高考数学：不等式高级水平必备(详细解析)

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高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)

1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高中数学不等式高考真题精选和解析

高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解；当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1，这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。

高考数学不等式知识点解析

高考数学不等式知识点解析不等式在高考数学中占据着重要的地位，它不仅是数学知识体系中的关键组成部分，也是解决各种数学问题和实际应用问题的有力工具。

掌握不等式的相关知识，对于提高数学解题能力和思维水平具有重要意义。

一、不等式的基本性质1、对称性：若 a＞b，则 b＜a；若 a＜b，则 b＞a。

比如，5＞3，那么 3＜5。

这一性质非常直观，也很好理解。

2、传递性：若 a＞b 且 b＞c，则 a＞c。

例如，7＞5，5＞3，所以 7＞3。

传递性在比较多个数的大小时经常用到。

3、加法性质：若 a＞b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。

比如，因为 8＞5，那么 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2，也就是 10 ＞ 7。

4、乘法性质：若 a＞b 且 c＞0，则 ac＞bc。

若 a＞b 且 c＜0，则 ac＜bc。

例如，4＞2，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3，即 12 ＞ 6；当 c ＝－2 时，4×（－2) ＜ 2×（－2)，即－8 ＜－4。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，必须牢记并能熟练运用。

二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母的话）：在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，注意当乘以一个负数时，不等号方向要改变。

2、去括号：根据乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项合并。

5、系数化为 1：在不等式两边同时除以未知数的系数，如果系数是负数，不等号方向要改变。

例如，解不等式 3x 5 ＞ 2x ＋ 1。

首先，移项得到 3x 2x ＞ 1 ＋ 5，即 x ＞ 6。

三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。

高中数学高考难点归纳19解不等式知识点分析全国通用

技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、
二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗
.
解： M ［ 1，4］有 n 种情况：其一是 M= ，此时 Δ＜ 0；其二是 M≠ ，此时 Δ ＞
0，分三种情况计算 a 的取值范围 . 设 f(x)= x2 －2ax+a+2，有 Δ=(－ 2a)2－ (4a+2)=4( a2－ a－2) (1)当 Δ＜ 0 时，－ 1＜ a＜ 2， M = ［ 1， 4］ (2)当 Δ=0 时，a=－1 或 2.当 a=－ 1 时 M ={ － 1} 1，4］；当 a=2 时，m={2} ［ 1，4］. (3)当 Δ＞ 0 时， a＜－ 1 或 a＞ 2.设方程 f(x)=0 的两根 x1，x2，且 x1＜ x2，那么 M =［x1，
2
2
2
2
2(a+c)=5 ， a+c= 5 且 b=1，∴ f(x)=ax2+x+( 5 － a).
2
2
依题意： ax2+x+( 5 － a)≥x 2+ 1 对一切 x∈ R 成立，
2
2
∴ a≠1 且 Δ =1－4( a－ 1)(2－ a)≤ 0，得 (2a－ 3)2≤ 0，
∴ f(x)= 3 x2+x+1 2
(1)求 p 的值；
px (2)若 f (x)= p x
1 ，解关于 x 的不等式 f-－1(x)＞ log p 1 x (k∈R +)
1
k
5.(★★★★★ )设 f(x)=ax2+bx+c，若 f(1)= 7 ，问是否存在 a、 b、c∈ R，使得不等式： 2

高考不等式知识点总结

高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。

下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。

当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。

2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。

3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。

4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。

5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。

2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。

求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。

可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。

2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。

2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。

将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。

不等式高级水平必备(1)

Ch3. 幂均不等式
3.1 设 a (a1, a2 ,..., an ) 为正实数序列，实数 r 0 ，则记：
1
M r (a)
a1 r a2 r ... anr r n
(4)
(4) 式的 M r (a) 称为幂平均函数 . 3.2 若 a (a1, a2 ,..., an ) 为正实数序列，且实数 r 0 ，则：
不等式高级水平必备目录
第 1页
Ch22. ABC 法 Ch23. SOS 法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析
Ch1. 伯努利不等式
1.1 若实数 xi （ i 1, 2,..., n ）各项符号相同，且 xi 1，则：
(1 x1 )( 1 x2 )...(1 xn ) 1 x1 x2 ... xn ( 2 ... xn x 时， (1) 式变为： (1 x)n 1 nx (2)
Ch2. 均值不等式
2.1 若 a1 ,a2 ,..., an 为正实数，记：
⑴ Qn
a
2 1
a
2 2
... an2 ，为平方平均数，简称平方均值；
n
⑵ An a1 a2 ... an ，为算术平均数，简称算术均值； n
Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 3 个对称变量 pqr 法 Ch21. 3 个对称变量 uvw法

高考数学不等式考点,高考数学不等式题及解析

考点03不等关系【命题解读】不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、数列、导数等相结合。

在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值等方面都有，因此应用比较广泛。

【命题预测】预计2021年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。

【复习建议】集合复习策略：1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的；2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用；3.掌握与不等式考察有关的知识点。

