您的位置：360文档中心› 高三数学(理)

高三数学(理)

合集下载

理科高三数学知识点总结(最新)

理科高三数学知识点总结(最新)

理科高三数学知识点总结等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1)a>bb(2)a>b,b>ca>c(传递性)(3)a>ba+c>b+c(c∈R)(4)c>0时，a>bac>bcc<0时，a>bac运算性质有：(1)a>b,c>da+c>b+d。

(2)a>b>0,c>d>0ac>bd。

(3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。

(4)a>b>0>(n∈N,n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

高中数学集合复习知识点任一A，B，记做ABAB，BA，A=BAB={|A|，且|B|}AB={|A|，或|B|}Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q，则p(2)AB,A是B成立的充分条件BA,A是B成立的必要条件AB,A是B成立的充要条件1.集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性2.集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法(3)集合的运算①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)②Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB(4)集合的性质n元集合的字集数：2n真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2高中数学集合知识点归纳1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。

高三理科数学试题及答案

高三理科数学试题及答案

高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。

【高三数学试题】高三数学试题1(理科)及参考答案

【高三数学试题】高三数学试题1(理科)及参考答案

高三数学试题1(理科)一、选择题1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82、若集合{|3},{|33}xM y y P x y x ====-，则M P I =（ ） A {|1}x x > B {|1}y y ≥ C {|0}y y > D {|0}x x ≥3、已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则11a b <．给出下列四个命题：①p 且q ，②p 或q ，③p 的逆否命题，④ q ⌝，其中真命题的个数为（ ）()A 1()B 2 ()C 3 ()D 44．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.5、已知集合A ＝{(x ，y)|32y x --=1，x ，y ∈R}，B={(x ，y)|y=ax+2，x ，y ∈R}，若A ⋂B ＝∅，则a 的值为（ ）A ．a ＝1或a ＝32B ．ａ＝１或a ＝12 C ．a ＝2或a ＝3 D ．以上都不对 6、若函数)(212)(为常数a k k x f xx⋅+-=在定义域上为奇函数，则的值为k （ ）A ． 1 B. 1- C. 1± D. 07、若函数()(2)()[1,1]()||,()f x f x f x x f x x y f x +=∈-==满足且时则函数的图象与 函数||log 3x y =的图像的交点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．多于4x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.8、已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x = D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题9、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1[()]2g g =__________．10．已知函数22(),1x f x x R x =∈+，则1()()f x f x += ；11、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。

高三理科数学试卷(含答案)

高三理科数学试卷(含答案)

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)

2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

江西省丰城市第九中学2023届高三上学期入学考数学(理)试题(解析版)

江西省丰城市第九中学2023届高三上学期入学考数学(理)试题(解析版)

丰城九中高三上学期理科数学开学考试试卷一、单选题（共12题，共60分）1.已知集合{}{}2220,log 1A x x x B x x =--<=≤，则A B = （）A.{}02x x <≤B.{}02x x <<C.{}12x x -<< D.{}12x x -<≤【答案】B 【解析】【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合,A B ，进而利用交集的定义求得A B ⋂.【详解】A {}{}12,02x x B x x =-<<=<≤，则{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，则（）A.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0≥1B.￢p ：∀x ∈R ，cosx≥1C.￢p ：∀x ∈R ，cosx ＞1D.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1【答案】D 【解析】【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1．故选D．【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.3.设122a =，133b =，3log 2c =，则A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.c<a<b【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由已知1221a =>，1331b =>，且616228a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，616339b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,1b a ∴>>，而3log 2c =<1，所以c<a<b考点：指数的幂运算.4.已知3sin , (,)52πα=α∈π，则πcos()3α+=（）A.410- B.410+ C.410+-D.310+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的余弦公式展开即可.【详解】 3sin ,(,)52πααπ=∈，4cos 5α∴=-，cos()cos cos sin sin333ππ∴+=-πααα4134525210+=-⨯-⨯=-故选：C5.已知命题()2000:R,110p x x a x ∃∈+-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）A.1≤a ≤3B.-1<a <3C.-1≤a ≤3D.0≤a ≤2【答案】C 【解析】【分析】先写出命题p 的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】命题p 是假命题，命题p 的否定是：()2R,110x x a x ∀∈+-+≥，且为真命题，所以()()()214130a a a ∆=--=+-≤，解得13a -≤≤.故选：C 6.“04x k ππ=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出函数()f x 的对称中心，即可判断.【详解】函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称042k x ππ⇔+=，k ∈Z ，即042k x ππ=-+，k ∈Z ，故“02442k x k ππππ=-+=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的充分不必要条件．故选:A7.如图，有一古塔，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点60m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（） 2.4≈）A.38mB.44mC.40mD.48m【答案】D 【解析】【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.【详解】如图，根据题意，CD ⊥平面ABD ，30CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，60BD =.在ABD △中，因为sin sin BD AD BAD ABD =∠∠，所以60sin 30sin 45AD=︒︒，所以AD =.在Rt ACD △中，3tan 30483CD AD =⋅︒==m .故A ，B ，C 错误.8.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A.2sin 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B.2sin 8x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 48x π⎛⎫-⎪⎝⎭D.2sin 48x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由最值可求得A ，根据最小正周期可求得ω，由28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得()g x .【详解】由图象可知：()()max min22f x f x A -==，最小正周期3488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，2sin 284f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()242k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()24k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，4πϕ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象向右平移316π个单位长度可得：332sin 22sin 216848f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；将316f x π⎛⎫-⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍得：()2sin 8g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.9.已知()21sin 42f x x x π⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】对函数()f x 求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将6x π=代入导函数即可解得答案.【详解】解：∵()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴()1sin 2f x x x '=-，∴()()()11sin sin 22f x x x x x '-=---=-+∴()()f x f x ''-=-∴()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，将6x π=代入()f x '得：106122f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选：A ．10.已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）．A.51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.()3,2-- D.()(),32,-∞--+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，可得()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需223x x -<-即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.则由()()12f x f x +>，可得出1323x x +-<-，即()()22223x x -<-，即()()23853510x x x x -+=-->，解得1x <或53x >.所以，不等式()()12f x f x +>的解集为()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（）A.a c b <<B.a b c<<C.b<c<a D.a c b <<或c b a<<【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点，因为()19302f -=-<，所以3a <-，因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110e g -=>，()21210eg -=-<，所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<.故选：A ．12.已知函数()ln f x x x =-，若()59f x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.1,e∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.(],1-∞ C.(],2-∞ D.(],e ∞-【答案】C 【解析】【分析】令()0t t =>，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-，构造函数()2e 2ln tg t t t t =--，通过导数，对()g t 的单调性进行讨论，进而可以得到()min g t ，进而可求答案.()0t t =>，则2x t =，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-恒成立.令()2e 2ln tg t t t t =--，则()()()()()222e 122e 10tt t t g t t t t t t+-=+--'=>，因为0t >，所以20t t+>.令()()2e 10t h t t t =->，则()()22e 0t h t t t =+>'，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()1e 10h =->，11024h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以存在01,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h t =，即020e t t 10-=，所以当()00,t t ∈时，()0h t <，即()0g t '<，当()0,t t ∞∈+时，()0h t >，即()0g t '>，所以()g t 在()00,t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，所以()()020000min e 2ln tg t g t t t t ==--，又020e 10t t -=，所以020e 1tt =，0201et t =，所以()0000min 11ln 11e t g t t t t =--=-+=，所以159m ≥-，解得2m ≤.故选：C二、填空题（共4题，共20分）13.已知幂函数()()213m f x m x-=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．【答案】2-【解析】【分析】由已知，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，可进行列式，即231m -=且10m -＜即可完成求解.【详解】由题意得，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，所以23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-.14.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C a ==，若228c +=，则ABC ∆的面积为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由正弦定理，知sin sin a A c C =，即sin 22cos sin 2cos sin sin C C C C C C ===，所以3cos 2C =，所以30C =︒，所以60,90A B =︒=︒．因为a =，所以2b c =228c +=，所以2c =，所以12S ac ==．考点：正弦定理．【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．15.命题[]:1,1p x ∃∈-，使得2x a <成立；命题():0,q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立．若命题p q ∧为假，则实数a 的取值范围为___________．【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假即得.【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，当[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若命题p 为真，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，若命题q 为真，则2a <；当命题p q ∧为真命题时，有122a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即122a <<，所以命题p q ∧为假时，12a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．16.已知sin (20)26()|ln 1(0)x x f x x x πππ⎧⎛⎫+-≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-⎩，若方程()(),0f x m m =>恰有4个不同的实数解a ，b ，c ，d ，且a b c d <<<，则cda b=+___________.【答案】2320e -【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合方法判定易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，结合0c e d <<<可知|ln 1||ln 1|c d -=-，进而求得.【详解】如图，易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，所以203a b +=-，又0c e d <<<且|ln 1||ln 1|c d -=-，所以1ln ln 1c d -=-，所以ln ln ln 2cd c d =+=，所以2cd e =，从而2320cd e a b =-+.故答案为：2320e -三、解答题（共6题，共70分）17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A Cb A ．（1）求角A ；（2）若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．【答案】（1）π3A =（2）433【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理可得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合三角函数的知识可得答案；（2）由条件结合余弦定理求出bc 的值即可.【小问1详解】由正弦定理得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简得1sin sin 22A A A =+，所以πcos 06A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以π3A =．【小问2详解】因为π3A =，由余弦定理得2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3,5a b c =+=，所以2229()3b c bc b c bc =+-=+-，即9253=-bc ，解得163bc =，则ABC 的面积1116sin 22323S bc A ==⨯⨯=．18.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）πT =，增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）12k ≤<.【解析】【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得；（2）由题可得()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，然后利用数形结合即得.【小问1详解】由()2cos 2cos 1f x x x x =-+得，()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎭，故最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，故()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】令()()0g x f x k =-=，则()f x k =，故问题转化为()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，令π26t x =-，且π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则问题等价于2sin t k =在π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个根，画出函数2sin y t =的图象，由2sin y t =的图象可知：当12k ≤<时，有两个根，故实数k 的取值范围为12k ≤<．19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 90ρθθ++=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值，并求此时点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=，90x ++=（232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合22cos sin 1αα+=消元即可得出曲线C 的普通方程；由cos ,sin x y ρθρθ==即可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin P αα，结合点线距离公式，讨论最大值即可【小问1详解】由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=，故曲线C 的普通方程为2214x y +=.由cos sin 90ρθθ++=，得90x ++=，故直线l 的直角坐标方程为90x ++=.【小问2详解】设点()2cos ,sin P αα，则点P 到直线l 的距离π4sin 96d α⎛⎫++ ⎪==故当πsin 16α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，点P 到直线l .此时，点P 的坐标为⎛ ⎝⎭.20.（1）设α，β为锐角，且5sin 5α=，310cos 10β=，求αβ+的值；（2）已知πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π4；（2）17250-.【解析】【分析】（1）根据三角恒等式求出cos α和sin β，利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+，结合范围即可得结果；（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出sin α，cos α，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α的值，最后由两角差的正弦可得结果.【详解】（1）∵α为锐角，5sin 5α=，且22sin cos 1αα+=，∴cos 5α=．∵β为锐角，310cos 10β=，且22sin cos 1ββ+=，∴sin 10β=，∴()253105102cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，∵()0,παβ+∈，∴π4αβ+=．（2）因为πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2sin cos cos sin 4410αα+=，即1sin cos 5αα+=．又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1αα+=，解得：4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2427217225225250⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21.已知函数()|26||36|f x x x =---．（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()||f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；（2）讨论0x =，当0x ≠时6623x k x ---≥，利用绝对值的三角不等式求解6623x x---的最大值即可；【小问1详解】(),22636512,23,3x x f x x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，1x >，即12x <<，当23x ≤≤时，5121x -+>，解得115x <，即1125x ≤<，当3x >时，1x ->，解得1x <-，此时无解，综上：不等式()1f x >的解集为111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】0x =时上述不等式显然成立，当0x ≠时，上述不等式可化为()26362366x x f x x k xx x ---=---≥=，令()()666623231x x x f g x x xx ==---≤--+=，当且仅当02x <≤时等号成立，所以1k ≥，即实数k 的取值范围为[)1,+∞．22.已知函数()ln f x x ax =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≥时，函数()()()1ln 0k x x f x a x =++-⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，求得()1ax f x x='-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由题意可知()2ln 10x x a x --≤对任意的1x ≥恒成立，令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，分0a ≤、102a <<、12a ≥三种情况讨论，利用导数分析函数()g x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()10g x g ≥=能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，则由()0f x ¢>知10x a <<，由()0f x '<知1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：由题意知()0k x ≤恒成立，而()()()()201ln 0ln 10k x x f x a x x x a x ⇔++-⇔-⎡⎤⎣⎦-≤≤≤，由()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，得()ln 12g x x ax '=+-，令()ln 12h x x ax =+-，则()1122ax h x a x x-'=-=.①若0a ≤，()0h x '>，则()g x '在[)1,+∞上单调递增，故()()1120g x g a ''-≥=≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()10g x g ≥=，从而()2ln 10x x a x --≥，不符合题意；②若102a <<，则112a >，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()1120g x g a ''>=->，所以()g x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭在单调递增，所以()1102g g a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符合题意；③若12a ≥，则1012a<≤，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'，从而()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，所以()2ln 10x x a x --≤恒成立.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解.第17页/共17页。

