杰弗里的决策逻辑初探

杰弗里的决策逻辑初探胡毅敏杰弗里（Richard Jeffrey）（1926~）是美国著名的逻辑学家，他在决策逻辑、归纳逻辑、形式逻辑、逻辑与计算机、机遇和可能性等方面都有深入的研究。

他的专著《决策逻辑》在1965年出版，于1983和1990年两次进行了修订。

在这部著作中，他介绍了决策逻辑的发展过程，在主观贝叶斯主义框架下，用逻辑和数学的方法构建了自己独特的决策理论，并对许多问题进行了哲学上的思考。

因此，对杰弗里的决策逻辑思想的探讨是很有意义的。

一、决策过程1. 决策的一般过程决策逻辑主要研究风险型决策问题。

在风险型决策的过程中，有两个因素起着决定性的作用。

一是决策者无法控制的世界状态，二是决策者对某些行为在某个状态下可能产生的后果的主观估计。

我们用概率（probability）来描述状态出现的可能性的大小，用期望（desirability）来描述后果在决策者心目中的价值。

期望常由金钱、物品或其它事物来体现,也能用数值对它进行度量。

决策者执行哪一种行为，需要对每种行为在所有状态下的后果作全面的考虑，我们可以通过计算每个行为的估计期望（estimated desirability）值，然后进行比较和抉择。

一个行为的估计期是该行为所有后果的期望的加权和。

其中，权数为每一后果所处状态的概率。

（在国内的有关文献中常用“期望效用”描述“估计期望”）。

这样，我们可以根据贝叶斯原则，选择执行具有最大估计期望的行为。

设决策问题有n个行为：a1,a2,…a n,可能的状态有m个：b1, b2,…, b m，第j种状态发生的概率为p j(j = 1, 2,…, m)，第i个行为(i = 1, 2,…, n)在第j种状态下的期望为d ij, e i表示第i个行为的估计期望。

则e i = ∑p j d ij = p1d i1+…+p m d im，利用这个公式，可以分别求出n个行为的估计期望值，我们选择执行那个具有最大估计期望值的行为。

还可以把行为按照它们的估计期望值的由大到小顺序排序，建立行为的偏好等级。

决策的原则是：执行具有最高偏好等级的行为之一。

这个原则称为贝叶斯原则。

一般地，在同一的决策过程中，状态的概率和后果的期望都是唯一的。

2. 古典决策理论在决策过程中，如果状态的概率是唯一的，后果的期望却不相同，一般来说可能产生不同的偏好等级。

但也有特殊情况。

当后果的期望以特殊方式相联系，在概率相同的条件下，它们产生的行为的偏好等级相同。

古典决策理论的代表有蓝姆塞（F.P.Ramsey）和萨维奇（L.J.Savage）等。

在古典决策理论中，后果的期望的联系方式是：一个期望值是另一个期望值的带有正系数的线性变换。

具体地：设决策问题有n个行为：a1, a2,…, a n，可能的状态有m个：b1, b2,…, b m，第j种状态发生的概率为p j (j = 1, 2,…, m)。

第一种情况是，第i个行为(i= 1, 2,…, n)在第j种状态下的期望为d ij，e i表示第i个行为的估计期望。

第二种情况是，第i个行为(i = 1, 2,…, n)在第j种状态下的期望为D ij，E i表示第i个行为的估计期望。

这里，D ij与d ij的关系为：D ij= ad ij+b (a是正数，b是实数)，则e i= ∑p j d ij= p1d i1+…+p m d im,E i = ∑p j D ij = p1D i1+…+p m D im= p1(ad i1+b)+…+p m(ad im+b)= a(p1d i1+…+p m d im)+b(p1+…+p m)。

令b(p1+…+p m) = r，则E i = ae i+r。

因为a > 0，r为任意实数，所以，如果e k > e l，则必有E k > E l；如果e k < e l，则必有E k < E l；如果e k=e l，则必有E k= E l(k = 1, 2,…, n，l = 1, 2,…, n)。

故行为的偏好等级不会被期望值的这种变换打乱。

由此，我们看到，一个期望标准可以用另一个期望标准代替而不改变行为的偏好等级。

在一般的决策理论中，主观概率是对状态而言的，它是某个人对状态出现的一种相信程度；期望是对后果而言的，表明某个人对于后果的渴求程度。

在决策逻辑中，我们将状态、后果和行为都作为命题来处理。

用符号probA表示命题A的概率；用符号desA表示对命题A的期望，用A表示命题A的否定，用AB表示命题A与B的合取，A∨B 表示命题A与B的析取。

命题的合取和析取可以推广到两个命题以上的情况。

用T表示必然命题，用F表示不可能命题。

并且命题的概率和期望满足下面的概率公理和期望公理。

概率公理：(a) 概率是非负的：probX≥0。

(b) 概率是正常的：probT = 1。

(c) 概率是可加的：如果XY = F，则prob(X∨Y) = probX+probY。

概率的可加性说明：如果命题X，Y互不相容，则X∨Y的概率为X, Y的概率之和。

期望公理：如果probXY = 0且prob(X∨Y)≠0，则des(X∨Y) = (probXdesX+probYdesY)/(probX+probY)。

期望公理是说，不相容命题的选言命题X∨Y的期望是这两个命题的加权平均数。

这里，权数probX和probY正是这两个命题的概率。

有了期望公理，我们可以将估计期望看作为期望的运算。

用这种表示方法，上述理论可表述为：假设prob,des和PROB,DES是两对赋值，两者都代表确定的偏好等级，若对任意命题X，有：PROBX = probX，DESX=adesX+r (a为正数，r为实数)，那么，如果prob, des代表一个偏好等级，我们能选择正数a和实数r，运用上述等式得到PROB, DES，它们代表的偏好等级与prob, des代表的偏好等级一致。

