高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
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高考：均值不等式专题
◆知识梳理
1．常见基本不等式
2
,0,
a R a ∈≥0
a ≥222
()22
a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则 b b m a a m +<
+； 若a,b 同号且a>b 则11
a b <。
ab b a R b a 2,,2
2≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈
2．均值不等式:
两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭,
ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+
≥由
（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值
（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22
S xy 积有最大值（）
4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。 ◆课前热身
1. 已知,x y R +
∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则
41
x y
+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22
x y x y
+-的最小值是 .
4. 4. 已知下列四个结论
①当2
lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；
③x x x 1,2+
≥时当的最小值为2；④当x
x x 1
,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为
◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +
∈，且满足
134
x y
+=，则xy 的最大值为 。
2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。
例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设0a b ＞＞，则()
2
11
a a
b a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 例3：已知0＜x ＜2
5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．
例4： 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 ．（类似例5）
二、转化题型
1.和积共存的等式，求解和或积的最值。
例5：（2010年高考重庆卷第7题）已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C.
92 D. 112
2.分式型函数（
二次一次二次
、、一次二次二次
）求解最值。 例6：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，
其中一块是梯形，记S=
梯形的面积
梯形的周长）
2
(,则S 的最小值是_________。 例7：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（ ）
(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+
三、解决恒成立问题
例8：若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
变式训练：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．
◆课后强化 一、选择题。
1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋a
b
≥－2 C.b a ＋a
b ≤－2 D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2
2．[2011·重庆卷] 若函数f (x )＝x ＋1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )
A ．1＋ 2
B ．1＋ 3
C ．3
D ．4
3．对一切正数m ，不等式n <4
m
＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，42)
C ．(42，＋∞)