陕西省宝鸡市2024届高三上学期高考数学(理)检测卷(有答案)

陕西省宝鸡市2024届高三上学期高考数学(理)检测卷(有答案)

陕西省宝鸡市2024届高三上学期高考数学（理）检测卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．1．若集合中只有一个元素，则实数（ ）{}2210A x R ax x =∈-+=a =A ．1B ．0C ．2D ．0或12．已知复数，为z 的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）z =z ||z z -A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．展开式中的第四项为（ ）622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．240D ．3160x3160x-240-4．函数的部分图像大致为（ ）23cos ()1x x e xf x e =-A ．B ．C ．D ．5．已知直线和圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则“”是“y x m =+224x y +=m =”的（ ）AOB △A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．在空间中，下列说法正确的是（）A ．若的两边分别与的两边平行，则AOB ∠111AO B ∠111AO B AOB∠=∠B ．若二面角的两个半平面，分别垂直于二面角的两个半平面，l αβ--αβ111l αβ--1α，则这两个二面角互补1βC ．若直线平面，直线，则l ⊥αa l ⊥//a αD ．到四面体的四个顶点A ，B ，C ，D 距离均相等的平面有且仅有7个ABCD 7．已知，则（ ）4sin 2sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．34-3445-458．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，P ABC -PA ⊥ABC ABC △3AB =2PA =则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8π16π323π12π9．千年宝地，一马当先．2023年10月15日7时30分，吉利银河．2023宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共2万人的热情参与．为确保活动顺利举行，组委会自起点开始大约每隔5公里设置一个饮水站（志愿者为选手递送饮料或饮用水，为选手提供能量补给），两个饮水站中间设置一个用水站（志愿者为选手递送湿毛巾等，协助医务工作者），共15个饮用水服务点，分别由含甲、乙在内的15支志愿者服务队负责，则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．215257153510．过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线与抛物线交于A ，B 两点，其22(0)y px p =>60︒中点A 在第一象限，则（ ）||||FA FB =A ．3B C ．2D ．411．已知函数满足：，且()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()2f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则的值可能是（ ）()6f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ωA ．17B ．21C ．25D ．2912．设，是椭圆与双曲线的1F 2F 22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C m n-=0m >0n >公共焦点，P 为它们的一个交点，，分别为，的离心率，若，则1e 2e 1C 2C 1223F PF π∠=的取值范围为（ ）12112e e ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．(0,2))((2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“任意，”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．(1,3)x ∈4a x x≥+14．设x ，y 满足约束条件，则的最小值为__________．20220220x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y =-15．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，且ABC △2a =2cos 22b c Ac +=，则__________．2AD DB =AD BC ⋅= 16．已知函数，若且，则的最大值为2ln ,0()21,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩12x x ≠()()12f x f x =12x x-__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）[20,30)[30,40)[60,70)（1）根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为99%使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否[20,40)[40,70)（2）若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，[30,50)求这3人中年蛉在人数X 的分布列与数学期望．[30,40)附：．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.82818．（本小题满分12分）已知四棱锥中，，，，，M 为P ABCD -PA PD =//AD BC 90ABC ∠=︒PC BC ⊥的中点．PD （1）求证：平面；//CM PAB （2）若，，求二面角的余弦值．2PA AD ==3PC ==M AC D --19．（本小题满分12分）已知数列，若，且．{}n a 11a =121n n a a +=+（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；{}1n a +{}n a （2）若，且数列的前项和为，不等式对任意的正()12n n nn a b +=21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭nS (1)3log 4a an S ->整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴上运动，且P 满足xOy ||AB =．OB =+（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点M ，N 在曲线C 上，O 为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且OM ON 1k 2k ，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请1213k k =-MON △说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)()1x m f x x m R x +=+-∈+（1）当时，求的单调区间；1m =-()f x （2）已知，求证：当时，恒成立；0x >1m ≥()0f x <（3）设，求证：当函数恰有一个零点时，该零点一定不是函数的极0m >()f x 21x my x +=+值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请先涂题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），直线l 的xOy 1cos sin ,cos sin x y θθθθ=++⎧⎨=-⎩θ参数方程为（其中t 为参数，），且直线l 和曲线C 交于M ，Ncos ,sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩0απ≤<两点．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 经过的定点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线l 的普通方程．112||||PM PN +=23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知，若的解集为．()|31|||f x x x m =-+-()5f x ≤[],2n （1）求实数m ，n 的值；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且满足，求的最小值．()8a b c n +=-221a b c a b c+++++数学（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分．满分60分．123456789101112DDBCBDCBBABA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．14．15．16．(,5)-∞2-83-32三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【详解】（1）根据所给的数据，完成列联表如下：是否使用扫地机器人年龄是否[20,40)440110[40,70)270180221000(440180110270)48.1 6.635550450710290K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故而有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关．99%（2）由条件可知：X 的所有取值有0，1，2，3，，33,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，328(0)5125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，，2232354(2)55125P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭3327(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为X 0123P8125361255412527125．39()355E X =⨯=18．【详解】（1）证明：设H 为的中点，连接，，AD PH CH ，，PA PD = PH AD ∴⊥又，，，//AD BC PC BC ⊥PC AD ∴⊥又，平面，，PC PH P = AD ∴⊥PHC AD CH ∴⊥又，，四边形为矩形，90ABC ∠=︒ //AD BC ∴ABCH 且．//AD BC ∴12BC AD =设N 为的中点，连接，，则，且，PA BN MN //MN BC MN BC =四边形为平行四边形，，∴BCMN //CM BN ∴又平面，平面．BN ⊂PAB //CM ∴PAB （2）由，，2PA AD ==PH CH ==120PHC ∠=︒如图建系，则，，，，32P⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭13,24M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(0,1,0)A-)C ，，)AC ∴=33,24AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量，MAC 1(,,)n a b c =由得：1100AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩033024b b c +=⎨++=⎪⎩得一个法向量为，平面的一个法向量为，)13,7n =- ACD 2(0,0,1)n =．121212cos ,n n n n n n ⋅==M AC D --19．【详解】（1），，121n n a a +=+ ()1121121n n n a a a +∴+=++=+又，是首项为2，公比为2的等比数列．112a += {}1n a ∴+，．11222n n n a -∴+=⋅=21n n a =-（2），且结合（1）得，()12n n nn a b +=n b n =，211111(2)22n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭11111111111232435112n S n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭，1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭要使不等式对任意正整数n 恒成立，只要，即．(1)3log 4a a n S ->(1)33log 44a a-≥(1)log 1a a -≥由题意可得，解得，只需，解得，110a a a >⎧⎪≠⎨⎪->⎩01a <<1a a -≤12a ≥综上所述，实数a 的取值范围是．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．【详解】（1）设，，，，，(,)P x y ()0,0A x ()00,By ||AB = 22008x y ∴+=，，OB =+0=0y =动点P 的轨迹C 的方程．∴221124x y +=（2）依题的斜率不为0，所以设，，，MN :MN x my t =+()11,M x y ()22,N x y联立得，，221124x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22232120m y mty t +++-=0∆>得，，．224120m t -+>12223mt y y m -+=+2122123t y y m -⋅=+又因为O 到的距离，MN d =，2||MN y =-=11|||22MONS MN d t ==△又因为，，1213k k ⋅=-()()12123y y my t my t ∴=-++代入韦达定理得，化简得，()2223t m =+MON S =△综上，的面积是定值，且该定值为MON △21．【详解】（1）时，1m =-，．()ln(1)1f x x x =+-+1()1(1)11xf x x x x '=-=->-++所以，当时，，单调递增；10x -<<()0f x '>()f x 当时，，单调递减．0x >()0f x '<()f x 即的递增区间为，递减区间为．()f x (1,0)-(0,)+∞（2）因为，，0x >2()0(1)ln(1)f x x x x m <⇔++<+令，则，2()(1)ln(1)(0)g x x x x m x =++-->()ln(1)12g x x x '=++-令，则，()()h x g x ='1()201h x x '=-<+即在上单调递减，且，，()g x '(0,)+∞13ln 022g ⎛⎫'=>⎪⎝⎭(1)ln 210g '=-<即存在唯一，使，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()000ln 1120g x x x '=++-=且()()()()()222max 000000000()1ln 11211g x g x x x x m x x x m x x m==++--=+---=+--，又因为，则，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2011110g x m m <+--=-≤所以时，恒成立．即．1m ≥()0g x <()0f x <（3）由（2）知函数的零点就是函数的零点，()f x ()g x 当有唯一零点时，设为，则，()f x 0x 20010(*)x x m +--=又，即该函数的极值点为，211211x m m y x x x ++==++-++1x =代入得，此方程无解，所以原命(*))2120m +--=0=题成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号．22．【详解】（1）由，将两个方程左右两边平方后相加，1cos sin cos sin x y θθθθ-=+⎧⎨=-⎩可得曲线C 的直角坐标方程为．22(1)2x y -+=由得直线l 经过的定点P 的坐标为．cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(0,（2）将，代入，得cos x t α=sin y t α=+22(1)2xy -+=，(22(cos 1)sin 2t t αα-+=即，设其两根为，，()22cos 20t t αα-+=1t 2t 则，121212*********||||t t t t PM PN t t t t t t +++=+====得，即，得，经检验，cos 2αα=sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πα=0∆>故直线l 的普通方程为：y =-23．【详解】（1）因为的解集为，所以，得，()5f x ≤[],2n (2)5f ≤2m =当时，，得，123x ≤≤3125x x -+-≤123x ≤≤当时，得，13x ≤13x 25x -+-≤1123x -≤≤综上解得，，，．122x -≤≤12n ∴=-2m ∴=12n =-（2）由（1）得，，12n =-()4a b c ∴+=，2212()11()2a b c a b ca b c a b c a b c a b c a b c ++++++=+=+++++++++又a ，b ，c 均为正数，，()4a b c +=所以得，2()2a b c a b c ++⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭4a b c ++≥所以，2211924a b c a b c a b c a b c ++++=+≥+++++当且时，即，取得最小值．4a b c ++=()4a b c +=2a =2b c +=94。