考向一比较大小1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a >b ，a -b =0⇔a =b ，a -b <0⇔a 1(a ∈R ，b >0)⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab =1⇔a =b (a ，b ≠0)，a b<1(a ∈R ，b >0)⇔a 0).1. 已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s >B ．t s ≥C ．t s <D ．t s ≤【答案】D【解析】s ﹣t =a +b 2+1﹣a ﹣2b =b 2﹣2b +1=（b ﹣1）2≥0，故有 s ≥t ，故选D ．2. 【2020陕西省期末】若P =Q =()0a ≥，则,P Q 的大小关系是（） A ．P Q D ．,P Q 的大小由a 的取值确定【答案】A【解析】因为220P Q -==<，,P Q >0，所以P Q <，故选A.考向二不等式性质1.对称性:a>b ⇔b<a (双向性)2.传递性:a>b ，b>c ⇒a>c (单向性)3.可加性:a>b ⇔a+c>b+c (双向性)； a>b ，c>d ⇒a+c>b+d (单向性)4.可乘性:a>b ，c>0⇒ac >bc ； a>b ，c<0⇒ac <bc ；a>b>0，c>d>0⇒ac >bd (单向性)5.乘方法则:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)(单向性)6.开方法则:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ，n ≥2)(单向性)1. 如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（） A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>-【答案】D【解析】由0a b <<，得0a b a b b b >⇒->-=，A 正确；由0a b <<，得11a b>，B 正确；由()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又0a b <<，则0a b -<，所以330a b -<，C 正确.由0a b <<，得0b ->，所以0a b a >->，则11a b a<-，D 错误. 故选D.2. 【2020江苏省期末】若实数m ，n 满足m n >，则下列选项正确的是（） A ．()lg 0m n -> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．330m n ->D ．m n >【答案】C【解析】根据实数m ，n 满足m n >，取0m =，1n =-，则可排除ABD ．因为函数3y x =在定义域上单调递增，因为m n >，所以33m n >，即330m n ->故选C ．3. 【2020浙江省杭州第二中学高三其他】若0a b +>，则（） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ． tan tan 0a b +>D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选B.题组一（真题在线）1. 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D2. 【2019年高考全国Ⅰ】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 3. 【2019全国 III 卷】若a b >，则（）A.ln()0a b ->B.33ab <C.330ab -> D.||||a b >4. 【2019天津高考理科】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<5.【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题组二1. 【2020浙江省课时练习】已知a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（） A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<2. 【2020浙江省高一课时练习】已知,a b ∈R ，“a b >”是“||||a a b b >”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.【2020浙江省高一单元测试】若12a <<，13b -<<，则a b -的值可能是（）． A ．4-B ．2-C ．2D ．44.【2020安徽省六安中学期末（理）】函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞5. 【2020黑龙江省哈尔滨三中期末（理）】若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >6. 【2020浙江省高一期末】已知数列{}n a 满足12a >，21n n n a a a +=-，*n N ∈，则下列结论中不一定正确的是（） A ．134n n a a +>-，*n N ∈B ．()()321211a a a >--C ．1234311111314a a a a a +++<+- D ．()()()222234551114a a a a -+-+-<+7. 【2020福建省高一期末】下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab <题组一1.ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选ABD.2. B 【解析】由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.3.C 【解析】由函数3y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->.4.A 【解析】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<，所以a c b <<.故选A5.A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．题组二1.C 【解析】因为a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，则0a >，0c <，所以ab ac >一定成立；又因为0b a -<，所以()0c b a ->，即()0c b a -<一定不成立；因为2b 是否为0不确定，因此22cb ab <也不一定成立；因为0a c ->，所以()0ac a c -<一定成立. 故选C2.A 【解析】由题意，若||a b >，则||0a b >，则a b >，所以2a a a =，则||||a a b b >成立.当1,2a b ==-时，满足a a b b >，但||a b >不一定成立，所以||a b >是a a b >的充分不必要条件. 故选A. 3.C 【解析】13b -<<，31b ∴-<-<，23a b ∴-<-<．故选C.4.A 【解析】依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选A.5.D 【解析】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确； B ：当0c 时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>，故本选项说法是正确的.故选D6.C 【解析】因为()212=2n n n n n n a a a a a a +-=--，12a >，所以有112n n a a a +>>>.又因为()21=1n nn n n a a a a a +=--，所以()2111111==11n n n n n n na a a a a a a +=---- 对于A 选项，()2221343444020n n n n n n n n a a a a a a a a +>-⇔->-⇔-+>⇔->，故成立；对于B 选项，()()32321311321211222a aa a a a a a a a a >--⇔>⋅=⇔>，故成立；对于C 选项，123433111111111111a a a a a a a +++=+<+---，故不成立；对于D 选项，()()()()22222223423423411123a a a a a a a a a =++-+-+-++-+()()()()334453224=23a a a a a a a a a +++++++-+52554153a a a a +=<<+-+，故成立.故选C.7. BCD 【解析】选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<⎧⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题；选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b>>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题；选项D:2111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.考点04 基本不等式【命题解读】基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。

高考不等式专题-讲解(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高考重难点专题突破之——不等式一、综述（内容、地位、作用）：在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章《不等式》。

另外，在实际教学过程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章节（如集合、函数的值域等），无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修4-5中的部分基础性内容进行选讲。

所以“不等式”的内容主要来自必修5第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。

综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。

不等式是中学数学的主干内容之一，它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。

在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外），但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值），试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。

在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。

高考中不等式试题的落脚点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

高考不等式知识点总结(可编辑修改word版)

