网格中的三角形
网格线中的三角函数问题
・ ． ．
’ ． ．
由勾股 定理 得 Ｂ Ｅ ＝
ＡＢ＝
・ ． ・
， Ａ Ｅ ＝ ２
设Ｂ Ｄ为 ， Ｃ Ｄ为 ２ 一 ， 由勾 股 定理 得
ＡＢ － ＢＤ ＝ ＡＤ ， ＡＣ 一Ｃ Ｄ ＝ ＡＤ。 ，
・
例 ２ 如图３ ， 在 边 长相 同的小 正方 形 网 格 中， 点 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 、 Ｄ都 在 这 些 小 正 方 形 的 顶
点上， Ａ Ｂ 、 Ｃ Ｄ相 交 于 点 Ｐ， 则ｔ ａ ｎ Ｚ ＡＰ Ｄ的 值 为
（ ） ．
Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ＿ ３ Ｄ．
故选 ： Ｂ ．
，
Ａ Ｄ： Ｔ ９ ． ３
．
二、 运用方 程 。 以数 解形
．
９
几何 图形 中 的问题转 化 为用代 数 的知识
．
・ ．
求解 ， 这 就 是数形 结合 思想 中的“ 以数解 形” ，
ｓ ｉ ｎ 肚 Ａ Ｄ 去
数 学语言与直观 的图像结合起来 ， 关键是代数 问题 与图形之间的相 互转化 ， 它可以使代数 问题 几 何化 ， 几何问题 代数化． 数学 中的知识 ， 有的本身就可以看作是数形 的结合 ． 女 口 ： 锐角三角函数 的定 义是借助 于直 角三 角形 来定 义的． 下面 我们就 网格线 中锐 角三 角函数 的 问题来 体会这 种数学思
、
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３
ａＢ Ｄ Ｐ， 然后 由相似 三 角形 的对 应边 成 比例 ． 易得 Ｄ Ｐ ： Ｃ Ｐ ＝ １ ： ３ ， 即 可得 Ｐ Ｆ ： Ｃ Ｆ ＝ Ｐ Ｆ ： Ｂ Ｆ ＝ １ ： ２ ，
网格中的三角函数
1网格中的锐角三角函数网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。
所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。
一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。
【例1】 三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ).[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，344543B .； C .35；D .A. 35图3图22sinB 的值是 .3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= .A ．1B ．2C ．12D4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 .A ．12B ．13C ．14 D3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。
充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。
二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。
【例2】 （2014•贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．[解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC中图7-1图7-2图4图6图5的一个锐角，而△ABC不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先做辅助线构造直角三角形，使∠A在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。
中考“网格”中的相似三角形问题
中考“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ）分析 先利用勾股定理求出△ABC2中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比.解 由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为122，而与△ABC2它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2ABC＝2，22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）A.FB.GC.HD.OB A图2C D图1分析 若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解 因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析 由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解 若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析 要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个图4FE 图3三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC 22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2＝2， 所以AB DE ＝BCEF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .透过网格去看相似网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性，不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识，体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想，而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程，能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起，符合新课程标准的要求．在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得；（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来，特别是在研究相似问题时具有独到上午效果．一、网格与相似三角形例1．如图1，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ， 则点P 应在（ ）A ．P 1处 ；B ．P 2处；C ．P 3处 ；D ．P 4处图1分析：本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题 解：答案为C例2．如图2，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )。
初中数学相似三角形模型(题型)大全-值得收藏
初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏一、比的性质：特征：比的基本性质，合比性质，等比性质 例1：已知,3==d c b a ，则ddc b b a 22+=+=（ ） 例2：如果P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则下列各等式①AB 2=AP •PB ， ②AP 2=PB •AB ，③BP 2=AP •PB ，④AP ／AB=PB ／AP 中，正确的是（ ）例3：已知k cba a cb bc a =+=+=+，则k 的值为（ ） 二、平行A 字型如图（1）DE//BC ，则△ADE ∽△ABC 特征：△ADE ∽△ABC ⇒AD AE DEAB AC BC==应用1：（求线段的长）例1． 如图（2）DE//BC,且DB=AE,若AB=5，AC=10，则AE 的长为（103） 角度：平行产生比例 DE ∥BC 51051010,103AB AC AE BD EC AE EC AE AE ⇒=∴=∴==- PB例2．如图（3）△ABC 中，BC = a 是AB 边的五等分点；1234,,,C C C C 是AC 边的五等分点，则11223344B C B C B C B C +++=（2a ）应用2：（证明比例线段）例3．如图（4），DE//BC//AF ，求证：111DE AF BC=+ 证明：分析：此题用了两个平行A 字型 在△ABC 中，DE//BC ，AD DE⇒= ①在△ABF 中，DE//AF ，DB DEAB AF⇒=② ①+②得AD DB DE DEAB BC AF+=+111()111DE BC AFDE BC AF ∴=+∴=+应用3：（证明线段相等） 例4．如图（5），一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D 、E 、F 。
求证：若AE BFEC CF=，则D 是AB 的中点。
证明：作CM//BA 与EF 交于M ，则△ADE ∽△CME//AD AEAE BF AD BFBD BFCM BD CM ECEC CF CM CFCM CF∴==∴=∴=因此,.AB AD BDAD BD CM CMD ==∴从而是的中点。
三角函数专题之网格中的三角函数
三角函数专题训练--网格中的三角函数第一节：网格中的正弦和余弦1．在边长为1的正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOD 的正弦值为（）A ．12B ．2C D 2．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB ＝（）A ．2B ．35C ．5D ．3103．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、C 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则cos AOD ∠=（）A ．2B ．2C ．3D 4．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 等于（）A B C ．5D ．105．如图，在边长1正网格中，A 、B 、C 都在网格线上，AB 与CD 相交于点D ，则sin ADC ∠是（）A B C D 6．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．6B ．26C ．13D ．137．如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（）．A B C ．35D ．458．如图，在正方形网格中，△ABC 的位置如图，其中点A 、B 、C 分别在格点上，则sinA 的值是（）A B ．13C D9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l ，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos ∠BAC 的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．