高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用

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3.均值不等式(全国卷1)

第三节：均值不等式1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋＋的最大值为A.9B.23C.32 D.2 答案：D3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABCA B C ∆∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ∆的周长的取值范围是__________.答案：](32，4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 答案：C5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项的最小值为（） A ．B ．C ．D ．9答案：A6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y+的最小值是. 答案：47. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a=+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 1144,a m n=+则325394(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（）A.21 答案：A8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足恒成立，则的最大值为.答案：19. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4答案：A10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=，则对任意的正实数t ，1||c ta b t++ 的最小值是（）A ．2B ．．4 D ．答案：B11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y xm m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是A ．42m m ≥≤或－B ．24m m ≥≤或－C ．24m －＜＜D ．42m －＜＜答案：D12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是．答案：,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩1a 2b13.★★( 2013 河南郑州二模文)函数3101a y log x a a =+≠（）﹣（＞且）的图象恒过定点A ，若点A 在20mx ny ++=上，其中0mn ＞，则+的最小值为．答案：14.★( 2013 河南安阳市二中期中文)下列条件：000000ab ab a b a b ①＞，②＜，③＞，＞，④＜，＜，其中能使2b aa b+≥成立的条件的个数是________．答案：315. ★★(2011 河南焦作市修武一中期中理)若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为。

专题3：均值不等式

16.16专题3：均值不等式
一．【知识要点】
1.均值不等式
二．【经பைடு நூலகம்例题】
1.阅读理解：对于任意正实数a、b, ≥0, ≥0, ≥ ,只有当a=b时，等号成立。
结论：在 ≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则 ≥ ,只有当a=b时,a+b有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
【D】
1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别与对角线BD相交于点E，F．记PM= ，PN=b，当点P运动时，
（1）求证：；
（2）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．
(2)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．已知正数a和b，有下列结论：
(1)若a＝1，b＝1，则；(2)若，则；
(3)若a＝2，b＝3，则；(4)若a＝1，b＝5，则．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab≤______．

1.均值不等式(含答案)

②如果 a1 ,a2 ,⋯,an 都是正实数,那么
a1
+ a2
+⋯ + an n
≥
n
a1a2 ⋯ an
,当且仅当 a1
= a2
= ⋯ = an 时,等
号成立.
( 2)常用性质
①若 a > 0,b > 0,则
a2 + b2 a +b
≥
≥
ab ≥
2；
2
2
11 +
ab
②若 a > 0, b > 0, c > 0 ,则 a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 3 ；
a3
b3 +
+
c3
≥ a+b+c.
bc ca ab
3.已知 a > 0, b > 0, n ∈ N * ,求证: (a + b)(an + bn ) ≤ 2(an +1 + bn +1) .
4.已知 a,b, c 都是实数,求证: a2 + b2 + c2 ≥ 1 (a + b + c )2 ≥ ab + bc + ca . 3
(6)若 a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd > 0 ；
(7)若 a > b, ab > 0, 则 1 < 1 ； ab
(9)若 a > b > 0 ,整数 n > 1,则 n a > n b ；
(8)若 a > b > 0 ,整数 n > 1 ,则 a n > b n ； (10) | a | − | b | ≤ a +b ≤ a + b .

高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用

高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+；若a,b 同号且a>b 则11a b<。

ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析一、基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为。

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域奇偶性渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x

高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解

高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2[答案] D[解析] x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x <π2，∴0<cos x <1，∴y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；∵x 2＋2≥2，∴y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也取不到，故C 错，∴选D.2．(文)(2010·山东潍坊质检)已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，∴x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m ，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.(理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53 C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q ，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 12·q m ＋n －2＝16a 12，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎣⎡⎦⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．3．(2010·茂名市模考)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax ≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋ax＝x ＋4x≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 4．(2010·广西柳州市模考)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab ≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b ≥2ab 得4ab ≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab ≤1，但当4ab ≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab ≤1，但－5＋1≠1，故选A.5．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.高考总复习数学讲师朱屿含详解答案a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.6．(文)若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥4. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．(理)半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 [答案] C[解析] 根据题意可知，设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则可知AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角．故a 2＋b 2＋c 2＝64，而S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )≤a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 24＝a 2＋b 2＋c 22＝32.等号在a ＝b ＝c ＝833时成立．7．(文)已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2][答案] D[解析] 由题设条件知，a 1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴(b ＋c )2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2.故选D.(理)已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3][答案] D[解析] |PF 1|2|PF 2|＝(2a ＋|PF 2|)2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3，∴e∈(1,3]．8．(2010·南昌市模拟)已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a ＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.9．(2010·河南新乡调研)已知全集R ，集合E ＝{x |b <x <a ＋b2}，F ＝{x |ab <x <a }，M＝{x |b <x ≤ab }，若a >b >0，则集合M 等于( )A ．E ∩FB ．E ∪FC ．E ∩(∁R F )D ．(∁RE )∩F[答案] C [解析] ∵a >b >0，∴a ＝a ＋a 2>a ＋b 2>ab >b 2＝b ，如图可见集合M 在E 中，不在F 中，故M ＝E ∩∁R F .10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92高考总复习数学讲师朱屿含详解答案[答案] D[解析] ED →＝AD →－AE →＝12(AB →＋AC →)－AE →＝12(λAE →＋μAF →)－AE →＝⎝⎛⎭⎫λ2－1AE →＋μ2AF →， EF →＝AF →－AE →.∵ED →与EF →共线，且AE →与AF →不共线，∴λ2－1－1＝μ21，∴λ＋μ＝2，∴1λ＋4μ＝12⎝⎛⎭⎫1λ＋4μ(λ＋μ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋μλ＋4λμ≥92，等号在μ＝43，λ＝23时成立． (理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC→n ，∴M ⎝⎛⎭⎫0，2m 、N ⎝⎛⎭⎫2n ，0， ∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤(m ＋n )24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.二、填空题11．(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b >0，直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵两直线垂直，∴ab 2－(b 2＋4)＝0，∴a ＝b 2＋4b 2，∵b >0，∴ab ＝b 2＋4b＝b＋4b ≥4，等号在b ＝4b，即b ＝2时成立． 12．(文)(2010·重庆文，12)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．[答案] －2[解析] y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t >0，y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t－4＝－2. 等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y2n＝1(m >0，n >0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________．[答案] 4[解析] 由题易得，点A 的坐标为(2,4)，因为点A 在直线x m ＋y2n ＝1(m >0，n >0)上，所以1＝2m ＋42n ≥22m ·42n，∴mn ≥16，所以log 2m ＋log 2n ＝log 2(mn )≥4，故log 2m ＋log 2n 的最小值为4.13．(文)(2010·南充市)已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．[答案] 6＋4 2 [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc 同时成立时成立．即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立．高考总复习数学讲师朱屿含详解答案(理)(2010·北京延庆县)已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是________． [答案]112[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x ·8y ＝2，即2x＋3y＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立．14．(文)(2010·重庆一中)设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是________． [答案] 18[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30° ＝32|AB |·|AC |＝23，∴|AB |·|AC |＝4，由f (M )的定义知，S △ABC ＝12＋x ＋y ，又S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin30°＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)∴1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥2(5＋24)＝18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时成立，∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝18.(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______．[答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则aba 2＋b 2＝1， ∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.三、解答题15．已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β，整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24，此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.16．(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30米，AD ＝20米．记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值． (2)要使S 不小于1600平方米，则DQ 的长应在什么范围内？高考总复习数学讲师朱屿含详解答案[解析] (1)设DQ ＝x 米(x >0)，则AQ ＝x ＋20， ∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30(x ＋20)x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15(x ＋20)2x＝15(x ＋400x ＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号．(2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0， ∴0<x ≤203或x ≥60答：(1)当DQ 的长度是20米时，S 最小，且S 的最小值为1200平方米； (2)要使S 不小于1600平方米，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝－(t －1)2＋98(t －1)＋352t＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t .∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42，当且仅当t 2＝32t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．17．(文)(2010·广州市调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆M 过定点D (0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA |＝l 1，|DB |＝l 2，求l 1l 2＋l 2l 1的最大值．[解析] (1)设P (x ，y )，则Q (x ，－1)， ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)．即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，即x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)设圆M 的圆心坐标为(a ，b )，则a 2＝4b ① 圆M 的半径为|MD |＝a 2＋(b －2)2.圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋(b －2)2. 令y ＝0，则(x －a )2＋b 2＝a 2＋(b －2)2，整理得，x 2－2ax ＋4b －4＝0②将①代入②得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ±2，不妨设A (a －2,0)，B (a ＋2,0)， ∴l 1＝(a －2)2＋4，l 2＝(a ＋2)2＋4.∴l 1l 2＋l 2l 1＝l 12＋l 22l 1l 2＝2a 2＋16a 4＋64＝2(a 2＋8)2a 4＋64＝21＋16a 2a 4＋64③ 当a ≠0时，l 1l 2＋l 2l 1＝21＋16a 2＋64a2≤21＋162×8＝2 2.高考总复习数学讲师朱屿含详解答案当且仅当a ＝±22时，等号成立．当a ＝0时，由③得，l 1l 2＋l 2l 1＝2. 故当a ＝±22时，l 1l 2＋l 2l 1的最大值为2 2. (理)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以双曲线x 23－y 2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点． ①求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值；②若直线MA 、MB 与直线x ＝4分别交于点P 、Q ，求线段PQ 长度的最小值．[分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a 、b ，即可写出椭圆方程，进而可求得点A ，B 坐标，设出M 点坐标，可列出k MA ·k MB 的表达式，利用M 在椭圆上可消元，通过计算验证结果为常数，再根据点A 、M 、P 三点共线和M 、B 、Q 三点共线就可以找到点P 、Q 的纵坐标之间的关系，即可求出线段PQ 长度的最小值．[解析] (1)易知双曲线x 23－y 2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为23，故在椭圆C 中a ＝2，e ＝32，∴c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①设M (x 0，y 0)，(x 0≠±2)，由题易知A (－2,0)，B (2,0)，则k MA ＝y 0x 0＋2，k MB ＝y 0x 0－2，故k MA ·k MB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 02x 02－4，点M 在椭圆C 上，则x 024＋y 02＝1，即y 02＝1－x 024＝－14(x 02－4)，故k MA ·k MB ＝y 02x 02－4＝－14，直线MA ，MB 的斜率之积为定值．②解法一：设P (4，y 1)，Q (4，y 2)，则k MA ＝k P A ＝y 16，k MB ＝k BQ ＝y 22，由①得y 16·y 22＝－14，即y 1y 2＝－3，当y 1>0，y 2<0时，|PQ |＝|y 1－y 2|≥2－y 1y 2＝23，当且仅当y 1＝3，y 2＝－3时等号成立，同理可得，当y 1<0，y 2>0时，当且仅当y 1＝－3，y 2＝3时，|PQ |有最小值2 3.解法二：设直线MA 的斜率为k ，直线MA 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而P (4,6k )，由①知直线MB 的斜率为－14k ，直线MB 的方程为y ＝－14k(x －2)，故得Q ⎝⎛⎭⎫4，－12k ，故|PQ |＝|6k ＋12k |≥23，当且仅当k ＝±36时等号成立．。

