
平面
//平面
（2）取线段 的中点 ，连 ，则 面
，连 ，则
，又因为
平面 ，所以 平
以 为坐标原点，分别以 ， , 为 轴正方向建立空间直角坐标系
四川省南溪一中高级高一数学直升班地11周周考试题
南溪一中高2012级直升班地11周周考一、选择题1、若a = b m ( b ＞0且b ≠1) 则有( )A. log a b ＝mB. log b a ＝mC. log m a ＝bD. log m b ＝a2、3log 9log 28的值是（ ） A. 32 B. 1 C. 23 D. 2 3、函数y ＝2IxI 的图像是( )4、设y 1＝40.9 y 2＝80.44 y 3＝(21)-1.5，则有( ) A. y 3＞y 1＞y 2 B. y 2＞y 1＞y 3 C. y 1＞y 2＞y 3 D. y 1＞y 3＞y 25、设log a53＜1，则实数a 的取值范围是( ) A. 0＜a ＜53 B. 53＜a ＜1 C. 0＜a ＜53或a ＞1 D. a ＞53 6、设函数f(x)=log a (x+b)(a ＞0且a ≠1)的图象经过点（2，1），其反函数的图象经过点（2，8），则a+b 等于（ ）A 、6B 、5C 、4D 、37、若不等式－x 2+log 2a x ＞0对任意x ∈（0，21］恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、321＜a ＜21 B 、641＜a ＜21C 、1281＜a ＜21 D 、161＜a ＜21 二、填空题8、若log 2(log 5x)=0, 则x= .9、若函数y=ln(x 2+2x+m 2)的值域为R ，则实数m 的取值范围是三、解答题10．化简（1）lg14－2lg 37+lg7－lg18（2）2lg 3.0lg 211000lg 8lg 27lg ++ －11．（1）已知a 2x 2－3x+1＞ax 2+2x －1（a ＞0且a ≠1）求x 的取值范围。
（2）求函数y=)1(log 221－x 的定义域以及单调递增区间。
12．（1）求函数y=－(log x 21)2－21(log x 21)+5在2≤x ≤4范围内的最大值和最小值，以及对应的x 的值。
高一数学周考试题及答案
高一数学周考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2^x，g(x)=x+1，则f[g(x)]等于（）。
A. 2^(x+1)B. 2^x + 1C. x^2 + 2x + 2D. 2^x + 2^(x+1)3. 若a，b∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是（）。
A. a^2 > b^2C. 1/a < 1/bD. a/b > 14. 已知向量a=(3, -2)，b=(1, 2)，则向量a+2b的坐标为（）。
A. (5, 2)B. (5, -2)C. (1, -6)D. (1, 2)5. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，则A的元素个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 36. 若函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值（）。
A. 3x^2-3C. x^2-3D. x^2+37. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为（）。
A. 9B. 10C. 11D. 128. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则该双曲线的离心率为（）。
A. √3B. √5C. √6D. √79. 已知函数f(x)=|x|，求f(-2)的值为（）。
A. 2B. -2C. 0D. 410. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求该圆的半径为（）。
A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(1)的值为______。
12. 若向量a=(2, 3)，b=(-1, 2)，则向量a·b的值为______。
13. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为______。
14. 已知直线l的方程为y=2x+3，求该直线的斜率为______。
2021年高一(提前班)上学期周六数学考试试题(6) 含答案
2021年高一（提前班）上学期周六数学考试试题（6）含答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列两变量之间不是函数关系的是（）A．球的半径与体积 B．人的身高与体重C．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 D．正n边形的边数与内角和T2．下列语句：①0与表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为或；③方程的解集可表示为；④集合可以用列举法表示。
其中正确的是（）A．①和④B．②和③C．②D．以上语句都不对3.在映射，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A、 B、 C、 D、4.若的定义域是，的定义域是，令全集，则，等于（）5. 设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0则方程的根落在区间（）A.（1.25,1.5）B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定6．设A,B是两个集合,并有下列条件:①集合A中不同元素在集合B中有不同的像;②集合A,B是非空的数集;③集合B中的每一个元素在A中都有原像;④集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的像. 使对应ƒ成为从定义域A到值域B上的函数的条件是( ).A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④7．下列说法正确的是（）A.定义在上的函数，若存在，使得时有，那么在上为增函数B.定义在上的函数，若有无穷多对，使得时有，那么在上为增函数C.若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数D.若在区间上为增函数，且（），那么8. 设，，，则有（）A 、B 、C 、D 、9．已知函数,则的图像大致为 （ ）10. 若a >0,且a 1,x,y R,且>0,下列变形中：(1) =2；(2) =2；(3) + (4) +.其中正确的是（ ） A.（2）（4） B.（1）（3） C.（1）（4） D.（2）（3）二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高一数学周考试卷(解析版)
D． c a b
【答案】B
【详解】
因为 a
1
1 3
4
1 4
0
1，
且 0 b log5 2 log5
5
1 2
log8
8 log8 5 c 1 ，
故可得 a c b .