陕西省汉中市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)

陕西省汉中市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （）A.{0,1}B.{1,0}- C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】将集合B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合B 化简可得{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = 故选:A2.已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【详解】由()2i 1z +=可得12i 21i 2i 555z -===-+，即虚部为15-.故选：A3.已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=-- ，若m与n共线且同向，则实数λ的值为（）A.2B.4C.2- D.2-或4【答案】C 【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，∵m 与n共线且同向∴(2)80λλ-+=，解得2λ=-或4λ=，当4λ=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C ．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.πC.πD.【答案】A 【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为()21π310567.5π2V =⨯⨯⨯+=.故选：A 5.已知2tan 3α=，则sin 2cos(2)απα--=（）A.713B.1113C.73D.1713【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角的三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 17sin 2cos(2)sin cos tan 113αααααααπαααα+-+---==++．故选：D.6.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】C 【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9)共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为42105P ==，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“,4k x k π=∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件C.命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”D.“1xy=”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 的正误，利用正切函数的性质判断B 的正误，利用命题的否定形式判断C 的正误，利用对数的定义判断D 的正误.【详解】对A ，若22am bm ≥中，0m =时a b <也成立，故A 错；对B ，当34x π=时，tan 1x =-，故tan 1x ≠，若tan 1x =，则(41)4k x π+=，故B 对；对C ，存在量词命题的否定是1,2x x x∀∈+<R ，故C 错；对D ，若1,,xy x y =均为负数，则lg ,lg x y 无意义，故D 错.8.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（）A .－4B.4C.14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m 的值.【详解】根据221mx y +=,得到2211x y m-=-,则焦点在y轴，故渐近线为y =，2=，故4m =-.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在(),0∞-上是增函数的是（）A.()22x x f x -=- B.()23f x x =- C.()2ln =-f x xD.()cos3=f x x x【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可.【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在(),0∞-上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0∞-()0,+∞ ，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0∞-上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5π3π,248⎡⎤⎢⎣⎦ D.5π3π,84⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出ω，根据点的坐标，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T =，所以πT =，2π2Tω==，()4sin 2y x ϕ=+.又图象过点π,224⎛⎫⎪⎝⎭，所以有π4sin 212ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，π1sin 122ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以5ππ7π121212ϕ-<+<，所以ππ126ϕ+=，所以π12ϕ=，π4sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,2122k x k k -+≤+≤+∈Z 可得，7π5πππ,2424k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .当1k =-时，单调递增区间为31π19π,2424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，单调递增区间为7π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时，单调递增区间为17π29π,2424⎡⎤⎢⎣⎦；对于A 项，19ππ7π24324-<-<-，故A 项错误；对于B 项，因为7ππ5π24824-<<，故B 项正确；对于C 项，因为5π3π17π24824<<，故C 项错误；对于D 项，因为5π5π17π24824<<，故D 项错误.故选：B.11.如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A.22y x =B.24y x =C.23y =D.28y x=【答案】B 【解析】【分析】根据1AB k =求出M 的坐标，然后得MC 的方程，令0y =，得C 的坐标，利用直角梯形的面积求出p ，可得抛物线方程.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形OCMN 为直角梯形，且//FC NM .设()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =，00322p p x y =+=，∴3,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭.所以MC 直线方程为32p y p x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴令0y =，∴52p x =，∴5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭.所以四边形OCMN 的面积为1538222p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴2p =.故抛物线E 的方程为24y x =.故选：B.12.已知函数2e ()2x k f x x kx x =+-，若1x =是()f x 在区间(0,)+∞上的唯一的极值点，则实数k 的取值范围是（）A.2e ,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.3e ,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3e ,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数导数221()(e )x x f x kx x-'=+⨯，由题可知需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，因此分离参数2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，利用导数求得其最小值，则可得2e 4k -≤，即可求得答案.【详解】由题意得2222e e e 1()()(1)(e )x x x x x xf x kx k k x kx x x x--'=+-=+-=+⨯，由题意可得1x =是函数()f x '在区间(0,)+∞上唯一变号的零点，令()2e xh x kx =+，则需满足()h x 在(0,)+∞上没有变号零点；令()2e 0xh x kx =+=，得2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，则3(2)()e xx g x x'-=，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当2x =时()g x 取得最小值2e(2)4g =，其大致图象如图：要使()h x 没有变号零点，则需2e 4k -≤，即2e4k ≥-，即实数k 的取值范围是2e ,)4[-+∞.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间(0,)+∞上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数221()(e )xx f x kx x-'=+⨯后，需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)f f -+=()2222log 32log 3log 32222log 134log 22222311++=+=+=+=.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：2221217π2πsin 333BCr r S r A===⇒=⇒==.故答案为：7π3.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===⨯，()2133sin 16234ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以()()232116(4)41664344P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=⨯-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足38a =，572S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()112nn n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）31n a n =-（2）1344n n ++-【解析】【分析】（1）由等差数列前n 项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量1,a d 即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，依题意得()11154526228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩,解得123a d =⎧⎨=⎩,所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，()*Nn ∈．【小问2详解】因为()112n n n n b a +=-+，()*N n ∈，所以()()()()232122143221222n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+()22221212332434412n n n n n n ++-=⨯+=+⨯-=+--．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y 125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,n n i i i i i i n n i i i i x y nxyx x y y b ay bx xnx xx ====---===---∑∑∑∑()2P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k2.7063.841 5.024 6.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【答案】（1）ˆ1101325yx =-+，775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出x 与y ，代入公式后求出ˆb ，ˆa ，得到回归直线方程；（2）代入公式求出2 4.6875K =，与3.841比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】1234542x +++==，12501050100090010504y +++==，1222151250210030003600410502ˆ11051491642n i i i n i i x y nxy b xnx ==-+++-⨯⨯===-⎛⎫-+++-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，5ˆˆ105011013252a y bx =-=+⨯=，回归直线方程为ˆ1101325yx =-+5x =时，ˆ5501325775=-+=y【小问2详解】2250(727313)10402030 4.6875 3.841K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯=⨯，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为4的正三角形，侧棱1AA =1A 在平面ABC 上的射影为BC 边的中点O.（1）求证：平面1AOA ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角11C A B O --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）先证明出BC ⊥面1AOA ，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为ABC 是边长为4的正三角形，BC 边的中点O ，所以BC OA ⊥.因为顶点1A 在平面ABC 上的射影为O ，所以1OA ⊥平面ABC ,1OA BC ⊥.因为1OA Ì面1AOA ，OA ⊂面1AOA ，1OA OA O = ,所以BC ⊥面1AOA .所以BC ⊂面11BCC B ，所以平面1AOA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为ABC 是边长为4的正三角形，O 为BC 边的中点，所以3sin 6042OA AB =︒=⨯=.在直角三角形1OAA中，16OA ==.所以()0,0,0O ，()A ，()0,2,0B ，()0,2,0C-，()10,0,6A .所以()AB =- ,()2,0AC =-- .在三棱柱111ABC A B C -中，由11AB A B =，()10,0,6A 可求得：()12,6B -.同理求得：()12,6C --.所以()11A B =- ，()10,2,6CA = ,()10,0,6OA = .设(),,m x y z = 为平面11OA B 的一个法向量，n 为平面11CA B 的一个法向量.因为11100A B m OA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2000060y z ⎧-++=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1x =，则()m = .同理可求：33n ⎛=- ⎝⎭ .设θ为二面角11C A B O --的平面角，由图可知：θ为锐角，所以,239cos cos ,13m n m n m n θ===⨯ .即二面角11C A B O --.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2A ⎛ ⎪⎝⎭，点()1,0F 为椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F 作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆相交1A 、1B ，直线2l 与椭圆相交2A 、2B 两点，求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出11||A B 和22||A B ，求出S 后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】由题意可得2222212141a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】设直线1l 的方程为()10x ty t =+≠，联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210t y ty ++-=，22244(2)8(1)0t t t ∆=++=+>,设()111,A x y ，()122,B x y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，所以11A B =====)2212tt+=+，同理可得)2222221111212t tA Btt⎫⎛⎫-+⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()22221122222224141116||||292212212t tS A B A Bt t t t++=⋅=≥=++⎛⎫+++⎪⎝⎭，当且仅当22212t t+=+，即1t=±时取等号.所以四边形1212A AB B的面积S的最小值为169.21.已知函数()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+．（1）求函数()g x的单调区间；（2）若方程()f x m=的根为1x、2x，且21x x>，求证：211ex x m->+．【答案】（1）单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()f x的单调性，()1lnf x x'=+，推出()f x x<-，设直线y x=-与y m=的交点的横坐标为3x，则13x x m<=-，证明当1,1ex⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e1f x x<--，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+，所以()l1n2xg x xx=-+定义域为()0,∞+，()()222221212110xx xg x xx x x---+-'=--==≤，所以()g x在()0,∞+上单调递减，即()g x的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；【小问2详解】证明：()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x ¢>所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 11e e f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0f x x x =<，所以12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()f x x <-，设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则1311ln x x m x x <=-=-，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设l e 111()ln (1)(n )11e ()e 1h x x x x x x x =--=-+---，11()ln 1e (1e )m x x x=-+--，则22e 11(1)1(e )(1))e (1x m x x x x --'=-=--，当11e e 1x <<-时，()0m x '<，当11e 1x <<-时，()0m x '>，所以()m x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上增函数，又因为10e m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10m =，所以当11ex <<时，()0m x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设直线1(1)1y x e =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则241(e 1)x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM = ，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线3y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．【答案】（Ⅰ）3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),P x y 由于P 点满足3OP OM = ，所以,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线3y x =转换为极坐标方程为π6θ=．所以2sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=，同理6sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故312A B AB ρρ=-=-=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21|||,f x x x a a R=-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1x ≥或1x ≤-；（2）14a .【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，即min |1|()a f x - ，根据1,2a -之间的大小关系，进行分类，最后求出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，1()211322113x f x x x x x ⎧⎪=-++⇔⎨⎪-++⎩ ，或1121123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩ 或11213x x x -⎧⎨---⎩ ，即121x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ，或1121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩ ，或11x x -⎧⎨-⎩ ，即1x ≥或1x ≤-.（2）即min |1|()a f x - ，当12a =-时，min 1(),()|1|2f x f f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 恒成立；当12a >-时，31,1()1,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+--⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-⎪⎩，可知min 11()22f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1142a >- ；当12a <-时，131,21()1,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+--⎪⎪⎩，同理min 11()22f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得12a <-.综上，a 的取值范围为14a .【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.21。

