直线的点法式方程与一般式方程练习课
直线方程的两点式和一般式课时训练
直线方程的两点式和一般式一、选择题1．经过点A (2，－1)，B (－4,5)的直线的一般式方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝02．直线－x 2＋y3＝－1在x 轴，y 轴上的截距分别为( )A ．2,3B ．－2,3C ．－2，－3D ．2，－33．光线从A (－3,4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1,6)，则BC 所在直线的方程为( )A ．5x －2y ＋7＝0B ．2x －5y ＋7＝0C ．5x ＋2y －7＝0D ．2x ＋5y －7＝04．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍， 则( )A ．a ＝3，b ＝1B ．a ＝3，b ＝－1C ．a ＝－3，b ＝1D ．a ＝－3，b ＝－15．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图像只可能是( )二、填空题(每小题5分，共15分)6．如果A ²C <0，且B ²C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 7．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________.8．若直线l 经过点P (1,2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．三、解答题9．已知▱ABCD 的顶点A (1,2)，B (2，－1)，C (3，－3)，求直线BD 的方程．10．若直线经过点A (1,4)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求直线的方程． [提高题]11．已知直线经过A (a,0)，B (0，b )和C (1,3)三个点，且a ，b 均为正整数，则此直线方程为( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋y －4＝0C ．x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝0D ．无法确定12．直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的取值范围是________．13．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．14．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解析】1.解析：因为直线过A (2，－1)，B (－4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为y － －1 5－ －1 ＝x －2－4－2，化为一般式得x ＋y －1＝0.答案：D2.解析：由－x 2＋y 3＝－1得x 2＋y－3＝1，则在x 轴，y 轴上的截距分别为2，－3.答案：D3.解析：点A (－3,4)关于x 轴的对称点A ′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为x － －3 1－ －3 ＝y － －46－ －4，即5x －2y ＋7＝0.答案：A4.解析：直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为1b＝－1，解得b ＝－1，又因为3x －y －3＝0的倾斜角为60°，所以直线ax ＋by －1＝0的倾斜角为120°，从而可得斜率k ＝－3＝－a b，解得a ＝－3，故选D.答案：D5.解析：因为ab ≠0，则①当a >0，b >0时，其图像可能为：此时没有符合的．②当a >0，b <0时，其图像可能为：因此B 符合．③当a <0，b >0时，其图像可能为：没有符合的．④当a <0，b <0时，其图像可能为： 也没有符合的． 综上，选B. 答案：B6．解析：由题意知A ²B ²C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －C B.∵A ²C <0，B ²C <0，∴A ²B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限． 答案：三7．解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，则k ＝1.所以－2a 2－7a ＋3a 2－9＝1，解得a ＝－23或3. 当a ＝3时，2a 2－7a ＋3与a 2－9同时为0，所以应舍去，所以a ＝－23.答案：－238．解析：直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距等于3，即直线l 经过点M (0,3)，则直线l 的斜率k ＝3－20－1＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．解析：因为平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点M 为AC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，直线BM 的方程为x ＝2， 即直线BD 的方程为x －2＝0.10．解析：当直线经过坐标原点时，直线在x 轴、y 轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y ＝kx ，又直线经过点A (1,4)，所以4＝k ，即方程为y ＝4x ；当直线不经过坐标原点时，设其方程为x 2a ＋ya ＝1，又直线经过点A (1,4)，所以12a ＋4a ＝1，解得a ＝92，此时直线方程为x 9＋y92＝1，即x ＋2y －9＝0.故所求直线方程为y ＝4x 或x ＋2y －9＝0.x y因为直线过C (1,3)， 则1a ＋3b＝1.又因为a ，b 为正整数，所以a ＝4，b ＝4时适合题意，a ＝2，b ＝6时适合题意， 此时，方程为x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝0. 答案：C12．解析：由已知得k ≠0， 令x ＝0，y ＝k ，令y ＝0，x ＝－2k ， 则与两坐标轴围成的面积12|k |²|－2k |≤1，即k 2≤1， 所以－1≤k ≤1. 综上，k 的取值范围是． 答案：13．解析：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ， 则有S ＝12|a ²b |＝1，∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1，∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b＝1，即b ＝2a a ＋2， ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y－2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.14．解析：(1)存在．设直线方程为x ＋y＝1(a >0，b >0)，由题意可知a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.①又因为直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，所以43a ＋2b＝1，②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)存在．设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，43a ＋2b＝1，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 4＋y3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.。
直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT教学课件
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点 和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。 问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l n ,
写出直线 l 的方程. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(x, y) ，由直线垂直于非零向量 n ，故 PQ n 。根据 PQ n 的充要条件知 PQ n 0 ，即： a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ⑤； 反之，若 (x1, y1) 为方程⑤的任意一解，即 a(x1 x0 ) b( y1 y0 ) 0 ，记 (x1, y1) 为 坐标的点为 Q1 ，可知 PQ1 n ，即 Q1 在直线 l 上。综上，根据直线方程的 定义知，方程⑤是直线 l 的方程，直线 l 是方程⑤的直线。我们把方程 ⑤叫做直线l 的点法向式方程。
3:扩张特点：组织商业公司，以印度和北美作为 扩张重点
4:扩张简况(17世纪初开始) 印度：在西、东海岸建立殖民地 北美：沿大西洋沿岸建立殖民地
英国对印度的侵略
英法在北美殖民地
争夺殖民地的斗争
• 英荷：三次英荷战争，英国夺得新尼德 兰，荷兰丧失海上强国地位
• 英法：在欧、亚、美 争霸，通过七年 战争，英国夺得印度和北美大 片土 地
（2）求过点 B(3, 4) 且垂直于直线 l2 : 3x 7 y 6 0 的直线方程。 例 3 能否把直线方程 2x 3y 5 0化为点方向式方程？点法向式方程？若能， 它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察 x、y 的系数与方向向 量和法向量有什么联系？ 变式：直线 ax by c 0 的方向向量可以表示为？
直线的点法式方程与一般式方程练习课
2、求直线4x-y=8与坐标轴围成的三角形 的面积。
拓展提高：
3、已知三角形ABC顶点A(-3,0)，B(2,1)， C(-2,3). 求（1）BC边所在直线方程；
（2） BC边上与直线3x-2y+5=0的法向量相同， 且过点（-1，2），求直线l的方程。 5、在同一直角坐标系中画出以下三条直线， 并观察直线间的位置关系： l1:x+2y-2=0; l2: x+2y+2=0; l3:2x-y-4=0;
巩固练习：
4、求过点A(-2,0)，且斜率k=2的直线方程 5、求斜率k=-2,且在y轴上的截距为-1的直 线方程 6、已知点A(3,-2),B(-3,4)，求（1）直线 AB的方程，（2）线段AB的垂直平分线的方 程。
拓展提高：
1、若三点A(2,3)，B(a,4)，C(8,a)在同一条 直线上，求a的值。