故选：B.
试卷第 1页，总 14页
4．函数 f (x) x3 2x 1 一定存在零点的区间是（ ）．
A．
A．
9
【答案】C
2
B．
9
C．
18
D．
24
【详解】
解：由题意知，将函数 f (x) sin(3x ) 的图像向右平移 m(m 0) 个单位长度，得 6
y
sin
3
x
m
6
0,
1 4
B．
1 4
,
1 2
C．
1 2
,1
【答案】B 【解析】
∵ f (x) x3 2x 1 在 (0, ) 上单调递增，
D． (1, 2)
以上集合均属于 (0, ) ，根据零点存在定理，
∴ f (a) f (b) 0 ，
易知 B 选项符合条件，
∴选择 B ．
5．已知向量 a (1, 0) ， b (1, 3) ，则与 2a b 共线的单位向量为( )
【详解】
条件中的式子两边平方，得 4sin2 4sincos cos2 5 ， 2
即 3sin2 4sincos 3 ， 2
所以 3sin2 4sincos 3 sin2 cos2 ， 2
即 3tan2 8tan 3 0 ，
解得 tan 3 或 tan 1 ， 3
所以 tan2
2021年高一(提前班)上学期周六数学考试试题(2) 含答案
2021年高一（提前班）上学期周六数学考试试题（2）含答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合M={x∈R |x2≤3}，a=，则下列关系正确的是（）A、a MB、a MC、{a}∈MD、{a} M2. 若函数，则的值是（）A.9B.7C.5D.33．二次函数y=x2-4x+3在区间（1，4]上的值域是（）A. [-1，+∞）B. （0，3]C. [-1，3]D. （-1，3]4．函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. （0，1） D. （1，2）5．设函数f（x）＝且f（）＝18，则＝（）A. 4，-4B. 4，-4, 9C. -4D. -4 ，96．国内快递2000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x (km) 0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤15001500＜x≤xx…邮资y (元） 5.00 6.00 7.00 8.00 …如果某人在南京要快递800g的包裹到距南京1200km的某地，那么他应付的邮资是( )．A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元.7.函数的定义域为（）A. B. C.(1，2] D.[1，2]8. 已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:y=-x2+2x,对于实数k∈B，在集合A 中不存在原象，则k的取值范围是（）A.k＞1B.k≥1C.k＜1D.k≤19．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，。
设集合有个元素，则的取值范围是（）A．，且B．，且C．，且D．，且10．已知定义在区间（0,2）上的函数y=f(x)的图像如右图所示，则y=-f(2-x)的图像为（）二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．设函数 ,若,则实数=12．计算=___________13．函数的值域是____________。
14. 已知a,b 为常数,若,求5a-b=15．下列叙述正确的有_______________。
高一年级数学周考试卷含答案
高一年级数学周考试卷一、选择题（每小题5分,共60分）1.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于()A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}2.已知sin＝，则cos等于()A．B．－C．D．－3.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(log2x)的定义域是()A．[1,2] B．[0,4] C．(0,4] D．[，4]4.化简sin·cos·tan的结果是()A．1 B．sin2αC．－cos2αD．－15.函数y＝＋的值域是()A．{0,2} B．{－2,0} C．{－2,0,2} D．{－2,2}6.已知＝－，那么的值是()A．B．－C．2 D．－27.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于()A．2 B．C．D．a28.若sinθ＝1－log2x，则实数x的取值范围是()A．[1,4] B．C．[2,4] D．9.已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是()A．a>1 B．a≥1C．0<a≤1D．0≤a≤110.对于函数y＝2sin(2x＋)，则下列结论正确的是()A．函数的图象关于点(，0)对称B．函数在区间[－，]递增C．函数的图象关于直线x＝－对称D．最小正周期是11.定义运算a※b为a※b＝例如，1※2＝1，则函数f(x)＝sin x※cos x的值域为()A ． [－1,1]B ．C ．D ． 12.已知函数f (x )＝若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( ) A ．(3,10) B ．(3，) C ．(1，) D ．(，10)二、填空（每小题5分,共20分）13.集合{x |ax 2＋2x ＋1＝0}与集合{x |x 2－1＝0}的元素个数相同，则a 的取值集合为________． 14.如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为________． 15.已知cos x ＝有实根，则m 的取值范围为________. 16.函数⎩⎨⎧<+≤≤=0,220,sin )(x x x x x f 则不等式f(x)＞的解集是________. 三、解答题(共2小题,每小题10.0分,共20分) 17.已知函数f (x )＝2cos(2x ＋)＋1.(1)先列表，再用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图；(2)写出该函数在[0，π]的单调递减区间.18.