高三数学复习(理)：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

高三数学复习(理)：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[学生用书P5]1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；(3)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤03．已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分[学生用书P5]四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B ＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选 C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.(2)当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q 的充要条件，故选C.【答案】(1)A(2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p，则q、若q，则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒]判断充要条件时需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2021·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cos A＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.A＝60°⇒cos A＝12，cos A＝12⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cos A＝12”的充分不必要条件．2．(2021·广东省七校联考)已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件，选B.3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件解析：选D.由“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要不充分条件．充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，又因为“x ∈A 且x ∉B ”，所以－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．故选D.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 (1)D (2)[0，3]【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，所以P ⇒S 且S ⇒P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．(2021·东北三校第一次联考)下列说法中正确的是( )A ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≥cB ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≤cC ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则b ＞cD ．若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则b ＜c解析：选A.令A ＝{a |a ＞b }，B ＝{a |a ＞c }，C ＝{a |a ＜b }．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则有A ⊆B ，则b ≥c ，故选项A 正确，选项B 错误；若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则有A ＝B ，则b ＝c ，故选项C 错误；若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则有B ⊆C ，这是不可能的，故选项D 错误．故选A.2．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选C.命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0⇔∀x ∈[1，3]，x 2≤a ⇔9≤a .则“a ≥10”是“命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.3．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________．解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案： 3[学生用书P7]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．方法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B.[学生用书P357(单独成册)][A级基础练]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是()A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为0.逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，故选C.3．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.4．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，－1＜x＜0，由x2＋2x＜0得－2＜x＜0，所以“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的充分不必要条件，故选A.5．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b＞0”是“a 与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a 与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立．故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.6．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b＞0 B．a－b＞0C．ab＞1 D.ab＞1解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，ab＞1，故选A.7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得，直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.8．(2021·六校联盟第二次联考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＞0，b＞0，8≥a＋b≥2ab，故4≥ab，ab≤16，所以a＋b≤8可以推出ab≤16.若a＝2，b＝8，则a＋b＝2＋8＝10，所以ab≤16推不出a＋b≤8.9．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0⇒/x ＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分10．条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是________．解析：设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x ≥2}，(1)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以a ≥2.(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a <2.答案：(1)a ≥2 (2)a <211．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]12．给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②在△ABC 中，“sin B >sin C ”是“B >C ”的充要条件是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法中正确的是________．(填序号)解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④[B级综合练]13．若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是()A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.14．已知条件p：x2＋2x－3＞0；条件q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.答案：[1，＋∞)[C级提升练]15．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.16．能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。