高考数学命题热点名师解密：专题(34)均值不等式的灵活应用(理)(含答案)

专题34 均值不等式的灵活应用一．【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力．二．【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题. 类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.类型4：探究数列的递增(递减)性，前n 项和的最值等问题. 3．基本不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；变式：a 2＋b 22≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立；(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥ab ；变式：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab叫做正数a ，b 的几何平均数．4．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝P 24可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P 24；(2)若a >0，b >0且ab ＝S (定值)，则由a ＋b ≥2ab ＝2S 可知，当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2S . 三．题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.四．典例分析（一）基本不等式比较大小例1．若，，则下列结论：①，②③④，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D练习1．若m，n，a，b，c，d均为正数，，则p，q的大小关系为( ) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定【答案】B【解析】q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．练习2．若，，，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴，且，∴，即．故选B．练习3．设f(x)＝e x,0<a<b，若，，，则下列关系式中正确的是( )A．q＝rp D．p＝r>q【答案】C【解析】由题意得，∵，∴，又函数为增函数，∴．故选C．（二）利用基本不等式证明例2.已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】，，，上面三式相加，得：，所以，.练习1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题 B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D．否命题为假命题，逆否命题为真命题【答案】A“设a、，原命题“若，则”，【解析】原命题：是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．练习2．已知，，为不全相等的正实数，且.求证：.【答案】见解析【解析】因为，，都是正实数，且，所以，，，以上三个不等式相加，得：，即，因为，，不全相等，所以上述三个不等式中的“”不都同时成立，所以.练习3．下列条件：①，②，③，，④，，其中能使成立的条件的序号是________．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.练习1．若正数满足，则的最小值为( )A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，∴,∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y 取等号，结合x+4y＝xy，解得x＝6，y＝3∴x+y的最小值为9，故答案为：A．练习2．已知，且，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知，且，则，则，当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.练习3．已知，且，则的最小值为______．【答案】15（五）条件等式求最值例5．若直线过圆的圆心，则的最小值为( )A．10 B． C． D．【答案】C【解析】圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2＝0上，所以﹣2a﹣2b+2＝0，即1＝a+b，（）（a+b）＝55+2（a＞0，b＞0当且仅当a b时取等号）故选：C．练习1．已知实数，且，则的最小值为____【答案】【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，所以，，令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，所以，当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．练习2．若实数，满足，则的最小值为____.【答案】4【解析】∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2]，（4），当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．故答案为：4．练习3．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．【答案】1【解析】∵点在椭圆上运动，即，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.练习4．已知，，，则的最小值为_______．【答案】3【解析】因为，，所以=（六）基本不等式的恒成立问题例6.已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2),使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意得不等式可化为或或或解得．所以不等式的解集为．(2)，使得成立，等价于.由(1)知，当时，，当且仅当，即当时，等号成立．所以，解得，又，所以．故实数的取值范围为．【点睛】解绝对值不等式的常用方法(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．练习1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，当等号成立.故恒成，化简得，解得，故选C.练习 2．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，则对任意的正实数x，y恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m的最小值是4．故选：B．练习3．（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则x+y的最小值？（2）已知不等式的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若对任意满足条件的m，n，恒有成立，则λ的取值范围？【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]【解析】（1）∵x＞0，y＞0，∴，当且仅当x=y时取等号由x+y+xy=8，可得：8﹣（x+y）≤．令x+y=t．（t＞0）．得8﹣t≤，（t＞0）. 解得：t≥4，即x+y≥4．故x+y的最小值为4．（2）由不等式的解集为{x|a≤x＜b}，可得方程（x+2）（x+1）=0的两个根=a=﹣2，=b=﹣1．∵点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．对任意满足条件的m，n，恒有成立，则：．当且仅当n=m 时取等号．∴λ≤9．即λ的取值范围是（﹣∞，9]．练习4．若不等式＞0在满足条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(－∞，4)（七）对勾函数求最值例7．已知。

(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)

基础篇一、单变量部分1、求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。

高中均值不等式讲解及习题

高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式专题20道-带答案

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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。

5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。

15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。

20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。

均值不等式含答案

均值不等式教学重点：掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值；教学难点：利用均值不等式的证明。

1. 算术平均值与几何平均值（1）算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值（2）几何平均值：对任意两个正实数,a b叫做,a b 的几何平均值 2. 均值定理如果,a b R +∈，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立 3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0）（4）)2,11a b R a b+≤∈+类型一：均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A.2b a a b +≥B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++解析：特值法，令1a b ==，则A,B,C 项都成立，而D 项中，1122,23a b a b+=+=+ 显然不成立，故D 项不成立。

答案：D练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥2答案：D练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案：B类型二：均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285C ．5D ．6解析：由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5. 答案：C练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．18 3答案：D练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( ) A ．100 B ．75 C ．50 D ．25 答案：D类型三：利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．解析：∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)．同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)．a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)．三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立). 答案：见解析练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．答案：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0. ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab .即21a ＋1b≤ab . 练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9..答案：证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2(x ＋y 2)2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1， ∴左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S 解析：S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝⎛⎭⎫r ＋Sr ≥4S ，当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.答案：D练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3 答案：B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元答案：A1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy ≥1答案：B2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．10 答案：B3. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案：D4. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．43 答案：A5．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339 C ．1＋22 D ．56. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案：B基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案：D3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案：34. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ 答案：12(a －b )25. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a > b C ．b >a >cD ．a >c >b答案：C6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 111，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18答案：B8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案：B9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．10. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：23311. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 答案：C12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 答案：1113. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________．答案：①④14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．答案：x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by)＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，等号在ay x ＝bx y 即y x＝ba时成立． ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a 、b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．2 3 答案：C16. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：D18. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 答案：C19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1答案： D20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y答案：D21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：D22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：D23.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12 C ．2 D ．4答案：D24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 答案：D25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116答案：C26. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________ 答案：1827. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．答案：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x 1x 2≤(x 1＋x 22)2，而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C答案：∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C ． 29．求函数y ＝1－2x －3x 的值域．答案：y ＝1－2x －3x ＝1－(2x ＋3x)．①当x >0时，2x ＋3x ≥22x ·3x＝2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时取等号．∴y ＝1－(2x ＋3x)≤1－2 6.②当x <0时，y ＝1＋(－2x )＋(－3x )．∵－2x ＋(－3x)≥2(－2x )·(－3x)＝2 6.当且仅当－2x ＝－3x 时，即x ＝－62时取等号．∴此时y ＝1－2x －3x≥1＋2 6综上知y ∈(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．∴函数y ＝1－2x －3x的值域为(－∞，1－26)∪[1＋26，＋∞)．30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？答案：(1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy .∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m.31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？答案：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98. (1)由f (n )>0得，n 2－20n ＋49<0， ∴10－51<n <10＋51，又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入＝f (n )n ＝40－2(n ＋49n )≤40－2×14＝12，当且仅当n ＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)． ②f (n )＝－2(n －10)2＋102.因此当n ＝10时，f (n )max ＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。

均值不等式含答案

课时作业15 均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( )A ．15B ．6C ．60D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x＋3在(－∞，－2]上( )A ．无最大值，有最小值7B ．无最大值，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值－1，无最小值【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x＋3＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－x＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4x ＋3≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x，即x ＝－2时，取等号，∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，94 【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】因为x >－1，所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－32C ．3－2 3D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x)≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a 2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14，∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大． 4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c.5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4xB ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大 B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab 又∵a ＋b2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b2.7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分) 9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥ 【解析】x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12.∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”．故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n n －12×4]＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋49n －20 ≤－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2n ·49n－20＝12当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。