4510．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．2C D ．311．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cos 的值是（）A ．35B C ．45D 12．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）AB C D ．2313．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC 的顶点都是网格中的格点，则cos ∠ABC 的值是（）A ．23B ．25C ．35D ．4514．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ∠BAC 的值为（）A ．34B ．25C ．35D ．4515．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正弦值是（）A ．10B ．12C ．13D ．1016．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正弦值是__．17．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为_______．18．如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．19．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A 、B 、C ，则sin ∠ABC=_____．20．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是___________．∠=______．21．如图在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O在小正方形的顶点上，则cos OAB22．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．23．如图，在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是_____．24．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD=___．25．如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为_____．26．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____．27．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC 的值为_____．的顶点都在小正方形的格点上，28．如图，在44⨯的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，ABC∠=_______．则sin ACB29．如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．第二节：网格中的正切1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A ．2BC ．3D2．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan C 的值是（）A ．2B ．43C ．1D ．343．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（）A ．12B ．1C ．3D 4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是（）A ．12B ．1CD ．25．如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点处，则tan C 的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．16．如图，将 ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则∠A 的正切值是（）A B C ．2D ．127．如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．458．如图，A ，B ，C ，三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点A 逆时针旋转得到AC B ''△，则tan B '的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．49．如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．10．在图网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正切值是（）A ．23B ．32C ．35D ．5311．如图，在方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是()A ．2B ．12C D 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为（）A ．35B ．34C ．5D ．113．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则tan ∠AOB （）A ．3B C ．1D ．2514．∠BAC 放在正方形网格纸的位置如图，则tan ∠BAC 的值为（）A ．16B ．15C ．13D ．1215．如图，在55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B 的值为______．16．如图，点A ，B ，C ，D 在正方形网格的格点上，连接AB 、CD 交于点P ，则tan ∠APC ＝________________．17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为_____．18．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan ABC ∠的值为_______．19．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A ，B 和C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，则tan AEC ∠=___．20．如图，在4×5的正方形网格中点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC ＝_____．21．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan 1BA C ∠=1，tan 2BA C ∠=13，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=_________________．22．如图，将BAC ∠放置在55⨯的正方形网格中，如果顶点A 、B 、C 均在格点上，那么BAC ∠的正切值为______．23．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在这些小正方形的顶点上，则tan ∠ABC 的值为_____．24．如图，在Rt △ABC 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC ＝24cm ，则这个展开图可折成的正方体的体积为_____cm 3．25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan C ＝__．26．如图，在正方形网格中，三角形ABC 的三个顶点都在网格中的格点上，则tan ∠B 的值为_____．27．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，线段AB 、CD ，相交于点P ，则tan APD ∠的值是__________．28．如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是____________．29．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BA C ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=__________，……按此规律，写出tan n BA C ∠=__________（用含n 的代数式表示）．。
网格中的三角函数
网格中的三角函数【构造直角】例：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sin ∠ABP变式1：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求tan 12∠BAP 的值。
变式2：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求tan2∠BAP 的值1.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA 的=______________.【解析】如图，过点C 作CE ⊥AB ，则=A sin AC CE =52CE ，利用等积法，可知CE AB 21AD BC 21⋅⋅=⋅⋅，∴CE 5221232221⋅⋅=⋅⋅，∴556CE =，∴=A sin 5352556=【等角转换】 2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．【解析】思路一：构造直角连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan△APD=tan△BPF=PFBF，设小正方形边长为2（可自己思考一下为什么？），可得BF=1，CD=2，由△APC ∽△BPD ，且相似比为3：1可得3DP PC =，∴43CD PC =，∴PC=432⋅=23，∴PF=PC —CF=21，∴tan△BPF=2211=思路二：角度转换连接BE ，可知BE ∥CD ，∴△APD=△BPF=△ABE ，连接AE ，∵AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，∴tan△ABE=2BEAE=3.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ， 则PBAP的值= ，tan ∠APD 的值= ．4.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中△ABC 的余弦值是_________.5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则△ABC 的正切值是________.6.