2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,4,5}S =，{2,3,4}T =，则()US T 等于 （ ）A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5} 【答案】B【分析】先计算出U T ，再由交集定义计算． 【详解】由题意{1,5,6}U T =所以(){}1,5US T =．故选： B【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握并理解集合运算“交并补”是解题关键． 2．已知i 52i z ⋅=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的四则运算求出z ，然后根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得()252i i52i 25i i i z --===--， 所以复数z 在复平面内对应的点为()2,5--，位于第三象限， 故选：C3．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）． A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．不是互斥事件【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件， 所以这两件事不是对立事件.故选：C 4．函数4x xxy e e -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D ，再根据f(1)排除C 得解. 【详解】由题得4()()xxxf x f x e e ---==-+，所以函数是奇函数，排除选项B,D.由题得14(1)0f e e -=>+，所以排除选项C. 故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．若实数x ，y 满足约束条件2303204120x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）．A ．6B ．5C ．3D ．2【答案】D【分析】根据题意作出可行域，进而根据z 的几何意义求得答案.【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC ，当且仅当动直线y x z =-+经过点A 时，z 取得最小值，联立32012301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，此时min 112z =+=．故选：D.6．函数()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增【答案】B【分析】整体法得到ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，数形结合得到函数的单调性.【详解】ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y z =-在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数.故选：B7．已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是矩形，SA ⊥底面ABCD ，其三视图如图所示，则二面角B SAC --的正弦值为（ ）A ．12 B ．1 C 25D 6【答案】C【分析】画出四棱锥S ABCD -的直观图,根据条件知BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，再求其正弦值即可.【详解】由三视图得四棱锥S ABCD -的直观图如下图:SA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，故,,SA AB SA AC ⊥⊥又面SAB面SAC SA =，故BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，由题意知:1,2AB BC == ， 在Rt ABC △中, 22225sin 521BC BAC AC ∠===+， 二面角B SA C --的正弦值为255， 故选:C8．某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）． A ．57周岁以上参保人数最少 B ．18～30周岁人群参保总费用最少 C ．C 险种更受参保人青睐D ．31周岁以上的人群约占参保人群80％ 【答案】B【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A 选项正确. B 选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍， 所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B 选项错误. C 选项，C 险种参保比例0.358，是最多的，所以C 选项正确.D 选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%40%10%80%++=，D 选项正确. 故选：B9．已知数列{}n a 中，()25e nn a n n =-（e 为自然对数的底数），当其前n S 项和最小时，n 是（ ）A ．4B ．5C ．5或6D ．4或5【答案】D【分析】根据已知分析数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =，即可根据数列前n 项和的定义得出答案.【详解】e 0n >，25n n -在5n ≤时，250n n -≤，且5n =时，250n n -=， 则数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =， 123n n S a a a a =++++，则当其前n S 项和最小时，n 是4或5， 故选：D.10．已知函数()[]4ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意将函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，有图形可得当05x <<时，()f x 有3个零点，再根据当5x ≥时，则()4ln 36f x x x ≤-+，结合导数证明当5x ≥时，()f x 无零点，即可得结果.【详解】令()[]4ln 330f x x x =-+=，则[]4ln 13x x =-，故函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，且3e 16>，即34e 2>，如图所示：由图可得；当05x <<时，4ln 3y x =与[]1y x =-有3个交点，即当05x <<时，()f x 有3个零点；当5x ≥时，则()[]()4ln 334ln 3134ln 36f x x x x x x x =-+≤--+=-+， 构建()()4ln 365g x x x x =-+≥，则()430xg x x-'=<当[)5,x ∈+∞上恒成立， 则()g x 当[)5,+∞上单调递增，故()()962554ln 59ln0e g g x ≤=-=<， 可得：当5x ≥时，则()()0f x g x ≤<，即当5x ≥时，()f x 无零点； 综上所述：函数()f x 有3个零点. 故选：C.11．过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为 A ．23B ．43C ．83D ．不能确定【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--==⋅⋅43.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．关于x 方程()(log 0,1m x k m m =>≠的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（ ）（11a <<；（2）2a b <+<；（3）()1log 11a bb a a a ++-<-；（4）()()1441b a a b +++<+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】根据题意结合对数分析可得01a b <<<，且1b a =，对（1）：解不等式12b a a=<即可得结果；对（2）：由1a b a a+=+，根据1y x x =+的单调性分析运算即可；对（3）：()()11log 11log 1log a b a b b b b a a a a a b a +++-<-⇔+-<-，构建()log x b g x x a =-，结合()g x 的单调性分析判断；对（4）()()()()14ln 4ln 11414b a a b a b a b +++<++++⇔+<，构建()ln xh x x =，结合()h x 的单调性分析判断.【详解】由题意可得：log log m m a b k ==，则log log log 0m m m a b ab +==，故1ab =， ∵a b <，故01a b <<<，且1b a=，对（1）：由2b a <，即12a a <，解得a >a <∵01a <<(11,a b a<<=∈，（1）正确；对（2）：∵1a b a a +=+，且1y x x =+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，∴2a b <+<，（2）正确；对（3）：构建()11f x x x =-+，则()f x 在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()10f x f >=>⎝⎭， 可得110a a-+>，即11a b a +>=，∵()()1log 11log 1log a b b b b a a b a a ++-=+-<-，等价于()1log 1log a b b b a a b a ++-<-，构建()log xb g x x a =-，1a b <<，则()g x 在定义域内单调递增， ∴()()1g a g b +>，即()1log 1log a b b b a ab a ++->-，C 错误；对（4）：由（1）得(44,12,1a b ⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且41a b +>+，由()()1441b a a b +++<+，等价于()()()()44ln n 11l a b a b +<+++，等价于()()ln 44l 11n a a b b ++<++， 构建()ln x h x x=，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '>，则0e x <<，故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()()(ln 2ln 424124h h h ===<，∴()()()24h x h h >=在(2,1上恒成立，即()()1n 4l 1h b b >++，又∵()h x 在()e,+∞上单调递减，则()()442h h h x ⎛>+> ⎝⎭在4⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()4ln 44a h a +>+，故()()ln 44l 11n a a b b ++<++，（4）正确.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数h (x )；（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．二、填空题13．已知向量()1,3a =，()3,4b =，若()()ma b a b -⊥+，则实数m =__________．【答案】85【分析】首先求出ma b a b -+,的坐标，然后根据向量垂直的坐标表示建立方程求解. 【详解】由题意得()()4,7,3,34a b ma b m m +=-=--， 因为()()ma b a b -⊥+，所以()()437340m m -+-=，解得85m =. 故答案为：85.14．()62x +展开式中含3x 项二项式系数为__________．【答案】20【分析】根据二项式系数的定义运算求解.【详解】()62x +展开式中含3x 项二项式系数为36C 20=.故答案为：20.15．已知二次函数()f x 满足条件：（1）()f x 的图象关于y 轴对称；（2）曲线()y f x =在1x =处的导数为4，则()f x 的解析式可以是__________．【答案】()221f x x =+（答案不唯一）【分析】取()221f x x =+，确定函数为偶函数，()4f x x '=，()14f '=，满足条件，得到答案.【详解】取()221f x x =+，则()()221f x x f x -=+=，函数为偶函数，关于y 轴对称；()4f x x '=，()14f '=，满足条件.故答案为：()221f x x =+（答案不唯一）16．已知函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移π02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，可得到函数sin 2cos 2y x a x =-的图像，则φ =___________.【答案】π4【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定2,3a ω==3a =3a =根据平移后的解析式结合π02φ<<，即可求得φ的值. 【详解】解：函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移φ个单位得到函数()ππ2sin 2sin 66y x x ωφωωφ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即函数sin 2cos 2y x a x =-又函数()2sin 2cos 212y x a x a x ϕ=-+-， 所以2212a ω⎧⎪=+⎨=⎪⎩3,2a ω==.当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则ππ22π,Z 63k k φ-+=-+∈，所以ππ,Z 4k k φ=+∈，又π02φ<<，所以π4φ=；当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ππ22π,Z 63k k φ-+=+∈，所以ππ,Z 12k k φ=-+∈，又π02φ<<，所以无解；综上，π4φ=. 故答案为：π4.三、解答题17．已知等差数列{n a }的前三项和为15，等比数列{n b }的前三项积为64，且112a b ==. (1)求{n a }和{n b }的通项公式;(2)设,n n a n c n ⎧⎪=为奇数为偶数，求数列{n c }的前20项和.【答案】(1)31n a n =-，2nn b =(2)2336【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式； （2）根据（1）的结果求数列{}n c 的通项公式，再利用分组求和法，求数列{}n c 的前20项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由条件可知，1232315a a a a ++==，得25a =，213d a a =-=， 所以()21331n a n n =+-⨯=-，等比数列中，2123364b b b b ==，则24b =，212b q b ==， 所以1222n nn b -=⋅=；（2）231,2,nn n n c n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数, 对数列{}31,n n -为奇数时，()()321316n n +---=， 所以数列{}n c 的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列22,n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶数，222222n n +=， 所以数列{}n c 的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{}n c 的前20项和为：()()1232013192420.........c c c c c c c c c c ++++=+++++++()()101111212102562902222882336212-+=+=+-=+=-.18．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别 分组频数 频率 第1组[)50,60 140.14第2组[)60,70 m第3组 [)70,80 36 0.36第4组 [)80,900.16第5组 [)90,1004 n合计(1)求m ，n ，x ，y 的值；(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)30m =，0.04n =，0.03x =，0.004y =(2)分布列见解析，数学期望为35【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图的定义列式求解即可.（2）ξ服从二项分布，即可根据公式求二项分布概率公式及期望公式求得结果. 【详解】（1）由题意可得第四组的人数为1000.1616⨯=， 所以100143616430m =----=，40.04100n ==， 又[)60,70内的频率为300.3100=，所以0.30.0310x ==， [)90,100内的频率为0.04，所以0.040.00410y ==．（2）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为0.160.040.2+=， 由题意ξ可取0，1，2，3，且13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121314481C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212314122C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331413C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：ξ0 12 3P 64125 48125121251125()13355E ξ=⨯=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ，AD BA ⊥，3AD =，2AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点．(1)若2DM MP =，求证：直线MN 平面P AB ；(2)求二面角N PC D --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)71339-【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明 （2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）取P A 的点Q ，满足2=AQ PQ ，连接MQ ，QB ，因为2DM MP =，所以MQ AD 且113QM AD ==， 又因为BC AD ，且2BC =，点N 为BC 中点，即BN AD ，且1BN =，所以MQBN 且BN MQ =，则四边形MQBN 为平行四边形，则MN BQ ∥，MN ⊄平面P AB ，BQ ⊂平面P AB ， 所以直线MN平面P AB ．（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ， 又N 为BC 的中点，则()2,1,0N ，所以()0,3,3PD =-，()2,1,0CD =-，()2,1,3PN =-，()2,2,3PC =-， 设平面CPD 的法向量为()1,,n x y z =，则1120330n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()11,2,2n =，设平面CPN 的法向量为()2,,n a b c =，则222230230n PC a b c n PN a b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令3a =，则()23,0,2n =，所以121212cos ,1n n n n n n ⋅===+ 由题意可得：二面角N PC D --的平面为钝角，故其余弦值为 20．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OAB (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:l x t =交x 轴于点P ，其中t a >，直线PB 交椭圆E 于另一点C ，直线BA 和CA 分别交直线l 于点M 和N ，若O 、A、M 、N 四点共圆，求t 的值． 【答案】(1)22143x y += (2)6【分析】（1）由离心率为12可得b =，又OAB 面积的最大值为12ab =得答案；（2）设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，又11(2)2M y t y x -=-，22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN ⋅=⋅，即(2)M N t t y y -=，根据韦达定理化简可得()()21212(2)3(2)(2)224M N y y t y y t t x x -==+---，从而即可求解.【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c ，则12c a =，即2222114c b a a =-=，得b =，设()1111,,2OAB B x y S a y =，由1y b ≤，所以OAB S的最大值为12ab，将b=代入12ab =2=2,a b ==， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）解：设()22,C x y ，因为点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，则直线BC 不与x 轴重合，设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立得()2223463120m y mty t +++-=，()()222236123440m t m t ∆=-+->，可得2234t m <+，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，直线BA 的方程为11(2)2y y x x =--，令x t =得点M 纵坐标11(2)2M y t y x -=-，同理可得点N 纵坐标22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN =⋅，即(2)M N t t y y -=，()()()()()2221212122212121212(2)(2)(2)2222(2)(2)M N y y t y y t y y t y y x x my t my t m y y m t y y t ---===--+-+-+-++-()()()222222234(2)346(2)34(2)t t m t m t t m t --=---++-()22223(2)(2)3(2)634(2)t t m t m t m t +-=+-++-23(2)(2)3(2)(2)4(2)4t t t t t +-==+--，由2t >，故3(2)(2)(2)4t t t t -=+-，解得6t =．21．已知函数()12e x f x x -=． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()()1f x h x x =+的最小值； (3)若函数()f x 的图象与直线y m =有两个不同的交点()11,A x y 、()22,B x y ，证明：14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤．【答案】(1)单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)e2(3)证明见解析【分析】（1）根据函数解析式可得定义域为()0,∞+，利用导函数即可判断函数()f x 的单调性得出其单调区间；（2）对函数()h x 求导判断出其单调性即可得()h x 的最小值为()e12h =； （3）通过观察需要证明的不等式特征结合（1）（2）中的结论可知，函数()f x 的图象在两条切线2e e2y x =+和1144e 2e 52y x =-+的上方，即可得出AB 的距离小于等于y m =被两切线截得的线段长.【详解】（1）由函数()12e x xf x x-==可得定义域为()0,∞+，()2e 1x x f x -'=令()0f x '=可得12x =， 当102x <<，()0f x '<，即()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 当12x >，0f x，即()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；所以，函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意得()121e x x h x x -=+，其定义域为()0,∞+，()x h x ' 当()0,1x ∈，()0h x '<，即()h x 在()0,1x ∈上单调递减， 当()1,x ∈+∞，()0h x '>，即()h x 在()1,x ∈+∞单调递增； 所以()()min 2e 1h x h ==，即()h x 的最小值是e2．（3）由（2）可知122e e1x x x -≥+，即122e e e 2x x x -≥+，直线2e e 2y x =+为函数()f x 的一条切线，()2e 1x xf x -'14x =，14124e f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，1414e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 在14x =处的切线方程1144e 1224e y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1144e 2e 52y x =-+（下面证明此切线在函数()f x 图像下方）令()111244522e e e x m x x x -=+-，()142e xm x '+， 又令()14e212e x x x ϕ-=，()()5221443e 04x x xxx ϕ-'=-+>恒成立，则()m x '为单调递增函数，又104m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当14x <时，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭<，此时()m x 单调递减，当14x >，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭>，此时()m x 单调递增，所以()104m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 图像夹在直线1144e 2e 52y x =-+和直线2e e2y x =+之间，直线y m =与直线1144e 2e 52y x =-+的交点为145,2e 4m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与直线2e e 2y x =+的交点为21,e m m ⎛⎫-⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，则114412251291e 4e 42e e 2m m AB x x m ⎛⎫=-≤--+=+- ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：在证明不等式14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤时，关键是利用前两问的结论得出函数()f x 的图象夹在两条切线之间，并找出对应的切线方程即可证明结论.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值． 【答案】(1)曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+= (2)2【分析】（1）通过消参求得曲线1C 的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)利用极径的几何意义求解.【详解】（1）∵12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则1x y +=， ∵cos sin x y ρθρθ==，，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 由2(cos sin )ρθθ=-，得2222x y x y +=-，即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=. （2）由2(cos sin )ρθθ=-得 cos sin 2ρθθ-=， ①由()cos sin 1ρθθ+=得1cos sin θθρ+=，②22+①②可得22124p ρ+=， 即42840p ρ-+=设P ，Q 两点所对应的极径分别为12,ρρ， 则()2124ρρ⋅=， ∴12||||2OP OQ ρρ⋅=⋅=.23．已知函数()2123f x x x =+-+. (1)求()f x 的最大值m ;(2)若正数,,a b c 满足abc m =，证明: 111a b c++【答案】(1)1 (2)证明见解析.【分析】（1）由题知()31,2345,121,1x f x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩，再求解最大值即可；（2）根据基本不等式证明即可.【详解】（1）解：当32x <-时，()322223112f x x x x x =+-+=++--=；当312x -≤≤-时，()2223452123f x x x x x x =----+=-=--+； 当1x >-时，()322223112f x x x x x =+-=+--=-+，所以()31,23212345,121,1x f x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=+-+=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩因为当312x -≤≤-时，函数()f x 单调递减，32x <-或1x >-时，函数为常函数， 所以，函数()f x 的最大值为1，即1m =（2）解：因为11a b +≥11b c +≥11a c +≥所以111a b c ++≥因为，由（1）知1m =，即1abc =，===所以，111a b c++≥a b c ==时等号成立，所以111a b c++.。

