代数拓扑17_胞腔分解的例子
拓扑学.txt
拓扑学拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ?α的音译。
Top ology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑定义拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。
To polog y原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
编辑本段学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。
[英top ology] 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
Topology－拓扑学基础
Topology －拓扑拓扑学学基础一．拓扑空间与连续性 §1.拓扑空间1.1定义：设X 是一非空集合，X 的一个子集族τ称为X 的一个拓扑，如果它满足： （1）X Φ，包含在τ中；（2）τ中任意多个成员的并仍在τ中； （3）τ中有限个成员的交集仍在τ中。
X 和τ一起称为拓扑空间，记作：（X τ，），称τ中的成员为拜年空间的开集。
（3′）τ中任意两个成员的并仍在τ中。
这是一个等价条件。
离散拓扑离散拓扑：X 上X 2构成X 上的拓扑。
最大最大最大（（精细精细））的拓扑。
平凡拓扑平凡拓扑：由X,Φ｛｝构成的拓扑。
最小最小最小的拓扑。
当X 含有多于一个元素时，X 上可以有许多不同的拓扑。
如：X ＝｛a,b,c}，则{,,{}},{,,{,}},{,,{}{,}}X a X a b X a a b ΦΦΦ都是X 上的拓扑，但{,,{},{}}X a b Φ不是，因不满足（2）。
例1：X 是无穷集合，{X c f A A τ=Φ∪是的有限子集｝｛｝τf 则不难验证是一个拓扑，称为余有限拓扑余有限拓扑余有限拓扑。
例2：X 是一个可数无限集合。
{X cc A A τ=Φ∪是的可数子集｝｛｝，则c τ是X 的拓扑，称为余可数拓扑余可数拓扑余可数拓扑。
例3：R 是实数集，{e U U τ=是若干开区间的并｝，若干可以是无限、有限或零，因此，e τΦ∈，e τ是R 上的拓扑，称为R 上的欧氏拓扑上的欧氏拓扑，记作：1(,)e E R τ= 以上五个拓扑的关系：,,,fc f e c e ττττττ<<不能比较大小。
1.2度量空间集合X 上的一个度量d 是一个映射d: X X R ×→,满足 （1）正定性：(,)0,,(,)0,d x x x X d x y when x y =∀∈>≠（2）对称性：(,)(,)d x y d y x =（3）三角不等式：(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+集合X 上规定度量d 后称为度量空间，记为：(,)X d ，如：(,)nnE R d = 度量空间(,)X d 中，0,0x X ε∈>，00(,){(,)}B x x X d x x εε=∈< 称为以0x 为心，ε为半径的球形邻域。
代数拓扑的主要内容及其历史
代数拓扑的主要内容及其历史拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。
拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。
20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。
诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。
数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。
一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。
代数拓扑是现代数学的主流。
法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。
陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。
这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。
代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。
毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。
本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。
那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。
莫比乌斯带分割的结构与拓扑性质
素数）可着色的充分必要条件，通过求解模 p 的线性方程组给出了 Pm,2 的一个 p 可着色方
案，还探讨了它的最小着色数。
2．莫比乌斯带分割的结构
在这一节首先给出莫比乌斯带1 / n 分割和 n 等分分割的结构，这包括分割后新带环的链
H
H
H
H
构可以用一个纸带扭转半圈再把两端粘上之后制作出来，如图 1 所示。
图 1 莫比乌斯带的形成
莫比乌斯带（Möbius Band）是最具代表性的单侧曲面之一，它不但有许多神奇的拓扑 结构和性质，而且在多个学科都有着十分广泛的应用[1-4]。
莫比乌斯带有多种定义方式[2,5,6]，也可以用参数方程表示，其中最常见的一个表达式为：
9
3．Paradromic 环分割的结构与拓扑性质
13
3.1 Paradromic 环分割的结构
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3.2 Paradromic 环分割的拓扑性质
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4 总结
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参考文献
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附录
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莫比乌斯带分割的结构与拓扑性质
摘要：莫比乌斯带（Möbius Strip）是最具代表性的单侧曲面之一，它不但有许多神奇的拓
(1) A model of Möbius strip can be created by taking a paper strip and giving it a half-twist, and then joining the ends of the strip together to form a loop. Cutting a Möbius strip differently yields different strips including different length, width and half-twists. The structures of these
拓扑学基础
第一章 拓扑空间及其相关概念
拓扑空间的概念产生于对实直线,欧氏空间以及这些空间上的 连续函数的研究,它是欧氏空间的一种推广.本章介绍拓扑空间的概 念,给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义,以及它们的 性质.
