比例线段课件ppt
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1.请问大热天开空调应调在什么温度最佳？ 2.人体下半身(即脚底到肚脐的长度)与身高的比 越接近0.618越给人以美感,遗憾的是即使是身材 修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身 高1.68米,下半身1.02米,她应选择多高的高跟鞋 看起来更美丽?
解:设她应选择高跟鞋的高为x米,由 题意得,
解这个方程得, x≈0.048
A
C
B
（1）如图,若线段AB=6 ,C为线段AB的黄
金分割点(AC＞BC),则AC=
线段AB上只有一个黄金分割点C吗?
A
D C
B
答:一条线段有两个黄金分割点,它们关于线 段的中点对称,因此,它还有一个黄金分割点 D.
答:人体正常体温的平均值为36.5℃,因此 36.5×0.618=22.557 所以,大热天开空调应定在22 ℃ ～23 ℃较为适宜.
BD FH
L1 L2
L4
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线
D
（2）
H
截两条直线所得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
强化“对应“两字理解和记忆如图（2）
AB EF 左上 右上 ( ) BD FH 左下 右下
BD FH 左下 右下 ( ) AB EF 左上 右上
如何来求
AP AB
的值呢？
Ｐ x0
x 5 1 a 2
设ＡＢ＝a,
AP=x
Ｂ
Ａ BP AP AP AB AP2 BP AB ( AB AP) AB
x 2 ( a x) a x 2 ax a 2 o
1 5 x1 a 2
5 5
C E
练习二: (A组)
1、如图: 已知 DE∥BC, D AB = 14, AC = 18 ， AE = 10， B 求：AD的长。 A (B组) 2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。 BC AC ＝ —— 求证：—— EC DC
E
C
C
D
E
达标检测题: (A组)
A
E B F
L1 L2 L3
C (3)
注：“对应线段”是指一条直线被两条平
行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线 截得 的线段成对应线段。 “对应线段成比例”是指同一条直线上 的两条线段的比等于与他们 对应的另一条直线 上的两条线段的比
练习：
如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段. l1
L4 L5 A B C D E
L1
L2
F
L3
L4 L5 L1
L2 L3
L5L4
L1
L2
L3
L5 L4 L1
L2 L3
L5
L4
L1 L2 L3
L5
A
D
L4 L1
E
L2
C
B
L3
数学符号语言
DE // BC
A
D E
AD = AE AB AC
B
C
L4 L5 A B D E L1
L2 F L3
AD ＝ —— AE （推论） ∴ —— B AB AC
C
练习一: 1、判断题:
A
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确 AD ＝ —— AE ( ) B: —— AD ＝ —— AE ( ) D A: —— AB AC BD CE AD ＝ —— AE ( ) D: —— AD ＝ —— AB ( ) B C: —— AC AB AE AC 如图:DE∥BC, 2 已知: — AD 求 : ＝ —— 2 5 AE AB —— ＝— —— AC 5 E C E A D
经检验, x≈0.048符合题意
答她应选择大约4.8厘米的高跟鞋看起来更美丽.
黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
思考: 一条线段有几个黄金分割点？一颗五
角星中有几个黄金分割点？
A P B A P B
邻边满足黄金分割的矩形称为黄金矩形。 腰与底边满足黄金分割的等腰三角形称为黄金三角形。（即顶角为36度的等腰三角形）
节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站 在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最 佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来 舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8 开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
应用新知 体验成功
帕 特 农 神 庙
Ａ A
Ｅ E
Ｂ B 推论１：
Ｄ D Ｆ F Ｃ C
Ａ A Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
来自百度文库
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例
观察图（1）已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 ， AB=BC=CD (1)你能推出怎样的结论？
a b A E L1 F B L2 D H L4
练一练：如图（3） L1∥L2 ∥ L3 ，试根据图形写出 （2） 成比例线段。
AB DE BC EF AC DF AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF AB DE AC DF AC DF BC EF
b
a
D
∵ L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4
AB=BC=CD ∴EF=FG=GH
A
B C D
E F
G
L1 L2 L3 L4
H
（1）
(2).计算下面各比的值,并填空
AB BC
1 = __ ,
2 =_ __, =___,
1/2
EF FG EG GH
1 =___ 可得 __=__
AB BC
EF FG
AC CD
2 可得 __=__ =___
E
F
B
C
著名画家达•芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞， 画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中 四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段AB 上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中
A F
DＤ
Ｅ
E
Ｃ
C
AF BF BF AB
B
Ａ
Ｐ
Ｂ
如图，如果点Ｐ把线段ＡＢ分成２条线段ＡＰ和ＢＰ，使 BP AP AP AB ，那么称线段ＡＢ被点Ｐ黄金分割，线段 ＡＰ与ＡＢ的比叫黄金比，点Ｐ叫线段ＡＢ的黄金分割点
A D B E C
l2 l3 l4
l1
D A B
l2
E
l3
l4
C
l5
l5
L4 L5
A B C D E L1 L2
F
L3
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. L4 L5 定理的符号语言 A D L1 B E L1//L2//L3 L2 DE C AB F L3
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
468m
A
D
欣赏之二: 蒙娜丽莎
著名画家达· 芬奇的蒙娜丽莎, 拉斐尔笔下温和、俊秀的圣像, 其漂亮的面部是矩形ABCD的 宽BC与长AB的比也是一个神 奇的数. 欣赏之后,请同学们思考: 以上图案为什么这样美丽? 它们与数学中的一种神圣的 分割和一个神奇的数有关. 同学们你知道这种神圣 的分割和神奇的数是什么吗?