高三数学试题(理科)

高三数学试题(理科)

高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. ３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U 为全集，若集合A 、B 、C 满足A ∩B=A ∩C ，则可以推出( ) A ． B=C B ．A ∪B=A ∪C C ．A ∪(U C B)=A ∪(U C C) D ．(U C A)∪B=(U C A)∪C 2．函数g (x )满足g (x )g (－x )＝1，且g (x )≠1，g (x )不恒为常数，则函数f (x)=g(x)+1g(x)-1( )A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数f (x)=223(1)131(1)x x x x x x ⎧+->⎪-⎨⎪+≤⎩，则f –1(3)=( ) A ．10 B ．12 C ． 23 D ． －124．设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 5．二项式(1x－)n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（ ）A ．5B ．6C ．3D ．76．设OA u u u v =a v ，OB uuu v =b v ，OC u u u v =c v ，当c v =λa v +μb v (λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ． 直线AB 上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a －1个不同元素的选法记为P ，从17个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q ，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S ，若P+Q=S ，则a 的值为（ ）A ． 6B ． 6或8C ．3D ．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于（ ） A．3 B ．3 C ．2 D．69．设OM u u u u v =（1，12），ON u u u v =（0，1），则满足条件0≤OP uuu v ·OM u u u u v ≤1，0≤OP uuu v ·ON u u u v ≤1的10．已知函数f k图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2+y 2=k 2上，则f (x)的最小正周期为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自我复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2047个“禽流感”病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（ ）A ． 1024B ．2047C ．2048D ．204912．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR uuu v =12（OP uuu v +OQ uuu v），R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是ΔPQS 中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（ ）A ．tan α·tan β=1B ．sin α+sinC ．cos α+cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan2αβ+高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________ 学号______________ 姓名___________ 得分___________第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题13．把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-va （m >0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________14．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为__________________. 15．利用函数f (t)=12+3sin[2365π(t －81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f (t)表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0表示1月1日，依此类推0≤t ≤365，若二月份28天，则这一地区一年中白昼最长的大约是 月 日.16．在平面几何里，有勾股定理“设ΔABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥O －ABC 的三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两相互垂直， 则______________________________________________.” 三、解答题：本大题6个小题，共74分17．（本小题满12分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a v sin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v 、为互相垂直的单位向量，若||a =v.(Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．18. (本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值； 若不存在，说明理由；19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P ． （Ⅰ）如果甲、乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围； （Ⅱ）如果P=13，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.20. （本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. （Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.21. （本小题满分1４分）已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.ABCDA 1 D 1C 1 B 1P22．（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x+y)= f(x)·f(y)且f(1)=1 2 .(Ⅰ)当n∈N+时，求f(n)的表达式.(Ⅱ)设a n=n·f(n),n∈N+，求证a1+a2+…+a n<2.答案：1．D 由A ∩B=A ∩C 知B ，C 在A 内部的元素相同，由韦恩图可得. 2．A3．Ｃ 2231x x x +--=(1)(3)1x x x -+-=x+3 依题意 当x>1时 f(x)>4当x ≤1时 f(x)=3x+1≤4 令t= f －1(3) ∴f(t)=3<4 即3t+1=3 ∴t=234．D 将f(x)拆成：当x 是有理数时，f(x)=1;当x 是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C 展开式的通项为r nC (1x)n-r ·(－)r =(－1)r ·r n C 4()3r n r x --（r=0,1,2,…n ）即存在自然数r ，使43r －(n －1) =4即7r=3n+12且n ≥r,故选C. 6．B ∵n+μ=1 ∴λ=1－μ，∵c v =λa v +μb v =a v +μ(b v －a v )=a v +μAB u u u v∴AC u u u v =c v －a v =μAB u u u v ，即AC u u u v 与AB u u u v共线.7．D 法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。

2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)

2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)