满足 （1） 对于 x, y ∈ , ( x, y ) ≥0; （2） 对于 x, y ∈ , ( x, y ) =0 当且仅当 x = y ; （3） 对于 x, y ∈ , ( x, y ) = ( y, x ); （4） 对于 x, y , ∈ , ( x, y )+ ( y, z ) ≥ ( , )(称为 三角不等式),
§1.4 一些重要的拓扑概念
1. 邻域,邻域系 定义 设( X ,Τ )是拓扑空间, a ∈ M ⊂ X ,若存在 G ∈Τ ,使得 a ∈G ⊂ M ,
则称集合 M 为点 a 的邻域.对于 x ∈ X ,点 x 的所有邻域构成的集族称 为点 x 的邻域系,记作 N x .一点的邻域不一定是开集,但开集是它的每 一点的邻域,并称开集为它的点的开邻域.
( ,ε). 定理 1 设( , )是度量空间,则集族 B ={ ( , )| ∈ , ＞0}
是集合 上的一个拓扑的基,称这个拓扑为由集合 上的度量 诱
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导的拓扑,记作Τ ,也称为度量拓扑. 设( , )是度量空间, Τ 表示由度量 诱导的集合 上的拓
扑,因此( ,Τ )为拓扑空间,并约定:在称度量空间( , )为拓扑 空间时,指的是拓扑空间( ,Τ ).
则称 是集合 上的度量, ( x, y )称为 与 y 之间的距离,( , ) 称为度量空间, 称为度量空间( , )的基础集.在不致引起混淆 时,简称 为度量空间.
拓扑
莫比乌斯带是一种拓扑图形，什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉 大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句 话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻 近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就 能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成 为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8，“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。
应该指出，环面不具有这个性质。设想，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形， 对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合 性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790～1868） 在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条具有魔术般的性质。因为，普通纸 带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面 （即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸 带，称为“莫比乌斯带”。
庞加莱猜想前言
庞加莱猜想-前言Wir m\"ussen wissen! Wir werden wissen!(我们必须知道！我们必将知道！)—— David Hilbert两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其中有一半篇幅是关于Poincar\'e 猜想。
版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己所讲的内容发在版上。
当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了。
主要是因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下笔。
两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先足了。
另外，由于Clay 研究所的百万巨赏，近年来Poincar\'e 猜想频频在媒体上曝光；而且Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这一猜想的最后解决。
所以大概会有很多人对Poincar\'e 猜想的来龙去脉感兴趣，我也好借机一偿两年来的宿愿。
现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难。
但限于篇幅和文章的形式，我也不可能对很多东西详细解释。
一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在本文的附录中解释。
还有一些“同调群”、“基本群”之类的名词，读者见到时大可不去理会它们的确切含义。
我将尽量避免使用这一类的专业术语。
作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂。
凡此种种，还请读者诸君海涵。
问题的由来Consid\'erons maintenant une vari\'et\'e [ferm\'ee] $V$ \`a trois dimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ ser\'eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas simplement connexe?—— Henri Poincar\'e在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维空间中的球面S^2. (我们把n+1维欧氏空间中到原点距离为1的点的集合记作S^n，称为n维球面(sphere)。
拓扑答案
– 任取 U ⊆ τ，则
(
)
∪ (A ∪U) = A ∪
∪ U
∈ τ′.