【步步高】2021届高考数学总温习 7.2均值不等式配套文档理新人教B版 (1)

§7.2 均值不等式1．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均值与几何平均值设a >0，b >0，那么a ，b 的算术平均值为a ＋b2，几何平均值为ab ，均值不等式可表达为两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 4．利用均值不等式求最值问题已知x >0，y >0，那么(1)若是积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)若是和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1．判定下面结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充要条件．( × )(5)假设a >0，那么a 3＋1a 2的最小值为2a . ( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．( √ ) 2．当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，以下表达正确的选项是( )A ．函数f (x )有最小值2B ．函数f (x )有最大值2C ．函数f (x )有最小值3D ．函数f (x )有最大值3答案 C3．若a ，b ∈R ，且ab >0，那么以下不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥2答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．关于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．关于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，假设a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，那么1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12答案 C 解析由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，那么1x ＋1y 的最大值为1. 5． (2021·天津)设a ＋b ＝2，b >0，那么当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．答案－2解析由于a ＋b ＝2，因此12|a |＋|a |b＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a4|a |＋b4|a |＋|a |b，由于b >0，|a |>0，因此b4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，现在⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.题型一利用均值不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，那么1x＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，那么f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．思维启发利用均值不等式求最值能够先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x＋y ”，展开后利用均值不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用均值不等式．答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x＋2x y≥3＋2 2.当且仅当y x＝2x y时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．思维升华 (1)利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”． (2)在求最值进程中假设不能直接利用均值不等式，能够考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技术进行变形，使之能够利用均值不等式．(1)已知正实数x ，y 知足xy ＝1，那么(x y＋y )·(y x＋x )的最小值为________．(2)已知x ，y ∈R ＋，且知足x 3＋y4＝1，那么xy 的最大值为________．答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y＋y )(y x＋x )＝1＋y 2x＋x 2y＋1≥2＋2y 2x×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y＋y )·(y x＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．题型二不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，假设关于任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，那么a 的取值范围是________．思维启发对不等式恒成立问题可第一考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x，而3x ＋23x≥22(当且仅当3x ＝23x，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x)＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，那么g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ，a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用均值不等式的问题可考虑利用函数的单调性．假设不等式x 2＋ax ＋1≥0关于一切x ∈(0，12)成立，那么a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3答案 C解析方式一设f (x )＝x 2＋ax ＋1，那么对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，应选C.方式二当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x)恒成立．又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三均值不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，双侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大许诺值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启发把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用均值不等式即可求解．解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，那么顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由均值不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，那么S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，因此S 的最大许诺值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．思维升华对实际问题，在审题和建模时必然不可忽略对目标函数概念域的准确挖掘，一样地，每一个表示实际意义的代数式必需为正，由此可得自变量的范围，然后再利用均值不等式求最值．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产预备费用为800元．假设每批生产x 件，那么平均仓储时刻为x8天，且每件产品天天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，假设p >q >0，那么提价多的方案是________．答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，应选B.(2)设原价为1，那么提价后的价钱为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为1＋p %1＋q %≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，因此1＋p %1＋q %<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，因此提价多的方案是乙．轻忽均值不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2021·浙江)假设正数x ，y 知足x ＋3y ＝5xy ，那么3x ＋4y 的最小值是( )A.245 B.285 C ．5D ．6(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)对x ＋3y 运用均值不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用均值不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0那个条件误用均值不等式得2x ＋3x≥26.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，因此3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x)＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2－2x ·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6.答案 (1)C (2)1＋26温馨提示 (1)利用均值不等式求最值，必然要注意应用条件；(2)尽可能幸免多次利用均值不等式，假设必需多次利用，必然要保证等号成立的条件一致. 方式与技术1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常经常使用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点． 2．关于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要把握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．失误与防范1．利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可． 2．持续利用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组专项基础训练 (时刻：40分钟) 一、选择题1．已知0<x <1，那么x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．2．假设函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，那么a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋3C ．3D ．4答案 C 解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0. ∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2x －2·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立．又f (x )在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3.3．小王从甲地到乙地来回的时速别离为a 和b (a 2ab2b＝a ，∴2a ＋b<1ab，即2aba ＋b<ab ，∴a <v <ab .4．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14 B ．1 C ．4 D ．8 答案 C解析由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1a ＋b22＝1122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．5． (2021·福建)以下不等式必然成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )答案 C解析应用均值不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意均值不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，因此lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，应选项A 不正确；运用均值不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，应选项B 不正确；由均值不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，应选项D 不正确．二、填空题6．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，那么(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________．答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 7．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，假设f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，那么实数p 的值为________．答案 94 解析由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，因此2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成假设干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么每次购买该种货物的吨数是________．答案 20解析设每次购买该种货物x 吨，那么需要购买200x 次，那么一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，因此一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．三、解答题9． (1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值．解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )． ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y＝18，当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处置池，池的深度必然(平面图如下图)，若是池周围围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处置池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)假设由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处置池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处置池的宽为x 米，那么长为162x米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960 ＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2x ·100x＋12 960 ＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号． ∴当污水处置池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤160<162x≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(现在162x ＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元)． ∴当污水处置池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元． B 组专项能力提升(时刻：30分钟)1．已知a >0，b >0，假设不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，那么m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3答案 B解析因为a >0，b >0，因此由m 3a ＋b －3a－1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，因此10＋3b a ＋3a b≥16，因此m ≤16，即m 的最大值为16，应选B.2． (2021·山东)设正实数x ，y ，z 知足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，那么当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94D ．3 答案 B解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xyz ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，因此2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1. 3．概念“*”是一种运算，关于任意的x ，y ，都知足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1*2=4，那么ab 取最大值时a 的值为 .答案 1解析 ∵1*2=4，∴2a+3b=4，∵2a +3b ≥∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，因此当a ＝1时，ab 取最大值23. 4． (1)假设正实数x 、y 知足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值．(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，那么x ＝t －1(t >0)，∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且现在x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5．经市场调查，某旅行城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地知足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地知足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅行日收益W (t )(万元)与时刻t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅行日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t －4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，因此t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝443 23，因此t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。

1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，2?3?1 ??3?1?5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。