已知函数f (x )是定义在[-1，1]的奇函数，且f (1)=1，若m,n ∈[-1，1],m+n ≠0,有.0)()(>++nm n f m f （1）证明f (x )在[-1，1]上是增函数；（2）解不等式0)33()1(2<-+-x f x f ；（3）若12)(2+-≤at t x f 对[]1,1-∈∀x ,[]1,1-∈a 恒成立，求实数t 的取值范围.1.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于()A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}【解析】集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.2.已知sin＝，则cos等于()A．B．－C．D．－【解析】cos＝sin＝sin＝－sin＝－.3.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(log2x)的定义域是()A．[1,2] B．[0,4] C．(0,4] D．[，4]【解析】依题意，得－1≤log2x≤2，即log22－1≤log2x≤log222，故≤x≤4.4.化简sin·cos·tan的结果是()A．1 B．sin2αC．－cos2αD．－1【解析】因为sin＝cosα，cos＝cos＝－sinα，tan＝＝，所以原式＝cosα(－sinα)＝－cos2α，故选C.5.函数y＝＋的值域是()A．{0,2} B．{－2,0} C．{－2,0,2} D．{－2,2}【解析】y＝＋.当x为第一象限角时，y＝2；当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.6.已知＝－，那么的值是()A．B．－C．2 D．－2【解析】因·＝＝－1，故＝.7.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于()A．2 B．C．D．a2【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.8.若sinθ＝1－log2x，则实数x的取值范围是()A．[1,4] B．C．[2,4] D．【解析】由正弦函数的图象，可知－1≤sinθ≤1，所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4，故选A.9.已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是()A．a>1 B．a≥1C．0<a≤1D．0≤a≤1【解析】当a＝0时符合条件，故a＝0可取；当a>0时，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，故0<a≤1，当a<0时，不满足题意．综上知实数a的取值范围是[0,1]，故选D.10.对于函数y＝2sin(2x＋)，则下列结论正确的是()A．函数的图象关于点(，0)对称B．函数在区间[－，]递增C．函数的图象关于直线x＝－对称D．最小正周期是【解析】由于点(，0)不在函数y＝2sin(2x＋)的图象上，故函数图象不关于点(，0)对称，故排除A.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数的增区间为[－，]，故B正确.当x＝－时，函数值y＝0，不是最值，故函数的图象不关于x＝－对称，故排除C.由函数的解析式可得，最小正周期等于T＝＝π，故D不正确.综上可得，只有B正确.11.定义运算a※b为a※b＝例如，1※2＝1，则函数f(x)＝sin x※cos x的值域为() A．[－1,1] B．C．D．【解析】根据题设中的新定义，得f(x)＝作出函数f(x)在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为.12.已知函数f (x )＝若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( ) A ．(3,10) B ．(3，) C ．(1，) D ．(，10)【解析】不妨设a <b <c ，画出函数f (x )图象，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，即－log 3a ＝log 3b ＝－3c ＋10，所以ab ＝1,0<－3c ＋10<1，即3<c <，所以3<abc <，故选B.13.集合{x |ax 2＋2x ＋1＝0}与集合{x |x 2－1＝0}的元素个数相同，则a 的取值集合为________．【解析】由x 2－1＝0，得x ＝1或－1，∴{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，由题意得，集合{x |ax 2＋2x ＋1＝0}的元素个数为2，∴方程ax 2＋2x ＋1＝0由两个不同的根，则Δ＝2×2－4a ＞0且a ≠0，解得a ＜1且a ≠0，则a 的取值集合是：(－∞，0)∪(0,1)． 故答案为(－∞，0)∪(0,1)．14.如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为________． 【解析】如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝2，∠ABC ＝，则AF ＝，∠ABF ＝.∴AB ＝＝2，即R ＝2.∴弧长l ＝|α|R ＝，∴S ＝lR ＝.15.已知cos x ＝有实根，则m 的取值范围为________.【解析】∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤≤1， 且2m ＋3≠0，解得m ≥－或m ≤－4.16.函数⎩⎨⎧<+≤≤=0,220,sin )(x x x x x f 则不等式f(x)＞的解集是________. 【答案】{}26023<<<<-x x x π或三、解答题(共1小题,每小题12.0分,共12分) 17.已知函数f (x )＝2cos(2x ＋)＋1.(1)先列表，再用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图；(2)写出该函数在[0，π]的单调递减区间.【答案】(1)列表如下：描点并画图，简图如图一个周期：(2)由2k π≤2x ＋≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z ，和[0，π]取交集可得原函数的递减区间[0，]，[π，π].18.已知函数f (x )是定义在[-1，1]的奇函数，且f (1)=1，若m,n ∈[-1，1],m+n ≠0,有.0)()(>++nm n f m f （1）证明f (x )在[-1，1]上是增函数；（2）解不等式0)33()1(2<-+-x f x f ；（3）若12)(2+-≤at t x f 对[]1,1-∈∀x ,[]1,1-∈a 恒成立，求实数t 的取值范围.。