2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}22|120,Z |450A x x x B x x x =--<=∈+-<，则A B =（ ）A ．{}|31x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【分析】由题知{}|34A x x =-<<，{}4,3,2,1,0B =----，再求交集即可.【详解】解：{}()(){}{}2|120|430|34A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}()(){}{}2Z |450Z |5104,3,2,1,0B x x x x x x =∈+-<=∈+-<=----， 所以，{2,1,0}A B =-- 故选：C2．已知a ，b 为实数，复数2i z a =+，若2i z ba z+=，则||a b -=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出||,||a b 即可得答案. 【详解】因为2i z a =+，所以2i z a =-， 则2i2i 2i z b a b a a z+++==-，即22i 2i(2i)42i a b a a a a ++=-=+，从而2422a a ba =+⎧⎨=⎩，即231b a a =⎧⎨=⎩，解得||1,||3==a b ，故|||| 2.a b -=-故选：A.3．已知函数()22123x f x x +=--，则()3f =（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【分析】整体代换，令213x +=求得x 后代入已知式可求值． 【详解】令213x +=，得1x =，则(3)f 2132=--=- 故选：B ．4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（ ）A ．0.99π2mB ．0.9π2mC ．0.66π2mD ．0.81π2m【答案】D【分析】根据题意可知：该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.要求该几何体的表面积（除去底面面积），利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体. 其中圆锥的母线长为220.3(1.5 1.1)0.5m l +-， 则圆锥的侧面积2110.52π0.3=0.15πm 2S =⨯⨯⨯，圆柱的侧面积22 1.12π0.3=0.66πm S =⨯⨯，故总面积为2120.15π0.66π0.81πm S S S =+=+=，所以至少要买油毡纸20.81πm ， 故选：D .5．在正项等比数列{n a }中，若3a ，7a 是关于x 的方程240x mx -+=的两实根，则21222329log log log log a a a a ++++=（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B【分析】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得912392a a a a =，由对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得254a =，则52a =，由等比数列性质可知31922874654a a a a a a a a a =====，则912392a a a a =，故212223292192392log log log log log ()log 92a a a a a a a a ++++===.故选：B.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面 PAD ．6AB =，60BAD ∠=︒，224PC AD PD BC ====，则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．155B ．105C ．255D ．55【答案】D【分析】根据线面垂直以及面面垂直可建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角即可求解. 【详解】由CD ⊥平面PAD ，,PD AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，CD PD ⊥,又平面PCD ⊥平面ABCD ，其交线为CD , AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,故AD PD ⊥,故DA DC DP 、，两两垂直，则以D 为原点，.DA DC DP ⋅的方向分别为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，400002A P ，，,，，13300230B ,,,C ,,,则(4,0,2),(1,3,0).PA BC =-=--.设异面直线PA 与BC 所成的角为θ，则||45cos |cos ,|.5||||252PA BC PA BC PA BC θ⋅=<>===⨯故选：D7．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某班举行了一次环保知识有奖竞答活动，有20名学生参加活动.已知这20名学生得分的平均数为m ，方差为n .若将m 当成一个学生的分数与原来的20名学生的分数一起，算出这21个分数的平均数为m '，方差为n '，则（ ） A ．2021m m '=，2120n n '= B ．m m '=，2021n n '= C ．2021m m '=，2021n n '= D ．m m '=，2120n n '=【答案】B【分析】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，利用平均数和方差公式可得合适的选项. 【详解】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，则122020m x x x =+++，12202121m x x x m m =++++='，故m m '=，因为()()()()22221232020n x m x m x m x m =-+-+-++-，()()()()()222221232021n x m x m x m x m m m ''=-+-+-++-+-，因为m m '=，故2021n n '=. 故选：B.8．在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，在该三棱柱的外接球内随机取一点P ，则点P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率为（ ） A ．2732B ．2732πC ．2764D ．2764π【答案】D【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为V ，可知P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率111ABC A B CV P V-=.【详解】设等边三角形ABC 边长为2a ，124AA AB a ==，()222a ⋅=，则111234ABC A B C V a -=⋅=.如图，因ABC 是等边三角形，则三角形外心O ，也为三角形重心，由重心性质可得：13OD AD a ==.则三角形外接圆半径r OC a ====如图，又设三棱柱的外接球圆心为1O ，则1O 为2OO 中点，则外接球半径222224434233O O a R r a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.设外接球体积为V ，则3334443256333327πππV R a a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.由几何概型，则P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率11133432764256327ππABC A B CV a P Va -===.故选：D.9．设0.7 1.2 1.42e e e 1a b c ===-，，，则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据不等式的性质可得0.70.7 1.22e e e e >=，令()x f x e =可得曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为 1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.根据指数函数的图象可得： 1.4(0.4)(0)e e x x x -≥>，进而得到 1.2 1.4e 0.8e >，然后再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为0.70.7 1.22e e e e >=，所以a b >.令()x f x e =，则曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.易证 1.4 1.4 1.4(0.4)(0)e e ( 1.4)e e x x x x ≥-+=->，当且仅当 1.4x =时，等号成立，故 1.2 1.4e 0.8e >， 即 1.2 1.4 1.4e 1e 10.2e .+->-因为32e 5<，所以 1.5e 5<，所以 1.4e 5<，则 1.410.2e 0->，即 1.2 1.4e 1e 0+->， 从而b c >．故c b a <<. 故选：D .10．已知函数()sin 2cos2(0f x x a x ωωω=+>）在π12x =处取得最大值，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，若π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ω的取值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】由两条相邻的对称轴之间的距离小于π2得1ω>，利用辅助角公式（引入辅助角ϕ）变形后，由最大值点得,ωϕ的关系，再由(π)6f =a ，从而得ϕ的表达式，代入可得ω的表达式，得正确选项．【详解】因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，所以12ππ222ω⨯<，所以1ω>.由辅助角公式可得())f x x ωϕ+，其中sin ϕ=cos ϕ=，因为()f x 在π12x =处取得最大值，所以Z πππ2,62k k ωϕ+=+∈，所以6312,Z πk k ϕω=-+∈， Z π4π,3k k ωϕϕπ+=-+∈，()1sin()4)6ππππ3f k a ωϕϕϕ=+=-+===所以sin ϕ=1cos 2ϕ=，则11Z π,π23k k ϕ=-∈，1226312312212125,Z πk k k k k ϕω=-+=-++=+∈，只有C 满足． 故选：C ．11．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率之积为1-，则4||AF BF +|的最小值是（ ） A ．32 B ．36C ．42D ．46【答案】C【分析】设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理得12121y y x x =-，再根据121212646418y y x x y y t ===--得8t =，1264x x =，最后根据基本不等式和焦半径公式求解即可.【详解】解：设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，联立28x my t y x=+⎧⎨=⎩整理得2880y my t --=，所以，264320m t ∆=+>，12128,8y y m y y t +==-. 因为直线,OA OB 的斜率之积为1-，所以12121y y x x =-， 因为2211228,8y x y x ==，所以()2121264y y x x =，所以121212646418y y x x y y t ===--，解得8t =，即()212126464y y x x ==， 所以，1264x x =. 因为1222AF x BF x =+=+，， 所以()12226442424101042AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当22644x x =时，等号成立.所以，4||AF BF +|的最小值是42. 故选：C12．已知函数()2,0()ln ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()()1g x f f x af x =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[){}0,21⋃ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．(),1-∞-【答案】C【分析】设()t f x =，进而考虑()y f t =与1y at =-的交点，分02a ≤<，2a =，2a >，10a -<<，1a <-五种情况讨论求解即可.【详解】设()t f x =，则()()1y h t f t at ==-+，令()0h t =，得()1f t at =-， 我们先来考虑()y f t =与1y at =-的交点， 令224,1at t a -=∆=-，当02a ≤<时，1y at =-与()y f t =只有1个交点，交点横坐标()11,0t ∈-，此时()g x 有1个零点； 当2a =时，1y at =-与()y f t =只有2个交点，交点横坐标()121,0,1t t ∈-=，此时()g x 有3个零点.当2a >时，1y at =-与()y f t =只有3个交点，交点横坐标()()()1231,0,0,1,1,t t t ∞∈-∈∈+，此时()g x 有5个零点.若1y at =-与()()0y f t t =<相切时，设切点()()00,ln P t t -， 所以，切线斜率()000ln 11t a t t -+==，解得01,1t a =-=-， 故当1a <-时，1y at =-与()y f t =没有交点，()g x 没有零点.当10a -<<时，1y at =-与()y f t =有2个交点，交点横坐标()120,,t t ∈-∞，此时()g x 有2个零点. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元()t f x =，将问题转化为直线1y at =-与()y f t =的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.二、填空题13．已知非零向量,a b 满足||2||b a =，且()a a b ⊥+，则向量,a b 的夹角是_______． 【答案】23π【分析】由向量垂直得到()0a a b ⋅+=，即可得到2a b a ⋅=-，再根据cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=及||2||b a =计算可得；【详解】解：因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，所以2a b a ⋅=-． 因为||2||b a =，所以21cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅-〈〉===-，因为[],0,a b π〈〉∈，所以2,3a b π〈〉=． 故答案为：23π14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，若22210B A F B ⋅=，则椭圆C 的离心率为________.【分析】写出点2221,,,B A F B 的坐标，根据22210B A F B ⋅=列出,,a b c 的关系，求解.【详解】因为()()22212221,,,,0B A a b F B c b B A F B =-=--⋅=，所以20ac b -+=，即220a c ac --=，则2e e 10+-=，解得e =e =因为0e 1<<，所以e =15．若()()()()()102910701291021111x x a a x a x a x a x +-=+-+-++-+-，则5a =_________.【答案】231-【分析】将()1072x x +-化为()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，后由二项式定理可得答案.【详解】()1072x x =+-()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，设()711x ⎡⎤-+⎣⎦展开式通项为()7171C rrr T x -+=-，令752r r -=⇒=，则()()552371211C T x x =-=-. 设()1011x ⎡⎤--⎣⎦展开式通项为()()1011011C rrrr T x -+=--，令1055r r -=⇒=，则()()()5555610112521C T x x =--=--.则521252231a =-=-. 故答案为：231-16．对于正整数n 的正整数设为n a ，如131,2a a ==，记n n b n a =+，从全体正整数中除去所有n b ，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{}n c ，则数列{}n c 的前8项和为_________. 【答案】204【分析】对于正整数k ，就2214k n k k ≤<++、221214k k n k k ++≤<++分类讨论后可求n b ，从而可求{}n c ，故可求前8项和.【详解】对于正整数n ，必存在正整数k ，使得()221k n k ≤<+.如果2214k n k k ≤<++，则12k k ≤+，故n a k =，故n b n k =+，此时22k n k k ≤≤+，故222k k n k k k +≤+≤+故此时n b 取值为区间22,2k k k k ⎡⎤++⎣⎦中的所有正整数.如果221214k k n k k ++≤<++即22121k k n k k ++≤<++，则112k k +<+， 故1n a k =+，故1n b n k =++，此时2222132k k n k k k ++≤++<++，故此时n b 取值为区间())2211,32k k k ⎡++++⎣中的所有正整数. 所以当2221k n k k ≤<++时，n b 取值为区间())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣中所有的正整数，而()223211k k k k ++=+++，()221122k k k ++=++，故())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣表示())22,11k k k k ⎡++++⎣中除()21k +以外的所有正整数， 取1k =，则14n ≤<，n b 取值为区间[)2,6中除4以外的所有正整数. 取2k =，则49n ≤<，n b 取值为区间[)6,12中除9以外的所有正整数.依次取k m =，则()221m n m ≤<+，n b 取值为区间())22,11m m m m ⎡++++⎣中除()21m +以外的所有正整数. 故1234567891,4,9,16,25,36,49,64,81c c c c c c c c c =========， 故前8项和为：1491625364964204+++++++=， 故答案为：204.【点睛】思路点睛：对于数列的新定义问题，首先要弄清楚数列的形成过程，特别是与数论有关的新数列构建问题，要能根据整数的形式做合理的分类.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin cos b A a B c +=. (1)求sin A 的值；(2)若点M 在边AC 上，且BCM 是边长为ABC 的面积.【答案】(1)5sin 5A = (2)33182+【分析】（1）由正弦定理进行边角转换可得1tan 2A =，再结合22sin cos 1A A +=即可求解； （2）在ABC 中，由正弦定理可得35c =，然后利用πA C ABC ++∠=求出5215sin 10ABC +∠=，最后用面积公式求解即可【详解】（1）因为2sin cos b A a B c +=，所以结合正弦定理得2sin sin sin cos sin .B A A B C += 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以2sin sin cos sin .B A A B =因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以2sin cos A A =，所以sin 1tan cos 2A A A ==. 因为22sin cos 1A A +=,且0πA <<，所以25cos 5A =，5sin 5A =. （2）因为BCM 是边长为23的等边三角形，所以π233BC C ==，. 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a cA C =，则sin 35sin a C c A==. 因为πA C ABC ++∠=，所以()5215sin sin sin cos cos sin 10ABC A C A C A C +∠=+=+=， 则ABC 的面积为15215331835232102++⨯⨯⨯=. 18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)16,18和[]18,20内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[]18,20内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望．【答案】(1)15； (2)分布列见解析，()43E X =.【分析】（1）利用中位数的求解方法列方程即可求解.（2）由题意分析出X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）因为()0.0250.12520.30.5+⨯=<，0.30.20020.70.5+⨯=>，所以该产品这一质量指数的中位数在[)14,16内．设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()140.20.30.5m -⨯+=，解得15m =．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)16,18内的有8件，这一质量指数在[]18,20内的有4件．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．()48412C 70140C 49599P X ====，()3184412C C 2241C 495P X ===，()2284412C C 168562C 495165P X ====，()1384412C C 323C 495P X ===，()44412C 14C 495P X ===，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1499 22449556165324951495()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ACEF 是矩形，22BC AB AF ==，60ABC ∠=︒，AF BC ⊥，H 是棱AD 的中点，P 是棱EF 上的动点.(1)证明：AB ⊥平面ACEF ；(2)求平面PBH 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)32【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直即可证明， （2）根据空间向量的坐标运算可利用法向量的夹角与平面角的关系，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四边形ACEF 是矩形，所以AF AC ⊥. 因为AF BC ⊥，且AC BC ⊂，平面ABCD ，AC BC C =，所以AF ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以AF AB ⊥ ，因为2BC AB =，且60ABC ∠=，所以3AC AE =， 所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥. 因为AF AC ，⊂平面ACEF ，且AFAC A =，所以AB ⊥平面ACEF .（2）由（1）可知AB AC AF ，，两两垂直，则以A 为原点，分别以AB ，AC ，AF 的方向为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AB PF a ，，则10001B P ,a ，，,，，123H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故11BP ,a,, 33022BH,,, 设平面PBH 的法向量为(),,m x y z =,则03302m BP x ay z m BH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1313m ,,a .因为ACCD ACCE ，，CD CE ，⊂平面CDE ，且CD CE C =，所以AC ⊥平面CDE ，则平面CDE 的一个法向量为()0,1,0n =.设平面PBH 与平面CDE 所成的锐角为θ， 则22333cos θcos 21313413m n m nm naa，，即平面PBH 与平面CDE 所成20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点()2,1P 在双曲线C 上，且12PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，直线AP ，BP 分别与y 轴交于M ，N 两点，且OM ON =-，试问直线l 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2212x y -=(2)过定点，定点坐标为()0,1【分析】（1）由双曲线定义可知2a =()2,1P 在双曲线C 上，求出,a b ，得到双曲线的标准方程；（2）设直线l ：x my t =+，与双曲线的方程联立，由韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AP ，BP 的方程，求得M ，N 两点的坐标，结合OM ON =-，可求得,m t的关系式，从而得出定点坐标． 【详解】（1）由题意可得224112a b a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1a b ==故双曲线C 的标准方程为2212x y -=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l ：x my t =+，1122(,),(,)A x y B x y 联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2222220m y mty t -++-= 则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=-- 直线AP 的方程为()111212y y x x -=-+-，令0x =，得11122x y y x -=-，则11120,2x y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线BP 的方程为()221212y y x x -=-+-，令0x =，得22222x y y x -=-，则22220,2x y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭因为OM ON =-，所以11221222022x y x y x x --+=--， 整理得1212122112()()2()0x x x x x y x y y y -+-+++= 又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()2212122220m m y y mt m t y y t t -+--+++-=，则()()2222222222022t mt m m mt m t t t m m -⎛⎫-⋅+--+-+-= ⎪--⎝⎭即222220m t mt m t ++--=，即2()2()0m t m t +-+= 得()()20m t m t +-+=，解得20m t +-=或0m t += 当20m t +-=时，直线l 经过点P ，与题意不符； 当0m t +=时，直线l ：x my m =-，则直线l 过定点()0,1． 故直线l 过定点()0,1．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---.(1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是()0,∞+，无递增区间 (2)51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数()f x '，再利用导数确定()f x '的正负，从而得单调区间；（2）求出导函数()g x '，在()g x 定义域内分类讨论()0g x '=的根的情况，得函数单调性、极值，然后结合零点存在定理确定参数范围． 【详解】（1）由题意可得()ln f x x x '=-， 设()()ln h x f x x x '==-，则()111xh x x x-'=-=由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >则()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x '在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)10f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间（2）由题意可得21(2)1(1)(1)()2a x a x a x a x g x x a x x x-+-+-+--'=+-+==， ()g x 的定义域是(0,)+∞，①当10a -<，即1a >时，1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<， 则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 因为0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--<，解得52a <，故152a <<；②当10a -=，即1a =时，由21()102g x x x =--=，解得x 1=±因为0x >，所以1x =+()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意； ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >， 由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0,g x x <→+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--=或21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=，若(1)0g =，解得52a =，不符合题意， 若(1)0g a -=，设1(0,1)t a =-∈，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，01t <<时，ln 0t t <，221111(1)0222t t t ---=-+-<，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故01a <<不符合题意；④当11a -=，即0a =时，()0g x '≥恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而()g x 最多有1个零点，则0a =不符合题意；⑤当11a ->，即a<0时，由()0g x '>，得01x <<或1x a >-，由()0g x '<，得11x a <<-， 则()g x 在(0,1)和(1),a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0g x x <→+∞，时，()g x ∞→+ 所以()g x 要有两个零点，则(1)0g =或(1)0g a -=，若1(1)2102g a =+--=，解得52a =，不符合题意，若21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=．设1(1,)t a =-∈+∞，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，由（1）知21ln 12y t t t t =---在(1,)+∞上单调递减，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故a<0不符合题意． 综上，a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】难点与易错点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，难点在于函数定义域是(0,)+∞，因此()0g x '=的根需要根据定义域分类讨论，在定义域内有一个根，还是两个根，有两个根时还需要比较两根的大小，从而得出函数单调性、极值，由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性，从而得出结论．分类不清易出错．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 20ρθρθ-+=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)22144x y -=；220x y【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解. 【详解】（1）由1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），得224x y -=，故曲线C 的普通方程为22144x y -=． 由cos 2sin 20ρθρθ-+=，得220x y ， 故直线l 的直角坐标方程为220x y ．（2）由题意可知直线l的参数方程为,1x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得23250t --=， 设A ，B 对应的参数分别是12,t t ，则1212253t t t t +==-， 从而12t t -===故1212121211||||t t t t PA PB t t t t +-+===． 23．已知函数()233f x x x =-++. (1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,3- (2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解； (2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x -++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩， 解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3- （2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3x x x x-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0x x -+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。

