第三章-直线与方程---直线的倾斜角与斜率-教案

第三章直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

教案 A

第1课时

教学内容：3.1.1 倾斜角与斜率

教学目标

一、知识与技能

1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；

2.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

二、过程与方法

经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.

三、情感、态度与价值观

1.通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；

2.通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

教学重点、难点

教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学难点：斜率的计算方法.

教学关键：直线斜率的两种计算方法.

教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.

教法与学法导航

教学方法：启发、引导、讨论.

学习方法：探究、思考、讨论、练习.

教学准备

教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.

学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.

教学过程

详见下页表格.

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

创设情景导入新课

我们知道，经过两点有且只有

（确定）一条直线，那么，经过一

点P的直线l的位置能确定吗？如

图，过一点P可作无数多条直线a，

b，c，…易见，答案是否定的，这

些直线有什么联系呢？

学生回答（不能确定）

（1）它们都经过点P.

（2）它们的倾斜程度不

同.

接着教师提出：怎样

描述这种倾斜程度的不

同？由此引入课题.

设疑激趣

导入课

题．

概念形成

1．直线倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时，取x

轴作为基准，x轴正向与直线l向

上方向之间所成的角α叫做直线l

的倾斜角.特别地，当直线l与x

轴平行或重合时，规定0

α=o.

教师提问：

倾斜角α的取值范围

是什么？0°≤α＜180°

当直线l与x轴垂直时

90

α=o

（由学生结合图形回答）

概念深化

因为平面直角坐标系内的每

一条直线都有确定的倾斜程度，引

入直线的倾斜角之后，我们就可以

用倾斜角α来表示平面直角坐标

系内的每一条直线的倾斜程度.

确定平面直角坐标系内的一

条直线位置的几何要素：一个点P

和一个倾斜角α.

教师提问：

如左图，直线a∥b∥

c，那么它们的倾斜角α相

等吗？

学生回答后作出结

论.

一个倾斜角α不能确

定一条直线，进而得出确

定一条直线位置的几何要

素.

通过

这种师生

互动引导

学生明确

确定一条

直线位置

的两个几

何要素．

概念形成

2．直线的斜率

一条直线的倾斜角α

（α≠90°）的正切值叫做这条直线

的斜率.斜率常用小写字母k表示，

即tan

kα

=.

由此可知，一条直线l的倾斜

角α一定存在，但是斜率k不一定

存在.例如α= 45°时，

k = tan45°= 1；

α= 135°时，k = tan135°= –1 .

教师提问：（由学生讨

论后回答）

（1）当直线l与x轴

平行或重合时，k为多少？

k = tan0°= 0.

（2）当直线l与x轴

垂直时，k还存在吗？

α= 90°，k不存在.

设疑激发

学生思考

得出结

论．y

a

b

c

x

O

续上表

概念形成

3．直线的斜率公式

21

21

.

y y

k

x x

-

=

-

对于上面的斜率公式要注意

下面四点：

（1）当x1 = x2时，公式右边

无意义，直线的斜率不存在，倾斜

角α= 90°，直线与x轴垂直；

（2）k与P1、P2的顺序无关，

即y1、y2和x1、x2在公式中的前后

次序可以同时交换，但分子与分母

不能交换；

（3）斜率k可以不通过倾斜

角而直接由直线上两点的坐标求

得；

（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，

直线的倾斜角α= 0°，直线与x轴

平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由

直线上两点的坐标先求斜率而得

到.

教师提出问题：

给定两点P1 （x1，y1），

P2（x2，y2），x1≠x2，如何

用两点的坐标来表示直线

P1、P2的斜率？

可用计算机作动画演

示：直线P1P2的四种情况，

并引导学生如何作辅助

线，共同完成斜率公式的

推导.

借助多媒

体演示让

学生亲自

体会斜率

公式的推

导过程.

应用举例

例1已知A （3，2），B（–4，

1），C （0，–1），求直线AB，BC，

CA的斜率，并判断它们的倾斜角

是钝角还是锐角.（用计算机作直

线，图略）

【分析】已知两点坐标，而且

x1≠ x-2，由斜率公式代入即可求得

k的值；

而当tan0

kα

=<时，倾斜角

α是钝角；

而当tan0

kα

=>时，倾斜角

α是锐角；

而当tan0

kα

==时，倾斜角

α是0°.

学生分析求解，教师

板书

例1 略解：直线AB

的斜率k1= 1/7＞0，所以

它的倾斜角α是锐角.

直线BC的斜率k2=

–0.5＜0，所以它的倾斜角

α是钝角.

通过应用

进一步理

解倾斜

角，斜率

的有关定

义