温故知新：
形式 点向式 点斜式 斜截式 点法式 一般式 条件
过点p0(x0,y0),v=(v1,v2) 过点p0(x0,y0),斜率为k 斜率为k,在y轴上的截距为b 过点p0(x0,y0),n=(A,B) 所有直线
方程
v2(x-x0)-v1(y-y0)=0
y-y0= k(x-x0) y= kx+b
分析：直线3x-2y+5=0的法向量可以直接由方程得出， n=(3,-2)，由法向量可以得出直线的方向向量，通过方 向向量可以求出斜率。（也可以把方程化为斜截式直接 找出斜率）直线3x-2y+5=0的斜率也就是直线l的斜率， 利用斜截式，带入斜率和点（1，-1），即可求方程。
例题解析：
例题3：已知直线l：Ax+By+C=0如图所示，则（ ）
高中数学 第二章 解析几何初步 1.2.2 直线方程的两点式和一般式练习(含解析)北师大版必修2-北
第二课时 直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称 两点式 截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________． 答案：3知识点一 直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二 直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四 直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一 将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围． 解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1， 得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识 直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3， 整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足． 所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。
部编版2020学年高中数学第三章3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案含解析新人教A版必修0
3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程直线的一般式方程两点式、截距式[提出问题]某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？提示：可以确定．问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距．问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1．要注意方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[提出问题] 观察下列直线方程： 直线l 1：y －2＝3(x －1)； 直线l 2：y ＝3x ＋2；直线l 3：y －23－2＝x －14－1；直线l 4：x 4＋y3＝1.问题1：上述直线方程的形式分别是什么？ 提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0的形式吗？ 提示：能．问题3：二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都能表示直线吗？ 提示：能． [导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. (2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为y －－10－－1＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0. [类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．已知直线经过点A (－3，－1)和点B (3,7)，则它在y 轴上的截距是________． 答案：32．若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案：－2直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程． [解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2， 所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x－1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1， 即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.直线方程的一般式应用[例3] (1)120平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0，①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，l 1⊥l 2， ①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，l 1⊥l 2. 法二：由l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用](1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x . 当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1①.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a |＝|b |②.由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2. 综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x ＋y ＝6或x －y ＝2.[多维探究] 1．截距相等问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋ya＝1，又过A (4,2)， ∴a ＝6，∴方程为x ＋y －6＝0.综上，直线方程为y ＝12x 或x ＋y －6＝0.2．截距和为零问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a －y a＝1.又过A (4,2)， ∴4－2a＝1，即a ＝2，∴x －y ＝2.综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x －y ＝2.3．截距成倍数问题求过点A (4,2)且在x 轴上截距是在y 轴上截距的3倍，求直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x 3a ＋y a ＝1，又直线过A (4,2)，所以43a ＋2a＝1，解得a ＝103，方程为x ＋3y －10＝0.综上，所求直线方程为y ＝12x 或x ＋3y －10＝0.4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程． 解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0. [方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7答案：B2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5答案：B3．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．答案：x－y＋3＝04．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．答案：2x－y＋1＝05．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．解：直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0，直线AC的方程为5x－2y－10＝0.[课时达标检测]一、选择题1．平面直角坐标系中，直线x＋3y＋2＝0的斜率为( )A.33B．－33C. 3 D．－ 3答案：B2．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12ab B.12|ab|C.12abD.12|ab|答案：D3．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( )A．若c＞0，则a＞0，b＞0B．若c＞0，则a<0，b＞0C．若c＜0，则a>0，b<0D．若c<0，则a>0，b＞0答案：D4．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，点P (x 0，y 0)在l 上，则l 的方程可化为( )A ．A (x ＋x 0)＋B (y ＋y 0)＋C ＝0B ．A (x ＋x 0)＋B (y ＋y 0)＝0C ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0D ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0答案：D5．若直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A.12B.12或0 C ．0D ．－2 答案：A二、填空题6．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.答案：1或－37．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．答案：3或－38．过点P (2，－1)，在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线方程为____________．答案：x ＋3y ＋1＝0或x ＋2y ＝0三、解答题9．已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝－3.∴点C 的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知，点M ，N 的坐标分别为M 0，－12，N 52，0， 由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，不符合题意； 当a ≠－1时，直线l 在x 轴上的截距为a －2a ＋1，在y 轴上的截距为a －2，因为l 在两坐标轴上的截距相等，所以a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝2或a ＝0， 所以直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0，解得a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．。