n a ab 3 abc ab ≤第三章：不等式1、不等式的基本性质①（对称性） a > b ⇔ b > a ②（传递性） a > b , b > c ⇒ a > c③（可加性） a > b ⇔ a + c > b + c（同向可加性）a > b ,c > d ⇒ a + c > b + d （异向可减性）a > b ,c < d ⇒ a - c > b - d ④（可积性）a > b ,c > 0 ⇒ ac > bc a > b ,c < 0 ⇒ ac < bc ⑤（同向正数可乘性） a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd（异向正数可除性） a > b > 0, 0 < c < d ⇒ a > bcd⑥（平方法则） a > b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ N ,且n > 1)⑦（开方法则） a > b > 0 ⇒ > n b (n ∈ N ,且n > 1)⑧（倒数法则） a > b > 0 ⇒ 1 a 2、几个重要不等式22< 1 ; a 1b a ba 2 +b 2① a + b ≥ 2ab (a ，b ∈ R ) ,（当且仅当 a = b 时取" = " 号）. 变形公式： ab ≤ .2②（基本不等式）a + b2≥ (a ，b ∈ R + ⎛ a + b ⎫2) ,（当且仅当 a = b 时取到等号）.变形公式： a + b ≥ 2 ab ≤ ⎪ . 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意 ⎝ 2 ⎭满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式） a + b + c ≥ (a 、b 、c ∈ R + ) （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.3④ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (a ，b ∈ R ) （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.⑤ a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc (a > 0, b > 0, c > 0) （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.⑥ 若ab > 0,则b + a≥ 2 （当仅当 a=b 时取等号）若ab < a b 0,则 b + a ≤ - 2 （当仅当 a=b 时取等号） a b⑦ b < a b + m a + m< 1 <a + n b > 0，m > 0，n > 0) 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. b ⑧当a > 0时，x > a ⇔ x 2 > a 2 ⇔ x < -a 或x > a ;x < a ⇔ x 2 < a 2 ⇔ -a < x < a .⑨绝对值三角不等式 a - b ≤ a ± b ≤ a + b .3、几个著名不等式①平均不等式：2 ≤ ≤a +b ≤ (a ，b ∈ R + ) ,（当且仅当 a = b 时取a -1 + b-12 " = " 号）.（即调和平均≤ 几何平均≤ 算术平均≤ 平方平均）.⎛ a + b ⎫2变形公式： ab ≤ ⎪ a 2 + b 2 ; a 2 + b 2 ≥ (a + b )2. ⎝ 2 ⎭2 2 ②幂平均不等式： a 2 + a 2 +... + a 2 ≥ 1(a + a +... + a )2.1 2③二维形式的三角不等式： n n 1 2n aba 2 +b 22x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≥ (x - x )2 + ( y - y )2(, y , x , y ∈ R ).1 12 2 1 2 1 2 1 1 2 2k + k kk + k -1 kk + k +1⎩ ④二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 (a , b , c , d ∈ R ). 当且仅当 ad = bc 时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式： (a 2 + a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 + b 2 ) ≥ (a b + a b + a b )2 .1231231 12 23 3⑥一般形式的柯西不等式： (a 2 + a 2 +... + a 2 )(b 2 + b 2 +... + b 2 ) ≥ (a b + a b +... + a b )2 .12⑦向量形式的柯西不等式：n12n1 12 2 n n设,是两个向量，则 ⋅ ≤ , 当且仅当是零向量，或存在实数 k ，使= k 时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设 a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n , b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n 为两组实数. c 1 , c 2 ,..., c n 是b 1 , b 2 ,..., b n 的任一排列，则a 1b n + a 2b n -1 +... + a n b 1 ≤ a 1c 1 + a 2c 2 +... + a n c n ≤ a 1b 1 + a 2b 2 +... + a n b n . （反序和≤ 乱序和≤ 顺序和）当且仅当 a 1 = a 2 = ... = a n 或b 1 = b 2 = ... = b n 时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f (x ) ,对于定义域中任意两点x 1 , x 2 (x 1 ≠ x 2 ), 有 f ( x 1 + x 2 ) ≤ f (x 1 ) + f (x 2 ) 或f (x 1 + x 2) ≥ f (x 1 ) + f (x 2 ) .则称 f(x)为凸（或凹）函数.222 24、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如(a + 1 )2 + 3 > (a + 1)2;24 2②将分子或分母放大（缩小），如1 < 1 , k2 k (k -1)1 > 1 , ( k2 k (k +1) =2 =) 1<2 , 1 >2(k ∈ N *, k > 1) 等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0(或< 0) (a ≠ 0, ∆ = b 2 - 4ac > 0) 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原 .f (x )> 0 ⇔ f (x ) ⋅ g (x ) > 0 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 g (x )f (x ) ≥ 0 ⇔⎧ f (x ) ⋅ g (x ) ≥ 0（ < 或≤” 时同理）g (x ) 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⎨g (x ) ≠ 022 k⎨f (x) >⎨f (x) <⎨⎩⎨⎩⎩⎨⎩⎨⎩⎨⎩⎩⎨∆< 0.⎨∆< 0.>a(a > 0) ⇔⎧f (x) ≥ 0⎩<a(a > 0) ⇔⎧f (x) ≥ 0⎩⎧f (x) >0⎧f (x) ≥0⎧f (x) ≥ 0>g(x) ⇔⎪g(x) ≥ 0⎪f (x) > [g(x)]2⎧f (x) ≥ 0>⇔⎪g(x) ≥ 0⎪f (x) >g(x)或⎨g(x) < 0<g(x) ⇔⎪g(x) > 0⎪f (x) < [g(x)]2规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.、指数不等式的解法：⑴当a >1 时, a f ( x) >a g ( x) ⇔ f (x) >g(x) ⑵当0 <a < 1时, a f ( x) >a g ( x) ⇔ f (x) <g(x)规律：根据指数函数的性质转化.、对数不等式的解法⎧f (x) > 0⎧f (x) > 0⑴当a >1 时, logaf (x) > logag(x) ⇔⎪g(x) > 0⎪f (x) >g(x)⑵当0 <a <1时, logaf (x) > logag(x) ⇔⎪g(x) > 0 .⎪f (x) <g(x)规律：根据对数函数的性质转化.⎧a (a ≥ 0) 2211、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：a =⎨-a. ⑵平方法：(a < 0)f (x) ≤ g(x) ⇔f (x) ≤g (x).⑶同解变形法，其同解定理有：① x ≤a ⇔-a ≤x ≤a(a ≥ 0); ② x ≥a ⇔x ≥a或x ≤-a(a ≥ 0);③ f (x) ≤g(x) ⇔-g(x) ≤ f (x) ≤g(x) (g(x) ≥ 0) ④ f ( x) ≥g ( x) ⇔f ( x) ≥g ( x) 或f ( x) ≤-g ( x) ( g ( x) ≥ 0)规律：关键是去掉绝对值的符号.、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2+bx +c > 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与 0 的大小；⑵讨论∆与 0 的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式ax2+bx +c > 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a = 0 时⇒b = 0, c > 0; ②当a ≠ 0 时⇒⎧a > 0⎩⑵不等式ax2+bx +c < 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a = 0 时⇒b = 0, c < 0; ②当a ≠ 0 时⇒⎧a < 0⎩⑶ f (x) <a 恒成立⇔ f (x)max <a; f (x) ≤a 恒成立⇔ f (x)max ≤a;⑷ f (x ) > a 恒成立⇔ f (x )min > a ; f (x ) ≥ a 恒成立⇔ f (x )min ≥ a .15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线 Ax + By + C = 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax + By + C 后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x 0 , y 0 ) （如原点），由Ax 0 + By 0 + C 的正负即可判断出 Ax + By + C > 0 ( 或< 0) 表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据 Ax + By + C > 0 ( 或< 0) ，观察 B 的符号与不等式开口的符号，若同号， Ax + By + C > 0 ( 或< 0) 表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数 z = Ax + By ( A , B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数 z = Ax + By （x 、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 z 值，最大的那个数为目标函数 z 的最大值，最小的那个数为目标函数 z 的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l 0 : Ax + By = 0 ，平移直线l 0 （据可行域，将直线l 0 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x , y ) ；第四步，将最优解(x , y ) 代入目标函数 z = Ax + By 即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用 z 的几何意义： y = - A x + z , z为直线的纵截距.B B B①若 B > 0, 则使目标函数 z = Ax + By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处， z 取得最小值；②若 B < 0, 则使目标函数 z = Ax + By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处， z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： z = Ax + By ;②“斜率”型： z = y 或 z = y - b ;x x - a③“距离”型： z = x 2+ y 2或 zz = (x - a )2+ ( y - b )2或 z .在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.ab 35. 利用均值不等式：⎛ a + b ⎫ 2a 2 +b 2 ≥ 2ab (a ，b∈R + )；a + b ≥ 2 ab ；ab ≤ ⎝ 2 ⎪⎭求最值时，你是否注意到“a ，b ∈R + ”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a + b)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：当且仅当a = b 时等号成立。