拓展新知
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
BC 底BC与腰AB的长度,计算:AB CD 再计算: BC
尝试
0.618 ;
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
A
0.618 . (精确到0.001) ☆顶角为36°的等腰三角形称为
黄金三角形
E B
D
☆点D是线段AC的黄金分割点.
L5 E A B
L4 D
L1 L2 C
B
C
L3
L3
∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC ∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
推论：
A
平行于三角形一边的直线 D E 截其他两边(或两边的延长 线），所得的对应线段成 C B 比例。 推论的数学符号语言： E D A ∵ DE∥BC
AP （ 2 ）求 的值（结果保留 2个有效数字） PB
A P
B
（3）若AB=2，求PB
例５，已知线段ＡＢ＝a,用直尺和圆规作出它 的黄金分割点
D
a
Ａ
E
Ｂ
A C B
作法:
1 1.过线段AB的端点B作BD⊥AB,使BD= 2 AB
2.连结AD,在AD上截取ED=DB;
3.在AB上截取AC=AE.
∴点C就是线段AB的黄金分割点.
读一读 神奇的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度 左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁 门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山， 九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 长之比也接近0.618; 普通树叶的宽与
§22.1 比例线段
数 学 缔 造 完 美
定义：
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
a b (a : b b : c ) ， 则b就 b c
叫a,c的比例中项
a b 2 用符号语言表示为： b ac b c
欣赏之一:上海东方明珠塔
上海东方明珠电视塔高 468m,上球体到塔底的 距离约为289.2m, 289.2 与468的比值是一个神奇 的数字,这个塔的设计精 巧,外型匀称、漂亮、美 289.2m 观、大方.
AC CD
EG GH
BC BD
FG FH
1/2 =___
BC 可得 BD
__=__
E F
G L1 L2
FG FH
A B C
D
H
L3 L4
平行线分线段成比例定理 问题：若将图(1)中的直线L3擦掉得到图(2),仍使L1∥L2 ∥ L4 不
变，你能否发现在两直线a，b上截得的线段有什么关系？ 通过计算可以得到： b a BD FH AB EF AB EF E A AD EH AD EH BD FH F B AD EH 由此可得到： 等等
你能用所学 的知识解释 帕特农神庙 建筑中所蕴 含的数学道 理吗?
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按 黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方形 看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金 分割律分割整个神庙的.
黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的 几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如 古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上 海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽 与长之比也设计成0.618，在自然界中也有 很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与 0.618这个比值有关。
1 5 x2 a 2
AP AB
5 1 0.618 2
例题分析
例3.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB则下列等式 成立的是（ ） (A) AB2=AC•CB (B) CB2=AC•AB (C) AC2=CB•AB (D) AC2=AC•BC 例4.如图,点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP （1）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项
☆再作∠C的平分线,交BD于E, △CDE也是黄金三角形…… C
谈谈感受 清点收获
1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比. 5.用数学美去装点和美化生活.
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其它直线上截 得的线段也相等。
2、填空题:
B
C
例题2
解:
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
∵ DE∥BC AB ＝ —— AC （推论） ∴ —— BD CE B 15 9 即 —— ＝ —— 4 CE D 12 ∴ CE ＝ — 5 2 12 ∴ AE= AC+CE=9+ — =11—
1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 5, AC = 7 ， AD= 2， 求：AE的长。 2、已知 ∠A =∠E=60°A AB = CB = 4，—— BE
D
E
A B C B
E D
C
(B组)
2 — 3
求：BD的长。
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
谢 再 谢 见 合 作
C
L4 L5 L1
L2 L3
L5L4 L1
L2 L3
L5 L4 L1
L2 L3
L5
L4 L1
L2 L3
L5
L4 L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5 E A B
L4 D
L1
L2 C L3
数学符号语言
DE // BC
E
A B
D
AD = AE AB AC
C
L5 L4 A D E
L1 L2
解:设她应选择高跟鞋的高为x米,由 题意得,
解这个方程得, x≈0.048
A
C
B
（1）如图,若线段AB=6 ,C为线段AB的黄
金分割点(AC＞BC),则AC=
线段AB上只有一个黄金分割点C吗?