U ∈U
U ∈U
练习 5 (4.). • 证明 X 上任意一族拓扑之交仍是 X 上的拓扑． 证明
• 设 {τλ |λ ∈ Λ} 是 X 的一族拓扑，τ = ∩ τλ ．
λ ∈Λ
1. 显然 0/ , X ∈ τ；
(a) 任取 U1,U2 ∈ τ，则对任意的 λ ∈ Λ 有 U1,U2 ∈ τλ ．由于 τλ 是拓扑，有 U1 ∩U2 ∈ τλ ，
· 这个 U = U ∩ A 也是 x 在 A 中的开邻域，因此 x ∈ B◦A．
练习 13 (13.). a．
证明
• 余可数拓扑空间 X 的序列 {xn} 收敛于 a 的充分必要条件是该序列的尾部是
• 如果 {xn} 的尾部是 a，则 {xn} 显然收敛于 a；
– 如果 xn 收敛于 a，取 a 邻域 U = (X\{xn|n ∈ N}) ∪ {a}，则当 n 充分大时，xn 在 U 内， 即存在 N ∈ N，使得当 n > N 时，有 xn ∈ U，从而 xn = a．
练习 12 (12.). • 设 Y 为拓扑空间 X 的子空间，B ⊆ A．证明：
（1） ClA(B) = ClX((B) ∩)A，这里，ClA(B) 表示 B 在 A 中的闭包． （2） B◦A = A\ A\B ，这里 B◦A 表示 B 在 A 中的内部．； （3） 如果 A 是 X 的开集，则 B◦A = B◦，
练习 16 (16.). • 证明：如果 A 是 B 的稠密子集，B 是 X 的稠密子集，则 A 是 X 的稠密子集． 证明
• 由于 A 在 B 中稠密，所以 A− ∩ B = A−B = B，于是 B ⊆ A−． – 两边取闭包得 B− ⊆ A−− = A−． – 另一方面，B 在 X 中稠密，所以 B− = X． – 于是有 X = B− ⊆ A− ⊆ X，因此 A− = X．
基础拓扑学知识点（简介拓扑知识）
基础拓扑学知识点（简介拓扑知识）日期：2022-07-08 20:181.简介拓扑知识拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质（所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合）；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。
我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。
通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。
拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
2.简单介绍一下拓扑学拓扑学是几何学的一个分支，主要研究图形在连续变换下不变的性质。
可参看百科的“拓扑”或“拓扑学”条目。
我下面引述的例子不多作解释，可以直接查到。
例如，Euler的七桥问题就是一个拓扑学的问题，因为把七桥连成路径，不论桥和路如何连续的变化，都不影响问题的结果，也就是说，这个问题研究的是一个连续变换下不变的性质。
又如，四色定理（地图可用四色着色）是一个拓扑学的问题，因为地图中的区域大小和具体形状在问题中并不重要，都可以连续的变化，不改变地图可以用四色着色这一性质。
所以，在拓扑学的观点下，圆和三角形的性质没有什么区别，轮胎和戒指的性质没有什么区别，因为它们都可以通过连续变换互相得到。
代数拓扑 简单例子
以下是代数拓扑的简单例子：
1.莫比乌斯带：这是一个经典的代数拓扑例子。
莫比乌斯带是一个单侧曲面，可以从一个
长方形通过扭曲和粘接边界得到。
它展示了一个非平凡的拓扑空间，即它不能被连续变形为一个平面区域。
2.克莱因瓶：克莱因瓶是另一个有趣的例子。
它是一个在四维空间中可以无交点地浸入的
三维流形。
在三维空间中，克莱因瓶的内部和外部是相互连接的，这意味着它没有明确的边界。
3.环面：环面是一个通过将一个矩形的两个对边进行粘合而得到的拓扑空间。
它可以被视
为一个圆绕着另一个圆旋转而形成的曲面。
环面具有一些特殊的拓扑性质，例如它是一个紧致且连通的拓扑空间。
4.拓扑等价：在代数拓扑中，两个拓扑空间如果可以通过连续的变形相互转换，则被认为
是拓扑等价的。
例如，一个圆和一个椭圆是拓扑等价的，因为可以通过连续的拉伸和压缩将一个变形为另一个，而不改变其基本的拓扑性质。
5.连通性：连通性是代数拓扑中的一个基本概念。
一个拓扑空间是连通的，意味着它不能
被分解为两个不相交的非空开子集。
例如，一个圆是连通的，但一个由两个不相交的圆组成的空间则不是连通的。
以上例子展示了代数拓扑中的一些基本概念和性质，包括拓扑空间、连续变形、紧致性、连通性等。