关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版

高中数学不等式专题教师版一、高考动向考试内容：不等式．不等式的根本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1〕理解不等式的性质及其证明．（2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3〕掌握解析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4〕掌握简单不等式的解法．（5〕理解不等式│ a│- │ b│≤│ a+b│≤│ a│ +│ b│?二、不等式知识要点1.不等式的根本看法〔 1〕不等〔等〕号的定义： a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0a b.〔 2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3〕同向不等式与异向不等式 .（4〕同解不等式与不等式的同解变形 .2. 不等式的根本性质（1〕a b b a〔对称性〕〔 2〕a b, b c a c 〔传达性〕〔 3〕a b a c b c 〔加法单调性〕〔 4〕a b, c d a c b d 〔同向不等式相加〕〔 5〕 ab, c da cb d 〔异向不等式相减〕〔 6〕 a. b,c0 ac bc（ 7〕 a b, c 0 ac bc 〔乘法单调性〕〔 8〕 ab 0,c d0 acbd 〔同向不等式相乘〕(9) a b 0,0cda b 〔异向不等式相除〕cd(10) a b, ab 01 1〔倒数关系〕ab〔 11〕 a ba nb n ( n Z , 且n1) 〔平方法那么〕〔 12〕 ab 0nanb(nZ ,且n 1) 〔开方法那么〕3. 几个重要不等式〔 1〕假设 a R,那么 | a | 0,a 2〔2〕假设、R , 那么 22或 22〔当仅当 a=b 时取等号〕a ba b2ab(ab 2 | ab | 2ab)〔 3〕若是 a , b 都是正数，那么aba b. 〔当仅当 a=b 时取等号〕2极值定理：假设 x, y R , xyS, xy P, 那么：1 若是 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小；○○2若是 S 是定值 , 那么当 x =y 时， P 的值最大 .利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等 .(4) 假设 a 、 b 、c R ,那么a bc3abc 〔当仅当 a=b=c 时取等号〕3(5) 假设 ab 0, 那么ba 2 〔当仅当 a=b 时取等号〕ab〔 7〕假设a 、bR,那么 || a | | b || | a b | | a | | b |4. 几个着名不等式〔1〕平均不等式：若是 a , b 都是正数，那么2a b a 2 b 2〔当仅当1 ab2 2 .1 aba=b 时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调停平均〔a、b 为正数〕：特别地， ab (ab ) 2 a 2b 2〔当 a = b 时， ( ab ) 2 a 2 b 2ab 〕2222幂平均不等式： a 12a 22...a n 21(a 1 a 2 ... a n ) 2n注：比方： (acbd ) 2 ( a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) .常用不等式的放缩法：①1111 1 11n n 1n(n 1)pn 2pn( n 1) n 1n ( n2)② n 1 n1 p 1 p1nn 1(n 1)nn2 nnn11〔 2〕柯西不等式：假设 a 1 ,a 2 , a 3 , , a n R,b 1 ,b 2 ,b 3 , b n R;那么a 2 a 2)(b bb 2 b 2 )〔 a b a b a 3 b 3 a n b )2 (a 2 a 2 2 21 12 2n1 2 3n1 2 3 n当且仅当 a 1 a 2 a 3 an 时取等号b 1 b 2 b 3 b n〔 3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数 f(x), 关于定义域中任意两点x 1, x 2 ( x 1 x 2 ), 有那么称 f(x)为凸〔或凹〕函数 .5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、解析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6. 不等式的解法〔 1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例① 一元一次不等式 ax >b 解的谈论；②一元二次不等式 ax 2 +bx +c >0( a ≠ 0) 解的谈论 .（ 2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么（ 3〕无理不等式：转变成有理不等式求解（ 4〕 . 指数不等式：转变成代数不等式（ 5〕对数不等式：转变成代数不等式（ 6〕含绝对值不等式○1应用分类谈论思想去绝对值；○2 应用数形思想；○3应用化归思想等价转变注：常用不等式的解法举例〔 x 为正数〕：① x(1 x) 21 2x(1 x)(1 x) 1(2) 3 422327② yx(1x 2 )y 2 2 x 2 (1 x 2 )(1 x 2 ) 1(2)34y2 32 2 3279近似于 ysin x cos 2x sin x(1 sin 2x) ，③ | x 1 | | x | | 1 | ( x 与 1同号，故取等 ) 2xx x三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式abab (a 0，b 0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立〕是一个重要2的不等式，利用它可以求解函数最值问题。