高三数学综合测试题(含答案)

高三数学综合测试题(含答案)

高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

晋城中学高三12月半月考
数 学 试 题（理）
命题人：冯志雄
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意实数x 都有)6
(
)6
(
x f f -=+π
ππ
，
则)6
(π
f 等于
（ ） A 、0 B 、3 C 、3- D 、3或3- 2、已知条件2:-≠+y x p ，条件y x q 、:不都是1-，则p 是q 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 3、把函数)42sin(π
+
=x y 的图像向右平移π8
3
，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的
2
1，则所得图像的函数是（ ）
A 、)8
34sin(π+=x y B 、)8
4sin(π
+
=x y
C 、x y 4cos -=
D 、x y sin =
4、已知函数)(x f y =)(R x ∈满足)()2(x f x f =+，且当]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则
)(x f y =与x y 7
log
=的图像的交点的个数为（ ）
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6 5、函数3
|3|)1lg(2
-+-=
x x y 是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既是奇函数又是偶函数
D 、非奇非偶函数 6、在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为（ ） A 、-2 B 、-1 C 、2 D 、不存在 7、在ΔABC 中，C B C B A si n si n si n
si n
si n 2
2
2
-+≤，则A 的取值范围是（ ）
A 、]6
,
0(π
B 、],6
(
ππ
C 、]3
,
0(π
D 、],3
(
ππ
8、已知函数|lg |)(x x f =，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（ ）
A 、)22(∞+
B 、)22[∞+
C 、),3(+∞
D 、),3[+∞ 9、设)56cos 56
(sin 2
1o
o
a -=
，0128cos 50cos 38cos 40cos o o o b +=，
)150
cos 280
(cos 2
120
+-=o
c ，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A 、c b a >>
B 、b c a >>
C 、b a c >>
D 、c a b >> 10、当2
0x x <
<时，函数x
x
x x f 2sin sin
82cos 1)(2
++=
的最小值为（ ）
A 、2
B 、32
C 、4
D 、34
11、已知⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0
,40
,4)(2
2x x x x x x x f 若)()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围（ ）
A 、),2()1,(+∞--∞
B 、)2,1(-
C 、)1,2(-
D 、),1()2,(+∞--∞
12、已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的导函数为)(x f ，0=++c b a ，且
0)1()0(>⋅f f 设：21,x x 是方程0)(=x f 的两个根，则||21x x -的取值范围为（ ）
A 、)3
2
,33[
B 、)94,31[
C 、)33,
31[ D 、)31,91[ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13、在△ABC
中，t a n t a n t a n t a n ,s i n c o s ,4
A B A B A A ++
=⋅⋅且则此三角形
为 。

14、若函数3()3f x x x a =-+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 15、已知函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间]4
,3[π
π-
上的最小值是 -2，则ω的最小值等于
___________。

16、奇函数)(x f 在（0，+∞）上为减函数，且0)1(=-f ，则不等式0)(>x
x f 的解集是
_____________。

学 校 班 级 姓 名 考 号 ________________
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
晋城中学高三12月半月考
数 学 答 题 卷（理）
一、选择题 二、填空题
13、_____________ 14、_____________ 15、_____________ 16、_____________
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）
已知x x x x x f 2
cos
2cos sin 32cos 2
1)(-+
=。

（1）求)(x f 的最大值； （2）若5
1)(-=a f ，求)3
2sin(π
+a 的值。

（3）若2
3π
π
<
<a ，5
1)(-
=a f ，求a 2cos 的值。

18、（本小题满分12分） 已知113cos ,cos(),0.7
14
2
π
ααββα=
-=
<<<
且
（1）求tan 2α的值； （2）求角β。

19、（本小题满分12分）
已知函数32()21f x ax bx x x =++=-在处取得极值，且在点(1,(1))f 处的切线斜率为2。

（1）求a ，b 的值；
（2）若关于x 的方程321
()20[,2]2f x x x x m +--+=在区间上恰有两个不相等的实数
根，求实数m 的取值范围。

20、（本小题满分12分）
在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，32=a ，42
tan
2
tan
=++C B A ，
A C
B sin cos sin 2=，求A 、B 及b 、c 。

21、（本小题满分12分）
已知向量)2cos 1,(sin x x a +=，)2
12cos ,cos (sin +-=x x x b ，
定义函数)()(b a a x f -⋅=
（1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）在ΔABC 中，A ∠为锐角且12
7π=+B A ，1)(=A f ，求边AC 的长
22．（本小题满分14分）
已知函数1()ln ,x f x x a ax
-=+
其中为大于零的常数。

（1）若函数()[1,)f x +∞在区间内调递增，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值； （3）求证：对于任意的*111,1,ln 23n N n n n
∈>>+++
且时都有成立。

相关文档
最新文档