高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演
"【世纪金榜】高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.直线ax+by-ab=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是( )（A）a+b （B）|a|+|b|（C）|a+b| （D）只能恒为正数2.直线l过点A（-1，-1）和B（2，5），且点C（1 005，b）也在直线l上，则b的值为( )（A）2 008 （B）2 009 （C）2 010 （D）2 0113.(2012·九江高一检测）已知直线l过点（2，1），且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为( )（A）x-y-1=0（B）x+y-3=0或x-2y=0（C）x-y-1=0或x-2y=0（D）x+y-3=0或x-y-1=04.过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题）如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行，则m=_________.6.（2012·合肥高一检测)已知直线l与直线3x+4y-7=0斜率相同，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时，与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时，只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时，是x轴；（5）设P(x0，y0)为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.8.求过定点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【挑战能力】（10分）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？答案解析 1.【解析】选A.把直线ax+by-ab=0(ab ≠0)化成截距式得x y b a +=1，在两坐标轴上的截距之和为a+b. 2.【解析】选D.方法一：由题意可知k AB =k AC .∴,----=----51b 121 1 0051（）（）（）（）∴b=2 011.方法二：由两点式得，直线l 的方程为,y 5x 21512--=----即y=2x+1. 又点C （1 005，b ）在l 上，∴b=2×1 005+1=2 011.3.【解析】选C.当直线过原点时，直线l 的方程为x-2y=0；当直线不过原点时，设其方程为x y a a-=1,即x-y=a, 又过点（2，1），可解得a=1,故方程为x-y-1=0.4.【解题指南】本题中a ∈N *,b ∈N *是解决问题的关键，利用它可缩小a,b 的范围.【解析】选B.由题意13＋a b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.∵a ∈N *，b ∈N *， ∴.a ＝2a ＝4，有两个解，或b ＝6b ＝4⎧⎧⎨⎨⎩⎩5.【解析】∵直线与y 轴平行，∴m 2+3m+2=0．解得m=-1或m=-2．又当m=-2时，直线方程(m+2)x+(m 2+3m+2)y=m+2为0×x+0×y=0，它不表示直线，应舍去．故当m=-1时，直线与y 轴平行．答案：-1【误区警示】此题容易忽视直线方程一般式中的条件（A ·B ≠0）而导致失误.6.【解析】设l ：3x+4y+m=0,则当y=0得x=-m 3；则当x=0得y=-m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12×|-m 3|×|-m 4|=24,∴m=±24. ∴直线l 的方程为3x+4y ±24=0.答案：3x+4y ±24=0【变式训练】斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_______. 【解析】设直线方程为y=34x+b,令y=0,得x=-43b,∴12|b ·（-4b 3)|=6, ∴b=±3,∴所求直线方程为3x-4y-12=0或3x-4y+12=0.答案：3x-4y-12=0或3x-4y+12=07.【解析】（1）把原点(0,0)代入Ax+By+C=0，得C=0.（2）此时斜率存在且不为零,即A ≠0且 B ≠0.（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即B=0且C ≠0.（4）A=C=0,且B ≠0.（5）∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，∴Ax 0+By 0+C=0,C=-Ax 0-By 0，∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.8.【解析】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距均为a ，故所求的直线方程为x y a a +=1，即x+y=a ．将点P(2,3)代入，得a=5．故所求直线方程为x+y=5．所以，所求直线方程为3x-2y=0或x+y=5．【一题多解】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等，∴直线的斜率k=-1，可得直线的点斜式方程为y-3=-(x-2)，即x+y=5.故所求直线方程为x+y=5．【挑战能力】【解析】如图，以河流所在直线为x 轴，以过A 点与河流垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，则A （0，300），B （x ，700），设B 点在y 轴上的射影为H ，则x=|BH|=22AB AH -=300，故点B （300，700）． 点A 关于x 轴的对称点A 1(0,-300)，则直线A 1B 的斜率k=103， 直线A 1B 的方程为y=103x-300． 令y ＝0得x ＝90，得点P （90，0），故水电站建在河边P （90，0）处电线用料最省．【方法技巧】巧设直线方程(1)已知一点通常选择点斜式;(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式;(3)已知截距通常选择截距式;(4)已知两点通常选择两点式.。
高中数学第二章解析几何初步1.2直线的方程第一课时直线方程的两点式和一般式课后课时精练北师大版
第一课时直线方程的点斜式时间：25分钟1．直线方程y－y0＝k(x－x0)( )A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线答案 D解析直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．2．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为( )A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2答案 D解析因为直线与x轴平行，所以其斜率为0，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝0×(x－3)，即y＝－2.3．下列三个说法：①任何一条直线在y轴上都有截距；②直线在y轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线．其中正确的有( )A．①② B．②③ C．①③ D．③答案 D解析因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．4．已知直线l的方程为y＝2015x－2016，则直线l在y轴上的截距为( )A．2015 B．－2015 C．2016 D．－2016答案 D解析因为b为直线y＝kx＋b在y轴上的截距，所以直线l：y＝2015x－2016在y轴上的截距为－2016.5．斜率为2，在y轴上的截距为3的直线经过的象限有( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限答案 A解析 直线的斜截式方程为y ＝2x ＋3，所以直线经过第一、二、三象限．6．直线y ＝ax －1a的图像可能是( )答案 B解析 当a >0时，－1a<0，直线过一、三、四象限． 当a <0时，－1a>0，直线过一、二、四象限，可得B 正确． 7．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)答案 C解析 将直线方程化为y －1＝k (x －3)可得过定点(3,1)．8．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．答案 5 2解析 由已知得直线方程y ＋1＝tan45°(x －4)，即y ＝x －5.当x ＝0时，y ＝－5；当y ＝0时，x ＝5. ∴被坐标轴所截得的线段长＝52＋52＝5 2.9．若直线y ＝2x ＋b 与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b ＝________.答案 ±6 解析 令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－b 2，∴所求的面积S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2＝14b 2＝9.∴b ＝±6.10．已知△ABC 的三个顶点在第一象限，A (1,1)，B (5,1)，A ＝45°，B ＝45°，求：(1)AB 所在直线的方程；(2)AC 边和BC 边所在直线的方程．解根据已知条件，画出示意图如图．(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以k AC＝tan45°＝1，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，所以k BC＝tan135°＝－1，又点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1·(x－5)，即y＝－x＋6.。
直线的两点式方程、直线的一般式方程 课件
5.对于直线 Ax＋By＋C＝0，当 B≠0 时，其斜率为_－__AB__，
在 y 轴上的截距为_－__CB__；当 B＝0 时，在 x 轴上的截距 为__－__CA__；当 AB≠0 时，在两轴上的截距分别为_－__CA__， __－__CB___.