不等式高考技巧题及解析及知识点

技巧题1．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++= ．（223+）解析：等差数列的性质。

后者化为q 的平方即可2．若实数对（x ，y ）满足约束条件0230x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y 1+的最小值为．2解析：点（x ，y ）与点（0.-1）的直线的斜率 3．不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为．[]1,3解析：左边是≥2，所以∣a-2∣+siny ≤2，siny ≤2-∣a-2∣ Siny ≤1， 2-∣a-2∣≥1 解出即可4.若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而 1≤f(-1)≤23≤f(1)≤4， ① 所以 3≤3f(-1)≤6． ② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10． 5．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是 6 解析：均值不等式即可解出6.不等式11220(,),23ax bx a b ++>--的解集是则等于 -10 解析：可以两根和和两根积解出a ，b或者令原式等于0，把解带入，两个方程两个未知数求解，求出a ，b 7. 函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++= 上,其中0mn >,则12m n+的最小值为____8___. 解析：重点在于求出定点（1，0）所以，log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的定点为（-2，-1）然后求出2m+n=1. （12m n +）×1即12m n+×（2m+n ），后用均值不等式解出即可。

高考数学：不等式高级水平必备

高考数学：不等式高级水平必备在高考数学中，不等式是考察学生数学思维和解决问题能力的重要部分。

不等式的解法和应用涉及到众多数学思想和技巧，比如转化思想、基本不等式、不等式的性质等。

因此，掌握不等式的高级水平是高考数学取得高分的必要条件之一。

基本不等式是高中数学中最重要的不等式之一，也是解决实际问题中经常用到的。

基本不等式主要涉及到算术平均数和几何平均数之间的关系，即“平均数大于等于几何平均数”。

在应用基本不等式时，需要注意等号成立的条件和取值范围。

例题：已知x>0，求(x + 1/x)的最小值。

解：由基本不等式可得，x + 1/x ≥ 2√(x × 1/x) = 2，当且仅当x = 1时取等号。

因此，(x + 1/x)的最小值为2。

不等式的性质是解决不等式问题的基石，包括传递性、可加性、可乘性等。

在解复杂的不等式时，常常需要通过变形将其转化为几个简单的不等式组，再分别解不等式组。

例题：解不等式(x - 1)(x + 2) > 0。

解：由不等式的可加性和可乘性可得，不等式(x - 1)(x + 2) > 0等价于两个简单的不等式组：①x - 1 > 0且x + 2 > 0；②x - 1 < 0且x + 2 < 0。

解得第一个不等式组的解集为x > 1，第二个不等式组的解集为x < -2。

因此，原不等式的解集为{x|x > 1或x < -2}。

绝对值不等式是高中数学中一个重要的不等式，它涉及到绝对值的性质和运算规则。

绝对值不等式的解法一般需要先去掉绝对值符号，再解不等式。

例题：解不等式|x - 3| < x - 1。

∣x−3∣=−(x−3)。

因此，原不等式等价于两个简单的不等式组：①x - 3 < x - 1；②- (x - 3) < x - 1。

解得第一个不等式组的解集为空集，第二个不等式组的解集为{x|x > 2}。

高三不等式必背知识点

高三不等式必背知识点在高中数学课程中，不等式是一个重要且普遍存在的概念，而解不等式是解析几何、函数、导数等数学领域的基础。

在高三阶段，不等式也是重要的数学知识点之一。

本文将介绍高三阶段必背的不等式知识点，包括基本不等式、三角不等式、均值不等式等。

一、基本不等式基本不等式是指数学中最基础、最常用的两个不等式：算术平均-几何平均不等式和柯西-斯瓦茨不等式。

1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）对于非负实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$，AM-GM 不等式定义为：$$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\ldots a_n}$$其中，等号成立的条件是$a_1=a_2=\ldots=a_n$。

2. 柯西-斯瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）对于实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$ 和实数 $b_1、b_2、\ldots、b_n$，柯西-斯瓦茨不等式定义为：$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2$$其中，等号成立的条件是$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$。

二、三角不等式三角不等式是指与三角函数相关的一系列不等式，在解析几何和三角学中有重要的应用。

1. 直角三角形的三角不等式对于直角三角形，设斜边为 $c$，两个直角边分别为 $a$ 和$b$，那么三角不等式定义为：$$a+b>c$$2. 一般三角形的三角不等式对于一般的三角形，设边长分别为 $a、b、c$，则有三种不等式：$$a+b>c, a+c>b, b+c>a$$其中，任意两边之和大于第三边。

