初中数学竞赛一元一次方程的解法

一元一次方程的解法

一元一次方程是最简单的方程，是进一步学习方程、不等式和函数的基础，以后所学的许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来求解的。

一、含有参变量的一次方程

含有参变量的方程求解时要进行讨论，最终可归结为方程ax=b.

(1)当a ≠0时，方程有唯一解x=b a

(2)当a=0, b=0时，解为一切实数。（3）当a=0, b ≠0时，方程无解。

例1.解关于x 的方程（mx-n ）(m+n)=0

例2.已知a, b, c 为正数，解方程3x a b x b c x c a c a b

------++=. 解略（提示:解法一：方程两边同乘以abc 。解法二：方程左边每一项减去1）

例3. m 为怎样的值时，关于x 的方程5x-2=mx-4-x 的解在2和10之间。

解略（提示：把方程化为ax=b 形式，根据条件得到不等式组，解不等式组得m 的取值范围）

例4.已知关于x, y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0. 当a每取一个值就有一个方程，而这些方程有一个公共解，请求出这个公共解，并证明对a取任何值它都能使方程成立。

二、含绝对值的一次方程

此类方程是指未知数在绝对值号内的方程。解这类方程的关键是去掉绝对值符号化为整式方程求解。去掉绝对值符号必须依据绝对值的定义或性质，将全体实数分段讨论，在不同范围内解方程。

例5求方程∣x+3︱-∣x-1∣=x+1

注：分段解题时，从小到大排列，分点x+3=0,x=-3;x-1=0,x=1称为零点，两个零点把实数轴分为三段讨论，这种方法称为零点分段法。

例6已知关于x 的方程a x =--12有三个整数解，求a 的范围。

三、含有高斯函数符号的一元方程

高斯函数[x]表示不超过x 的最大整数，如[2]=2,[3.1]=3, [5.9]=5,[-2.6]=-3,解含高斯函符号方程的基本方法是：利用定义去掉方括号符号，转化为普通方程求解。

例7. 设n 是自然数，[x]表示不超过x 的最大整数，解方程x+2[x]+3[x]+4[x]+…

+n[x]=(1+2+3+4+…+n)2

四．习题：

1.若abc=1,解方程：

11

21212=++++++++c ca cx b bc bx b ab ax (提示：化为同分母)

2.解关于x 的方程(m 2

-1)x=m2-3m+2 （提示：仿例1）

5、解方程：2222))(())((b a x b x a x b a b x a -+-=---+.

4、当k 取何值时，关于x 的方程 kx x -=+5)1(3，分别有

（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解。

5、解下列关于x 的方程：

（1）13)2(2+=--x a x a ;（2） 21323=+-

+ab x b ax ;（3）b

a x a

b x --=-2

6、已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，

求代数式m m x x m +-+)2)((199的值。

7、a 为何值时，方程)12(6

123--=+x x a x 有无数多个解？无解？

8.解关于x 的方程(ax-b)(a+b)=0

（提示：同例1）

9.解方程│x+3│-│x-1│=x+1

（提示：仿例5）

10.解方程3│x-1│-│x+1│=2│x-2│ （提示：仿例5）

＊11.已知方程│x │=ax+1有一个负根而没有正根，求a 的取值范围 （提示：仿例6，注意条件）

12.如果a,b 为定值，关于x 的方程

6

232bx x a kx -+=+无论k 为何值时，它的根总是1，求a,b 的值（提示：仿例4）

13.已知关于x 的方程(m2-1)x-m2+m+2=0,当m 取何值时方程有唯一解？无解？有无穷多个解？（提示：仿例1）

14.k 取何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解（提示：把x 用含k 的代数式表示，根据x 是正整数求解）

15、已知关于x 的方程，且a 为某些自然数时，方程

1425

825+=-x a x 的解为自然数，试求自然数a 的最小值。

16、关于x 的方程23)12(-=-x x a 无解，试求a 的值。

17、k 为何正数时，方程x kx k x k 522

2-=-的解是正数？

＊ 18.求方程│x-1│+│y-1│=1确定的直线所围成图形的面积。（需用到解析几何知识）

19.求方程312=+-x x 的不同根的个数。

20.关于x 的方程x a x a -+=1的解是1，试求a 的取值范围。若关于x 的方程x a x a -+=1的解是0，求a 的值。

21.若a>0, b<0, 求方程b a b x a x -=-+-的解集。

22.a 取何值时，方程0322=--+-y ax x 的解，满足x 、y 异号？