32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。

322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。

高中数学平均值不等式练习题含答案

高中数学平均值不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a>0，若y=3a2+a+9a3，则下列说法正确的序号是（）①y有最小值9√3；②y有最小值9；③y有最大值9．A.①B.②C.③D.以上都不正确2. 若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A.18B.6C.2√3D.2√343. 若n>0，则n+32n2的最小值为（）A.2B.4C.6D.84. 已知x，y∈R+，且满足x2y=32，则x+y的最小值为（）A.1B.2C.6D.45. “a>b>0”是“ab<a2+b22”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数f(x)=5x+20x2(x>0)的最小值为（）A.10B.15C.20D.257. 已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值为（）A.√39B.√33C.1D.√38. 在△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+2b2=3c2，a=6sin A，则c的最大值为( )A.2√7B.√7C.3D.49. 定义函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．已知f(x)=lg x，x∈[10, 100]，则函数f(x)=lg x在x∈[10, 100]上的均值为（）．A.3 2B.34C.710D.1010. 设a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则1a +1b+1c的最小值为（）A.9B.12C.6+2√2D.6+4√211. 已知函数f(x)的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得√f(x1)⋅f(x2)=M成立，则称函数f(x)在D上的几何平均数为M．已知函数g(x)= 3x+1(x∈[0, 1])，则g(x)在区间[0, 1]上的几何平均数为________．12. 若a>−2，则a+16a+2的最小值为________.13. 设x>0，则函数y=2x+1x2+3的最小值是________．14. A（不等式选做题）若x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y的取值范围是________．B（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于________．C（坐标系与参数方程选做题）曲线{x=2+cosθy=−1+sinθ（θ为参数）上一点P，过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L，则点P到直线L距离的最小值为________．15. 若正数a，b，c满足a+b+c=1，则13a+2+13b+2+13c+2的最小值为________．16. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点（a, f(a)），（b, −f(b)）的直线与x轴的交点为(c, 0)，则称c为关于函数f(x)的平均数，记为M f(a, b)，例如，当f(x)=1(x>0)时，可得M f(a, b)=c=a+b2，即M f(a, b)为a，b的算术平均数．（1）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数；（2）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）17. 若x2+y2=2，设z=1x2+2yx，则z的最小值为________．18. 函数f(x)=3x+12x2(x>0)的最小值为________．19. 已知实数a1，a2，a3不全为零，(I)则a1a2+2a2a3a12+a22+a32的最大值为________；(II)设正数x，y满足x+y=2，令xa1a2+ya2a3a12+a22+a32的最大值为M，则M的最小值为________．20. 设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为________．21. 求证：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9．22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2c−ba =cos Bcos A.(1)求角A的大小；(2)若a=1，求b+c的最大值．23. 若a>0，b>0，且1a +1b=√ab．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．24. 设a，b，c为正实数，求证：a3+b3+c3+1abc≥2√3．25. （1）已知矩阵M =[2a21]，其中a ∈R ，若点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)(I)求实数a 的值；(II)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 25.（2）在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2+y 2−8x cos θ−6y sin θ+7cos 2θ+8=0(a ∈R)的圆心为P(x 0, y 0)，求2x 0−y 0的取值范围． 25.（3）已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0． ①求证：a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214；②求实数m 的取值范围．26. 已知函数f (x )=|x −1|+|x +3|． (1)解不等式：f (x )≤6；(2)若a ，b ，c 均为正数，且a +b +c =f (x )min ，证明：(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27. 已知x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)2+1(x−y)2的最小值．28. 设a >0，b >0，已知函数f(x)=ax+b x+1．(Ⅰ)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当x >0时，称f(x)为a 、b 关于x 的加权平均数．(i)判断f(1)，f(√ba )，f(ba )是否成等比数列，并证明f(ba )≤f(√ba )； (ii)a 、b 的几何平均数记为G ．称2ab a+b为a 、b 的调和平均数，记为H ．若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．29. 已知x >0，y >0，z >0，且xyz =1，求证：x 3+y 3+z 3≥xy +yz +xz ．30. 已知关于x 的不等式|x −m|+2x ≤0的解集为(−∞,−1]，其中m >0． (1)求m 的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=m，求证：b2a +c2b+a2c≥1．31. 已知P为单位圆上一动点，A(0, 2)，B(0, −1)，求|AP|×|BP|2的最大值．32. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B=b sin B+C2.(1)求A；(2)若b+c=2，求a取最小值时△ABC的面积S.33. 已知a，b∈R，且a>b，求证：2a+1a2−2ab+b2≥2b+3．34. 已知a，b，c均为正数，且满足√a2b2c23+ab+bc+ca=4.证明：(1)ab+bc+ca≥3；(2)a+b+c≥3．35. 已知函数f(x)=m−|x+2|，m∈R，且f(x−2)≥0的解集为[−3, 3].(1)求m的值；(2)若a，b，c都是正实数，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3.36. 已知函数f(x)=|2x−2|+|x+1|．(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)若函数y=f(x)+|x+1|的最小值为k，求km+2m2(m>0)的最小值.37. 选修4−5：不等式选讲．若a，b，c均为正数，且a+b+c=6，√2a+√2b+1+√2c+3≤|x−2|+|x−m|对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．38. 写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）39. 选做题：不等式选讲．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a+b2−√aba+b+c3−√abc3≤32，并指出等号成立的条件．40. （1）选修4−4：坐标系与参数方程已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π4)=2．(I)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 40.（2）选修4−5：不等式选讲，设x+2y+3z=3，求4x2+5y2+6z2的最小值．参考答案与试题解析高中数学平均值不等式练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】根据函数的特点结合基本不等式进行判断即可．【解答】解：当a=1时，y=3+1+9=13，故；①y有最小值9√3错误．③y有最大值9错误．当a>0，若y=3a2+a+9a3≥3√3a2⋅a⋅9a33=3⋅√273=3×3=9，当且仅当3a2=a=9a3时取等号，此时方程无解，即y=3a2+a+9a3>9，故②y有最小值9，错误，故选：D．2.【答案】B【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】3a+3b≥2√3a⋅3b=2√3a+b=6，当且仅当a=b=1时取等号．故3a+3b的最小值是6；点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件．3.【答案】C【考点】平均值不等式【解析】利用题设中的等式，把n+32n2的表达式转化成n2+n2+32n2后，利用平均值不等式求得最小值．【解答】解：∵n+32n =n2+n2+32n∴n+32n2=n2+n2+32n2≥3√n2×n2×32n23=6（当且仅当n=4时等号成立）故选C【答案】 C【考点】平均值不等式【解析】由x 2y =32，可得y =32x 2，又x ，y ∈R +，利用均值不等式可得x +y =x +32x 2=x2+x2+32x 2≥3√x 2⋅x 2⋅32x 23即可得出．【解答】解：∵ x 2y =32，∴ y =32x 2，又∵ x ，y ∈R +，∴ x +y =x +32x =x 2+x 2+32x ≥3√x 2⋅x 2⋅32x 3=6，当且仅当x =2√23时取等号．∴ x +y 的最小值为6．故选C ． 5. 【答案】 A【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】a 2+b 2≥2ab 中参数的取值不只是指可以取非负数．均值不等式满足a+b 2≥√ab,(a >0,b >0)．点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件． 6.【答案】 B【考点】平均值不等式【解析】函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2，利用基本不等式可得结论．【解答】解：函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2≥3√2.5x ⋅2.5x ⋅20x 23=15，当且仅当2.5x =20x 2，即x =2时，函数f(x)=5x +20x 2(x >0)的最小值为15．故选：B ． 7. 【答案】【考点】平均值不等式【解析】由题意可得13=ab+bc+ca3≥√(abc)23(abc)2≤127，由此求得abc 的最大值．【解答】解：∵ a ，b ，c 是正实数，且ab +bc +ac =1， ∴ 13=ab+bc+ca3≥√(abc)23，∴ (abc)2≤127， ∴ abc ≤√39，即 abc 的最大值为 √39，故选A ．8. 【答案】 A 【考点】余弦定理正弦定理平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ a 2+2b 2=3c 2，又c 2=a 2+b 2−2ab cos C ，∴ a 2+b 2−2ab cos C =13a 2+23b 2，即2ab cos C =23a 2+13b 2≥2√23ab ，∴ cos C ≥√23.又sin 2C =1−cos 2C ≤1−29=79，∴ 0<sin C ≤√73，∵csin C=a sin A=6，∴ c =6sin C ≤2√7.故选A . 9.【答案】 A【考点】平均值不等式【解析】根据定义，函数y =f(x)，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f(x 1)+f(x 2)2=C ，则称函数f(x)在D 上的均值为C ．充分利用题中给出的常数10，100．当x 1∈【10，100】时，选定x 2=1000x 1∈【10，100】容易算出．【解答】解：根据定义，函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．令x1⋅x2=10×100=1000当x1∈【10，100】时，选定x2=1000x1∈【10，100】可得：C=lg(x1x2)2=32故选A．10.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】先利用a+2b+c=1与1a +1b+1c相乘，然后展开利用均值不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，∴1a +1b+1c=(a+2b+c)(1a+1b+1c)=4+2ba +ab+ca+ac+cb+2bc≥4+2 √2+2+2√2=6+4√2，当且仅当a=c=√2b时等号成立．∴1a +1b+1c的最小值是6+4√2．故选D．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】平均值不等式【解析】我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g(x)=x，D=[0, 1]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数g(x)在D上的几何平均数为C的定义，结合g(x)=3x+1在区间[0, 1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C=√1×4=2，故答案为：2．12.【答案】6【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：a+16a+2=(a+2)+16a+2−2≥2√(a+2)×16a+2−2=6(当且仅当a=2时，等号成立)故答案为：6.13.【答案】6【考点】平均值不等式基本不等式【解析】首先对函数式进行整理，把2x变成x+x，这样凑成符合均值不等式的形式，利用均值不等式写出最小值，且等号能够成立．【解答】解：∵x>0，∴函数y=2x+1x2+3=x+x+1x2+3≥3√x⋅x⋅1x23+3=6当且仅当x=1x2，即x=1时，等号成立．故答案为614.【答案】[3+2√2, +∞),3,5√22−1【考点】平均值不等式点到直线的距离公式与圆有关的比例线段参数方程与普通方程的互化【解析】A根据x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y=(1x+1y)(x+2y)，然后化简整理，最后利用均值不等式即可求出所求．B根据直角三角形中的射影定理可知CD2=AD⋅BD，求出AD，从而求出DO；C先根据sin2θ+cos2θ=1将参数θ消去，得到曲线方程，再求出直线L的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出所求．【解答】解：A、∵x>0，y>0且x+2y=1，∴(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2∴ 1x +1y 的取值范围是[3+2√2, +∞)故答案为：[3+2√2, +∞)B 、∵ ∠ACB =90∘，CD ⊥AB ∴ CD 2=AD ⋅BD 即16=AD ×8 ∴ AD =2，则AB =10，OB =5，DO =8−5=3 故答案为：3C 、∵ {x =2+cos θy =−1+sin θ（θ为参数）∴ (x −2)2+(y +1)2=1过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L 的方程为x −y +2=0 圆心到直线的距离为d =√2=5√22∴ 点P 到直线L 距离的最小值为 5√22−1故答案为：5√22−115.【答案】 1【考点】平均值不等式【解析】根据a +b +c =1，得到(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=9，结合柯西不等式证出9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，从而13a+2+13b+2+13c+2≥1，当且仅当a =b =c =13时等号成立，由此可得13a+2+13b+2+13c+2的最小值．【解答】解：∵ a +b +c =1，∴ (3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=3(a +b +c)+6=9 ∵ [(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)](13a+2+13b+2+13c+2) ≥(√3a +2√3a +2√3b +2√3b +2√3c +2√3c +2)2=(1+1+1)2=9∴ 9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，得13a+2+13b+2+13c+2≥1当且仅当3a +2=3b +2=3C +2，即a =b =c =13时，13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1故答案为：1 16. 【答案】 √x ．（2）设f(x)=x ，(x >0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a −b−a =x−ab−a ，令y =0，求得x =c =2aba+b ，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，故答案为：x．【考点】平均值不等式【解析】（1）设f(x)=√x，(x>0)，在经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=√ab，从而得出结论．（2）设f(x)=x，(x>0)，在经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=2aba+b，从而得出结论．【解答】解：（1）设f(x)=√x，(x>0)，则经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程为√a−√b−√a=x−ab−a，令y=0，求得x=c=√ab，∴当f(x)=√x，(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数√ab，（2）设f(x)=x，(x>0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a−b−a =x−ab−a，令y=0，求得x=c=2aba+b，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，17.