三、均值不等式均值不等式是指反映一组数的平均值和什么程度相差的不等式。

高考数学中的不等式相关知识点详解

高考数学中的不等式相关知识点详解数学是高考必考科目之一，而在数学中，不等式是重要的内容。

不等式是数学中的一个分支，是许多数学理论和应用中的核心。

在高考中，不等式占有很高的比重，因此，在高考中，掌握不等式相关知识点是非常重要的。

本文将详细解析高考中的不等式相关知识点。

一、基本不等式在学习不等式的时候，我们首先要了解基本不等式。

基本不等式是比较基本的不等式，是许多不等式的基础。

基本不等式的表达式为：a2+b2≥2ab。

其中，a和b为任意实数。

利用基本不等式可以解决很多的不等式问题。

我们可以通过基本不等式来证明很多与不等式有关的结论。

例如，证明平均值不小于几何平均值，证明勾股定理等等。

二、一元二次不等式及其解法一元二次不等式就是带有二次项的一元不等式，它的一般形式为：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0。

其中，a、b和c为常数，且a≠0。

一元二次不等式的解法有以下方式：1. 求解线性方程组对一元二次不等式的方程左边进行变形得到：ax2+bx+c≥0。

然后再根据二次函数图像上跨过X轴的方法，画出图像并求出x的取值范围。

最后，将图像左侧和右侧的值代入不等式，进而解出不等式的解。

2. 二次函数图像法通过画出二次函数图像，找到函数图像上跨过X轴的点，并根据函数图像上跨过X轴的点，解出不等式的解。

3. 公式法通过求出方程式ax2+bx+c=0的根，即可解出不等式的解。

当a>0时，方程的根为： x1=（-b+√(b2-4ac))/(2a) 和 x2=（-b-√(b2-4ac))/(2a)。

当 a<0时，方程的根为： (-b+√(b2-4ac))/(2a)<x<(-b-√(b2-4ac))/(2a)。

三、二元不等式二元不等式是指包含两个变量的不等式式子，它的一般形式为：f(x,y)≥0或f(x,y)≤0。

其中，x和y是变量，称为未知数，f(x,y)是由x和y组成的表达式。

二元不等式的解法有以下方式：1.用集合表示法通过用集合表示法定义不等式的解集，可以清晰地看到不等式的解集。

高三数学不等式试题答案及解析

高三数学不等式试题答案及解析1.已知实数满足，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】即，由，，，所以，即，当且仅当时取等号，综上所述，的取值范围是.故答案选【考点】基本不等式.2.（本小题满分10分）（选修4—5，:不等式选讲）（Ⅰ）证明柯西不等式：；（Ⅱ）若且，用柯西不等式求+的最大值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用做差法，即可证明结果；（Ⅱ）由柯西不等式可得，又即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）证明：∴（Ⅱ）由柯西不等式可得∵∴∴【考点】1．不等式的性质；2．柯西不等式．3.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设实数，满足．（1）若，求的取值范围；（2）求最小值．【答案】（1）；（2）【解析】第一问根据题中的等量关系式，不等式可以化为，从而求得的取值范围是，第二问将代入上式，得到利用三角不等式求得其最小值为．试题解析：（1）由得，即，所以可化为，即，解得，所以的取值范围是（2）代入，当且仅当，时，等号成立（或）的最小值为【考点】解绝对值不等式，三角不等式求最值．4.设实数满足则的最大值为．【答案】4【解析】不等式组表示的平面区域如图三角形及其内部，且A（4，0）．目标函数可看作直线在y轴上的截距的-2倍，显然当截距越小时，z越大．易知，当直线过点A时，z最大，且最大值为4-2×0=4．【考点】线性规划求最值．5.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．6.下列结论：①函数有最大值；②函数有最大值10；③若，则．正确的序号是A．①B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】对于①；对于②因为，所以；对于③因为，所以．故应选．【考点】1、基本不等式的应用．【方法点睛】本题主要考查了运用基本不等式求其最值，属中档题．其解题的一般方法有两大类：其一是针对和为定值，求其积的最大值问题，如选项①；其二是针对积为定值，和有最小值问题，如选项②、③．在运用基本不等式求最值的过程中，应注意其适用的条件：一正二定三相等，特别应注意等号成立的条件，并检验其是否能够取得到，尤其针对多次运算基本不等式时应验证等号是否能够同时取得．7.选修4-5：不等式选讲．设函数；（Ⅰ）当a=1时，解不等式．（Ⅱ）证明：．【答案】（Ⅰ）当a=1时，不等式的解集为；（Ⅱ）证明过程详见解析．【解析】（Ⅰ）解绝对值不等式的思路是运用零点分段法去绝对值，然后求解每一种情况的解集，最后对几种情况的解集求并集即可；（Ⅱ）求得，，然后利用绝对值不等式缩小为，最后运用均值不等式即可证明．试题解析：（Ⅰ）解：当a=1时，由，得，当时，得，解得，∴；当时，得2≥4不成立，∴不等式无解；当时，由，解得，∴．综上所述，当a=1时，不等式的解集为．（Ⅱ）证明：∵∴．【考点】①解绝对值不等式；②证明不等式．8.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若函数的图象恒在函数的图象的上方，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）运用分类讨论的思想方法，去绝对值，即可得到不等式组，即可得到所求解集；（2）由题意可得不等式恒成立，由绝对值不等式的性质，可得右边函数的最大值，进而得到的范围．试题解析：（1）不等式化为，所以不等式的解集为（2）由于函数的图象恒在函数的图象的上方即不等式恒成立令由，得所以实数的取值范围【考点】1．函数的性质及应用；2．绝对值不等式的解法及应用．9.设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．【考点】简单线性规划．10.已知函数，不等式的解集为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）问题转化为，从而得到且，基础即可；（Ⅱ）问题转化为恒成立，根据绝对值的意义解出的范围即可．试题解析：解：(1)∵，∴不等式，即，∴，而不等式的解集为，∴且，解得：；(2)关于的不等式恒成立关于的不等式恒成立恒成立恒成立，由或，解得：或．【考点】1.绝对值不等式的解法；2.分段函数的应用．11.设满足则（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域，利用线性规划知识可得，在处，无最大值．【考点】线性规划．12.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为______.【答案】【解析】画出变量满足的约束条件所表示的可行域，如图所示，可求得可行域内点，则目标函数经过点是取得最小值，此时最小值为．【考点】线性规划求最值．13.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通过讨论的取值范围，即可求出每个不等式的解集，取并集即可；（2）不等式等价于，转化为绝对值三角不等式求解出函数的最小值，列出关于的不等式组，即可求解的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于：解得，不等式的解集为.