如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ACB 的值为 ．7.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．8.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为_________．9.如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．10.（一）探索发现（1）如图1，当AB=2时，连接AD ，则∠ADO=90°，BO=2DO ，AD=2，BO=232，tan ∠AOD=_________．如图2，当AB=3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH=223， BO=________，tan ∠AOD=________． 如图3，当AB=4时，tan ∠AOD=__________．（2）猜想：当AB=n （n ＞0）时，tan ∠AOD=______________．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O ，若tan ∠COE=1317，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比．【解析】（一）探索发现（1）如图1，当AB=2时，∵BO=2DO ，BO=232， ∴OD=32，又∵∠ADO=90°，AD=2，∴tan ∠AOD=322ODAD==3，即tan ∠AOD=3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ． ∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF=CF=BF=21BD=21CE ，BD ⊥CE ． 根据题意得：AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ，∴DO ：BO=CD ：AB ．当AB=3时，DO ：BO=1：3，∴BO=423． ∵S △ABD =21BD •AH=21AB •ED ，∴BD •AH=AB •ED ， ∴AH=22323BD ED AB ==⋅， DO ：BO=CD ：AB=1：3，∴DO ：DF=1：2，∴OF ：DF=1：2，即OF ：CF=1：2． 在Rt △OCF 中，tan ∠COF=OFCF=2， ∵∠AOD=∠COF ，∴tan ∠AOD=2；如图3，当AB=4时，DO ：BO=CD ：AB=1：4， ∴DO ：DF=1：2.5=2：5，∴OF ：DF=3：5，即OF ：CF=3：5． 在Rt △OCF 中，tan ∠COF=35OF CF =， ∵∠AOD=∠COF ，∴tan ∠AOD=35；故答案是：3；423；2；35；（2）猜想：当AB=n （n ＞0）时，tan ∠AOD=1-n 1n +（结果用含n 的代数式表示）． 证明：过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH=BH=22n ． ∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ，∴1nCD AB OD OB ==， ∴OB=1n n 2+．∴OH=BH ﹣OB=22n ﹣1n n 2+．∴tan ∠AOD=1-n 1n +； 故答案是：1-n 1n +；（二）解决问题（3）解：如图4，过点D 作DH ⊥CF 于点H ，则tan ∠DOH=HODH． ∵∠DOH=∠COE ， ∴tan ∠DOH=1317， 又由（一）结论得：13171-n 1n =+， ∴n=215 ∴正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比为215． 强化训练11.阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且tan α=，tan β=，求α+β的度数．该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ． （1）观察图象可知：α+β= °；（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α=3，tan β=时，在图2的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠MON 的度数．12.问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D ，N 和E ，C ，DN 和EC 相交于点P ，求tan ∠CPN 的值． 方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN 的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN 的度数．13．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n ＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AB的长等于；（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB ：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．15．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）请在网格中找一个格点P，连接PB、PC，使∠BPC=∠BAC，并简要说明理由；（2）直接写出此时tan∠BPC的值．16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A点B在网格中的位置如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A点B的坐标分别为（1，2）（4，3）；（2）点C的坐标为（3，6），在平面直角坐标系中找到点C的位置，连接AB、BC、CA，则∠ACB=°；（3）将点A、B、C的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，在图中找到点A1、B1、C1并顺次连接点A1、B1、C1，得到△A1B1C1，则这两个三角形关于对称．17．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，格点O为原点，格点A的坐标为（﹣1，3）．（1）画出点A关于y轴对称的格点B，并写出点B的坐标（，）；（2）将线段OA绕着原点O顺时针旋转90°，点A落在格点C处，画出线段OA扫过的平面区域（用阴影表示），则AC的长为；（3）过点C作AC的切线CD，D为格点，设直线CD的解析式为y=kx+b，y 随x的增大而；（填“增大”或“减小”）（4）连接BC，则tan∠BCD的值等于．。
初中网格中的数学问题赏析
初中网格中的数学问题赏析在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是相等的，每个小正方形的顶点叫做格点，我们把以格点的连线为边的图形叫格点图形.近年来，各地的中考试卷中频频出现这类与格点有关的数学问题，由于这类与网格有关的中考题大部分具有开放性，设计又新颖，能很好地考查学生的思维水平和思维能力，故很受命题者的青睐.但课本、作业本中这类问题的例题和习题却并不多见，在此，特作梳理，与大家一起赏析.一、网格中的三角形1. （2010·湖南）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）.A． 6 B． 7 C． 8 D． 9分析根据题意，结合图形，分两种情况讨论（如下图）：① AB为等腰△ABC 底边，符合条件的C点有4个；② AB为等腰△ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个.故选C.本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.本题是利用网格提供的相等线段来构图.2. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）.A. 5B. 4C. 3D. 2分析 A、B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A、B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4，即可使△ABC的面积为2个平方单位.符合条件的点坐标分别为：C（3，1），C（0，3），C（4，3），C（1，5）.本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况，数学分类思想是一种重要的数学思想.二、网格与三角函数1. （2010·贵州）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为 .分析过点C向上作垂线与AB相交于点D，则∠B是Rt△BCD的一个内角，邻边和斜边均由图可知，所以很容易求出cos∠B的值.或是过点A作垂线交BC的延长线于D，也可求出.本题主要考查了余弦函数的定义，正确理解定义是解题的关键.本题是利用网格提供的垂线，构建直角三角形.2. （2010·四川）如图，∠D的正切值等于 .分析根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形边的比的问题.先利用同弧所对圆周角相等，得出∠D=∠A，然后利用正切等于对边比上邻边即可求出.本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.从网格中很容易找到相关的直角三角形.三、网格与面积1. （2006·苏州）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为平方单位.分析根据图形，可以直接写出点A的坐标是（2，-1）.分别过A、B、C三点作垂线，形成一个大矩形，求出大矩形的面积，用大矩形的面积减去三个直角三角形的面积，剩余的面积即为△ABC的面积.此类题要求学生要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积.有关面积的割补法是解决不规则图形面积的常用方法.本题充分利用网格的特点，构建规则图形.2. （2009·吉林）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是 .分析先用大正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积，△ABC的面积又等于AC乘以AC边上的高的一半，按这一等量关系列出方程，解出方程即可得出AC边上的高.四、网格与相似如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.（1）?摇判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）?摇P，P，P，P，P，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）.