第7章分子拓扑与物性
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7.3.4 拓扑指数3
Kier提出的拓扑指数3称为分子的三阶连接度指数。它不仅 对同分异构体的区分能力较好，而且计算也较简便。3可 按下式计算：
3
( i j k l )
i j j k k l
1 2
(7-23)
式中i、j、k、l分别表示分子拓扑图中C-C骨架的顶点i、 j、k、l等的阶数，其计算公式为: z h
2
（7-33）
性较小的体系，还是对非理想性较大的体系，均能得到较 满意的计算结果。但应用时要首先通过实验确定待定参数 K，这就限制了本法的使用。
指数与活度系数i的关联式（7-33），无论对非理想
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对醇类化合物：
Tb 17.4938 14.7108 m1 2.7805 m2 0.6229 m3 A A A
上两式中Tb的单位是C。
（7-20）
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Am1～Am3与饱和链烃类化合物和醇类化合物两类化合物的 溶解度之间存在良好的线性关系，其回归方程如下： 对饱和链烃类化合物：
Tb 1891172 36.4985 x . Y
对标准生成热
（7-6）
ln( H o , 298) 4.2043 0.0604Yx 0.0866 Nc（7-7） f
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对常沸点汽化热
ln(HVb ) 9.3193 0.1445 x Y
对临界温度
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7.3 几种拓扑指数与物性的关联 7.3.1 拓扑指数YX与物性的关联 原子支化度:原子所连接边的个数，即和它相连的其它 原子数目 仍以2，3-二甲基丁烷为例，其原子支化度矩阵B为
拓扑
拓扑学的早期历史1 拓扑学早期简史19世纪的若干发展结晶成几何的一个新分支，过去一个长时期中叫做位置分析（analysis situs），现在叫做拓扑（topology）．虽然“拓扑”两个字对一般人来讲比较陌生，但是在一般媒体，特别是学术期刊上还是常见它的身影，甚至在与数学关系不那么密切的生物学中，也能见到“拓扑”二字．20世纪最伟大的科学成就之一就是发现了DNA的双螺旋结构，而DNA中的一条链相对于另一条链的环绕数，就是一个重要的拓扑不变量．人体最重要的结构材料是蛋白质，而蛋白质是由氨基酸排列机来形成的，它也有类似的问题．人体中最重要的一类功能蛋白质就是酶，而生物化学家在20多年前已经鉴定出几种“拓扑异构酶”.至于物理学中，拓扑更是无处不在．量子场论中有拓扑场论；规范场论和弦论更是以拓扑学作为它的基础．当然，我们谈这些的目的只是为了说明拓扑学对大多数人来讲，虽然抽象难懂，虽然陌生，但是它非常非常重要．数学中许多科学也都抽象、难懂，可是最杰出的数学家中有相当的比例是拓扑学家：首届阿贝尔奖获得者塞尔，第二届阿贝尔奖获得者阿蒂亚都以他们在拓扑学方面的工作而著称，中国国家科学技术奖的首位获得者吴文俊前期的工作也是与拓扑学有关．这些事实说明一个道理：拓扑学是20世纪数学的主流．19世纪以前的几何学，用代数方法和分析方法来研究，对图形的性质研究得十分精细．但是在实际问题当中，许多问题无需那么精细或者根本达不到那么精细．例如，地球的形状说是球形，实际上有山有谷，坑坑洼洼，不是一个光滑的圆球．在电流产生的磁场中，沿着一条闭曲线的磁场强度的积分总等于零，只要曲线中没有电流存在．这个积分与闭曲线究竟是圆，还是椭圆，还是弯弯曲曲的闭曲线都没有关系，也就是说只与曲线的拓扑性质有关．所谓拓扑性质，就是几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小下仍然保留的性质，只是在这种变形过程中原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点也不能断开，也就是图形变换前每点附近的点在变换后仍然在该点的附近．这种变换和它的逆变换都是连续的一一对应，称为同胚．在拓扑学中，一个图形和与它同胚的图形称为拓扑等价．拓扑学就是研究图形的拓扑性质，也就是图形在经过连续变换下，保持不变的性质，而不研究其他的几何性质．拓扑有一个通行的形象的外号，即橡皮几何学（rubber-sheet geometry），因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形变形成同胚的图形．