【答案】−3 2【考点】平均值不等式【解析】设x=√2cosθ，y=√2sinθ，则z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ，化简为12(tanθ+2)2−32，再利用二次函数的性质求得函数z的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴设x=√2cosθ，y=√2sinθ，z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ=1+4sinθcosθ2cos2θ=sin2θ+cos2θ+4sinθcosθ2cos2θ=12tan2θ+2tanθ+12=12(tanθ+2)2−32，故当tanθ=−2时，函数z取得最小值为−32，故答案为：−32．18.【答案】 9【考点】平均值不等式【解析】将函数式的两项拆成3项，再利用平均值不等式，即可得到当且仅当3x2=12x 2时即x =2时，函数的最小值为9．【解答】解：∵ x >0 ∴ 3x +12x =3x 2+3x 2+12x ≥3√3x 2⋅3x 2⋅12x 3=9当且仅当3x2=12x 2时，即x =2时，等号成立由此可得，函数f(x)=3x +12x 2(x >0)的最小值为9 故选：9 19. 【答案】√52,√22【考点】平均值不等式【解析】观察分式的分子和分母的代数式的不同，进行拆分a 22项，构造均值不等式求最值．【解答】解：由题意知： (1)a 1a 2+2a 2a 3a 12+a 22+a 32=a 1a 2+2a 2a 3a 12+15a 22+45a 22+a 32 ≤a a +2a a 2√12225+2√22325=a 1a 2+2a 2a 32√51a 2+2a 2a 3)=√52(2)xa 1a 2+ya 2a 3a 12+a 22+a 32=xa 1a 2+ya 2a 3a 12+x 2x 2+y 2a 22+y 2x 2+y 2a 22+a 32≤xa 1a 2+ya 2a 3xa 1a 222+ya 2a 322=√x 2+y 22 ∴ M =√x 2+y 22即M≥√22(x+y2)=√22∴M的最小值为√22．故(1)√52(2)√2220.【答案】7【考点】平均值不等式【解析】把式子1x+y +9(x+y)y+z中的1换成已知条件(x+y)+(y+z)=1，化简后再利用基本不等式即可．【解答】解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，∴1x+y +9(x+y)y+z=x+y+y+zx+y+9(x+y)y+z=1+y+zx+y+9(x+y)y+z≥1+2√y+zx+y×9(x+y)y+z=7，当且仅当y+zx+y =9(x+y)y+z，x+y+y+z=1，即x+y=14，y+z=34时，取等号．∴则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为7．故答案为7．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab+ca+ac+cb+bc．由均值不等式得ba +ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有3+ba +ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a、b、c全部相等时，等号成立．故(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9成立．【考点】平均值不等式【解析】不等式的左边即3+ba +ab+ca+ac+cb+bc，由均值不等式证得此式大于或等于9．【解答】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab +ca +ac +cb +bc ．由均值不等式得 ba+ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有 3+b a+a b+c a+a c+c b+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a 、b 、c 全部相等时，等号成立．故 (a +b +c)(1a +1b +1c )≥9 成立． 22.【答案】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ，在△ABC sin C ≠0， cos A =12，∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc ,又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，当且仅当b =c 时取到等号成立，所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 【考点】正弦定理余弦定理平均值不等式【解析】由正弦定理化简已知等式可得2sinCcosA =sinC ，又sinC ≠0，即可得cosA =12，即可求得A 的大小．由余弦定理及不等式的解法得1=b 2+c 2−bc ，化简得bc ≤1从而得解．【解答】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ，在△ABC sin C ≠0， cos A =12,∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc , 又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 23. 【答案】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a +1b ≥2√1ab ，∴ ab ≥2，当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号．而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6，故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立．【考点】平均值不等式【解析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab ≥2，再利用基本不等式求得a 3+b 3的最小值． (Ⅱ)根据 ab ≥2及基本不等式求的2a +3b >8，从而可得不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6．【解答】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a+1b≥2√1ab，∴ ab ≥2，当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号．而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6，故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立． 24. 【答案】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立．所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…【考点】平均值不等式【解析】由条件可得a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，再由3abc +1abc ≥2=2√3，从而得到a 3+b 3+c 3+1abc ≥2√3．【解答】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立．所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…25. 【答案】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4．当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)．所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)，所以−√73≤2x 0−y 0≤√73．（3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1．【考点】特征值、特征向量的应用圆的参数方程平均值不等式【解析】(1)(I)点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a 的值；(II)先求矩阵M 的特征多项式f(λ)，令f(λ)=0，从而可得矩阵M 的特征值，进而可求特征向量．（2）先将圆的一般式方程转化成圆的标准方程，从而求出圆心的参数方程，利用参数方程将2x +y 表示成8cos θ−3sin θ，然后利用辅助角公式求出8cos θ−3sin θ的取值范围即可；（3）①根据柯西不等式直接证明即可；②将①中的a 、b 、c 用等式a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0．代入，消去a 、b 、c 得到关于m 的不等关系，解之即可求出m 的范围．【解答】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4．当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)．所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)，所以−√73≤2x 0−y 0≤√73．（3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1． 26. 【答案】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3；当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]，当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明平均值不等式【解析】（1）答案未提供解析．【解答】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3；当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]，当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27.【答案】解：∵ x 2+y 2=2，∴ (x +y)2+(x −y)2=4．∵ ((x +y)2+(x −y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴ 1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x =±√2，y =0，或x =0,y =±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．平均值不等式【解析】由题意可得(x+y)2+(x−y)2=4，再根据((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，求得1(x+y)+1(x−y)的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴(x+y)2+(x−y)2=4．∵((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x=±√2，y=0，或x=0,y=±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．28.【答案】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)2∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．【考点】利用导数研究函数的单调性等比数列的性质平均值不等式(Ⅰ)确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f(x)的单调性；(Ⅱ)(i)利用函数解析式，求出f(1)，f(√ba )，f(ba)，根据等比数列的定义，即可得到结论；(ii)利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．【解答】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．29.【答案】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．【考点】平均值不等式【解析】根据算术平均数不小于其几何平均数可得：x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，相加得出结论．【解答】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．30.【答案】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.【考点】绝对值不等式平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.31.【答案】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．【考点】平均值不等式两点间的距离公式【解析】设P(cosα, sinα)，S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式即可得出．【解答】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．32.【答案】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A=π3.(2)在△ABC中由余弦定理知：a2=b2+c2−2bc cos A=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3(b+c2)2=1，所以a≥1，当且仅当b=c=1时等号成立，此时S=12bc sin A=√34.【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式平均值不等式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A =π3.(2)在△ABC 中由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bc cos A =(b +c )2−3bc ≥(b +c )2−3(b+c 2)2=1，所以a ≥1，当且仅当b =c =1时等号成立，此时S =12bc sin A =√34. 33.【答案】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b=2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a −2ab+b ≥2b +3．【考点】平均值不等式【解析】根据均值不等式即可求出【解答】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b =2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a 2−2ab+b 2≥2b +3． 34. 【答案】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)， b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)，(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)，即a +b +c ≥3. 【考点】不等式的证明平均值不等式基本不等式【解析】【解答】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)，b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)， (a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)，即a +b +c ≥3. 35.【答案】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|，所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]，故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c )=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号，即1a +12b+13c≥3.【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|，所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]，故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得1a +12b+13c=13(a +2b +3c)(1a+12b+13c)=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号，即1a +12b +13c ≥3. 36.【答案】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4，所以k =4，所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m 2≥3√2m ⋅2m ⋅2m 23=6，当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 【考点】绝对值不等式的解法与证明平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4，所以k =4，所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m ≥3√2m ⋅2m ⋅2m 3=6，当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 37. 【答案】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立．又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3．【考点】平均值不等式【解析】利用平均值不等式求得√2a +√2b +1+√2c +3≤4√3，由绝对值的性质可得|x −2|+|x −m|≥|m −2|，结合题意可得|m −2|≥4√3，由此求得m 的范围．【解答】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立．又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3． 38. 【答案】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =12(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz) =12(x +y +z)[(x −y)2+(y −z)2+(x −z)2]≥0，∴ x 3+y 3+z 3≥3xyz ，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．即a +b +c ≥3√abc 3，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴a+b+c 3≥√abc 3．【考点】平均值不等式【解析】类比二元均值不等式得出三元均值不等式，利用作差法证明．【解答】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =1(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz)。