高一数学周考卷
高一数学周考卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1. （2分）若a=3，b=2，则a+b的值为（）A. 5B. 5C. 1D. 12. （2分）下列函数中，奇函数是（）A. y=x^2B. y=|x|C. y=x^3D. y=x^2+x3. （2分）已知等差数列{an}，a1=1，a3=3，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. （2分）下列命题中，真命题是（）A. 任意两个平行线之间的距离相等B. 任意两个平行四边形的面积相等C. 任意两个等腰三角形的底角相等D. 任意两个等边三角形的面积相等5. （2分）若函数f(x)=2x+1，则f(1)的值为（）A. 1B. 0C. 1D. 26. （2分）直线y=2x+1与x轴的交点坐标为（）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,0)D. (0,1)7. （2分）若三角形的三边长分别为3、4、5，则该三角形是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形二、判断题（每题1分，共20分）8. （1分）若a>b，则ab一定大于0。
（）9. （1分）等差数列的任意两项之差等于公差。
（）10. （1分）平行线的斜率相等。
（）11. （1分）函数y=2x+1的图像是一条直线。
（）12. （1分）若两个角的和为180度，则这两个角互为补角。
（）13. （1分）圆的面积与半径成正比。
（）14. （1分）三角形的三条高线交于一点。
（）三、填空题（每空1分，共10分）15. （1分）若a=5，b=3，则ab=______。
16. （1分）函数f(x)=x^2的图像是一个______。
17. （1分）等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d，其中d表示______。
18. （1分）若一个等腰三角形的底角为45度，则顶角为______度。
19. （1分）直线y=kx+b中，k表示______。
高一下学期数学文科周考试卷含答案 精校打印版
XX 中学高一数学周考（文科）特别说明： 1．以下题目的答案请全部填写在答卷纸上．2．本卷总分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．直线10x y ++=的倾斜角与在y 轴上的截距分别是（ ）A ．1,1350B ．1,450-C ．1,450D ．1,1350- 2．直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a,b,c 应满足（ ） A ．ab>0,bc<0 B ．ab<0,bc>0 C ．ab>0,bc>0 D ．ab<0,bc<03．将正方体的纸盒展开如图，直线AB 、CD 在原正方体的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交成60°角D ．异面且成60°角 4．圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线x ＋y －1＝0对称的圆方程是（ ）A ．1)2()1(22=-++y xB ．1)1()2(22=++-y xC ．1)1()2(22=+++y xD ．1)2()1(22=+++y x5．已知正方体ABCD A B C D ''''-，下面有关说法中不正确的是（ ）A ．AD DB ''⊥ B ．点C '在平面A BCD ''上的射影恰为正方体的中心C ．BC '与平面A BCD ''所成的角小于45 D ．二面角C BD C '--6．两直线3x+2y+m=0和（m 2+1）x-3y-3m=0的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．视m 而定 7．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： ①,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；②l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα// 其中真命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若直线ax+by=1与圆122=+y x 相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．不能确定9．如右图所示，正三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是VC ，VA,AC 的中点， 10．Ｐ为ＶＢ上任意一点，则直线ＤＥ与ＰF 所成的角的大小是（ ） A ．030 B ．090 C ．060 D ．随Ｐ点的变化而变化10．过点P(2，1)且被圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 截得弦长最长的直线l 的方程是（ ） A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋5＝011．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是CC 1上任意一点，连接A 1B,BD, A 1D,AD ，则三棱锥A- A 1BD 的体积为（ ） A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a12x m =+无实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1-∞-，B ．[)01，C ．()()12-∞-+∞，， D ．)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，棱AA 1＝5，AB ＝12，那么直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离是______。
江西省南昌市莲塘一中2018届直升班周末数学练试卷(5)Word版含答案