分析答案为：△DPP、△DPP、△DPP.本题主要考查学生识图、构图能力和对三角形相似判定知识的理解，对学生的观察力有一定的挑战性.网格中的相等线段以及相等的角对构图起到关键性的作用.五、网格与圆1. （2010· 河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 .分析连接BC，弦AB、BC垂直平分线的交点即为圆心.本题主要考察学生对垂径定理的理解，和残圆确定圆心的方法.本题是由网格特点直接看出线段的垂直平分线.2. （2010·江苏）．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形.O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（结果保留根号及π）.分析连接AB、AC，分别作它们的垂直平分线，两线交点即为圆心.利用勾股定理求出圆的半径，由图可知扇形OAB圆心角为90°，利用弧长公式即可求出弧长.本题考查了勾股定理及弧长公式的应用.解题的关键是正确地求出扇形的圆心角及半径.3. 如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）、B（-2,-2）、C（4,-2），则△ABC外接圆半径的长度为 .分析先求出线段AB、 AC、 BC的长度，再利用余弦定理求角A的余弦值，从而得到角A的正弦值.再利用正弦定理，即可求得直径.半径为2.连接OC因为C（4，-2），利用勾股定理得半径的长等于根号下，等于，化简为2.六、网格中的运动（2010·江苏）如图在网格图中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A相内切，应将⊙B由图示位置向左平移个单位长度.分析⊙B与⊙A可以在右边相内切，也可以在左边相内切.当⊙B与⊙A在右边相内切，移动距离为4个单位长度，当⊙B与⊙A在左边相内切，移动距离为6个单位长度.故答案为：4或6.本题主要通过圆的移动来考查圆与圆的位置关系；题目中小圆向左移动，通过观察，可知两圆内切的两种情况，分别求出移动的距离.七、网格与图形的变换1. （2010·辽宁）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）以直线BC为对称轴作△ABC的轴对称图形，得到△ABC，再将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△ABC，请依此画出△ABC、△ABC；（2）求线段BC旋转到BC过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）；（3）求点C旋转过程所经过的路径长.分析（1）根据对称的性质，画出图形；（2）BC旋转到BC的过程中，旋转角为90°，半径为4，由弧长公式计算即可.所以B点所经过的路线长度是2π.本题考查了学生画一个图形的对称图形以及弧长公式的应用的能力.2. （2010·湖北）如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的.如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（）.A. （5，2）B. （2，5）C. （2，1）D. （1，2）分析连接AD、CF，再做这两线段的垂直平分线，交点就是点P.根据点A、点B 的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点P的坐标.此题属于中等难度题，主要考查的知识点是旋转及其相关的性质，旋转的中心在连接对应点的垂直平分线上，做出两条垂直平分线，它们的交点就是旋转的中心点.3. （2010· 甘肃）如图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点（小正方形的顶点）上.（1）在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.分析第（1）题可以将点A向下平移四格得到点D，或是将点A向右平移两格得到点D.第（2）题可以将点A向右平移一格得到点E，两题方法均不唯一，此题比较灵活地考查了等腰梯形、平行四边形、矩形的对称性，是道好题.八、网格与概率一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 .分析先确定黑色区域的面积与总面积的比值，此比值即为所求的概率.本题主要考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.网格对化不规则图形为规则图形提供了帮助，方便学生求出阴影部分的面积.九、网格与规律（2006·温州）在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是，第三个“L”形图形的周长是，则第n个“L”形图形的周长是 .分析第1个“L”形图形的周长是8＝4＋4，第2个“L”形图形的周长是12＝4＋2×4，第3个“L”形图形的周长是16＝4＋3×4，……，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4，即4n＋4．本题也可以这样来分析：平移“L”形的上面和右下的两边，第1个“L”形图形周长变成一个正方形周长加上4，即4＋4，第2个“L”形图形周长为4＋2×4，第3个“L”形图形周长为4＋3×4，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4.用整式描述几何图形的规律在近几年的中考题中经常出现，这类题目把几何和整式结合起来考查，使试题难度增大.它既考查学生的识图能力，又考查学生的判断推理能力.通过以上分析，我们不难发现：网格中的数学问题，往往是把网格的特点与数学问题有机结合起来.网格可以提供相等的线段、相等的角、垂线、平行线、化不规则图形为规则图形等.还能够很方便地进行图形的翻折、平移、旋转等.同学们在解决这类问题时，既要有札实的数学基础，灵活运用相关数学知识，还要注意结合网格的特点来分析和解决问题.。
三角网布设及概算
三角形生成
根据地形数据，利用三角形生 成算法，构建三角形网格。
结果输出
将生成的三角形网格输出为所 需格式，如DXF、DWG等。
Байду номын сангаас2
三角网布设方法
常规三角网布设方法
常规三角网布设方法
根据地形起伏和精度要求，在实地测量和计算的基础上，按照一定的 规则和密度布设一系列三角形，形成三角网。
适用范围
适用于地形起伏较小、精度要求一般的测量项目。
优点
操作简单，精度可靠，能够满足一般测量需求。
缺点
在地形起伏较大的地区，需要增加测量点和计算量，工作量大，效率 较低。
优化三角网布设方法
优化三角网布设方法
基于常规三角网布设方法，通过优化算法 和计算机技术，自动选择最优的三角形组
合和布设方案，提高测量效率和精度。
优点
能够自动选择最优的三角形组合和布设方 案，减少人工干预和计算量，提高测量效
三角网布设及概算
contents
目录
• 三角网布设概述 • 三角网布设方法 • 三角网布设的参数选择 • 三角网布设的概算 • 三角网布设的应用场景 • 三角网布设的未来发展
01
三角网布设概述
三角网布设的定义
三角网布设：根据地形数据，利用数 学和几何原理，将地形表面划分为一 系列连续三角形，形成三角网的过程。
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物力成本概算
物力成本
包括三角网布设所需的材料、设备等 费用。
物力成本概算
根据项目需求，选择合适的材料和设 备，并进行物力成本概算，以确保项 目预算的合理性和可行性。
时间成本概算
时间成本
包括三角网布设所需的时间费用，如 工期、维护期等。
部编数学九年级下册专题14网格中画相似(解析版)含答案
专题14 网格中画相似1．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC 相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．【答案】12##0.5【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．图①，图②，图③均是66´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在BC 上画一点D ，使ABD ACD S S =V V ；(2)在图②中，在BC 上画一点E ，使ABE S V ：2ACE S =V ：3；(3)在图③中，在ABC 内画一点F ，使ACF S △：ABF S △：2BCF S =V ：3：3．（2）在图②中，点E 即为所求；点C 下移三个单位得到点连接MN ，得到CME ∽△△32CE CM BE BN ==∴，∴ABE S V ：2ACE S =V ：3（3）在图③中，点F 即为所求．由图可知，6AC =，AB =12ABC S =∴△，∵ACF S △：ABF S △：BCF S =V 21238ACF S =´=∴△，ABF S =△【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形相似性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．3．（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH（2）①如图1，点F 为所作；理由：因为三角形的三条中线交于同一点，四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，∵E 是CD 的中点，根据三条中线交于同一点，连接BE 交AC 于P ，则点P 为三条中线的交点，作射线DP 交DP 于点F ，则点F 为BC 的中点；②如图2，找到格点D ，过A 点作AD 垂直AB ，再平移DA 得到CE ，则CE ⊥AB ，接着作MN 垂直AC ，平移MN 得到BF ，则BF ⊥AC ，BF 与CE 的交点O 为△ABC 的垂心，所以延长AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC ，AH 为所作．理由：∵ABG DAKV V ≌∴GAB ADKÐ=Ð90GAB DAK ADK DAK \Ð+Ð=Ð+Ð=°∴90BAD Ð=°∴BA AD^平移AD 至CJ ，并延长，交AB 于点E ，∴CE AB^同理作出BF AC ^，,BF CE 交于点O根据三角形三条高所在的直线交于同一点，延长AO 交BC 于点H ，则AH 即为所求．【点睛】本题考查了画相似三角形：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，也考查了三角形的重心和平行四边形的性质．4．在4*4的方格中，ABC V 的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出与ABC V 成轴对称且与ABC V 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；(2)将图2中画一个与ABC V 相似的三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）选取AC 所在的直线为对称轴作图即可；（2）保证每条边方向一致，且边长减小为原来的一半作图即可．