1.判断题 (1)经过任意两点的直线都可以用(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x －x1)来表示.( √ ) (2)不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1 表示.(× ) (3)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两 点式或斜截式或点斜式.( √ ) (4)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则 A·B≠0.( × )
系数满足的条件 B＝0 A＝0 A·B≠0 C＝0
探究点二 直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式的条件是什么？ 提示 当A，B，C≠0时，直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式. 解 因为直线 l 经过点 A(－5，6)，B(－4，8)，所以由两点 式，得8y－－66＝－x＋4＋55， 整理得 2x－y＋16＝0，化为截距式得－x8＋1y6＝1， 所以直线 l 的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为 －x8＋1y6＝1.图形如图所示：
C.y＝x＋2
D.yy－－11＝1x＋＋22，整理得 y＝x＋
3. 答案 A
3. 若 方 程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 表 示 直 线 ， 则 A 、 B 应 满 足 的 条 件 为 ()
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2＋B2≠0
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同
(2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝（－4）＋2 （－2）＝－3.∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3，2). ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－（（－－33）），即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
北师大版必修2高中数学2.1.2第2课时直线方程的两点式和一般式课时训练
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 直线方程的两点式和一般式课时训练 北师大版必修2一、选择题1．直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b (b ≠0)，则( )A ．kb <0B ．kb ≤0C ．kb >0D ．kb ≥0【解析】 由题意知k ≤0，b >0，∴kb ≤0.【答案】 B2．直线l 过点A (－1，－1)和B (2,5)，且点C (1 005，m )也在直线l 上，则m 的值为( )A ．2 008B ．2 009C ．2 010D ．2 011 【解析】 y －－15－－1＝x －－12－－1，即2x －y ＋1＝0，又C (1 005，m )在l 上，∴2×1 005－m ＋1＝0，∴m ＝2 011.【答案】 D3．(2013·济南高一检测)直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( )A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7 【解析】 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72. 【答案】 D4．(2013·中山高一检测)两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是下图中的( )【解析】 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A ，B ，D 错误．【答案】 C5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠1B ．m ≠＝－32C ．m ≠0D ．m ≠1且m ≠＝－32且m ≠0 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，得m ＝1，依题意只要x 、y 的系数不同时为0，即m ≠1该方程就表示一条直线．【答案】 A二、填空题6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3， 令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32. 【答案】 －327．直线kx －y －3k ＋2＝0(k ∈R )必过定点________．【解析】 直线方程可变为y －2＝k (x －3)即过点(3,2)．【答案】 (3,2)8．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________．【解析】 因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－A B＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73B . 此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0. 即：－5x ＋y ＋73＝0，故所求直线的方程为15x －3y －7＝0. 【答案】 15x －3y －7＝0三、解答题9．根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般方程．(1)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为－3，－1. 【解】 (1)由两点式得直线方程y －5－1－5＝x －－12－－1，整理得2x ＋y －3＝0.(2)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0. 10．已知直线l 1为x 2－2y 3＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l 1的纵截距相等的直线l 的方程．【解】 ∵l 1的方程可化为x 2＋y －32＝1， ∴直线l 1的纵截距为－32. 设直线l 的方程为x a ＋y－32＝1，即x a －2y 3＝1. 并且直线l 过点(1,2)，所以1a －2×23＝1，解得a ＝37. 因此直线l 的方程为7x 3－2y 3＝1，即7x －2y －3＝0. 11．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6.根据下列条件确定m 的值．(1)直线l 在x 轴上的截距为－3；(2)直线l 的斜率是－1. 【解】 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①可得m ≠－1，m ≠3，由②可得m ＝3或m ＝－53，∴m ＝－53. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －1≠0，－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠－1且m ≠12m ＝－1或m ＝－2，∴m ＝－2.。
高考数学直线的两点式方程直线的一般式方程2练习选择性必修第一册
直线的两点式方程、直线的一般式方程层级一 学业水平达标1．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y－2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：选C 由直线的截距式方程可得x －2＋y3＝1. 2．直线x 3＋y4＝1，化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：选C 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.3．直线x a ＋y b＝1过第一、三、四象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：选B 因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a >0，b <0.4．已知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线的斜率为( ) A ．－2 B ．2 C.12D ．－12解析：选B AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72，故所求直线的斜率k ＝72－323－2＝2.5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m,3)的直线与直线x ＋3y ＋2＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为k ＝－13，∴m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4. 6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝07．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，∴y ＝－32x ；(2)不过原点时，设为x a ＋y－a＝1， ∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝08．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：2x －ay －a ＝0平行，则常数a 的值为________．解析：由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4.答案：49．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m4；令y ＝0，得x ＝－m 3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.10．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．解：(1)根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52.(2)根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意． ∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.层级二 应试能力达标1．经过点A (1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：选B 当直线过原点时1条，不过原点时有两条，故B 正确． 2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( ) A ．y ＝－3x －4 B ．y ＝3x －4 C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝－3x ＋4解析：选A 因为A (1,3)，B (－5,1)，所以线段AB 的中点坐标为(－2,2)，直线AB 的斜率为3－11－－5＝13，所以线段AB 的中垂线的斜率为－3，所以以A ，B 为端点的线段的垂直平分线的方程是y －2＝－3(x ＋2)，即y ＝－3x －4，选A.3．已知点M (1，－2)，N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C.4．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.5．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________． 解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，∵直线不经过第一象限，∴3－2t ≤0，得t ≥32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞6．已知点A (0,1)，点B 在直线l ：x ＋y ＝0上运动，则当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析：当线段AB 最短时，AB ⊥l ，所以k AB ＝1.由直线的斜截式，得直线AB 的方程为y ＝x ＋1，故直线AB 的一般式方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝07．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．解：(1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －－4－2－－4，即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.8．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：根据题意，设直线l 的方程为x a ＋yb＝1， 由题意，知a >2，b >1，∵l 过点M (2,1)，∴2a ＋1b ＝1，解得b ＝aa －2，∴△AOB 的面积S ＝12ab ＝12a ·aa －2，化简，得a 2－2aS ＋4S ＝0. ①∴Δ＝4S 2－16S ≥0，解得S ≥4或S ≤0(舍去)． ∴S 的最小值为4，将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，∴b＝aa－2＝2.∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.。