(2)不等式因为，所以的最小值为4.于是，所以【考点】绝对值不等式的求解；函数的恒成立问题.14.设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．【答案】【解析】当时，直线单调递增且过定点，而抛物线的开口向上，不等式在不恒成立,故,此时,否则不合题设,所以欲使不等式在恒成立（当且仅当,即时才能满足）,注意到是整数,所以当或时，成立，故或,答案应填：．【考点】1、一次函数、二次函数的图象和性质；2、不等式恒成立的转化与化归；3、分类整合的思想、推理证明的思想和意识．【易错点晴】本题借助不等式恒成立考查的是分类整合的数学思想和函数的图象与性质，属于较难的问题．解题时一定要充分借助一次函数、二次函数的图象，并对参数进行合理的分类，从而将问题进行分析和转化．解题过程中还运用了题设中为整数这一条件，并以此为基点建立关于的等式求出了参数的值．解本题的关键是如何理解题设中“对任意不等式恒成立”，并能建立与此等价的关于的等式．15.若变量满足约束条件，则的最小值是（）A．3B．1C．-3D．不存在【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由，解得，即,代入目标函数，得，即目标函数的最小值为，故选B．【考点】简单的线性规划．16.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，及三段讨论去掉绝对值符号，分别求出的解，求并集即得不等式的解集；（2）若恒成立，则求出函数的最小值解得关于的一元二次不等式从而求得实数的取值范围.试题解析：（1）当当当，综上所述（2）易得，若恒成立，则只需综上所述.【考点】绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.17.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，及三段讨论去掉绝对值符号，分别求出的解，求并集即得不等式的解集；（2）若恒成立，则求出函数的最小值解得关于的一元二次不等式从而求得实数的取值范围.试题解析：（1）当当当，综上所述（2）易得，若恒成立，则只需综上所述.【考点】绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.18.设均为正数，且，则的最小值为（）A．16B．15C．10D．9【答案】D【解析】因为均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选D.【考点】基本不等式.【方法点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.本题解答的关键是根据条件中整理得到，根据基本不等式，把上述关系转化为关于的一元二次不等式，通过解不等式得到的范围，再利用不等式的性质变形得到的范围，得其最小值.19.选修4-5：不等式选讲已知为非零实数，且，.（1）求证：；（2）求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据柯西不等式可证得，整理即得所证的不等式；（2）根据（1）的结论可得，解不等式求得或，再根据已知条件和不等式的性质可得，取交集即得实数的取值范围.试题解析：（1）证明：由柯西不等式得，即，所以.（2）解：由已知得：，.所以，即，解得或.又，，所以，即实数的取值范围是.【考点】不等式的证明与解法.20.设函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，由；原不等式等价于或或，即可解除不等式的解；（2）当时,即，所以，所以，即可证明结果.试题解析：解：（1）当时，，由原不等式等价于或或则不等式的解集为（2）当时,即，所以，所以，即.【考点】1.绝对值不等式；2.不等式证明.21.已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则m的值是（）A．B．1C．2D． 5【答案】B.【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，，则可知当，时，，故选B．【考点】本题主要考查线性规划．22.已知函数．（I）解关于的不等式；（II）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）或；（II）或.【解析】（I）化简可得，根据绝对值不等式解的基本模型可得或，由不等式的性质即可求得的范围；（II）要使不等式恒成立，则，按照，分别讨论得到，构造关于的不等式，即可求得实数的取值范围．试题解析：（I），或（II）当时，作出图象可知的最小值为，则此时；当时，，作出图象可知的最小值为，则此时综上：或【考点】绝对值不等式的解法与分段和函数的最值和恒成立问题.23.选修4-5: 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数中的绝对值符号，求解不等式；（2）画出函数函数的图象，根据图象求得函数的最小值．试题解析：（1）①由解得；②解得；③解得；综上可知不等式的解集为（2）可知则【考点】绝对值的代数意义；分类讨论思想．24.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．25.已知实数满足，且最大值是最小值的倍，则．【答案】【解析】由数形结合得，直线经过点时，有最小值，经过点时，有最大值，所以.【考点】线性规划.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)将曲线和直线化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．【解析】(Ⅰ)利用同角三角基本关系关系消参可得的直角坐标方程；利用两角和的正弦公式和极坐标与直角坐标的转化公式可得的直角坐标方程；(Ⅱ)用参数法设出点的坐标，代入点到直线的距离公式，可得距离的最大值．试题解析：(Ⅰ)解：由得，∴曲线的直角坐标方程为.由，得化简得，，∴∴直线的直角坐标方程为.(Ⅱ)解：由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为，点到直线的距离为当时，.∴点到直线的距离的最大值为.【考点】极坐标与普通方程的转化；参数方程与普通方程的转化；点到直线的距离．27.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即，故选C．【考点】简单的线性规划问题．28.选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集为。

高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)

g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
到的与原式是恒等的，则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
，
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1，得到
的与原式是恒等的，则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 ， a b c 等. ab bc ca
显然，完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
（1）
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4