【详解】（1）解：如下图所示，AB C ¢V 即为所求作的三角形；（答案不唯一）（2）如下图所示，DEF V 即为所求作的三角形；【点睛】本题考查轴对称作图与作相似图形，掌握两个图形关于某条直线对称的性质与相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，ABC D 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与ABC D 相似．(1)在图甲中画△111A B C ，使得△111A B C 的周长是ABC D 的周长的2倍；(2)在图乙中画出△222A B C ，使得△222A B C 的面积是ABC D 的面积的2倍．（1）A B C，即为所求；解：如图所示：△111（2）A B C，即为所求．解：如图所示：△222【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．6．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为1；2(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．（1）如图，（案不唯一）（2）如图，【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．7．如图，在74´方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使25CD AC=；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求，（2）如图2所示，△CEF即为所求，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．∵AB=2221+=5，AC=∴55225ADBD==，ABCD=∴52 AD AB BDBD CD BC===，∴△ABD∽△DCB，相似比9．如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．【答案】(1)相似，见解析(2)图见解析，面积为5【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．10．按要求作图，无需写作法：图①图②(1)如图①，已知∠AOB，OA=OB，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线．(2)如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．Q即为所求\11．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中画等腰△ABC ，使得∠CAB ＝90°；(2)在图②中画等腰△DEF ，使△ABC ∽△DEF ：1．10AB =Q ,10AC =,25BC =,5,5,10DE DF EF ===,21AB AC BC DE DF EF \===．\△ABC ∽△DEF ，且相似比为2：1．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关12．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、E 、P 、Q 、M 、N 均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB 的中点F ．(2)在图②中，画CDE V 的中位线GH ，点G 、H 分别在线段CD 、CE 上，并直接写出CGH V 与四边形DEHG 的面积比．(3)在图③中，画PQR V ，点R 在格点上，且PQR V 被线段MN 分成的两部分图形的面积比为1：3．【答案】(1)见解析(2)见解析，面积比为1：3(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点，找到,A B 之间单元网格的对角线，交AB 于点F ，则点F 即为所求；（2）根据（1）的方法找到,CD CE 的中点,G H ，连接GH ，根据相似三角形的性质即可求出CGH V 与四边形DEHG 的面积比；（3）根据（2）的结论，可知，只要MN 经过PQR V 的中位线，根据R 在网格上，找到符合题意的点R 即可求解．(1)如图①：13．如图，已知ABC V 和点O ．(2)用无刻度的直尺，在AC边上画出点P，使23PAPC=（要求保留作图痕迹，不写作法）．（2）解：如图，取网格点E、F，连接EF交AC14．如图，ABC V 是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1．(1)在图（1）中将ABC V 绕点C 逆时针旋转90°，得到CDE V ．(2)在图（2）中找格P ，使以格点P 、C 、B 为顶点的三角形与ABC V 相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点，进而顺次连接即可得出答案；（2）可找能使PCB V 是直角三角形且2PB BC =或2PC BC =的P ．(1)所作图形如下：(2)【点睛】本题考查旋转作图及相似三角形的性质，明确旋转角度、旋转中心、旋转方向是解本题的关键．15．如图是由边长为1的小正方形构成的69´网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的顶点在格点上，边BC 上的点D 也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC 的平行线DE 交AB 边于点E ，可在BC 边上画点F ，使ACF BCA ∽△△；(2)在图2中，先在边AB 找点M ，使△MDC 与△MAC 的面积相等，再在AC 上画点N ，使△CDN 的面积是△ABC 的面积的三分之一．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据格点特点画出AC 的平行线即可；根据格点特点作MA ⊥AC ，连接MC ，则△AMC16．如图，在6×7的矩形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，点A，B，C 均在格点上，按下面要求画出格点三角形．(1)在图1中，画一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等．(2)在图2中，画一个△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且点E不在边BC上．注：图1，图2在答题纸上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）运用三角形全等判定定理SSS，在网格上构造△ABD与△ABC全等．（2）△ACE与△ABC共顶点A，因此考虑两个三角形在以A为顶点的高线相等的情况下，构造3CE=BC，从而满足S△ABC＝3S△ACE．（1）解：（2）解：【点睛】本题考查三角形全等判定定理，三角形面积计算方法，找到相应的作图依据是解题关键．17．如图，在7×8的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺完成下列作图：(1)在AC上画点E，使AE=3CE；(2)在AB上画点D，使AD=CD；(3)在BC上画点F（不与B重合），使AF^BC．(4)在AB上画点P，使tan13 ACPÐ=．(2)如图，取格点,P Q，连接PQ，交AC于点M，Q=∥,AP CQ AP CQ\APM CQM∽V VAM AP\=1=MC PQ\=AM MCM，连接根据网格的特点作正方形，同理取中点1则DM是AC的垂直平分线，\=．DA DC(3)如图，方法同（2）作正方形BXYC ，作AZ ∥(4)如图，同方法（3）作正方形，作EE AC ¢^，同方法（连接1KK 交EE ¢于点S ，作射线CS 交AB 于点13,44AE AC CE AC ==Q ，1tan 3SE ACP EC \Ð==．【点睛】本题考查了网格中无刻度直尺作图，相似三角形的性质，正方形的性质，根据相似三角形的性质确定线段的长度是解题的关键．18．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意找到格点,P Q，画出线段PQ即可（1）如图所示，PQ即为所求，19．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线AC CB=．(2)如图2，在线段AB上找出点C，使:1:2\点C 即为所求，如图所示：【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．如图在5×5的网格中，△ABC 的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)在图1中画出△ABC 的中线AD ；(2)在图2中画线段CE ，点E 在AB 上，使得ACE S V ：BCE S V ＝2：3；(3)在图3中画出△ABC 的外心点O ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由题知BO =CO ，取两个格点F 、G 构造CFD BGD △≌△，即可得中点D ．（2）由ACE S V ：BCE S V ＝2：3得AE ：BE =2∶3，取格点H 、J ，构造△∽△AHE BGE ，且相似比为2∶3，即可得到E 点．（3）由O 为△ABC 的外心知O 为AB 、AC 的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O ．（1）如图1中，取格点F 、G ，连接FG 交BC 于点D ，线段AD 即为所求．（2）如图2中，取格点H 、J ，连接HJ 交AB 于点E ，线段CE 即为所求．（3）如图3中，取格点K 、L 、M 、N ，连接KL 、MN 交于点O ，则点O 为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．(1)在图1中以线段AB 为边画一个ABD △，使其与ABC V 相似，但不全等．(2)在图2中画一个EFG V ，使其与ABC V 相似，且面积为8．（2）如图，△EFG 即为所求．【点睛】本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．(1)在图①中，在线段AB 上找到一点E ，使AE BE＝23；(2)在图②中，画出一个以A 、B 、C 为顶点的三角形，且cos ∠BAC (3)在图③中，画出一个四边形ACBD ，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为12，C 、D 为格点．【答案】(1)见解析(2)见解析（2）V即为所求；如图所示，ABC（3）如图所示即为所求作【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识与性质．。
我们对网格图形中的格点三角形问题已比较熟悉了
我们对网格图形中的格点三角形问题已比较熟悉了，可是在学习《正方形》内容时遇到一些由格点三角形变式的问题却感到有困难。
在这些变式的问题里，网格正方形的大小可以不一样，形状也可变成长方形，而且其中的格点三角形不仅需要求面积，也可以求特殊内角的度数，题目的难度增加了。
一、探究方法湖北省教学研究室编著的数学八(下)《练习册》上有这样一道题：如图1，正方形ABCD的边长为2，点E在AB上，四边形EFGB为正方形，则=_______________.分析：这道题让学生和部分老师“卡壳”了。