A
D C
B
答:一条线段有两个黄金分割点,它们关于线 段的中点对称,因此,它还有一个黄金分割点 D.
答:人体正常体温的平均值为36.5℃,因此 36.5×0.618=22.557 所以,大热天开空调应定在22 ℃ ～23 ℃较为适宜.
BD FH
L1 L2
L4
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线
D
（2）
H
截两条直线所得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
强化“对应“两字理解和记忆如图（2）
AB EF 左上 右上 ( ) BD FH 左下 右下
BD FH 左下 右下 ( ) AB EF 左上 右上
如何来求
AP AB
的值呢？
Ｐ x0
x 5 1 a 2
设ＡＢ＝a,
AP=x
Ｂ
Ａ BP AP AP AB AP2 BP AB ( AB AP) AB
x 2 ( a x) a x 2 ax a 2 o
1 5 x1 a 2
5 5
C E
练习二: (A组)
1、如图: 已知 DE∥BC, D AB = 14, AC = 18 ， AE = 10， B 求：AD的长。 A (B组) 2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。 BC AC ＝ —— 求证：—— EC DC
E
C
C
D
E
达标检测题: (A组)
A
E B F
L1 L2 L3
C (3)
注：“对应线段”是指一条直线被两条平
行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线 截得 的线段成对应线段。 “对应线段成比例”是指同一条直线上 的两条线段的比等于与他们 对应的另一条直线 上的两条线段的比
练习：
如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段. l1
L4 L5 A B C D E
L1
L2
F
L3
L4 L5 L1
L2 L3
L5L4
L1
L2
L3
L5 L4 L1
L2 L3
L5
L4
L1 L2 L3
L5
A
D
L4 L1
E
L2
C
B
L3
数学符号语言
DE // BC
A
D E
AD = AE AB AC
B
C
L4 L5 A B D E L1
L2 F L3
AD ＝ —— AE （推论） ∴ —— B AB AC
C
练习一: 1、判断题:
A
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确 AD ＝ —— AE ( ) B: —— AD ＝ —— AE ( ) D A: —— AB AC BD CE AD ＝ —— AE ( ) D: —— AD ＝ —— AB ( ) B C: —— AC AB AE AC 如图:DE∥BC, 2 已知: — AD 求 : ＝ —— 2 5 AE AB —— ＝— —— AC 5 E C E A D
经检验, x≈0.048符合题意
答她应选择大约4.8厘米的高跟鞋看起来更美丽.
黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
思考: 一条线段有几个黄金分割点？一颗五
角星中有几个黄金分割点？
A P B A P B
邻边满足黄金分割的矩形称为黄金矩形。 腰与底边满足黄金分割的等腰三角形称为黄金三角形。（即顶角为36度的等腰三角形）
节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站 在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最 佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来 舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8 开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
应用新知 体验成功
帕 特 农 神 庙
Ａ A
Ｅ E
Ｂ B 推论１：
Ｄ D Ｆ F Ｃ C
Ａ A Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
来自百度文库
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例
观察图（1）已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 ， AB=BC=CD (1)你能推出怎样的结论？
a b A E L1 F B L2 D H L4
练一练：如图（3） L1∥L2 ∥ L3 ，试根据图形写出 （2） 成比例线段。
AB DE BC EF AC DF AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF AB DE AC DF AC DF BC EF
b
a
D
∵ L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4
AB=BC=CD ∴EF=FG=GH
A
B C D
E F
G
L1 L2 L3 L4
H
（1）
(2).计算下面各比的值,并填空
AB BC
1 = __ ,
2 =_ __, =___,
1/2
EF FG EG GH
1 =___ 可得 __=__
AB BC
EF FG
AC CD
2 可得 __=__ =___
E
F
B
C
著名画家达•芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞， 画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中 四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段AB 上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中
A F
DＤ
Ｅ
E
Ｃ
C
AF BF BF AB
B
Ａ
Ｐ
Ｂ
如图，如果点Ｐ把线段ＡＢ分成２条线段ＡＰ和ＢＰ，使 BP AP AP AB ，那么称线段ＡＢ被点Ｐ黄金分割，线段 ＡＰ与ＡＢ的比叫黄金比，点Ｐ叫线段ＡＢ的黄金分割点
A D B E C
l2 l3 l4
l1
D A B
l2
E
l3
l4
C
l5
l5
L4 L5
A B C D E L1 L2
F
L3
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. L4 L5 定理的符号语言 A D L1 B E L1//L2//L3 L2 DE C AB F L3
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
468m
A
D
欣赏之二: 蒙娜丽莎
著名画家达· 芬奇的蒙娜丽莎, 拉斐尔笔下温和、俊秀的圣像, 其漂亮的面部是矩形ABCD的 宽BC与长AB的比也是一个神 奇的数. 欣赏之后,请同学们思考: 以上图案为什么这样美丽? 它们与数学中的一种神圣的 分割和一个神奇的数有关. 同学们你知道这种神圣 的分割和神奇的数是什么吗?
