工程力学 第三章

§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
一.力对点之矩
2.力矩的定义
平面力矩 MO ( F ) 是代数量。 MO ( F ) Fd （N • m） 说明： MO(F )
①力F的作用点沿作用线移动，不 改变力对点O的矩。 ②当力通过矩心时，此力对于矩心 的力矩等于零。 ③互成平衡的力对同一点的矩之和 等于零。 ＋ －
F1’
T2
F
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第一篇
静力分析
第三章 力偶理论
§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
性质二 力偶的两力对于任一点的矩之和等于其力偶矩，即 力偶矩与矩心位置无关。
MO（F，F’） B
= rA × F ＋ rB × F’
= (rB ＋rAB ) × F － rB × F = rAB × F = M 力偶矩(moment vector of couple)
MO(F )
d
O
F
O
F
d
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第三章 力偶理论
§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
一.力对点之矩
1.力矩的概述
力矩对刚体产生转动效应。 转动效应的强弱由力矩的大小度量。 F
F
A A
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§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
M1 + M2 + … + M n = M =
作用在刚体上的n 个 力偶组成空间力偶系，其 合成结果得一合力偶，合 力偶的力偶矩等于所有分 力偶矩的矢量和。 x
M
i 1
n
i
Mi
z
Mn M
O
M2
M1
y
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第三章 力偶理论
§3-3 力偶系的合成与平衡
§3-3 力偶系的合成与平衡
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§3-3 力偶系的合成与平衡
§3-3 力偶系的合成与平衡
一.空间力偶系
2.空间力偶系的平衡
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩等于零， 即力偶系中各力偶矩的矢量和等于零。
M =
M
i 1
n
i
= 0
xi
M
= 0 = 0 = 0
M M
yi
zi
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M 二要素
转向
F’
＋ －
d
F
M
M
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§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
性质三
只要保持力偶矩不变，可将力偶的力和力偶臂的大小 同时改变，不会改变力偶对刚体的效应。
性质四
只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可在其作用 平面内以及彼此平行的平面内任意转移，不会改变它对刚 体的效应。
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第三章 力偶理论
§3-3 力偶系的合成与平衡
§3-3 力偶系的合成与平衡
二.平面力偶系
2.平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充分必要条件是：各力偶矩的代数和 等于零。
M =
M
i 1
n
i
= 0
M1 M M3
M2
M4
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§3-3 力偶系的合成与平衡
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§3-3 力偶系的合成与平衡
§3-3 力偶系的合成与平衡
三.力偶系相关例题
水平圆轮的直径AD上作用有垂直于AD且大小均为100N的 四个力F1、 F2、 F1’、F2 ’ ，这四个力与F3、 F3’平衡， F3、 F3’分别作用于E、F点，且F3= F3’。求力F3的大小。
一.空间力偶系
1.空间力偶系的合成
M = M x i + My j + M z k
合力偶矩M 的大小
M Mx My Mz
2 2 2
z
Mz M My
合力偶矩M 的方向
k
Mx
j
cos ( M, i ) =
cos ( M, j ) = cos ( M, k ) =
Mx M
My M
i x
y
Mz M
二.汇交力系的合力矩定理
1.空间汇交力系的合力矩定理 汇交力系的合力对任一点之矩，等于力系各力对同 一点之矩的矢量和。 MO ( R ) = MO ( Fi )
z
Fn r
O
Fi
R F2
A
F1
y
x
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§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
§3-3 力偶系的合成与平衡
§3-3 力偶系的合成与平衡
一.空间力偶系
1.空间力偶系的合成
2.空间力偶系的平衡
二.平面力偶系
1.平面力偶系的合成 2.平面力偶系的平衡
三.力偶系相关例题
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§3-3 力偶系的合成与平衡
§3-3 力偶系的合成与平衡
一.空间力偶系
1.空间力偶系的合成 空间力偶系（system of couples in space）: 力偶系各力偶的作用面并不彼此平行或重合。
B NB
4 (15) 60 N m
200mm
力偶只能与力偶平衡，力NA与力NB 组成一力偶。 由平面力偶系平衡方程有：
N B 0.2 M1 M 2 M 3 M 4 0
NB 60 0.2 300 N N N 300 N A B
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二.汇交力系的合力矩定理
2.平面汇交力系的合力矩定理 平面汇交力系的合力对某一点之矩，等于力系各分 力对同一点之矩的代数和。 MO ( R ) = MO ( Fi ) 解题技巧： 如果求一个力对力系所在平面内一点的矩，而力臂 又不易求出时，常将力分解为两个易定力臂的分力，然 后用合力矩定理求出该力矩。 MO ( F ) = xFy + yFx
a 两同向平行力的合成
两同向平行力的合成结果是 一个力，这个力的大小等于原两 力大小之和，作用线与原两力平 行，并内分原两力的作用点为两 段，使这两段的长度与原两力的 大小成反比，合力的指向与原两 力相同。 大 小 向
A
T1
F1’ R
C
T2
F2’
B F2
F1
F’2
F’1
F1 + F2 = R
F1 ∥ F2 ∥ R
三.力偶系相关例题
如图，已知F、Q、a、 、l。求 M O (F ) M O (Q)
解：应用合力矩定理
O
F
Fx
F y
a Q
M O ( F ) Fx l Fy l cot
M O (Q) Q l
l
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§3-3 力偶系的合成与平衡
F’
F
rAB
A rB O rA
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§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