注意到△AFC（即图1的阴影部分）是一个一般三角形，根据图中已知条件易求出AC的长，由于E是AB上的任意一点，可以把E点理解为动点（E在AB上滑动），所以F点也是动点，那么想求出AC边上的高的思路打不开，因此直接用三角形面积公式求△AFC的面积非常困难。
笔者提示一下，如果我们把△AFC放置在网格中（且A、F、C三点都在格点上），或把△AFC置身于平面直角坐标系中（且知道A、F、C三点的坐标），那么读者，你的思路现在是不是打开了呢？可能大部分学生都能想到用一个长方形把△AFC“框起来”（如图2）。
对，割补法，将△AFC的面积通过实施割补、剪拼等方法转化为规则图形（如矩形、梯形、直角三角形等）的面积之和或差，这样问题就能解决了。
如图2，延长DA、 GF，两者相交于点H，矩形GCDH把△AFC“框起来”。
则（或者），可以说思路非常好，但是真正计算时，发现还是缺少条件，由于题目只告知了正方形ABCD的边长为2，而没有告诉正方形EFGB的边长，AH、HF、FG、GC无法求出，所以思路再次受阻。
走到这一步，笔者需要提醒读者的是，在平时的数学学习中，要多注意“动点问题”的思维和训练，因为动点问题是近年来中考的一个热点问题。
针对某些几何图形，我们要把它看“活”，而不是静止不动的。
如图2中，点E是AB上的任意一点，我们可以把它理解为动点，随着动点E在线段AB上滑动，正方形EFGB的边长和△AFC的形状在不断的变化，而题目既然让求出△AFC的面积（即），大胆猜测，肯定是一个定值，难道说，△AFC的面积大小与正方形EFGB的边长的大小无关吗？所以，不妨设正方形EFGB的边长为，则=+--- =2可见，这个结果中不含字母，所以，△AFC的面积大小与正方形EFGB的边长无关。
格点图中的锐角三角函数
格点图中的锐角三角函数正在正方形网格中，我们把水平线与竖直线相交的点称为格点。
如果在网格中，一个三角形的三个顶点在格点上，那么我们称这个三角形为格点三角形。
格点三角形有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。
在初中阶段，锐角三角函数值的求解经常作为一个考点来考查学生的观察、分析和计算能力。
由于此类题灵活多变，内容丰富，经常将其在中考试卷中作为考点进行考查，其考查学生能力的作用不言而喻。
下面择其中的中考题作个例析。
例1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC 中点，则sin∠AEB的值是（）A．B．C．D．例1例2例2. （2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．练习：1. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．第1题第2题2.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC 的值是．3. 仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，求tan∠BOD的值．解析：连接AE，EF，导出∠BOD＝∠F AE，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题．具体解法如下：连接AE，EF，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，根据勾股定理可得：AE＝，AF＝2，EF＝3，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝＝3，即tan∠BOD＝3．任务：（1）如图2，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，求图中∠HPN的正切值；（2）如图3，A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，请你直接写出tan∠BAC的值．4. 如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，（1）sin∠BAC＝，PC＝．（2）求tan∠DP A的值．参考答案：例1. 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。
短程线三角形网格网壳与双向子午线网格网壳的技术性能比较
空间三角形网格网壳与空间四边形网格网壳的技术性能比较空间三角形网格网壳（又称：短程线网充）空间四边形网格网亮（又稼：双向子午线网壳）上述两种壳体结构都可以实现球面结构。
但是哪种结构形式更有技术优越性？哪种结构更有发展前途？哪种结构更适应机械化、工厂化生产？哪种结构更适应施工现场安装并满足质量和技术要求呢？下面我们从结构理论分析上、从工厂化生产上、从施工安装现场要求上、从满足质量和技术要求上、从网壳结构发展前途上进行分析和比较.一.结构理论分析比较大家知道，三角形是取稳定结何，因此短程段三角形网格网壳（空间三角形）结构比双向子午城（空间四边形）网格网无结构具仃更好的受力性能和稳定性.这一结论已通过结构理论分析和实验得到午线网格网壳（空间四边形）的承受不均布藏荷的能力仅为短程鳍三角形网格网壳（空间三角形）的30%,且变形量大20倍.二.上表同时可以牙出短程线三角形网格网壳的技术优点：此外，在生产、施工、安装、质量上的优点如下I1.网壳受力性能好：主要表现为空间•:向传力，其节点处能承受弯曲应力，既能传递压力，也能传递拉力：2.网壳稳定性能好：主要表现为结构具有良好的稳定性，本身具有自动成拱、自动找圆功能，能更好地控制装配质量：3.网壳由计算机实行自动化设计：网格划分合理，杆件的长度差别不大，球面上的孤线是给定的曲线，两点之间的长度为最短，经过改进所有杆件都和球面曲线贴合:4.所有零部件实现了工厂化、标准化生产，采用模具加工，质量好，效率高，成本低：5.现场施工安装方便、快捷，＜1.,50m直径的短程线三角形网格网壳现场安装时间仅需IO天，施工费用节省，现场安装时无需大型起吊设备配合，不占用施工现场地方，且现场动火量少（除边缘节点板少量动火外）：6.现场安装网壳自动成拱、自动找回，安装版量得到保证：7.网壳与雄顶不用焊接，顶板施工方便，节省工时，球面成形度好，外观圆滑美观：8.短程线三角形网格网壳的杆件防腐工作可工厂预先完成，不需现场施工，由于现场杆件安装不需动火，防腐质量得到保证：9.短程线三角形网格网壳具有可修复性，且费用低，时间短；经实验破坏后，修复实体破坏试脸罐（1/4破坏面）仅用了三天时间。
网格中的相似三角形
网格中的相似三角形
1．已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形．
2．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；
（2）求证：EF⊥AB．
3．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．
问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）．
4．如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．
（1）这两个三角形相似吗？为什么？
（2）求∠A的度数；
（3）在右边的网格再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．
5．如图所示，△ABC和△A1B1C1在边长为1的正方形网格中，请判断△ABC与△A1B1C1是否相似，请说明理由．
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．。
2020中考数学总,网格型问题+图形的变化+解直角三角形的实际应用+全等三角形
小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若
抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛
物线的“内接格点三角形”．以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直
角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2，
且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶
C. 3π 2
D. 5π 2
解析：由图知∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
半径为 5，∴A︵C的长＝90π× 5＝ 5π，故选 D.
180
2
答案：D
【预测演练 1－3】 如图 38－4，在长方形网格中，每个小长方形
的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上．若点 C 也在网格
格点上，以 A，B，C 为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的
选项
B
中三角形是直角三角形，且较小角的正切恰为1，∴它 2
与△ABC 相似．
答案：B
【预测演练 1－2】 如图 38－3，在 6×6 的方格纸中， 每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A，B，C 为 格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则A︵C的长等于 ( )
图 38－3
A. 3π 4
B. 5π 4
【精选考题 1】 (2012·湖北咸宁)如图 38－1①，在矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分 别在 NP，PQ，QM，MN 上．若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．图 38－1②，图 38－1③，图 38－1④中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝4，BC＝8. 理解与作图： (1)在图 38－1②，图 38－1③中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格 在图上作出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH；
网格中的三角形相似
Ｒ ＡＡＢＣ ， ＡＣ ＝ ０ ， 鲋 Ｃ ３ 。 ｔ 中 Ｂ ９ 。 ＝ ０，
１
题．解直 角三 角形 是初 中阶段 数形 结
合 的 一 个 重 要 知 识 点 ． 以 其 实 际 应 所
，
Ａ ＝ Ｄ Ａ尸 ． ０３ 。 ｃｓ０ ＝
形相 似．
蓦 赫 ｃ
长 均 为 １根 据 勾股 定 理 ， 中三 角 ， 图１
形 的 三 边 长 分 别 为 ， ２ ，
． ．
、 ／２
例题
下列
、而 ． ／
容 易求得 Ａ中三角形 的 三边长 分 别为２ ， ， ３ ， 而与 图 １ 中三 角
２／ ｘ ￣－ ： ／ ， 对应边 的 比相 等． 、 故 、而 ／ 同理 可得 出Ｃ和Ｄ中的 两个 三 角
解 得 ｘ ６ — ０、 ＝ ０ ２ ／３．经 检 验 ， ＝ ０ ｘ ６—
里 ．所 ｃＡＰ ＡＣ Ｐ ＝ ２ ＋ ０ ／３ ） Ｘ ＝ ＋ Ｃ （０ ２ Ｘ － 海
