两角和与差的三角函数

§1 两角和与差的三角函数

知识梳理

1.两角和与差的余弦公式

（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.

（2）理解和记忆：

①上述公式中的α、β都是任意角.

②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a ±β)≠cos α±cos β.

③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=2

1. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.

⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.

2.两角和与差的正弦公式

（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.

（2）理解和记忆：

①上面公式中的α、β均为任意角.

②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.

③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2

π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.

⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.

3.两角和与差的正切

（1）公式：tan(α+β)=

βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=β

αβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：

①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2

π，以上k ∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.

②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.

③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β.

知识导学

要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.

难疑突破

1.形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab ≠0)的最值是什么？

剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.

当x=2k π+2π (k ∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2

π (k ∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k ∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k ∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.

求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab ≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值. 例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x ∈R 的最值.

可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(2

1sinx-23cosx) =4(sinxcos

3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3

π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.

很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.

下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab ≠0)，x ∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a

+sinx+22b a b +cosx)，

∵(22b a a

+)2+(2

2b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,

则tan θ=a

b （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).

∴当x ∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +. 特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6

π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab ≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.

例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(8

1,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+

4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4

π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-8

1,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C

3.2 两角和与差的三角函数

课堂导学

三点剖析

1.两角和与差的三角函数公式的简单运用