高中数学第二章函数2.2.3待定系数法练习

2.2.3 待定系数法

课时跟踪检测 [A 组 基础过关]

1．反比例函数图象过点(－2,3)，则它一定经过( ) A ．(－2，－3) B ．(3,2) C ．(3，－2)

D ．(－3，－2)

解析：设f (x )＝k x (k ≠0)，∵f (x )过(－2,3)，∴k －2＝3，∴k ＝－6，f (x )＝－6

x

，过(3，

－2)点．故选C ．

答案：C

2．已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( )

A ．y ＝－x 2

＋1 B ．y ＝x 2

＋1 C ．y ＝－x 2－1

D ．y ＝x 2

－1

解析：设f (x )＝a (x －1)(x ＋1)(a ≠0)， ∵过(0,1)点， ∴f (0)＝－a ＝1， ∴a ＝－1，

∴f (x )＝－(x －1)(x ＋1)＝－x 2

＋1，故选A ． 答案：A

3．函数y ＝ax 2

＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只能是( )

解析：y ＝ax 2

＋bx 的图象过原点，故A 错； 由B ，C ，D 中抛物线的对称轴可知－b

2a >0，

∴a 与b 异号，观察图中的直线，B 错；

两图象的交点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b a

，0，故选D ．

答案：D

4.如图，抛物线y ＝－x 2

＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 等于( )

A ．－53

B ．0

C ．－5

3

或0

D ．1

解析：设A (x 1,0)(x 1＞0)，B (x 2,0)(x 2＜0)， 则x 1，x 2是方程－x 2

＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0的两根， 即x 2

－2(m ＋1)x －m －3＝0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＋x 2＝2(m ＋1)＞0，x 1·x 2＝－m －3.∵x 1＝－3x 2，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

－2x 2＝2(m ＋1)，－3x 2

2＝－m －3，

∴m ＝0，m ＝－5

3(舍)，故选B ．

答案：B

5．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4

D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析：由题可得a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 2

＝9，ab ＋b ＝8，∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝3，

b ＝2或⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝－3，

b ＝－4，故选D ．

答案：D

6．已知抛物线y ＝ax 2

与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．

答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14，14

7．反比例函数y ＝12

x

的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数

的解析式为________．

解析：由P (m,2)在y ＝12x 上，2＝12

m

，∴m ＝6.

将(6,2)代入y ＝kx －7，得6k －7＝2， ∴k ＝32，∴y ＝3

2x －7.

答案：y ＝3

2

x －7

8．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 解：∵f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)． 又∵f (0)＝0， ∴c ＝0.

从而f (x )＝ax 2

＋bx (a ≠0)． 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得

a (x ＋1)2＋

b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，

整理得ax 2

＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2

＋(b ＋1)x ＋1，

比较系数得⎩

⎪⎨

⎪⎧

2a ＋b ＝b ＋1，

a ＋

b ＝1，

解得a ＝12，b ＝1

2

.

∴f (x )＝12x 2＋1

2

x 即为所求．

[B 组 技能提升]

1．函数y ＝ax 2

＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞) 上是减函数，则( ) A ．b ＞0，且a ＜0 B ．b ＝2a ，且a ＜0 C ．b ＝2a ，且a ＞0 D ．a ，b 的符号不定

解析：由题意知a ＜0，且－b

2a

＝－1，故选B ． 答案：B

2．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数y ＝x 2

＋bx ＋c 的图象过(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据以上信息，题中的二次函数不具有的性质是( )

A ．过点(3,0)

B ．顶点(2,2)

C ．在x 轴上截得的线段长为2

D ．与y 轴交点为(0,3)