均值不等式求值的常用技巧及习题含解答：经典

均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。

解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式含答案

课肘作业15均值不等式时I可：45分钟满分：100分课堂训练53仁己知x + y = 1(x>0, y>0),则xy的最小值是() xyA. 15B. 66 60 D. 1 C【篆秦】53 15J + = 1>2 , 【解析】x y xyxy>当且仅当3x = 5y时取等号.42.因数f(x) = x + x + 3 在(一oo, - 2］上()A.无最丸值，有最小值7B.无最大值，有最小值有最丸值7,有最小值- 1D.有最大值一仁无最小值【答案】D4【解析】Vx<-2, A f(x) = x + +3x=- -x + - 罕3S- 2-X- + 3 xx4=—1,当且仅当—x= —4x,即x = — 2时，取等号，x••• f(x)有最丸值- 1,无最小值.3.己知两个正卖数x, y 满足x + y = 4,则使不等式x + y >m 恒成立的卖数m 的取值范围是 __________________ .4 +5>2 x + l ・x+4i+5 = 9 x 苹1【鮮析】因为x>-1, 所以y =【答秦】【解析】 14^+y145yx519ix + /=4x + y = % + 4y x + \>54+ 2 41=妙4・x 2+ 7x + 104k 求因数y= x+i (x> - 1)的最小值.【分析】对于本題中的因数，可把x+1看成一个整体，然后形式特点，从而能用均值定理来处理.所以x + 1 >(x + 1)将因数用X+1来表示, 这样转化一下表达形式, 可以暴獴其肉在的0・ c Cx2 + 7x + 10 x + 12 + 5x + 1 +4x + 1 x+ 1当且仅当X + 1=x + 41,即X=1肘，等号成立.・•.当x=1 肘，^/<y = x+x7+x+i 10 (x>-1),取得最小值为9.规律方法］ax2 + bx + c形如f(x)二丄：\ 4 c/x/\ =mx + nax2 + bx + c m^Q，的)因数，可以把mx +n看成一个整体，设mx + n = t,那么f (x)与g (x)都可以转化为关于t的因数.课后作业.选择题(毎小題5分，共40分)11.设x>0,贝J y = 3-3x-x 的最大值是（）11【解析】y = 3 — 3x — x = 3 — (3x + x)=3-2 3.当且仅当3x = 1x ,即x = 3?肘取“ =【x32.下列结论正确的是（）1A. 当 x>0 且 xfl 时，lgx+i gx >2B. 当 x>0 时，x+ 1x >21C.x>2时，x + x 的最小值为21 D. 0<x<2时，x-x 无最大值x【答案】B【解析】A 中，当x>0且xfl 时，Igx 的正负不确定，・・・lgx + igx小 1 1 5 二 c N2 或 lgx + igxS-2； C 中,当 xN2|时, 时， 1 1 3y = X- x 疫上逼增’“Xi) max =2・3k 如果 a, b 满足 Ovavb, a + b = 1,则乙 a,2ab, a 2 + b 2中值最A. 3C. 3-23【答案】CB. 3-32 D. — 1(X + x ) min = 2 ； D 中多 OvX02大的是（）B. aC. 2abD.呼 + 少芻亲】鮮析】方法一：••• 0<a<b,.・.i=a + b>2a, 又a?+ b2>2ab,••-最丸数一定不是a和2ab,又a2 + b2 = (a + b)2一2ab = 1 一2ab,T 1 = a+ b>2 ab, abvh1 1 1/• 1 — 2ab>1 — 2 = 2?即a2 + b2>2-1245方出二：特值检验法：取* = 3 J b = % 则2ab = g4,4.己知a>b>c>0,则下列不等式成立的是（）1 +b-c>a-c 12+ b _ c<a 一c12+ b — c-a 一c12+ b — c-a 一c【答案】A【鮮析】丁a>b>c>0,•: a- b>0, b- c>0, a- c>0,• • (a _ Qi_b + b_c a2 + b2 = 95,5 14 19Q>2>Q>^/. a2 + b2最丸.11=[(a - b) + (b - c)] -a_b + b-1cb- c a-bg_b + b_cb— c a—b>2 + 2a_"b-b__c = 4.鮮析】A、D选项中，不能保证两数为正，排除；B选项不1 1 42a-b + b-cF-c>a-c5.下列函数中，最小值为4的是()4 Af(x)= :2X X X2+4f(X)= x + x B kcf(x) = 3x + 4x3-x D kf(x)：=lgx + log x10芻案】cX2+5 x2 + 4 + 1 二2x 1能取等号，f(x) = 2X\2+54 = 2x X2 X2+4)M 4 要+ 4取等号，必须x2 + 4= x21+4,即x2 + 4 = 1,这是不可能的，排除.坎选C.6.今有一台坏夭平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左.右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真卖重量.设炀体放在左右托盘称得的重量分别为a, b(a^b),则物体的卖际重量为多少卖际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了 ()鮮析】设炀体真卖重量为m,夭平左、右两臂长分别为iI2,则mh = ah®mk = bh@① x②得m2hl2 = abhk•: m = aba +b a + b2 > ab且#b, •••等号不能取得，坎ms.7.己知x>0, y>0, x + 2y + 2xy = 8,则x+ 2y 的最小值是()A. 3B. 4［＜＜］BVx + 2y + 2xy = 8,8-x【聲析】— 1 <x<8,8-x 9 9Ax+2y=x + 2-28x"+x2 = (x+l)+x+9i—2>2 x + l-x+9i—2 =4,9当且仅当x+1= 9时= 成立，此时x = 2, y = 1,故选Bx + 11 X2 + X +1& 在区间〔2, 2］上，因数f(x) = x2+ bx + c(b、CGR)与g(x) = x1在同一点取得扌目同的最小值，那么f(x)在区间［J, 2］上的最丸屣是B. 4C. 8【答秦】BX2 + X + 1 1【鮮析】Vg(x) = x x =x + x1 + 1>3, x = 1 #取等号，即当x = 1时取最小值3, /• f(x)的对称轴是x = 1, /.b = — 2,将(1,3)代1入即得c = 4, A f (x) = x2 - 2x + 4,易得在〔2，2］上的最大值是4.二、填空題(毎小题10分，共20分)x2 + 29. 比较丸小：X2 + 1 ________ 2(填“V或必”)【答秦】>【鮮析】X x + 2 +21 = x2+1+ X21+1>2.110. 当x>1时，不等式x + x_i>a恒成立，则卖数a的取值施围x-1是_________ '【答秦】(一P 3］1［鮮析】Vx>1, /. x + >0,x-111要使X+ Na 恒成立，设f(x)=x+ (x>1),贝J a<f(x)min 对X>1x- 1 x- 1恒成立k1 1 1又f(x) = x+ = x- 1 + + 1>2 x- 1x +1=3,当且X-1 X-1 X-11仅当x - 1 = 1即x = 2时取“ =1x-1••• a< 3.三、鮮芻題(每小題20分，共40分.解答应写出必要的文字说朗.证朗过程或演算步骤)11. 设x, ye R+,且x + y + xy = 2,(1) 求x + y的取值范围；(2) 求xy的取值范围.【解析】⑴2= x + y+ xySx + y + (2 )2,当且仅当x = y时取“ =J/. (x + y)2 + 4(x + y) — 8>0.A [(x + y) + 2]2>12.T x + y>0，x + y + 2> 12.x + y>23 -2,当且仅当x = y = 3 - 1 时取“=坎x + y的取值苑围是[23 — 2, + oo) k (2)2 = x + y + xy>2xy + xy,当且仅当x = y = 3- 1 时取“ = J••• ( xy)2 + 2 xy<2A. (xy+1 )2< 3.又x. y>0, A xy + 1>0. A xy + 1< 3・•: 0< xy< 3 - 1.A0<xy<4 —2 3,即xy 的取值范围是(0,4-23].12. 禁渔业必司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕撈，毎一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在肉毎年所需费用比上一年增加4万元.该那毎年捕撈总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最丸，最大是多少(2)问捕捞几年后的平均利润最丸，最大是多少【解析】(1)设那捕撈n年后的总盈利y万元.nn 一1y = 50n -98 - [12 xn+ 2x4]=—2n2 + 40n — 98=一2(n-10)2 + 102•••捕撈10年后总盈利最丸，最大是102万元. y 4n9 _ 20(2)年平均利润为门-2 n门+<-22- n-4n9-20 = 12当且仅当n = 4年即口= 7肘上式取等号.n 所以，捕撈7年后的平均利润最丸，最大是12万元.【规律方由】在应用均值不等式鮮决卖际问題时，应注意如下恩路和方法：(1) 先理鮮題克，设出变量，一般把要求最值的量定为因数；(2) 建立相应的因数关糸，把卖际问题抽象成因数的最丸值或最小值问題；(3) 在定义域肉，求出因数的最大值或最小值；(4) 正确写出答案.。

平均值不等式-高中数学知识点讲解(含答案)