莲塘一中2018届直升班试卷（5） 一、选择题1.若角θ终边上的点A (− a )在抛物线y =−14x 2的准线上，则cos2θ=（）A. 12 B. 32 C. −12 D. −322．若tan α·tan β=3，且sin α·sin β=35，则cos(α−β)的值为（） A. −25 B. 25 C. 45 D. 13.函数f (x )=(1−cos2x )cos 2x ,x ∈R ，设f (x )的最大值是A ，最小正周期为T ，则f (AT )的值等于（） A. 14 B. 12 C. 1 D. 04.已知函数f (x )=xesin (x−π2)（e 为自然对数的底数），当x ∈[−π,π]时，y =f (x )的图象大致是（）A. B. C. D.5. 已知约束条件为{2x −y −6≤0x −y +2≥0，若目标函数z =kx +y 仅在交点(8,10)处取得最小值，则k 的取值范围为（）A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−1,+∞)6.已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c (c >0)，抛物线y 2=2cx 的准线交双曲线左支于A ,B 两点，且∠AOB =120∘，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 1+C. 1+D. 1+7.等比数列{a n }的前n 项和S n =12·3n +1+c （c 为常数），若λa n ≤3+S 2n 恒成立，则实数λ的最大值是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 68.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. 203 B. 7 C. 223 D. 2339.已知偶函数f x 满足f x =f π−x ，当x ∈ −π2,0 时，f x =2x −cos x ，则函数f x 在区间 −π,π 内的零点个数为（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.设A 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点，F (c ,0)是右焦点，若抛物线y 2=−4a 2cx 的准线l 上存在一点P ，使∠APF =30∘，则双曲线的离心率的范围是（）A. [2,+∞)B. (1,2]C. (1,3]D. [3,+∞)11.在ΔABC ，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知c 2sin A cos A +a 2sin C cos C =4sin B ，cos B = 74，D 是线段AC 上一点，且S ΔBCD =23，则ADAC =（）A. 49B. 59C. 23D. 10912.中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，∠OPA =900，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A. [12,1) B. ( 22,1) C. [12,63) D. (0, 22) 二、填空题1.直线x +7y −5=0截圆x 2+y 2=1所得的两段弧长之差的绝对值是__________．2.等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项的和为S n ，若3log [12a n (S 4m +1)]=9,则1n +4m 的最小值为____．3. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A (1,0)，B (4,0),若直线x-y+m =0上存在点P ，使得2PA=PB,则实数m 的取值范围为____．4.若y =|3sin(ωx +π12)+2|的图象向右平移π6个单位后与自身重合，且y =tan ωx 的一个对称中心为(π48,0)，则ω的最小正值为__________．5.已知函数f (x )=−x 2−6x −3,g (x )=e x +ex ex，实数m ,n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ,n ]，∃x 2∈(0,+∞)，使得f (x 1)=g (x 2)成立，则n −m 的最大值为__________．6. 已知函数f (x )={x (1+mx ) x ≥0，x (1−mx ) x <0，若关于x 的不等式f (x )>f (x +m )的解集为M ，且[−1,1]⊆M ，则实数m 的取值范围是____．三．解答题1.如图已知四边形AOCB中,|OA|=5,OC=(5,0),点B位于第一象限，若△BOC为正三角形.（1）若cos∠AOB=35,求点A的坐标；（2）在（1）条件下，记向量OA与BC的夹角为θ，求cos2θ的值.2.如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A、B在直径上，点C、D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？3.已知定点A(−1,0),B(2,0)，圆C：x2+y2−2x−23y+3=0，（1）过点B向圆C引切线l，求切线l的方程；（2）过点A作直线l1交圆C于P,Q，且AP=PQ，求直线l1的斜率k；（3）定点M,N在直线l2:x=1上，对于圆C上任意一点R都满足RN=3RM，试求M,N两点的坐标.4.已知数列a n和b n满足a1⋅a2⋅a3⋯a n=(2)b n(n∈N+).若a n为等比数列，且a1=2,b3=6+b2（1）求a n和b n；（2）设c n=1an −1b n，记数列c n的前n项和为S n①求S n；②求正整数 k，使得对任意n∈N+均有S k≥S n.5.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1=3，AB=2，D,E分别为棱AC,B1C1的中点，M,N分别为线段AC1和BE的中点.（1）求证：直线MN//平面ABC；（2）求二面角C−BD−E的余弦值.6.已知函数f(x)=2x ln x−x2+2ax，其中a>0.（1）设g(x)是f(x)的导函数，求函数g(x)的极值；（2）是否存在常数a，使得x∈[1,+∞)时，f(x)≤0恒成立，且f(x)=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.莲塘一中2018直升班试卷（5） ACBBC BCBBA BB1.