里 ．因 为Ｐ ．ＡＤ， Ａ ３ 。 ＤＬ ＬＰ Ｄ＝ ０ ，所 以
需建 立 一 个 以 Ｂ为 边 Ｐ Ｄ为 一 内 Ａ
、了 ／
２
类考题 ． 决这 类题 的 关键是 用 正 解
方 形 的 性 质 和 勾股 定 理 求 出相应 的
三 角 形 的 边 长 ． 利 用 三 边 的 比 对 应 再
３／ 、
、而 ／
３／ 、了
５
相 等的 两个三 角形相似 来判 断． 在解题 中， 同学 们要 注 意 ， 对应
４ ＝ １ 、 ３一 Ｏ海里． ０ （０ ／ ｌ）
所 以 Ｂ ＡＢ＝ ０海 里 ． Ｃ＝ ２ ＡＣ＝ 曰 ・ Ａ
第24章 专题10 在网格中画与已知三角形相似的三角形重难点专练(学生版
专题10 在网格中画与已知三角形相似的三角形重难点专练第I卷（选择题）一、单选题的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有( 1．如图，在44)A．1个B．2个C．3个D．4个2．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE△△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：△△ABC ，△△ADE ，△△AEF ，△△AFH ，△△AHG ，在△至△中，与△相似的三角形是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△4．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC 和DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点).1P ，2P ，3P ，4P ，5P 是DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，点,,,,,,,,A B C D E F G H K 都是78⨯方格纸中的格点，为使DEMABC ∆∆（点D 和A 对应，点E 和B 对应），则点M 应是,,,FGH K 四点中的（ ）A ．FB ．GC ．HD ．K6．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1,7)，(1 1)，，(4,1)，(6,1)，以C ，D ，E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则点E 的坐标不可能是（ ）A ．(6,3)-B ．(6,4)C ．(4,3)-D ．(4,2)7．如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.ABC ∆和DEP ∆的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若ABC ∆~PDE ∆且两三角形不全等，则P 点所在的格点为（ ）A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 48．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC△△EPD ，则点P 所在的格点为（ ）A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 49．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．的正方形方格中，ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作11．如图，在55一个与ABC 相似的DEF ，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则DEF 的最大面积是（ ）A ．5B ．10C ．52D 12．如图，小正方形的边长均为1，关于ABC 和DEF 的下列说法正确的是（ ）A ．ABC 和DEF 一定不相似B ．ABC 和DEF 是位似图形 C ．ABC 和DEF 相似且相似比是1:2D ．ABC 和DEF 相似且相似比是1:4 13．如图，A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ△△ABC ，那么点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁14．如图，A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ△△ABC ，那么点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第II 卷（非选择题）二、填空题15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上， （1）△ACB 的大小为_____（度）；（2）在如图所示的网格中，P 是BC 边上任意一点，以A 为中心，取旋转角等于△BAC ，把点P 逆时针旋转，点P 的对应点为P ′，当CP ′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P ′，并简要说明点P ′的位置是如何找到的（不要求证明）_____．16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于_____．17．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．18．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是___．的正方形方格中，有格点ABC（我们把顶点在正方形的顶点上的三角19．如图，在24形叫做格点三角形），则与ABC相似但不全等的格点三角形共有________个．20．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，则格点P的坐标是_____．21．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1)．22．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ABC与OAB相似（相似比不能为1），则C 点坐标为__________．23．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是_____．三、解答题24．如图，将ABC ∆放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上．（△）计算AB 的长等于 ．（△）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个ADE ∆，使ADE ABC ∆∆∽，且满足点D 在AC 边上，点E 在AB 边上，2AE =．（保留作图痕迹不要求证明）．25．我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在 77⨯ 的方格中，现有一 格点线段AB 及格点 C ，按要求画图．（1）在图1 中画一条格点线段 CD ，使线段 CD 和线段 AB 互相平分； （2）在图2 中画一条格点线段 CE ，将线段 AB 分为 1:2 两部分．图1 图2 26．如图，在43⨯的正方形方格中，ABC ∆和DEF ∆的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：ABC ∠= ，BC = ；（2）判断ABC ∆与DEC ∆是否相似，并证明你的结论．27．如图，在46⨯的正方形网格中，ABC 的顶点,,A B C 在单位正方形的顶点上．请按要求画图：（1）在图1中以点B 为位似中心，在网格内将ABC 放大为原来的2倍，得到EBD △，且点,D E 都在单位正方形的顶点上；（2）在图2网格中作一个FGH ，使~FGH ABC ，，点,,F G H 都在单位正方形的顶点上．28．在ABC中，90∠=,C（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似．例PD BC交AB于D，则截得的ADP与ABC相似．请你在图中画出所如：过点P作//有满足条件的直线．（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）29．如图所示，在右边的方格中，画出边长是左边四边形2倍的相似形.30．在方格图中，画出和四边形ABCD相似的一个相似图形.31．在下列方格中，画出四边形ABCD的一个相似形.32．在下列方格中，画出△ABC的一个相似形.33．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5，6)，B(3，6)，C(2，7)．(1)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是_____；(2)△ABC外接圆半径是_____；(3)请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1△△DEF，且相似比为1：2．34．在由边长为1的正三角形组成的正六边形网格中画一个与已知△ABC相似但不全等的三角形．35．如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的△DEF（D、E、F必须在方格图的交叉点）．36．如图，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1B1C1，使点A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上，且使△A1B1C1△△ABC.37．(1)以下列正方形网络的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：△都是直角三角形；△都是锐角三角形；△都是钝角三角形．(2)如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，﹣1)、(2，1)．△以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；△分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标；△如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y)，写出M 的对应点M′的坐标．38．如图，在边长为1的小正方形组成的网络中，ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：()1以直线AC 为对称轴作ABC 的轴对称图形，得到1AB C ，再将ABC 绕着点C 顺时针旋转90，得到22A B C ，请依次画出1AB C 、22A B C ；()2请画出一个格点333A B C ，使333A B C ABC ∽，且相似比不为1．39．在下列三个正方形网格图中，△ABC 的顶点和另两条线段的端点都在格点上，以给定的线段为一边，分别在图2和图3中各画出一个三角形，使所画的三角形都与△ABC 相似，并说明所画三角形与△ABC 的相似比．40．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ，点()P 1,2，作PQR ，使PQR 与ABC 相似，并且Q 、R 点必须在格点上.（不写作法）41．如图，在大小为44⨯的正方形方格中，ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个111A B C ，使111A B C ABC ∽（相似比不为1），且点1A 、1B 、1C 都在单位正方形的顶点上．________．42．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．(1)将△ABC 向上平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(2)请画一个△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2△△ABC ，且相似比为2：1．43．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．44．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2△△ABC，且相似比不为1．45．已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．△请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；△试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．。