例如，一个橡皮圈能变形成一个圆周或一个方圈，它们同胚；但是一个橡皮圈和阿拉伯数字8这个图形不同胚，因为不把圈上的两个点熔化成一个点，圈就不会变成8．通常习惯于把图形都看作安放在一个包围它们的空间之中．从拓扑的目的来说，即使不能把包围一个图形的空间拓扑地变换成包围另一个图形的空间，这两个图形还能同胚．例如，取一长方形纸条，把它的两短边连接起来，就得到柱形式圆箍．如果采用另一个办法，先把一条短边扭转360°之后，再把它跟另一条短边连接起来，那么得到大就是一个扭转过的圆箍．这两个圆箍是同胚的．但是不能把这三位空间拓扑地变成自己，同时把第一个圆箍变成第二个圆箍．拓扑学的产生相传是哥尼斯堡的七座桥的问题引起的．哥尼斯堡是东普鲁士的首府，这座历史名城曾经产生过大哲学家康德和大数学家希尔伯特．流经哥尼斯堡的普列格尔（Pregel）河湾处，有两个岛和七座桥．（如图1）老乡们为了消遣，试图在一次连续的散步中走过所有这七座桥，但不准在任何一座上通过两次．Euler当时在圣彼得堡，听到了这个问题，在1735年找到了解答．它简化了这个问题的表示法，用点代表陆地，用线段或弧代表桥，得到图2．Euler于是把问题提成这样：能否一笔画出这个图；即用铅笔连续不断地一次画出这个图，在每一条弧都只准画一次这条件下，他证明了，对于上图，一笔画是不可能的；并且对于任何一组给定的点和弧，给出了能否一笔画出的判别条件．Euler对这个问题的解决演变出了多面体理论，得到了著名的欧拉公式．它也是拓扑学的第一个定理．这个定理的证明使我们看到了几何问题的一种更内涵的性质，即只要是在任何不致造成图形各部分断裂和折叠的变形下，这些性质依然被保留着．这种性质就是上面所说的拓扑性质．首先把拓扑学界定为研究这类性质的学科的是莱布尼茨．1679年他用位置几何来称呼它，但他并没有具体的结果．第一个实质性地反映拓扑性质的拓扑不变量是凸多面体的欧拉示性数，也就是任何凸多面体，顶点数－棱数＋面数＝2，这个公式被称为欧拉公式．实际上，在1752年欧拉发表这个公式的证明之前，笛卡尔在1620年也知道这个公式，莱布尼茨也有一份笛卡尔手稿的抄件，但到1860年才为数学史家知道．有些数学世家认为，阿基米德也可能知道这个公式，因为归根结底，古希腊对多面体有相当研究．不过，所有这些研究并没有涉及其拓扑不变性．因此，直到19世纪末，这个公式都在多面体的几何学框架中加以讨论．从历史观点看问题，此过程中，在认识上也曾取得许多进步：19世纪初把欧拉公式推广到非凸多面体，更重要的是，其后不久推广到有空的多面体，1863年莫比乌斯推广到任意可定向曲面，19世纪50年代起，推广到任意高维多面体多胞形．真正把拓扑意识带给数学的是黎曼．黎曼几乎可以代替庞加莱成为拓扑学的奠基人．他已经有比较明确的拓扑对象（可定向曲面）、重要的问题（分类这些曲面）以及处理问题的方法（横截方法），而且圆满的解决了这个问题，对于复分析和代数函数论（代数几何的前身）起着划时代的作用．只不过他画龙没有点睛，仅仅着眼于分析（无疑这是分析的一大成就），而没有推陈出新，扩大战果，建立一般流形的拓扑学，因此黎曼的隐藏在分析背后的拓扑学即使建成一个曲面的拓扑学也还需要许多数学家半个多世纪的补充工作．1895年，当时最伟大的数学家庞加莱发表他的主要论文《位置分析》，这篇论文连同其后发表的5篇补充共同构成组合拓扑学的主要骨架，从而宣告这门新学科的诞生．庞加莱创立的组合方法的有效性不容置疑，但是组合与拓扑之间还有一条鸿沟，组合方法的合法性有待证明．建立这个基础的是荷兰数学家捕捞威尔，在1909年到1913年短短5年间，他创立单纯逼近方法来证明拓扑不变性，其中特别证明维数的拓扑不变性，区域的拓扑不变性，并严格证明若当定理及其推广．2拓扑学与其它数学分支的关系拓扑学的最基本概念最早可以追溯到17世纪牛顿和莱布尼茨建立的微积分．所以拓扑学与数学分析有着一定的关系．抽象代数和拓扑学一起形成现代数学的基础，而泛函分析就显示出拓扑学（包括一般拓扑学）与抽象代数学交叉的产物，它的主要研究对象拓扑向量空间正是拓扑空间和向量空间相结合的产物．它的典型是例子是巴拿赫空间，即完备的赋范线形空间（向量具有长度）．因此可以说泛函分析是由拓扑学与抽象代数衍生过来的．欧拉在1735年解决的哥尼斯堡桥问题，被称为图论的开始，这类一笔画问题以及地图最小着色数（平面及球面上4种颜色足够，而在环面上至少要7种不同颜色）、图是否可嵌入在平面中的问题本质上是拓扑学的问题，但现在多归入图论范畴．可以说拓扑与图论这两门数学分支之间有交叉部分．拓扑学中的一个分支代数拓扑，是以同调理论为主线的．对于拓扑空间来说，同调是其最主要的拓扑不变量．因此，对于任意拓扑空间，如何定以及计算其同调群及上同调群是最根本的问题．