网格中的三角形

网格中的三角形
河北张家口市第十九中学 贺峰
随着新课程的实施，在近几年的中考试卷中出现了许多新颖的网格型试题，这类试题具有很强的直观性、可操作性、开放性及综合性等特点，不仅能够考查学生的数学知识，体现分类、数形结合等重要的数学思想，同时也考查和培养学生的识图、归纳、动手操作、自主探究等多种能力，有利于培养学生的探究意识和创新精神。

现以近几年中考试题中出现的“网格中的三角形”为例，为同学们加以归类分析：
一、网格中的“等面积三角形”
例1 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图1所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（ ）
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 析解：此题以网格为载体来考查同学们等面积三角形的构成，体现分类讨论思想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，
即保证△ABC 的底为2，高为1，因此须分类讨论的思想方法，即按AC ＝2时、BC ＝2时进行分类求解。

答案如图2所示：
说明：此题也可通过对图形对称变换进行求解，即确定第（1）、（3）、（5）三种情况，分别以AB 所在的直线为对称轴将△ABC 翻折，使点C 落在格点上即可求解。

即可求解。

二、网格中的“等腰三角形”
例2如图3所示，A 、B 是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的
所有格点C 的位置． 析解：此题以网格为载体来考查同学们等腰三角形的构成，体现分类讨论思
想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，即保证△ABC 中AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝AB ，即分别以AC 、AB 、BC 为腰时进行分类求解。

答案如图4所示： 说明：此题也可通过对图形旋转变换进行求解，即以AB 为腰，分别以点A 、点B 为旋转中心，将线段AB 进行旋转，使点B 、点A 落在格点上即可求解。

三、网格中的“直角三角形” 例3如图5，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线
上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，
小华在左边的正方形网格中作出了Rt △ABC ，请你按照同样的要求，在右边的两个
正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。

析解：此题开放性很强，
给学生广阔的思维空
图1 A 图3
图
4 A B C 图5
图6 C C C C C C （1） （2） （3） （5） （6） 图2
间，以网格为载体来考查同学们直角三角形的构成，体现数形结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角，画出符合要求的直角三角形。

参考解答如图6：
说明：本题可以将三角板的直角顶点分别放在实线的格点上，转动三角板，使两条直角边落在另两边实线上的格点上，可以得到更多不同的解。

四、网格中的“单位正三角形”
例4如图7中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．
(1)直接写出单位正三角形的高与面积；
(2)图①中的□ABCD 含有多少个单位正三角形?□ABCD 的面积是多少?
(3)求出图①中线段AC 的长(可作辅助线)；
(4)求出图②中四边形EFGH 的面积．
解析：本题以正三角形网格为载体来考查学生对“单位正三角形”的理解。

观察网格不难发现单位正三角形的高为
32．答案如下： （1）单位正三角形的高为32，面积为34
． （2）□ABCD 含有24个单位正三角形，其面积为24×
34＝6 3. （3）过点A 作AK ⊥BC 于K （如图1）．在Rt △ACK 中，AK ＝332，KC ＝52． ∴AC ＝AK 2＋KC 2＝
（332）2＋（52
）2＝3． （4）解法一：如图2所示，将图形EFGH 分割成五部分，以FG 为对角线构造□FPGM ，
∴□FPGM 中含有6个单位正三角形，∴S 四边形EFGH ＝（3＋4＋8＋9＋8）×34
＝83． 解法二：如图3所示，构造□EQSR ．过点F 作FT ⊥QG 于T ，则S △FQG ＝12FT ．QG ＝12×332
×4＝33．同理可求S △GSH ＝3，S △EHR ＝63,S □EQSR ＝183，∴S 四边形EFGH ＝S □EQSR －S △FQG －S △GSH －S △HER ＝183－33－3－63＝83．
追踪研练：
1．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点
均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形。

①
G ② ③ 图7
2．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点. （1）在图1中，以格点为顶点画一个三
角形，是三角形的三边长分别为3，5,2 2
（2）在图2中，线段AB的端点在格点上，
请画出以AB为一边的三角形，使三角形
的面积为6（要求至少画出3个）.
（3）在图3中，△MNP的顶点M、N在
格点上，P在小正方形的边上，问这个三
角形的面积相当于多少个小方格的面积，在你解出答案后，说说你的解题方法.
解：
（3）S△MNP＝1
2MN·h=
1
2×5×4=10，即相当于10个小方格的面积。

A B M N
P
图1 图2 图
3
A B
图1 图2。