π2.52 3. [−2 2,2 2] 4.24 5.4 6. 1− 2<m <0 1.【答案】（1）A 点坐标为(3−4 32,4+3 32).（2）cos2θ=7+24 350【解析】解：（1）∵cos∠AOB =35,∴sin∠AOB =45∵cos∠AOC =cos(∠AOB +600)=3−4 310.sin∠AOC =sin(∠AOB +600)=4+3 310.∴A 点坐标为(3−4 32,4+3 32).（2）向量OA =(−3,4),BC =(52,−5 32)∴cos θ=−152−10 35×5=−310−2 35因此，cos2θ=2cos 2θ−1=7+24 3502.【答案】（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为15 2cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为10 3cm 为时，圆柱体罐子的体积最大． 【解析】解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一易得AB =2 900−x 2，x ∈(0，30)，故所求矩形ABCD 的面积为S(x)=2x 900−x 2 =2 x 2(900−x 2)≤x 2+(900−x 2)=900（cm 2）（当且仅当x 2=900−x 2，x =15 （cm ）时等号成立）此时BC =15 cm ；法二设∠COB =θ，θ∈(0，π2)；则BC =30sin θ，OB =30cos θ， 所以矩形ABCD 的面积为S(θ)=2×30sin θ×30cos θ=900sin2θ，当sin2θ=1，即θ=π4时，S(θ)max =900（cm 2）此时BC =15 2cm ；（2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由AB =2 900−x 2=2πr 得，r = 900−x 2π， 所以V =πr 2x =1π(900x −x 3)，其中x ∈(0，30)，由V ′=1π(900−3x 2)=0得x =10 3，此时，V =1π(900x −x 3)在(0，10 3)上单调递增，在(10 3，30)上单调递减，故当x =10 3cm 时，体积最大为6000 3πcm 3， 答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为15 2cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为10 3cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．3.【答案】（1）x ＝2或 3x +y −2 3=0（2）k = 33或11 315（3）M (1，4 33),N (1，2 3)或M (1，2 33),N (1，0)．【解析】解：(1)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝2符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)．即kx －y －2k ＝0. 若直线l 与圆C 相切，则有3| 1+k 2=1，解得k ＝− 3，∴直线l ： 3x +y −2 3=0故直线l 的方程为x ＝2或 3x +y −2 3=0（2）设P(x 1,y 1)，由AP=PQ 知点P 是AQ 的中点，所以点Q 的坐标为(2x 1+1,2y 1) . 由于两点P,Q 均在圆C 上，故x 12+y 12−2x 1−2 3y 1+3=0， ①又(2x 1+1)2+(2y 1)2−2(2x 1+1)−2 3(2y 1)+3=0，即x 12+y 12− 3y 1+12=0， ② ②—①得2x 1+ 3y 1−52=0， ③由②③解得{x 1=12y 1= 32或{x 1=114y 1=11 314，∴k =33或11 315(其他方法类似给分)（3）设M(1,a),N(1,b),R(x 1,y 1)，则(x 1−1)2+(y 1− 3)2=1 ④ 又3RM 2=RN 2得2(x 1−1)2=(y 1−b)2−3(y 1−a)2， ⑤ 由④、⑤得(6a −2b −4 3)y 1+(b 2−3a 2+4)=0，⑥由于关于y 1的方程⑥有无数组解，所以{6a −2b −4 3=0b 2−3a 2+4=0，解得{a =4 33b =2 3或{a =2 33b =0所以满足条件的定点有两组M(1，4 33),N(1，2 3)或M(1，2 33),N(1，0)4.【解析】解：(1)由题意a1a2a3…an＝( 2)b n ，b3－b2＝6，知a3＝( 2)b3－b2＝8. 设数列{an}的公比为q,又由a1＝2，得q 2=a3a 1=4，q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an ＝2n(n∈N*)．所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n ＋1)．故数列{bn}的通项为bn ＝n(n ＋1)(n∈N*)．(2)(i)由(1)知cn ＝1a n−1b n=12n −(1n −1n+1) (n∈N*)．所以Sn ＝1n+1−12n(n∈N*)．(ii)因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn ＝1n(n+1)[n(n+1)2−1]而n(n+1)2−(n+2)(n+1)2=(n −2)(n+1)2>0得n(n+1)2≤5×62<1所以，当n≥5时，cn<0.综上，若对任意n∈N*恒有Sk≥Sn，则k ＝4.5.【答案】（1）详见解析；（2） 1313.【解析】（1）取棱CC 1的中点F ，连MF,NF ，则MF//AC,NF//BC ∵MF ⊄平面ADC ，AC ⊂平面ADC ∴MF//平面ADC ，同理NF//平面ADC 又∵MF ∩NF =F ，且MF ⊂平面MNF ，NF ⊂平面MNF ∴平面MNF//平面ADC 又MN ⊂平面MNF ∴MN //平面ADC（2）取线段BC 的中点O ，连AO ，则AO ⊥BC ，连OE ，则OE//BB 1，又因为BB 1⊥平面ABC ，所以OE ⊥平面ABC 以O 为坐标原点，分别以OB ，OE ,OA 为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系O −xyz .设AB=2,则AA1=AO=3，各点坐标如下：O(0,0,0),A(0,0,3),B(1,0,0)，C(−1,0,0),D(−12,0,32),B1(1,3,0) , E(0,3,0)∵平面BCD即平面Oxz∴取平面ADB的一个法向量为m=(0,1,0)设平面BDE的法向量为n=(x0,y0,z0)，则n⋅AD=0，n⋅DB1=0又DB=(32,0,−32),BE=(−1,3,0)∴{32x0−32z0=0,−x0+3y0=0令x0=3得平面ADB1的一个法向量为n=(3,1,3)∴cos<m,n>=1⋅3+1+9=1313故二面角B1−AD−B的余弦值为13136.【答案】（1）极大值为2a，没有极小值；（2）a=1−ln2.（1）在单增；在单减，极大值,没有极小值（2）由（1）知：，且在单减，且时则必然存在，使得在单增，单减；且，即①此时：当时，由题意知：只需要找实数使得将①式带入知：得到，从而.。