平均值不等式（北京习题集）（教师版）一．选择题（共1 小题）1．（2007•北京）如果正数a ，b ，c ，d 满足a b cd 4 ，那么 ( )A．且等号成立时，，，的取值唯一ab…c d a b c dB．且等号成立时，，，的取值唯一ab…c d a b c dC．且等号成立时，，，的取值不唯一ab…c d a b c dD．且等号成立时，，，的取值不唯一ab…c d a b c d二．填空题（共1 小题）2．（2014 秋•西城区期末）已知函数f (x) 的定义域为D ．若对于任意的x D ，存在唯一的x D ，使得1 2f xg f x M f (x) D M g(x) 3x 1(x[0 1]) g(x)( ) ( ) 成立，则称函数在上的几何平均数为．已知函数，，则在1 2区间[0 ，1]上的几何平均数为．三．解答题（共5 小题）3．（2017 春•海淀区校级期末）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）4．（2013•东城区一模）设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：A (a ，a ，，a ，，a ) ．其中1 2 i na (i 1，2，，n) 称为数组A 的“元”，S 称为A 的下标．如果数组S 中的每个“元”都是来自数组A 中不同i下标的“元”，则称A (a ，a ，，a ) 为B (b ，b ， b ) 的子数组．定义两个数组A (a ，a ，，1 2 n 1 2 n 1 2a ) n ，，，，b 的关系数为．B (b b ) C(A,B) a b a b ab1 2 n 1 1 2 2 n n1 1（Ⅰ）若A (, ) ，B (1，1，2，3) ，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求C(A,S) 的最大值；2 23 3 3（Ⅱ）若，，，，，且，为的含有三个“元”的子数组，求A ( , , )B (0 a b c) a2 b2 c2 1 S B C(A,S)3 3 3的最大值．5．（2011•东城区二模）在单调递增数列{a }中，a ，不等式n a …na 对任意n N* 都成立．1 2 ( 1)n n 2n（Ⅰ）求a 的取值范围；2（Ⅱ）判断数列{a }能否为等比数列？说明理由；n1 1b c（Ⅲ）设(1 1)(1 ) (1 ) ，c ，求证：对任意的n N* ，… 0 ．b 6(1 1 )n n n n n nn2 2 2 a 122 a a4 2 6．（2011•昌平区二模）已知数列{a }满足a ，且对任意n N* ，都有n n ．n 1n 1 n 15a a 21（Ⅰ）求证：数列{ } 为等差数列；an第1页（共9页）（Ⅱ）试问数列{a }中* 是否仍是 a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理a g a 1(k N ) { }n k k n由．2 1（Ⅲ）令b ( 5) ，证明：对任意n N *，都有不等式 2 b 2 成立．bnn n3 an17．（2010 秋•延庆县期中）已知数列{a }满足a a,a ．n 1 n 12 an（Ⅰ）依次计算a ，a ，a ，a ；2 3 4 5（Ⅱ）猜想a 的表达式，并用数学归纳法进行证明．n第2页（共9页）平均值不等式（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共1 小题）1．（2007•北京）如果正数a ，b ，c ，d 满足a b cd 4 ，那么 ( )A．ab…c d 且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B．ab…c d 且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C．且等号成立时，，，的取值不唯一ab…c d a b c dD．且等号成立时，，，的取值不唯一ab…c d a b c d【分析】根据均值不等式分别有： 2 ；；则，，，满足，进而可得a b…abc d… 2 cd a b c d a b cd 42 ab…a b cd…(c d)24化简即得．当且仅当a b c d 2 时取等号．【解答】解：如果，是正数，则根据均值不等式有：，则a b a b… 2 ab (a b)2… 4ab如果，是正数，则根据均值不等式有：；则cdc d c d… 2 cd …(cd)24Q b c d a b cd 4 a ，，，满足，2 ab…a b cd…(c d)24当且仅当a b c d 2 时取等号．化简即为：且等号成立时，，，的取值唯一．ab…c d a b c d故选：A ．【点评】要熟练使用均值不等式，能正用、逆用，而且还要会变用．使用时还要特别注意等号成立的条件．二．填空题（共1 小题）2．（2014 秋•西城区期末）已知函数f (x) 的定义域为D ．若对于任意的x D ，存在唯一的x D ，使得1 2f (x )g f (x ) M f (x) D M g(x ) 3x 1(x[0 1]) g(x)成立，则称函数在上的几何平均数为．已知函数，，则在1 2区间[0 ，1]上的几何平均数为2．【分析】我们易得若函数在区间D 上单调递增，则C 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由g(x) x D [0 1]，，，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数g(x) 在D 上的几何平均数为C 的定义，第3页（共9页）结合在区间，单调递增g(x ) 3x 1 [0 1]则时，存在唯一的与之对应，x 1 0 2 1x C 1 4 2故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C 等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．三．解答题（共5 小题）3．（2017 春•海淀区校级期末）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）【分析】类比二元均值不等式得出三元均值不等式，利用作差法证明．a b c【解答】解：若0 ，，，则…abc （当且仅当a b c 时取等号）．a b 0 c 0 33证明：令，，，则，x a y 3 b z 3 c xyz 3 abc3x 3 y 3 z 3 3xyz (x y)3 3x2 y 3xy 2 z 3 3xyz(x y ) z 3x y 3xy 3xyz3 3 2 2(x y z)[(x y ) z(x y ) z ] 3xy(x y z)2 2(x y z)(x 2 y 2 z 2 2xy xz yz 3xy)1(x y z)(2x 2y 2z 2xy 2xz 2yz)2 2 22，1(x y z)[(x y ) (y z ) (xz) ] 02 2 22x y z …xyz x y z3 3 3 3 ，当且仅当时取等号．即，当且仅当时取等号．a b c… 33 abc a b ca bc．a b c…33【点评】本题考查了不等式的证明，将多项式因式分解是难点，属于难题．4．（2013•东城区一模）设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：A (a ，a ，，a ，，a ) ．其中1 2 i na (i 1，2，，n) 称为数组A 的“元”，S 称为A 的下标．如果数组S 中的每个“元”都是来自数组A 中不同i下标的“元”，则称，，，为，，的子数组．定义两个数组，，，A (a a a )B (b b b ) A (a a1 2 n 1 2 n 1 2a ) n ，B (b ，b ，，b ) 的关系数为C(A,B) a b a b ab ．1 2 n 1 1 2 2 n n1 1（Ⅰ）若A (, ) ，B (1，1，2，3) ，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求C(A,S) 的最大值；2 2第4页（共9页）3 3 3（Ⅱ）若，，，，，且，为的含有三个“元”的子数组，求A ( , , )B (0 a b c) a2 b2 c2 1 S B C(A,S)3 3 3的最大值．【分析】（Ⅰ）依据题意中“元”的含义，可知当S (1, 3) 时，C(A,S) 取得最大值为 2．（Ⅱ）对 0 是不是S 中的“元”进行分类讨论：①当 0 是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，3b ，c 三个“元”的对称性，利用平均值不等式计算C(A,S) (a b) 的最大值，②当 0 不是S 中的“元”时，33只须计算C(A,S) (a b c) 的最大值即可，最后综上即可得出C(A,S) 的最大值．3【解答】解：（Ⅰ）依据题意，当S (1, 3) 时，C(A,S) 取得最大值为 2．（Ⅱ）①当 0 是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，b ，c 三个“元”的对称性，可以只计算3C(A,S) (a b) a2 b2 c2 1的最大值，其中．3由，(a b)2 a2 b2 2ab… 2(a2 b2 )…2(a2 b2 c2 ) 2得．2...a b (2)2当且仅当0 ，且时，达到最大值，c a b a b 223 6C(A,S) (a b)3 3于是．3②当 0 不是S 中的“元”时，计算C(A,S) (a b c) 的最大值，3由于，a2 b2 c2 1所以，(a b c) a b c 2ab 2ac 2bc… 3(a b c ) 32 2 2 2 2 2 2当且仅当a b c 时，等号成立．3 3即当a b c 时，a b c 取得最大值 3 ，此时C(A,S) (a b c) 1．3 3综上所述，C(A,S) 的最大值为 1．【点评】本小题主要考查排序不等式及应用、平均值不等式在函数极值中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．5．（2011•东城区二模）在单调递增数列中， 1 2 ，不等式对任意都成立．{a } a n a …na n N*( 1)n n 2n（Ⅰ）求a 的取值范围；2（Ⅱ）判断数列{a }能否为等比数列？说明理由；n第5页（共9页）1 1b c（Ⅲ）设(1 1)(1 ) (1 ) ，c ，求证：对任意的n N* ，… 0 ．b 6(1 1 )n nn n n nn2 2 2 a 12【分析】（Ⅰ）根据为单调递增数列， 1 2 ，在不等式中令即可求a 的取值范围；{a } ( 1)a n a …na n 1n n 2n 2（Ⅱ）可用反证法证明：假设数列{ }是公比为的等比数列，可得根据 a 为单调递增数列，可求得a q a 2q n 1 { }n n nq 1 n N ，由 ( 1) 对任意都成立，利用等比数列的性质可得q ①，因为，所以，n a …na n N* 1 1…n q 1* n 2n 0n使得当时，，从而，与…矛盾，于是可判断数列{a }不能为等比数列；n…n q n 2 1 1 2 1 1 20 nn nb c（Ⅲ）对于… 0 的分子部分，可根据b c ，结合已知条件，求得b ，c ；b ，c 通过比较两者的大小，n n 1 1 3a 122 23 3n猜想．然后用数学归纳法予以证明；对于其分母，可结合条件证明a ，从而是问题得到解决．b …ð12n n n【解答】解：（Ⅰ）Q{a }是单调递增数列，na a2 1 ， 2 2 ．a令n 1， 2a …a ，a …，2 41 2a2 (2 4]，．（4 分）（Ⅱ）证明：数列{a }不能为等比数列．n用反证法证明：假设数列{a }是公比为q 的等比数列， 1 2 0 ，．a a2q n 1 n n因为{a }单调递增，所以q 1．n因为n N ， (n 1)a …na 都成立．*n 2n所以，①n N 1 1*…q nn因为1，所以，使得当n…n 时，q n 2 ．q n N*0 01因为1 2(n N ) ．…*n1所以n N ，当时，，与①矛盾，故假设不成立．（9 分）*n…n q n10 0n15 9 135 21（Ⅲ）证明：观察： 1 1 3 ，，，，猜想：．b c b c b c b …ð2 23 3 n n4 2 32 4用数学归纳法证明：（1）当时， 1 3 1 3成立；n 1 b …c（2）假设当n k 时，b …c 成立；k k第6页（共9页）当时，n k 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1b b …c c(1 ) (1 ) 6(1 )(1 ) 6(1 ) 6(1 ) 6(1 )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k 1 k 2k 1 k 1 2k 1 k 1 k 1所以．b …ck 1 k 1根据（1）（2）可知，对任意n N ，都有，即b ð…．* b …ð0n n n n1由已知得，a … (1)a ．2n nn1 1 1所以a (1)a (1)(1)(11)a ．………n n 1 n n 12 2 21 12 21所以当时，a … 2b …2c 12(1) 12 ．n (2)2n n n n1 1 12因为a2 a4 12 ．所以对任意， 2 12 ．n N a*n对任意，存在，使得，n N* m N* n 2m因为数列{a }单调递增，n所以，．a a2 12 a 12 0n nm因为b ð… 0 ，n nb c所以．（14 分）n n 0a 12n【点评】本题考查反证法与放缩法，数学归纳法及数列与不等式的综合，难点在于（Ⅱ）反证法的使用与（Ⅲ）中b cn n … 0 需分别从分子与分母两处着手，用数学归纳法证明b …ð，用放缩法证明a 12 0 ，属于难题．a 12n n nn2a 4a 26．（2011•昌平区二模）已知数列{a }满足，且对任意，都有．a n N* n nn15 a a 2n 1 n 11（Ⅰ）求证：数列{ } 为等差数列；an（Ⅱ）试问数列中a g a 1(k N ) 是否仍是{a }中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理{a } *n k k n由．2 1（Ⅲ）令，证明：对任意，都有不等式 b 成立．b ( 5) n N * 2 2bnn n3 an【分析】（Ⅰ）条件可变形为a a 1 2a 4a a 1 2a 1 ，整理得 2a 2a 3a a ，两边同除以a a ，可得n n n n n n n n 1 n n 1 n n 11 1 3 5 3{ 1 }，从而可得数列是以为首项，公差为的等差数列．a a2 a 2 2n 1 n n1 1 3n 22(II) 由（Ⅰ）可得数列{ } 的通项公式为，所以 a ，从而可得a a 2 3n 2nn n第7页（共9页）2 2 4 2 k k3 7 22a a．只需证明是正整数即可．k k 1 2 23k 2 3(k 1) 2 9k 21k 10 3k 7k 2 2g3 222 2 1 2 3n 2（Ⅲ）由 (II) 知：a ，b ( 5) ( 5) n 4 ．下面用数学归纳法证明：对任意2n 4(n 4)2 n n3n 2 3 a 3 2nn N n k(k N*) 2k 4 (k 4)2 n k 1 *都成立．对于当时，有，当时，2 k 2g2k 2(k 4) 2k 16k 32 (k 5) k 6k7 (k 5)( 1) 4 4 2 2 2 2 2，从而可证．【解答】解：（Ⅰ）Qa 4a2n n a a2 n 1 n 1a a 1 2a 4a a 12a 1n n n n n n，即 2a 2a 3a a ，n n 1 n n 1所以1 1 3a a 2n 1 n1 5 3所以数列{ } 是以为首项，公差为的等差数列．a 2 2n1 21 3n 2(II) { }由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以aa a 2 3n 2nn n2 2 4 2a ak k 1 2 23k 2 3(k 1) 2 9k 21k 10 3k 7k 2k k 1 2 2g3 22．因为3k 7k 2 k(k 1) 2k 3k 122 2k k 3k2 7k 2当时，一定是正整数，所以是正整数．k N ( 1)*2 23k 7k 22所以a a 是数列{a }中的项，是第项．k k 1 n22 2 1 2 3n 2（Ⅲ）证明：由 (II) 知：a ，b ( 5) ( 5) n 4 ．nn3n 2 3 a 3 2n下面用数学归纳法证明：对任意都成立．2n 4 (n 4)2 n N *（1）当1时，显然，不等式成立．n 25 52（2）假设当( ) 时，有，n k k N* 2k 4 (k 4)2当1时，n k 2(k 1) 4 2g2k 4 2(k 4)2 2k2 16k 32 (k 5)2 k2 6k 7 (k 5)2即有：n也成立．2 bb1 2n 1综合知：对任意，都有不等式成立．(i)(ii) n N* 2b 2bnn【点评】本题以数列递推式为载体，考查等差数列的定义，考查不等式的证明，解题的关键是正确利用递推式求通项，掌握数学归纳法的证题步骤．第8页（共9页）17．（2010 秋•延庆县期中）已知数列{a }满足a a,a ．n 1 n 12 an（Ⅰ）依次计算a ，a ，a ，a ；2 3 4 5（Ⅱ）猜想a 的表达式，并用数学归纳法进行证明．n1【分析】(I) 由已知条件，在中分别令n 1，2，3，4，求出a ，a ，a ，a ．即可．a a,a1 n 12 3 45 2 an(n 1) (n 2)a(II) 由（1）猜想数列{ }的通项公式：，检验n 1时等式成立，假设n k(k…1) 时命题成立，a an nn (n 1)a证明当n k 1时命题也成立．【解答】解： (I) 分别令n 1，2，3，4，得：a 212 a1 12 a，a，3 12 23 2a a22 aa 41 1 3 2a2 a 2 4 3a2 a33 2aa 51 1 43a2 a 2 54a3 2a44 3a．(II) 由此，猜想an(n 1) (n 2)an (n 1)a下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：（1）当n 1时，显然结论成立（2）假设当n k(k…1) 时，结论成立，即ak (k 1) (k 2)ak (k 1)a1 1 k (k 1)a那么a ，k 12 2 1a k kak 1 (k 2)akk (k 1)a也就是说，当n k 1时结论成立．根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n 都成立，即an (n 1) (n 2)an (n 1)a【点评】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n k 1时务必用上假设．第9页（共9页）。