网格中的三角形
⽹格中的三⾓形⽹格中的三⾓形1.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形组成的⽹格中，给出了格点△ABC(顶点是⽹格线的交点)．(1)请△ABC 向上平移3个单位得到111C B A △，请画出111C B A △；(2)请画⼀个格点222C B A △，使222C B A △∽△ABC ，且相似⽐不为1．2.⽅格纸中每个⼩格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三⾓形叫做格点三⾓形．（1）在10×10的⽅格中（每个⼩⽅格的边长为1个单位），画⼀个⾯积为1的格点钝⾓三⾓形ABC ，并标明相应字母．（2）再在⽅格中画⼀个格点△DEF ，使得△DEF ∽△ABC ，且相似⽐为2：1，并说明理由．3.在⽅格纸中，每个⼩格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三⾓形叫做格点三⾓形．请你在如图所⽰的4×4的⽅格纸中，画出两个相似但不全等的格点三⾓形（要求：所画三⾓形为钝⾓三⾓形，标明字母，并说明理由）．4.在⽅格纸中，每个⼩格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三⾓形叫做格点三⾓形．如图，请你在4×4的⽅格纸中，画⼀个格点111C B A △，使111C B A △与格点三⾓形ABC 相似（相似⽐不为1）．5.正⽅形⽹格中，⼩格的顶点叫做格点．三个顶点都在⽹格上的三⾓形叫做格点三⾓形．⼩华已在左边的正⽅形⽹格中作出了格点△ABC ．请你在右边的两个正⽅形⽹格中各画出⼀个不同的格点三⾓形，使得三个⽹格中的格点三⾓形都相似（不包括全等）．6.如图，在4×4的正⽅形⽅格中，△ABC 的顶点都在边长为1的⼩正⽅形的顶点上、请你在图中画出⼀个与△ABC 相似的△DEF ，使得△DEF 的顶点都在边长为1的⼩正⽅形的顶点上，且△ABC 与△DEF的相似⽐为1：2．7.如图，△ABC 是正⽅形⽹格中的格点三⾓形（顶点在格上），请在正⽅形⽹格上按下列要求画⼀个格点三⾓形与△ABC 相似，并填空：（1）在图甲中画111C B A △，使得111C B A △的周长是△ABC 的周长的2倍，则AB B A 11=（2）在图⼄中画222C B A △，使得222C B A △的⾯积是△ABC 的⾯积的2倍，则AB B A 22=．8.如图，已知每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形，我们称每个⼩正⽅形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．图中的△ABC 是⼀个格点三⾓形．（1）请你在第⼀象限内画出格点11C AB △，使得△ABC ~C AB △11，且11C AB △与△ABC 的相似⽐为3：1；（2）写出B1、C1两点的坐标．9.在4×4的正⽅形⽅格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的⼩正⽅形的顶点上．(1)填空：∠ABC=_____°，BC=_____．(2)判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由．(3)请在图中再画⼀个和△ABC 相似但相似⽐不为1的格点三⾓形．10.如图，将△AOC 各顶点的横纵坐标分别乘以-2作为对应顶点的横纵坐标，得到所得的111C O A △．①在图中画出所得的111C O A △；②猜想111C O A △与△AOC 的关系，并说明理由．11.⽹格中每个⼩正⽅形的边长都是1．（1）将图①中的格点三⾓形ABC平移，使点A平移⾄点A′，画出平移后的三⾓形A′B′C′；（2）在图②中画⼀个格点三⾓形DEF，使△DEF∽△ABC，且相似⽐为2：1．12.如图是⼀个10×10格点正⽅形组成的⽹格，△ABC是格点三⾓形（顶点在⽹格交点处）。
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网格中的三角形
河北张家口市第十九中学 贺峰
随着新课程的实施，在近几年的中考试卷中出现了许多新颖的网格型试题，这类试题具有很强的直观性、可操作性、开放性及综合性等特点，不仅能够考查学生的数学知识，体现分类、数形结合等重要的数学思想，同时也考查和培养学生的识图、归纳、动手操作、自主探究等多种能力，有利于培养学生的探究意识和创新精神。
现以近几年中考试题中出现的“网格中的三角形”为例，为同学们加以归类分析：
一、网格中的“等面积三角形”
例1 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图1所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（ ）
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 析解：此题以网格为载体来考查同学们等面积三角形的构成，体现分类讨论思想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，
即保证△ABC 的底为2，高为1，因此须分类讨论的思想方法，即按AC ＝2时、BC ＝2时进行分类求解。
答案如图2所示：
说明：此题也可通过对图形对称变换进行求解，即确定第（1）、（3）、（5）三种情况，分别以AB 所在的直线为对称轴将△ABC 翻折，使点C 落在格点上即可求解。
即可求解。
二、网格中的“等腰三角形”
例2如图3所示，A 、B 是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的
所有格点C 的位置． 析解：此题以网格为载体来考查同学们等腰三角形的构成，体现分类讨论思
想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，即保证△ABC 中AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝AB ，即分别以AC 、AB 、BC 为腰时进行分类求解。
答案如图4所示： 说明：此题也可通过对图形旋转变换进行求解，即以AB 为腰，分别以点A 、点B 为旋转中心，将线段AB 进行旋转，使点B 、点A 落在格点上即可求解。
三、网格中的“直角三角形” 例3如图5，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线
上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，
小华在左边的正方形网格中作出了Rt △ABC ，请你按照同样的要求，在右边的两个
正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。
析解：此题开放性很强，
给学生广阔的思维空
图1 A 图3
图
4 A B C 图5
图6 C C C C C C （1） （2） （3） （5） （6） 图2
间，以网格为载体来考查同学们直角三角形的构成，体现数形结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角，画出符合要求的直角三角形。
参考解答如图6：
说明：本题可以将三角板的直角顶点分别放在实线的格点上，转动三角板，使两条直角边落在另两边实线上的格点上，可以得到更多不同的解。
四、网格中的“单位正三角形”
例4如图7中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．
(1)直接写出单位正三角形的高与面积；
(2)图①中的□ABCD 含有多少个单位正三角形?□ABCD 的面积是多少?
(3)求出图①中线段AC 的长(可作辅助线)；
(4)求出图②中四边形EFGH 的面积．
解析：本题以正三角形网格为载体来考查学生对“单位正三角形”的理解。
观察网格不难发现单位正三角形的高为
32．答案如下： （1）单位正三角形的高为32，面积为34
． （2）□ABCD 含有24个单位正三角形，其面积为24×
34＝6 3. （3）过点A 作AK ⊥BC 于K （如图1）．在Rt △ACK 中，AK ＝332，KC ＝52． ∴AC ＝AK 2＋KC 2＝
（332）2＋（52
）2＝3． （4）解法一：如图2所示，将图形EFGH 分割成五部分，以FG 为对角线构造□FPGM ，
∴□FPGM 中含有6个单位正三角形，∴S 四边形EFGH ＝（3＋4＋8＋9＋8）×34
＝83． 解法二：如图3所示，构造□EQSR ．过点F 作FT ⊥QG 于T ，则S △FQG ＝12FT ．QG ＝12×332
×4＝33．同理可求S △GSH ＝3，S △EHR ＝63,S □EQSR ＝183，∴S 四边形EFGH ＝S □EQSR －S △FQG －S △GSH －S △HER ＝183－33－3－63＝83．
追踪研练：
1．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点
均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形。
①
G ② ③ 图7
2．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点. （1）在图1中，以格点为顶点画一个三
角形，是三角形的三边长分别为3，5,2 2
（2）在图2中，线段AB的端点在格点上，
请画出以AB为一边的三角形，使三角形
的面积为6（要求至少画出3个）.
（3）在图3中，△MNP的顶点M、N在
格点上，P在小正方形的边上，问这个三
角形的面积相当于多少个小方格的面积，在你解出答案后，说说你的解题方法.
解：
（3）S△MNP＝1
2MN·h=
1
2×5×4=10，即相当于10个小方格的面积。
A B M N
P
图1 图2 图
3
A B
图1 图2。