在这里，概率是唯一的，期望是不唯一的，PROB, DES与prob, des 代表的偏好等级一致。

我们进一步思考，如果对任意命题X，PROBX 与probX不相等，DESX与desX也不相等，那么，在什么条件下，PROB，DES与prob,des 代表的偏好等级一致？杰弗里给出了这个问题的解答。

二、杰弗里的决策逻辑在这部分内容中，等式PROBX = probX和DESX = adesX+b的作用由更为复杂的等式执行。

在数学上的工作是由波克（E.Bolker）完成的，他提出了相等法则。

杰弗里把波克的相等法则运用于偏好理论，构建了现代意义下的贝叶斯决策逻辑。

1. 波克的相等法则假设：prob, des和PROB, DES是两对不同的赋值，它们之间的联系为：(2-1) PROBX = probX(cdesX+d)，(2-2) DESX = (adesX+b)/(cdesX+d)。

这里，a, b, c, d是任意常数。

这两对赋值能否反映同一个偏好等级呢？为了解决这个问题，先给出存在条件。

存在条件：有一对满足概率公理和期望公理的值prob和des，反映了命题的偏好等级。

则desA是大于、等于或小于desB，依赖于A的等级大于、等于或小于B的等级。

如果当旧的一对赋值prob, des满足存在条件时，我们能说明在一定的条件下，新的一对赋值PROB, DES也满足存在条件，我们就能确定它们能反映同一组命题的偏好等级。

相等法则：假设prob, des满足存在条件，等式(2-1)和(2-2)对于偏好等级中的所有X都成立，下列(2-3)也被满足，那么PROB，DES也满足存在条件。

(2-3) (a) ad-bc是正数；(b) 对于偏好等级中的每一个X，cdesX+d也是正数。

(c) cdesT+d=1相等法则表明，在讨论命题的偏好等级时，所用的概率和期望对并不是唯一的。

那么，期望的范围是什么?两个期望标准之间的关系如何直观地表示?下面，我们就这两个问题进行讨论。

2. 期望的范围由变换(2-2)，即使有DESA=desA，DESB=desB，也不能保证所有的命题在两个标准下的期望一致。

要完全一致，还需要对于任意C，都有DESC=desC。

我们把注意力集中到DES和des对于两个不同等级命题的期望相一致的情况。

设：(2-4) DEST = desT = 0，DESG = desG = 1。

这样，就为期望找到了0和单位1。

(这种选择是为了讨论方便)在(2-1)中，设X = T，有1 = 1(c·0+d)，即d = 1。

在(2-2)中，设X = T，有0 = (a·0+b)/(c·0+d)，即b = 0。

在(2-2)中，设X = G，有1 = (a·1+0)/(c·1+1)，即a = c+1。

这样，在(2-4)成立时，等式(2-3)(b)，(2-2)和(2-1)分别有如下形式：(2-5) cdesX>-1，(2-6) DESX = ((c+1)desX)/(cdesX+1)，(2-7)PROBX = (probX)(cdesX+1)，在(2-7)中，设X = G，有：(2-8) PROBG/probG = c+1 = a。

以上讨论的特殊等式，为我们探讨期望的范围作了准备。

假设desX的范围有如下4种情况：（s, i是常数）(a) -∞<desX<+∞；des既无上界，也无下界；(b) i<desX<+∞，des无上界，有下界；(c) -∞<desX<s，des有上界，无下界；(d) i<desX<s，des既有上界，又有下界。

当des既无上界也无下界时，条件(2-5)中，c = 0，这时(2-6)和(2-7)为如下形式：DESX = desX，PROBX = probX。

这时，对于任意命题X，新旧期望值与新旧概率值都各自相等。

DES = des，PROB = prob，两个标准退化为一个标准。

当des有上界，无下界时，des可取任意小的负值，则没有足够小的正数c，保证(2-5)的左边总大于右边；当des无上界有下界时，des可取任意大的正值，没有足够接近于0的负值c，保证(2-5)左边总大于右边。

因此，这两种情况不满足条件，我们把它们排除。

这样，我们仅需要考虑des既有上界，又有下界的情况。

这时，(2-5)中的c不为零。

可以通过考察c的取值范围，来得出期望的范围。

先给出最小上界和最大下界的概念：假设在偏好等级中不存在这样的命题，它的偏好等级与每一个命题的等级相同。

如果有数s，使得s>desX，没有更小的数具有这个性质，称s为des的最小上界。

类似地，有数i，使得i<desX，没有更大的数具有这一性质，称i为最大下界。