空间力偶矩的概念
空间力偶矩M （moment vector of couple）的大小等于力偶的力 与力偶臂（arm of couple）的乘积Fd；力偶矩M 垂直于力偶的作用 面（acting plane of a couple）； M 的指向与力偶在其作用面内的转 向符合右手螺旋法则。 大小
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第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
静力分析
静力分析基础 汇交力系 力偶理论 平面一般力系 空间一般力系和重心
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引 言
静力分析是研究物体在力系作用下 的平衡问题。本篇主要讲述三个问题： 1．物体的受力分析 2．力系的简化
3．力系的平衡条件及其应用
F3 300 F1 A
解：根据平面力偶系的平衡方程，有
F2’ F ’ 1
F2
B 20cm
M
i
0
0
C
D 40cm
F1 40 F2 20 F3 40 cos 30 0
F3 4000 2000 40 3 2 173.21N
F = Fx i + Fy j + Fz k
i j y Fy k z Fz
O
MO ( F ) = r F
x Fx
d
yFx zFy i zFx xFz j xFy yFx k




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§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
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d
O
F
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§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
一.力对点之矩
2.力矩的定义
空间力矩 MO ( F ) 是定位矢量（fixed vector）。 MO ( F ) = r × F （N • m） MO(F ) r = xi + yj + zk
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§3-3 力偶系的合成与平衡
§3-3 力偶系的合成与平衡
二.平面力偶系
1.平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为同一平面内的一个合力偶，合力 偶矩等于各分力偶矩的代数和。
M1 + M2 + … + Mn = M =
M
i 1
n
i
M1 M M3
M2
M4
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§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
一.力对点之矩
1.力矩的概述
O 点表示力矩中心或矩心（centre of moment） d 表示力臂（arm of force）
MO(F ) ， O(F ) 力对点之矩（moment of a force about a point） M MO(F )
F2
F2 － F1 = R F2 ∥ R
AC CB F2 F1
合力 R
方
作用线
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§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
性质一
力偶没有合力，不能和一个力等效，也不能和一个力 平衡，它是一个基本力学量。 （F，F’） F2’ F’ B
A
T1
§3-3 力偶系的合成与平衡
三.力偶系相关例题
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻四个等直径 的孔，每个钻头的力偶矩为 M1 =M2 =M3=M4=15N· 。求工 m 件的总切削力偶矩和A、B端水平反力。
解：各力偶的合力矩为
NA A
M1 M3 M2 M4
M M i M1 M 2 M 3 M 4
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§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
力偶的等效条件 当作用于刚体上的两个力偶的力偶矩相等时，该两力 偶等效。 空间力偶的等效条件
空间力偶三要素分别相等。
平面力偶的等效条件
平面力偶二要素分别相等。
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§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
一.力偶的概念
力偶的定义 力偶的效应
力偶的实例
二.力偶的性质 性质一 性质二 性质三
两个平行力的合成 空间力偶矩的概念 平面力偶矩的概念
性质四
力偶的等效条件
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§3-2 力偶及其性质
AC CB F2 F1
合力 R
R’
方
作用线
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ห้องสมุดไป่ตู้
静力分析
第三章 力偶理论
§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
两个平行力的合成
b 两大小不同反向平行力的合成 F1 B C R
两个大小不等的反向平行力可 A 以合成为一合力；合力的大小等于 F’ 1 两力大小之差；合力的指向与较大 一力相同；合力作用线位于较大一 力的外侧，按两力的大小成反比例 外分两力作用线之间的距离。 大 小 向
M
F’ F
M 三要素
方向 转向
空间力偶矩M 是自由矢量（free vector）。
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§3-2 力偶及其性质
§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
平面力偶矩的概念
平面力偶矩 M 的大小等于力偶的力与力偶臂的乘积Fd；力偶 矩 M 在其作用面内的转向有逆时针转向和顺时针转向。力偶矩 M 的单位是 N • m 。 大小
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§3-1
力对点之矩
汇交力系的合力矩定理
§3-2
力偶及其性质
§3-3
力偶系的合成与平衡
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§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
§3-1 力对点之矩 汇交力系的合力矩定理
一.力对点之矩
1.力矩的概述 2.力矩的定义 平面力矩 二.汇交力系的合力矩定理 1.空间汇交力系的合力矩定理 2.平面汇交力系的合力矩定理 空间力矩
§3-2 力偶及其性质
一.力偶的概念
A.力偶的定义
由大小相等、方向相反、作用线平行的一对力组成的力系。 （F，F’） B.力偶的效应 力偶对刚体仅仅产生转动效应。
C.力偶的实例
F’ F F’
F
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§3-2 力偶及其性质
二.力偶的性质
两个平行力的合成