人教A版数学必修一高一数学周考卷(2)参考答案.docx
高一数学周考（2）参考答案1．B【解析】因为，1{|210}{|}2A x R x x R x =∈+<=∈<-，{|(1)(2)0}{|12}B x R x x x R x =∈+-<=∈-<<，所以，=⋂B A 1{|}{|12}2x R x x R x ∈<-⋂∈-<<=⎪⎭⎫⎝⎛--21,1，故选B . 考点：集合的运算，简单不等式解法. 2．B【解析】如果对于函数()f x 的定义域内的任何一个x 值，都有()()f x f x =-，那么就称()f x 为偶函数，A 选项的函数是奇函数，B 、C 、D 选项的函数是偶函数，B 选项的函数在()0,+∞是单调递增的，C 选项的二次函数在()0,+∞是单调递减的，D 选项的函数在()0,+∞上是单调递减的.考点：偶函数的判断，函数单调性. 3．B【解析】因为{|1}A x x =>，所以{|1}U C A x x =≤，要使()U C A B R =，只需1a ≤.考点：集合的运算. 4．A【解析】由0)9()3(2<-+-a f a f ，得)9()3(2a f a f --<-；又奇函数满足)()(x f x f -=-，得)9()3(2-<-a f a f ；因为)(x f 是（-1,1）上的减函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ，解得322<<a . 考点：函数的奇偶性、单调性的应用，解不等式（组）. 5． D【解析】∵等腰三角形周长为20cm ，腰长为xcm ，底边为ycm ， ∴y=20-2x ；又两边之和大于第三边两边之差小于第三边， ∴2x>20-2x,x-x<20-2x,解得：5＜x ＜10； 因此可知函数解析式为y=20-2x （5＜x ＜10）．选D. 考点：函数应用题，建立函数解析式以及函数的定义域. 6．(]3,0-【解析】自变量x 满足12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤，故函数()f x =的定义域为(]3,0-. 考点：函数的定义域 7．1e【解析】根据题意，由于11f ()ln 1ee==-,因此所求的解析式为11f (-1)e e-==,故可知答案为1e考点：分段函数的求值点评：解决该试题的关键是利用函数的解析式来求解函数值，注意变量的分类讨论。
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高一直升班周考数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分。
1.图中阴影部分表示的集合是( )A.)(B C A U 期性B.B A C U )(C.)(B A C UD.()U C A B2.已知13x x -+=，则22x x -+的值为( )A.6B. 7C.8D.9 3.若不等式21,,R A R A x> =的解集是全集为则ð则=A C R （ ） A.{|2,<0}x x x >或B. {|2,0}x x x ≥≤或C.{|0<<2}x xD.{|0<2}x x ≤4. 当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图象是（ ）5. 已知a =9log 2,b =5log 2,则75log 2用b a ,表示为（ ）A.b a 22+B. b a 212+C. b a 221+D. )(21b a + 6.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）7.当1{1,,1,3}2α∈-时，幂函数y x α=的图象不可能经过第（ ）象限。
A.一、三B.一、四C.二、三D.二、四 8.某函数同时具有以下性质：①图象过点（0,1）；②在区间()0,+∞上是减函数；③是偶函数，则此函数是（ ）||1||221.()log || .() .()2 .()x x A f x x B f x C f x D f x x π⎛⎫==== ⎪⎝⎭()log 2030.ln 2ln .(0,1)1.0 .3a x xA y x y xB y a a a y xC y x y xD y x y x===>≠===≠==与与与与9.设1a b c >>>，则下列不等式中不正确的是（ ）. .log log . .log log c c a b a a b a A a b B b c C c c D c c >>><10.若(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有（ ）()()()()()()()().2< 3<g(0) .g(0)< 3< 2 .2< g(0) <3 .g(0) < 2 <3A f f B f f C f f D f f 二、填空题：本大题共5个小题，每题5分，共25分。
请将答案填在答题卡的相应位置。
11.幂函数)(x f 的图象过点)22,21(，则=)8(f .12.已知22(1)()(12)22x x f x x x x x + ≤-⎧⎪= -<<⎨⎪ (≥)⎩，若()f x ＝3，则x 的值是.13.函数20.5log (231)y x x =-+-的单调递增区间为.14.已知函数 |lg | (010)()1 6 ( 10)2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是15.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点。
若某函数()f x 图象恰好经过n 个格点，则称此函数为n 阶格点函数。
给出以下函数： ①2()f x x =； ②()ln ||f x x =； ③11()()32x f x -=+； ④23()2x f x x -=-． 其中是二阶格点函数的序号为（填上所有满足条件的函数的序号）．三、解答题：本大题共7个小题，共75分。