课时作业31：2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程
第2课时 直线的两点式和一般式方程一、选择题1．经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0 D ．5x －3y ＋25＝0考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 由两点式得y －0－5－0＝x －52－5，所以得5x －3y －25＝0.2．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y－2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y3＝1 D.x －3＋y 2＝1 答案 C3．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 考点 题点 答案 B4．直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A ．－3 B ．3 C.13 D ．－13答案 D解析 由点(1，－1)在直线上，可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y ＋8＝0 C ．2x ＋y －12＝0 D ．2x －y －12＝0答案 A解析 由中点坐标公式可得M (2,4)，N (3,2)，再由两点式可得直线MN 的方程为y －42－4＝x －23－2，即2x ＋y －8＝0.6．下列命题正确的是( )A ．过任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程可以写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1B ．直线在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线斜率为－1C ．若直线的斜率为1，则直线在x 轴和y 轴上的截距之和为0D ．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 答案 C解析 当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线方程不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，故A 错误；当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距相等，但斜率不一定为1，故B 错误；设直线在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y ＝x ＋b .令y ＝0，得直线在x 轴上的截距为x ＝－b ，于是b ＋(－b )＝0，故C 正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D 错误． 7．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1 D ．－3，－1答案 D解析 原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°，∴a＝－3，故选D.8．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式，得 y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C 正确． 二、填空题9．过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________． 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，y －03－0＝x －21－2，整理得3x ＋y －6＝0.10．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 考点 题点答案 2x －y ＋1＝0解析 由y －3＝2(x －1)得2x －y ＋1＝0.11．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为__________． 答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0解析 ①当直线过原点时，设方程为y ＝kx ， ∴k ＝－32，∴直线方程为y ＝－32x ；②当直线不过原点时，设x a ＋y－a ＝1，∴将点(－2,3)代入，得a ＝－5， ∴直线方程为x －y ＋5＝0.∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 三、解答题12.已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)．(1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程．考点 中点坐标公式题点 与垂直平分线有关的问题解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为 x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0. 由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得边BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)，即2x －y ＋10＝0.13．已知△ABC 的顶点A (5，－2)，B (7,3)且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求顶点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程． 解 (1)设M (0，m )，N (n ,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x A ＝2x M ，y C ＋y A ＝2y M ，⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x B ＝2x N ，y C ＋y B ＝2y N ， 所以x C ＝0－5＝－5，y C ＝0－3＝－3， 所以点C 的坐标为(－5，－3)．(2)因为2m ＝y C ＋y A ＝－3＋(－2)＝－5，故m ＝－52.因为2n ＝x C ＋x B ＝－5＋7＝2，故n ＝1.所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.14．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －(4m －1)＝0在x 轴上的截距等于1，则m 的值为( ) A ．2 B ．－12或2C ．－2或12D ．以上都错答案 B解析 由题意知，2m 2＋m －3≠0.令y ＝0，得直线在x 轴上的截距为x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝2或m ＝－12.故选B.15．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明 将直线l 的方程整理，得y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)解 如图，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零， 即当x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．。
高中数学二章解析几何初步1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式课后课时精练课件北师大版必修2
解析
8．若直线 l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，则直线 l 的方 程是________．
答案 4x＋3y＋12＝0
解析 因为直线 l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，所以直线 l 在 x，y 轴上的截距分别为－3，－4，故直线 l 的方程是－x3＋－y4＝1，可化 为 4x＋3y＋12＝0.
解析
2．已知直线 l 的方程为 9x－4y＝36，则 l 在 y 轴上的截距为( ) A．9 B．－9 C．4 D．－4
答案 B 解析 由 9x－4y＝36，得 y＝94x－9，∴b＝－9.
答案
解析
3．已知直线 ax＋by－1＝0，在 y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直
线 3x－y－ 3＝0 的倾斜角的 2 倍，则( )轴正方向围成面积为 2 的三角形且截距差的绝对值为 3 的直 线方程的一般式是________．
答案 x＋4y－4＝0 或 4x＋y－4＝0
解析 设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)，
则12ab＝2，
解得 a＝4，b＝1 或 a＝1，b＝4.
|a－b|＝3，
答案
课后课时精练
时间：25 分钟 1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
答案 B
答案
解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线 上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或 点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为 0，所以直线不一定能写成截 距式．故选 B.
2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程 学案(含答案)