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ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则时,22S xy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为。

2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。

例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 例3：已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．例4：已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．（类似例5）二、转化题型1.和积共存的等式，求解和或积的最值。

例5：（2010年高考重庆卷第7题）已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是（） A. 3 B. 4 C.92 D. 1122.分式型函数（二次一次二次、、一次二次二次）求解最值。

例6：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是_________。

例7：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（）(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+三、解决恒成立问题例8：若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．变式训练：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．◆课后强化一、选择题。

1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋ab≥－2 C.b a ＋ab ≤－2 D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥22．[2011·重庆卷] 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．43．对一切正数m ，不等式n <4m＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，42)C ．(42，＋∞)D ．[42，＋∞) 4．[2011·陕西卷] 设0<a 0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．设a 、b 、c 都是正数，那么a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a三个数( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于27．若x 、y 、z 均为正实数，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z2的最大值是( )A.22B. 2 C ．2 2 D ．23 8．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－49．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝4，则5x ＋5y 的最小值是( ) A ．9 B ．25 C ．50 D ．16210．若log 2x ＋log 2y ＝82log ，则3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．4 6D ．86二、填空题。

1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．2.（2010年高考山东卷第14题）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是。

3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知t o >,则函数2t 41t y t-+=的最小值为4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是。

（变式：求2x +y 的最小值为______）5．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y ＝x ＋4x (x >0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sin x ＋4sin x .6．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．7．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．三、解答题。

1．(13分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.2．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；(2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明．5．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 对边为a 、b 、c ，且53cos =C ，206522=-+ab b a ）（（1）求C ；（2）当三角形ABC 面积最大时，求sin A 。

答案◆课前热身（略） ◆考点剖析例1.解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy +≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，13xy，3.xy ∴≤，故xy 的最大值位3.例2.解：()211a ab a a b ++-＝211()a ab ab ab a a b -+++- ＝11()()ab a a b ab a a b ++-+-≥2＋2＝4 当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a 2,b 2满足条件。

故选择答案D例3. 1/5 例4.18例5.解：因为x >0，y >0，所以2228)2(82⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422≥-+++y x y x即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 等号当且仅当22x y ==时成立，故选择答案B 。

例6.解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则 222(3)1133(1)(1)x S x x x -==-⋅+⋅⋅- 令22(3)()(01)1x f x x x -=<<-，则22269610()111x x x f x x x -+-+==--- 令35,(25)t x t =-+<<，则22261021818516110161()()103x t t t x t t t t -+===---+---++ 因为25t <<，所以16168t t t t+≥⋅=，等号当且仅当t=4，即13x =时成立。

所以16t t+最小值为8 故2269()1x x f x x -+=-的最小值为8，S 323。

sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，令21,0t x t =+>，则22(1)(1)32233t t t t y t t t t----+===+-≥等号当且仅当2t t=，即t =时成立。

故min ()3PA PB •=-+.此时x =，选择答案D 。

例8.51≥a 变式：10 ◆课后强化一、选择题。

1.D2.C3.B4.B5.C6.C7.A8.C 二、填空。

1.P<Q<R 2.51≥a 3.-2 4.18 5.①③ 6.3 三、解答题。

1.[解答] (1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0，得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4，故x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.2．[解答] (1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .①又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2(y ＞0)，∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，例5图当且仅当x2＝4x2，即x＝2时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝ 2.如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋4x2，可知函数f(x)在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5，∴y max＝5－2＝ 3.即DE为AB边中线或AC边中线时，DE最长．。

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