解答必须写出必要的文字说明或解答过程。
17.（本小题满分12分）求下列各式的值：()1()222log 330.2582-+()21lg163lg 5lg5+-18.（12分）设函数()f x =+的定义域为集合M ，函数()g x =N ．(1)求M 、N ； MN ．19.（本小题满分12分）光线每通过一块玻璃，其强度均要损失10%，现把几块这样的玻璃重叠起来。
设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y 。
（1）写出y 关于x 的函数关系式； （2）通过至少多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg30.4771)≈已知20.（本小题满分12分）设函数2()21xf x a =-+. (1)证明：不论a 为何实数函数)(x f 总为增函数； (2)当)(x f 为奇函数时，求函数)(x f 的值域。
21.（本小题满分14分）已知函数1()8421x x f x a -=⋅--（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的最值及取最值时对应的x 取值； （2）当1a =时，解不等式()0f x ≥；（3）若关于x 的方程()0f x =有解，求a 的取值范围。
22.（本小题满分14分）设函数)1(log )(x x f a -=，)1(log )(x x g a +=（0a >且1a ≠）。
(1)设()()()F x f x g x =-，判断()F x 的奇偶性并证明； (2)若关于x 的方程x a am f x x g -=++-)()1(2有两个不等实根，求实数m 的范围；(3)若1>a 且在]1,0[∈x 时，)(21)2(x g x m f >-恒成立，求实数m 的范围。
高一直升班周考数学试题一．选择1．A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.D 二．填空 11． ；12.； 13. 3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭均可 ；14)()()().1,10 .5,6 .10,12 .20,24B C D ；15.②④ 17．解：(1)原式=23log 322244(2)2(2)2-----+-+=16+4－8+3=15…………………….5分(2)原式=41log 23log5log5-+-=4log 24log54(log 2log5)4+=+=………10分18．解：(1)由102730xx +>⎧⎨-≥⎩ 解得13x x >-⎧⎨≤⎩即(1,3]M =-…………4分 由11222log (2)log 2x x >-⎧⎪⎨+≥⎪⎩∴222x x >-⎧⎨+≤⎩∴20x -<≤， (2,0]N =-…8分(2(2,0],MN =-……10分(2,3]MN =-……….12分19．解：(1)(110%) ()x y a x N *=-∈………..5分（未给出定义域扣2分）(2)∵13y a < ∴1(110%)3x a a -< ∴10.93x <………….7分∴0.91log3log 10.432log31x -≥=≈- ∴11x =……11分 当通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下……12分20．(1)证明：(2)解：由()f x 为奇函数知(0)10f a =-=，1a ∴=，…….8分2(0,)x ∈+∞ ∴121(1,),(0,1)21x x +∈+∞∈+………10分22(0,2),(2,0)2121x x ∈-∈-++2(1,)111()2xf x ∈+∴--=…12分 21．(1)当1a =时2()24212(2)21x x x x f x =⋅--=⋅--………………1分令2,[3,0],x t x =∈-则1[,1]8t ∈故22191212(),[,1]488y t t t t =--=--∈………………..3分∴当14t =时，即2x =-时 m i n 98y =-…………4分 当1t =时，即0x =时 m n 0a y =………5分(2)22(2)210x x ⋅--≥ 解得21x ≥或122x ≤-（舍）∴{|0}x x ≥……8分(3)关于x 的方程22(2)210x x a --=有解，等价于方程2210at t =-=在(0,)t ∈+∞上有解。
记2()21,g t at t =--……………………………..9分当a =0时，解为10t =-<不成立；…………………………………10分 当a <0时，开口向下，对称轴104x a=<，过点(0,1)-不成立；…..12分 当a >0时，开口向上，对称轴104x a=<，过点(0,1)-必有一根为正，符合要求。
故a 的取值范围为(0,)+∞…………….14分 22．(1)1()log (1)log (1)log (01)1a a axF x x x a a x-=--+=>≠+且……………..1分 其中1010x x ->⎧⎨+>⎩ ∴(1,1)x ∈-……………………………………2分1111()l o g l o g ()l o g ()111a a a xxxF x Fx xxx-+--===-=--++ ∴()F x 为奇函数。
…………………………………………………..4分 (2)22(1)log (2),()log (1)a a g x x x x f m m -++=-++=-原方程有两个不等实根即221x x m x -++=--有两个不等实根。
…..5分其中22010x x m ⎧-++>⎨->⎩ ∴121x m -<<⎧⎨<⎩即2210x x m ---=在(1,2)x ∈-上有两个不等实根。
……………………………………………………7分记()h x =221x x m ---，对称轴x=1 ，由(1)0(2)044(1)0h h m ->⎧⎪>⎨⎪∆=++>⎩解得21m -<<-………………………………………………………………………9分(3)(2)log (12),a f m x m x -=-+即1a >且[0,1]x ∈ 时 1log (12)log (1)2a a m x x -+>+恒成立∴120 [0,1]12m x x m x -+>⎧⎪∈⎨-+>⎪⎩①有②恒成立，………………11分由①得1m <令([1t t =∈ ∴由②得221t t m -->在[1t ∈时恒成立 记2()21q t t t =-- 即min ()q t m >，min ()(1)0q t q m ==>……….13分 综上0m <…………………………………………………………….14分。