2.2.2 第2课时直线的两点式和一般式方程学案（含答案）第2课时直线的两点式和一般式方程学习目标1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法知识点一直线方程的两点式直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1x1，y1，P2x2，y2，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y 轴上的截距分别为a，b，且a0，b01斜率存在且不为0，不过原点知识点三直线的一般式方程直线的一般式方程形式AxByC0条件A2B20知识点四直线方程五种形式的比较名称已知条件标准方程适用范围点斜式点P1x1，y1和斜率kyy1kxx1不垂直于x轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb不垂直于x轴的直线两点式点P1x1，y1和点P2x2，y2不垂直于x，y轴的直线截距式在x 轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零1不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线一般式两个独立的条件AxByC0A，B不全为零1不经过原点的直线都可以用方程1表示2能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示3能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示4当A，B同时为零时，方程AxByC0也可表示为一条直线5任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化题型一直线的两点式方程例1在ABC中，已知点A3,2，B5，4，C0，21求BC边的方程；2求BC边上的中线所在直线的方程解1BC边过点B5，4，C0，2，由两点式，得，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y1000x52设BC的中点为Ma，b，则a，b3，所以M.又BC边的中线过点A3,2，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程是10x11y80.反思感悟1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程2由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标跟踪训练1过点A2,1，B3，3的直线方程为A4x5y130B4x5y30C5x4y50D5x4y80考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析因为直线过点2,1和3，3，所以，所以，化简得4x5y30.题型二直线的截距式方程例2求过点A5,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解方法一1当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0；2当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya.又l过点A5,2，52a，解得a3.l的方程为xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.方法二由题意知，直线的斜率一定存在设直线的点斜式方程为y2kx5，当x0时，y25k；当y0时，x5.根据题意，得25k.解得k或1.当k时，直线方程y2x5，即2x5y0；当k1时，直线方程为y21x5，即xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.反思感悟1如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可2在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直跟踪训练21过点2,3，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为AyxBxy5Cyx和xy5Dyx和xy5考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案C解析设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当ab0时，直线方程为1，1，a5，xy5，当ab0时，k，yx，综上所述，yx和xy5.2xx株州高一检测已知直线l过点A1,2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程解设l1a0，b0，则a24a40，解得a2，所以b4.直线l1，所以l2xy40.题型三直线的一般式方程例3根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程1斜率是，且经过点A5,3；2斜率为4，在y轴上的截距为2；3经过点A1,5，B2，1两点；4在x轴，y轴上的截距分别为3，1；5经过点B4,2，且平行于x轴考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解1由点斜式，得直线方程为y3x5，即xy530.2由斜截式，得直线方程为y4x2，即4xy20.3由两点式，得直线方程为，即2xy30.4由截距式，得直线方程为1，即x3y30.5y20.反思感悟在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式跟踪训练3根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式1斜率是，且经过点A8，6；2在x轴和y轴上的截距分别是和3；3经过点P13，2，P25，4考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解1由点斜式，得直线方程为x2y40.2由斜截式，得直线方程为2xy30.3由两点式，得直线方程为xy10.直线方程的灵活应用典例xx临沂高一检测已知ABC的一个顶点是A3，1，ABC，ACB的平分线方程分别为x0，yx.1求直线BC的方程；2求直线AB的方程解如图1因为ABC，ACB的平分线分别是x0，yx，所以AB与BC关于x0对称，AC与BC关于yx对称A3，1关于x0的对称点A3，1在直线BC上，A关于yx的对称点A1,3也在直线BC上由两点式求得直线BC的方程为，即2xy50.2因为直线AB与直线BC关于x0对称，所以直线AB与BC 的斜率互为相反数，由1知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为2，又因为点A的坐标为3，1，所以直线AB的方程为y12x3，即2xy50.素养评析1理解题目条件，角的两边关于角平分线对称2画出图形，借助图形分析A关于直线x0的对称点A在BC上，A关于yx的对称点A也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养3分别求出A，A两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养1在x轴，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是A.1B.1C.1D.1考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案A2经过M3,2与N6,2两点的直线方程为Ax2By2Cx3Dx6考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.3在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是A30B60C150D120考点直线的一般式方程与直线的性质题点由一般式方程求倾斜角和斜率答案C解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.4已知点A3,2，B1,4，则经过点C2,5且经过线段AB的中点的直线方程为________答案2xy10解析AB的中点坐标为1,3，由直线的两点式方程，可得，即2xy10.5若直线2m25m2xm24y5m0的倾斜角是45，求实数m的值解由已知得m3.1求直线的两点式方程的策略以及注意点1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程2由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系2截距式方程应用的注意事项1如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可2在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直3要注意截距式直线方程的逆向应用31直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式一般式化斜截式的步骤移项，ByAxC；当B0时，得yx.2在一般式AxByC0A2B20中，若A0，则y，它表示一条与y轴垂直的直线；若B0，则x，它表示一条与x 轴垂直的直线。
直线的两点式及一般式方程练习题
解析：利用直线的截距式方程得 ＋ ＝1.
答案：B
3．直线的斜率为－ ，且直线不通过第一象限，则直线的方程可能为()
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．3x－4y＋7＝0 D．4x＋3y－24＝0
解析：由4x＋3y＋7＝0得y＝－ x－ ，k<0，b<0，不过第一象限．
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
答案：A
5．直线方程(3a＋2)x＋y＋8＝0，若直线不过第二象限，则a的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析：直线方程可化为y＝－(3a＋2)x－8，纵截距－8<0，斜率为－(3a＋2)≥0⇒a≤－ ，故选B.
(2)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解：(1)由点斜式，得y－(－2)＝－ (x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由两点式，得 ＝ ，
即x＋y－1＝0.
(限时：30分钟)
1．过点M(－4,3)和N(－2,1)的直线方程是()
A．x－y＋3＝0B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－3＝0
(3)求AC边上的中线BD所在直线的方程．
解：(1)由两点式可得所求直线方程为
＝ ，即x＋y－4＝0.
(2)由截距式可得所求直线方程为
＋ ＝1，即x－2y＋8＝0.
(3)设D(x，y)，由中点坐标公式
x＝ ＝－4，y＝ ＝2，∴D(－4,2)．
由直线的两点式方程得BD所在直线方程为
＝ ，即2x－y＋10＝0.
答案：(2,3)
8．若两点A(x1，y1)和B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程是________．
高中数学第二章2.1直线与直线的方程第24课时直线方程的两点式和一般式作业课件北师大版必修2
解析：l2的方程可化为y＝bx＋a，即斜率为b，在y轴上的截距 为a，由题图形知b>0，a>0.l1的方程可化为y＝ax＋b，斜率a>0， 在y轴上的截距b>0.故选C.
7．过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程 为( C )
A．x－y－3＝0 B．2x－5y＝0 C．2x－5y＝0或x－y－3＝0 D．2x＋5y＝0或x＋y－3＝0
解析：设A(x,0)，B(0，y)． 因为点P恰为AB的中点，所以x＝－4，y＝6， 即A，B两点的坐标分别为(－4,0)，(0,6)． 由截距式得直线l的方程为－x4＋6y＝1. 即3x－2y＋12＝0.
11．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点 A(6，－2)，则直线l方程为___x_＋__2_y_－__2_＝__0_或__2_x_＋__3_y－__6_＝__0_____.
解析：如图，过H作x轴的垂线，垂足为M，过A作HM的垂 线，垂足为N，则△AHN≌△ACO，
所以|AN|＝|AO|＝2，|HN|＝|OC|＝1， 则H(2,3)，连接FB，在正方形ABEF中，FB⊥x轴， |FB|＝4，则F(－2,4)， 由直线方程的两点式得FH的方程为4y－－33＝－x－2－22， 即x＋4y－14＝0.
由已知可得A(0,60)，B(90,0)． 所以AB所在直线方程为9x0＋6y0＝1. 即y＝60－23x，
从而可设线段AB上一点P x，60－23x ，其中0≤x≤90，所以 所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y)．
故S＝(300－x)240－60＋23x ＝－23x2＋20x＋54 000 ＝－23(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)． 所以当x＝15，y＝60－23×15＝50时，S最大， Smax＝54 150(m2)． 因此点P距直线AE 15 m，距直线BC 50 m时所开发的面积最 大，最大面积为54 150 m2.