拓展新知
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
BC 底BC与腰AB的长度,计算:AB CD 再计算: BC
尝试
0.618 ;
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
A
0.618 . (精确到0.001) ☆顶角为36°的等腰三角形称为
黄金三角形
E B
D
☆点D是线段AC的黄金分割点.
L5 E A B
L4 D
L1 L2 C
B
C
L3
L3
∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC ∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
推论：
A
平行于三角形一边的直线 D E 截其他两边(或两边的延长 线），所得的对应线段成 C B 比例。 推论的数学符号语言： E D A ∵ DE∥BC
AP （ 2 ）求 的值（结果保留 2个有效数字） PB
A P
B
（3）若AB=2，求PB
例５，已知线段ＡＢ＝a,用直尺和圆规作出它 的黄金分割点
D
a
Ａ
E
Ｂ
A C B
作法:
1 1.过线段AB的端点B作BD⊥AB,使BD= 2 AB
2.连结AD,在AD上截取ED=DB;
3.在AB上截取AC=AE.
∴点C就是线段AB的黄金分割点.
读一读 神奇的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度 左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁 门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山， 九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 长之比也接近0.618; 普通树叶的宽与
§22.1 比例线段
数 学 缔 造 完 美
定义：
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
a b (a : b b : c ) ， 则b就 b c
叫a,c的比例中项
a b 2 用符号语言表示为： b ac b c
欣赏之一:上海东方明珠塔
上海东方明珠电视塔高 468m,上球体到塔底的 距离约为289.2m, 289.2 与468的比值是一个神奇 的数字,这个塔的设计精 巧,外型匀称、漂亮、美 289.2m 观、大方.
AC CD
EG GH
BC BD
FG FH
1/2 =___
BC 可得 BD
__=__
E F
G L1 L2
FG FH
A B C
D
H
L3 L4
平行线分线段成比例定理 问题：若将图(1)中的直线L3擦掉得到图(2),仍使L1∥L2 ∥ L4 不
变，你能否发现在两直线a，b上截得的线段有什么关系？ 通过计算可以得到： b a BD FH AB EF AB EF E A AD EH AD EH BD FH F B AD EH 由此可得到： 等等
你能用所学 的知识解释 帕特农神庙 建筑中所蕴 含的数学道 理吗?
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按 黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方形 看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金 分割律分割整个神庙的.
黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的 几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如 古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上 海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽 与长之比也设计成0.618，在自然界中也有 很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与 0.618这个比值有关。
1 5 x2 a 2
AP AB
5 1 0.618 2
例题分析
例3.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB则下列等式 成立的是（ ） (A) AB2=AC•CB (B) CB2=AC•AB (C) AC2=CB•AB (D) AC2=AC•BC 例4.如图,点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP （1）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项
☆再作∠C的平分线,交BD于E, △CDE也是黄金三角形…… C
谈谈感受 清点收获
1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比. 5.用数学美去装点和美化生活.
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其它直线上截 得的线段也相等。
2、填空题:
B
C
例题2
解:
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
∵ DE∥BC AB ＝ —— AC （推论） ∴ —— BD CE B 15 9 即 —— ＝ —— 4 CE D 12 ∴ CE ＝ — 5 2 12 ∴ AE= AC+CE=9+ — =11—
1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 5, AC = 7 ， AD= 2， 求：AE的长。 2、已知 ∠A =∠E=60°A AB = CB = 4，—— BE
D
E
A B C B
E D
C
(B组)
2 — 3
求：BD的长。
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
谢 再 谢 见 合 作
C
L4 L5 L1
L2 L3
L5L4 L1
L2 L3
L5 L4 L1
L2 L3
L5
L4 L1
L2 L3
L5
L4 L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5 E A B
L4 D
L1
L2 C L3
数学符号语言
DE // BC
E
A B
D
AD = AE AB AC
C
L5 L4 A D E
L1 L2