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目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式3pqrCh20. 个对称变量法3uvwCh21. 个对称变量法ABCCh22. 法SOSCh23. 法SMVCh24. 法Ch25. 拉格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数（）各项符号相同，且，则：i x i 12n ,,...,=i x 1>-12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++++1()式1()当时，式变为： 12n x x x x ...====1()n 1x 1nx ()+≥+2()Ch2. 均值不等式2.1若为正实数，记：12n a a a ,,...,⑴为平方平均数，简称平方均值；n Q =⑵ ，为算术平均数，简称算术均值；12nn a a a A n...+++=⑶，为几何平均数，简称几何均值； n G =⑷ ，为调和平均数，简称调和均值.n 12nn H 111a a a ...=+++则：n n n n Q A G H ≥≥≥3() 时，等号成立. （注：当且仅当.） iff 12n a a a ...===iff if and only if =式称3()Ch3.幂均不等式3.1设为正实数序列，实数，则记：12n a a a a (,,...,)=r 0≠1rrrr12n r a a a M a n ...()⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4()式的称为幂平均函数.4()r M a ()3.2若为正实数序列，且实数，则：12n a a a a (,,...,)=r 0≠r s M a M a ()()≤5()当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.r s ≤5()r r M a()r 式称简5()3.3设为非负实数序列，且，若为正12n m m m m (,,...,)=12n m m m 1...+++=12n a a a a (,,...,)=实数序列，且实数，则：r 0≠1m r rr rr1122n n M a m a m a m a ()(...)=+++6()式称为加权幂平均函数.6()3.4若为正实数序列，且实数，对则：12n a a a a (,,...,)=r 0≠m r M a ()m m r s M a M a ()()≤即： 11rrr sss sr1122n n 1122n n m a m a m a m a m a m a (...)(...)+++≤+++7()当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.r s ≤7()r m r M a ()r 式称简7()Ch4. 柯西不等式4.1若和均为实数，则：12n a a a ,,...,12n b b b ,,...,222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b (...)(...)(...)++++++≥+++8()时，等号成立.（注：当且仅当.） iff n 1212na a ab b b ...===iff if and only if =式8()4.2柯西不等式还可以表示为：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≥9()简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将简称为积均值，记：.1122n na ba b a b n...+++n D =则：224n n n Q a Q b D ab [()][()][()]≥n D ab ()≥10()4.3推论1：若为实数，，则：a b c x y z ,,,,,x y z 0,,> 2222n 12n 1212n 12na a a a a ab b b b b b (...)......++++++≥+++11()时，等号成立.iff n 1212na a ab b b ...===式是柯西不等式的推论11()4.4推论2：若和均为实数，则：12na a a ,,...,12n b b b ,,..., ...+++≥12()时，等号成立. iff n 1212na a ab b b ...===4.5推论3：若为正实数，则：a b c x y z ,,,,,x y z b c c a a b y z z x x y()()()+++++≥+++13()Ch5. 切比雪夫不等式5.1若；，且均为实数.则：12n a a a ...≤≤≤12n b b b ...≤≤≤12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++14() 或时，等号成立. iff 12n a a a ...===12n b b b ...===式12()由于有，条件，即序列同调， 12n a a a ...≤≤≤12n b b b ...≤≤≤所以使用时，常采用 …… WLOG 12n a a a ...≤≤≤(注：不失一般性) WLOG Without Loss Of Generality =5.2切比雪夫不等式常常表示为：12n 12n 1122n na a ab b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≤15()简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则： 2n n n A a A b D ab ()()[()]≤n D ab ()≤16()Ch6. 排序不等式6.1若；为实数，对于的任何轮换，12n a a a ...≤≤≤12n b b b ...≤≤≤12n a a a (,,...,)12n x x x (,,...,)都有下列不等式：1122n n 1122n n n 1n 121n a b a b a b x b x b x b a b a b a b .........-+++≥+++≥+++17().17()其中，称正序和，称反序和，1122n n a b a b a b ...+++n 1n 121n a b a b a b ...-+++称乱序和. 故式可记为：1122n n x b x b x b ...+++17()正序和乱序和反序和≥≥18()6.2推论：若为实数，设为的一个排序，则：12n a a a ,,...,12n x x x (,,...,)12n a a a (,,...,)22212n 1122n n a a a a x a x a x ......+++≥+++19()Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切，，若函数是向下凸函数，则：x y a b ,[,]∈01(,)α∈f a b R :[,]→f x 1y f x 1f y (())()()()ααα+-≤+-20()式是向下凸函数的定义式.20()注：表示区间和函数在区间都是实数.f a b R :[,]→a b [,]f x ()a b [,]7.2若对任意，存在二次导数，则在区间为向f a b R :(,)→x a b (,)∈f x 0''()≥f x ()a b (,)下凸函数；时，若，则在区间为严格向下凸函数. iff x a b (,)∈f x 0''()>f x ()a b (,)7.3若在区间为向下凸函数，则函数在在区间对12n f f f ,,...,a b (,)1122n n c f c f c f ...+++a b (,)任何也是向下凸函数.12n c c c 0,,...,(,)∈∞7.4若是一个在区间的向下凸函数，设，为实f a b R :(,)→a b (,)n N ∈12n 01,,...,(,)ααα∈数，且，则对任何，有：12n 1...ααα+++=12n x x x a b ,,...,(,)∈1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++21()式就是加权21()简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若是一个在区间的向下凸函数，则对一切，有：f a b R :[,]→a b [,]x y z a b ,,[,]∈ x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++22()22()8.2波波维奇亚不等式可以写成：x y z f x f y f z x y y z z xf f f f 3322223()()()()()()()++++++++++≥23()简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若是一个在区间的向下凸函数，，则：f a b R :[,]→a b [,]12n a a a a b ,,...,[,]∈ 12n 12n f a f a f a n n 2f a n 1f b f b f b ()()...()()()()[()()...()]++++-≥-+++24()其中：，（对所有的） 12n a a a a n...+++=i j i j 1b a n 1≠=-∑i24()当，，，时，，，， 1a x =2a y =3a z =n 3=x y z a 3++=1y z b 2+=2z x b 2+=3x yb 2+=代入式得：23()。