直线的两点式方程 直线的一般式方程 课时训练
学业分层测评(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(优质试题·淄博高一检测)下列说法正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示【解析】 当直线与y 轴重合时，斜率不存在，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时由直线方程的两点式知选项B 正确，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线方程为x －x 1＝0，即(x －x 1)(y 2－y 1)＝(y －y 1)(x 2－x 1)，同理x 1≠x 2，y 1＝y 2时也可用此方程表示．故选B.【答案】 B2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0 【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( )A ．ab >0，bc >0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0【解析】 直线经过第一、二、三象限，则由y ＝－a b x －c b 可知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a b >0，－c b >0⇒⎩⎨⎧ ab <0，bc <0，选D.【答案】 D4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2(k －3)2－2(3－k )＝0，即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3.【答案】 C5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．【答案】 A二、填空题6．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________．【解析】 当直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为0，满足题意．此时直线方程为y ＝2x ，当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a ，因为直线过P (1,2)，所以1－2＝a ，所以a ＝－1，直线方程为x －y ＋1＝0【答案】 y ＝2x 或x －y ＋1＝07．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3、－d 4，∴6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224. ∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.【答案】 3或－3三、解答题8．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线．(1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由⎩⎨⎧ m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2，若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2.(2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，解得m ＝0. 9．已知三角形的三个顶点A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)．(1)求三角形三边所在直线的方程；(2)求AC 边上的垂直平分线的方程．【解】 (1)直线AB 的方程为y －46－4＝x －0－2－0， 整理得x ＋y －4＝0；直线BC 的方程为y －06－0＝x ＋8－2＋8，整理得x －y ＋8＝0； 由截距式可知，直线AC 的方程为x －8＋y 4＝1，整理得x －2y ＋8＝0.(2)线段AC 的中点为D (－4,2)，直线AC 的斜率为12，则AC 边上的垂直平分线的斜率为－2，所以AC 边的垂直平分线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，整理得2x ＋y ＋6＝0.[自我挑战]10．(优质试题·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图3-2-3所示，则( )图3-2-3A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c【解析】 由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c >0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－d c >0，∴b <0，d >0，故选C.【答案】 C11．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解】 设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ①又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1. ② 由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.若满足条件(2)，则ab ＝12， ③由题意得：43a ＋2b ＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y 6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.。
北师大高中数学选择性必修第一册课时作业4直线方程的一般式直线方程的点法式
北师大高中数学选择性必修第一册课时作业4直线方程的一般式直线方程的点法式(原卷版)一、选择题1.过点(2，3)且直线的一个法向量是(1，－1)的直线方程是()A.x＋y－5＝0B.3x－y－3＝0C.x－y＋1＝0D.x－2y＋4＝02.若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的()A B C D3.已知点P(a＋b，ab)在第二象限，则直线l：bx－ay＋ab＝0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.过点(2，3)且在x轴上的截距为1的直线方程是()A.x＋y－5＝0B.3x－y－3＝0C.x－y＋1＝0D.x－2y＋4＝05.直线2mx－y＋4m－2＝0(m∈R)恒过定点()A.(1，1)B.(－1，2)C.(－2，－2)D.(2，2)6.直线x＋y－5＝0的一个方向向量为()A.(1，1)B.(－1，1)C.(－1，－1)D.(1，－2)7.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线＝0的倾斜角的2倍，则()A.a＝，b＝1B.a＝，b＝－1C.a＝－，b＝1D.a＝－，b＝－18.(多选题)下列命题中错误的是()A.＝k表示过定点P(x0，y0)且斜率为k的直线B.直线y＝kx＋b和y轴交于B点，O是原点，那么b＝|OB|C.一条直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，那么该直线的方程为＝1D.方程(x1－x2)(y－y1)＋(y2－y1)(x－x1)＝0(其中x1－x2，y2－y1不同时为0)表示直线，它的一个法向量为(y2－y1，x1－x2)二、填空题9.直线2x＋3y－6＝0的横纵截距的和为5；该直线与坐标轴围成的三角形面积为3.10.已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋1＝0. 11.过点P(－3，1)且与向量n＝(－1，3)垂直的直线方程为x－3y 6＝0.三、解答题12.直线l：(2a＋2)x－(2a－4)y－1＝0(－1＜a＜1)，求直线在x轴和y轴上截距之和的最小值，并求此时直线l的方程.13.已知直线l过点P0(3，1)，且与两点P(－1，0)，Q(3，2)的连线垂直，求直线l的方程.14.已知直线经过A(a，0)，B(0，b)和C(1，3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线方程为()A.3x＋y－6＝0B.x＋y－4＝0C.x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0D.无法确定15.若方程Ax＋By＋C＝0表示与两坐标轴都相交的直线，则00.16.已知直线l的法向量n＝(2，－3)，并且与x轴、y轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程.北师大高中数学选择性必修第一册课时作业4直线方程的一般式直线方程的点法式(解析版)一、选择题1.过点(2，3)且直线的一个法向量是(1，－1)的直线方程是(C)A.x＋y－5＝0B.3x－y－3＝0C.x－y＋1＝0D.x－2y＋4＝0解析：过点(2，3)且直线的一个法向量是(1，－1)，代入直线的点法式1(x－2)－1(y－3)＝0，整理得x－y＋1＝0，故选C.2.若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的(D)A B C D解析：直线的斜率为k＝－＜0，纵截距为－＜0，故图象大致是图中的D.故选D.3.已知点P(a＋b，ab)在第二象限，则直线l：bx－ay＋ab＝0不经过(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：因为点P(a＋b，ab)在第二象限，所以a＋b＜0，ab＞0，所以a＜0，b＜0，所以直线l的斜率＞0，直线在x轴上的截距－a＞0，直线在y轴上的截距b＜0，作出图形，易知直线不过第二象限.故选B.4.过点(2，3)且在x轴上的截距为1的直线方程是(B)A.x＋y－5＝0B.3x－y－3＝0C.x－y＋1＝0D.x－2y＋4＝0解析：直线l的斜率为＝3，只有3x－y－3＝0适合.故选B.5.直线2mx－y＋4m－2＝0(m∈R)恒过定点(C)A.(1，1)B.(－1，2)C.(－2，－2)D.(2，2)解析：把直线方程化为点斜式得y＋2＝2m(x＋2)，易知直线恒过定点(－2，－2).故选C.6.直线x＋y－5＝0的一个方向向量为(B)A.(1，1)B.(－1，1)C.(－1，－1)D.(1，－2)解析：直线x＋y－5＝0的法向量为(1，1)，故直线的一个方向向量为(－1，1)，故选B.7.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线＝0的倾斜角的2倍，则(D)A.a＝，b＝1B.a＝，b＝－1C.a＝－，b＝1D.a＝－，b＝－1解析：直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为＝－1，解得b＝－1，又因为＝0的倾斜角为60°，所以直线ax＋by－1＝0的倾斜角为120°，从而可得斜率k＝－，解得a＝－，故选D.8.(多选题)下列命题中错误的是(ABC)A.＝k表示过定点P(x0，y0)且斜率为k的直线B.直线y＝kx＋b和y轴交于B点，O是原点，那么b＝|OB|C.一条直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，那么该直线的方程为＝1D.方程(x1－x2)(y－y1)＋(y2－y1)(x－x1)＝0(其中x1－x2，y2－y1不同时为0)表示直线，它的一个法向量为(y2－y1，x1－x2)解析：对于A，不能表示，因为它不包含点(x0，y0)；对于B，b≠|OB|，b是点B的纵坐标，可正可负可为零；对于C，当a＝b＝0时，直线方程不能写成＝1；对于D，方程Ax＋By＋C＝0的一个法向量为(A，B)，故(x1－x2)(y－y1)＋(y2－y1)(x－x1)＝0表示直线，它的一个法向量为(y2－y1，x1－x2)，正确.故选ABC.二、填空题9.直线2x＋3y－6＝0的横纵截距的和为5；该直线与坐标轴围成的三角形面积为3.解析：令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝3，故横纵截距的和为5，所以三角形面积为S＝×3×2＝3.10.已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋1＝0.解析：解法一：∵P(2，3)在已知直线上，∴∴2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即，故所求直线方程为y－b1＝－(x－a1).∴2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.解法二：∵P(2，3)在已知直线上，∴可见Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，∴过Q1，Q2两点的直线为2x＋3y＋1＝0.11.过点P(－3，1)且与向量n＝(－1，3)垂直的直线方程为x－3y＋6＝0.解析：由直线的点法式，得－(x＋3)＋3(y－1)＝0，化简得x－3y＋6＝0.三、解答题12.直线l：(2a＋2)x－(2a－4)y－1＝0(－1＜a＜1)，求直线在x轴和y轴上截距之和的最小值，并求此时直线l的方程.解：由题意，直线(2a＋2)x－(2a－4)y－1＝0横截距为，纵截距为－，故令t＝，－1＜a＜1时，(a＋1)(a－2)恒小于0，即求(a＋1)(a－2)的最小值，当a＝时，t min＝，此时直线l的方程为3x＋3y－1＝0.13.已知直线l过点P0(3，1)，且与两点P(－1，0)，Q(3，2)的连线垂直，求直线l的方程.解：因为PQ⊥l，所以＝(3＋1，2－0)＝(4，2)为所求直线l的一个法向量，即n＝(4，2)，又因为直线过点(3，1)，代入直线的点法式方程得4(x－3)＋2(y－1)＝0，整理得直线的方程为2x＋y－7＝0.14.已知直线经过A(a，0)，B(0，b)和C(1，3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线方程为(C)A.3x＋y－6＝0B.x＋y－4＝0C.x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0D.无法确定解析：由已知可得直线方程为＝1.因为直线过C(1，3)，则＝1.又因为a，b为正整数，所以a＝4，b＝4时适合题意，a＝2，b ＝6时适合题意，此时，方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.15.若方程Ax＋By＋C＝0表示与两坐标轴都相交的直线，则A≠0，B≠0.解析：当A＝0时，B≠0，直线化为y＝－，只与y轴相交，不符.当B＝0时，A≠0，直线化为x＝－，只与x轴相交，不符.所以A≠0，B≠0，直线化为y＝－，斜率为k＝－，截距为b＝－，斜率存在且不为0，与两坐标轴均有交点.所以填A≠0，B≠0.16.已知直线l的法向量n＝(2，－3)，并且与x轴、y轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程.解：因为直线l的法向量为n＝(2，－3)，所以设所求直线方程为2x －3y＋C＝0，当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝－，即此直线与y轴和x轴的交＝＝12，即＝点分别为A，B.S△AOB12，解得C＝±12，所以所求方程为2x－3y＋12＝0或2x－3y－12＝0.。
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例题解析：
例题3：已知直线l：Ax+By+C=0如图所示，则（ ）
A、
C A
>0，
C B
<0
B、
C A
>0，
C B
<0
C、
C A
>0，CB
>0
D、
C A
>0，
C B
>0
y l
x 0
巩固练习：
1、求过点 A (1,3)，法向量n=（3，2）的直 线方程 2、求过点 A(2,5)，方向向量v=（2，1）的 直线方程
3、求过点A(1,5)，B（-3，-2）的直线方程
巩固练习：
直线的点法式方程 与一般式方程练习课
温故知新：
形式
条件
方程
点向式 点斜式 斜截式
过点 p0(x0,y0),v=(v1,v2)
过点p0(x0,y0),斜率为 k
斜率为k,在y轴上的截距为b
v2(x-x0)-v1(y-y0)=0
y-y0= k(x-x0) y= kx+b
点法式
过点p0(x0,y0),n=(A,B) A(x-x0)+B(y-y0)=0
4、求过点A(-2,0)，且斜率k=2的直线方程
5、求斜率k=-2,且在y轴上的截距为-1的直 线方程
6、已知点A(3,-2),B(-3,4)，求（1）直线 AB的方程，（2）线段AB的垂直平分线的方 程。
拓展提高：
1、若三点A(2,3)，B(a,4)，C(8,a)在同一条 直线上，求a的值。
2、求直线4x-y=8与坐标轴围成的三角形 的面积。
一般式
所有直线
Ax+By+C=0(A,B不全为零）
例题解析：
例题1：已知点Aபைடு நூலகம்1,2),B(-1,3)，求线段AB的 垂直平分线的方程。
分析：线段AB的垂直平分线,经过线段AB的中点，且 与向量AB垂直，然后由点法式方程可以求得。
例题解析：
例题2：已知直线l与直线3x-2y+5=0的斜率相同， 且过点（1，-1），求直线l的方程。
拓展提高：
3、已知三角形ABC顶点A(-3,0)，B(2,1)， C(-2,3). 求（1）BC边所在直线方程； （2） BC边上的高所在直线方程
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