由此可知，对于代数拓扑的研究还要利用到抽象代数的有关知识（如群、模、函子等部分的知识）．代数拓扑还与微分几何有着紧密的联系，陈省身在四十年代对于整体几何学的发展，便是通过建立微分几何与代数拓扑的联系而实现的．拓扑学中的陈示性类和它衍生的陈示性数、陈特征标等在整个数学中都起着重要的作用，特别是代数几何学、复解析几何学、K理论、微分几何学，乃至数论等，它几乎无处不在．除此之外，一般拓扑学是现代数学，特别是现代高维几何学、几何拓扑学以及现代分析的基础．3 拓扑学在学科外的应用拓扑学作为数学的一个分支对科学技术的许多领域都有着重大的影响，拓扑学也为它们向更深层次的发展起了很大的指导作用．由于拓扑学的发展而展开的关于流形全局性或整体性几何拓扑的研究，引进了各种示性类与示性数，它们已被应用于磁单极与基本粒子等物理学基本理论的研究中．当今化学正从定性科学向定量科学发展，拓扑学的发展及其向化学领域的渗透，为物质的结构性能关系的深入研究提供了一种有力的研究工具．其中的化学拓扑学就是用从数学学科里抽象出来的拓扑理论来研究化学里的一些基础问题，比如原子的空间排列，分子之间的结合作用力等，其要点是寻求分子结构的拓扑不变量，并用数字进行表征，得到拓扑指数，然后与化学性能相关联．如今，拓扑学对计算机网络也有很大影响．计算机网络的拓扑结构是引用拓扑学中研究与大小，形状无关的点，线关系的方法．把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构．网络的拓扑结构反映出网中个实体的结构关系，是建设计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础，它对网络的性能，系统的可靠性与通信费用都有重大作用．拓扑学方法和“不动点定理”，也是现代经济学理论研究的重要工具．1983年度诺贝尔经济学奖获得者德布鲁教授论一般经济均衡的存在性，1994年度诺贝尔经济学奖获得者纳什教授论证博弈论纳什均衡的存在性，靠的都是拓扑方法和不动点定理．所以，要了解现代经济学的前沿发展，需要掌握拓扑学方法和不动点定理．此外，拓扑学本质上整体的讨论方式适应了经济学领域的要求，拓扑学的一些基本方法也在这些领域开拓了应用．拓扑学还应用到了地震灾害比较学中，去年的汶川地震与1976年的唐山地震几乎将这两个地区生命线系统完全损毁．为了评价在近场地震作用下的城镇生命线系统的“稳健性”，就可以采用地震灾害比较学中拓扑学原理,计算出两地公路网络相关评价参数来进行分析，从而建造出公路网络易损性最低的公路．总之，拓扑学已被应用到了科学以及生活的方方面面，为人类更好的生活作了很大贡献．4 我对拓扑学的认识拓扑学的研究对象是拓扑空间，其中最重要的一类对象是流形．研究拓扑学的主要目的就是研究流形的拓扑性质．两个流形的等价在拓扑的意义下是同胚．拓扑学的一个主要问题就是按照同胚对所有流形加以分类．对于代数拓扑而言，它主要研究的是复形的同调群的不变性（包括拓扑不变性、重分不变性、伦型不变性）、上同调群与下同调群的关系以及上同调环和流形的交环．为了研究同调群，代数拓扑在此之前做了很多准备并给了很多概念及定理，从而一步步向下进行，最后得出了同调群的不变性的结论．参考文献[1]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,2002:260-268.[2]胡作玄.数学是什么[M].北京:北京大学出版社,2008:278-295.[3]胡作玄,邓明立.20世纪数学思想[M].济南:山东教育出版社,2001:359-378.[4]鲁又文.数学古今谈[M].天津:天津科学技术出版社,1984: 296-299.。
拓扑泛函分析抽象代数课件
拓扑学的研究(2)
• 由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多 样性，拓扑学又分成研究对象和方法各异的若干 分支。
• 在拓扑学的孕育阶段， 19世纪末，就出现点集拓 扑学和组合拓扑学两个方向。现在前者已演化成 一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来又相 继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。
泛函分析的发展(2)
. 作为泛函分析核心的抽象算子理论的一个 良好的开端，由黎兹1910年发表在《数学 年刊》的文章所做出。
. 巴拿赫在黎兹的基础上，提出了完整的赋 范空间(巴拿赫空间)概念，并为函数空 间上的线性算子理论提出了一系列重要定 理，对近代泛函分析的发展起了重要的作用。
泛函分析的发展(3) 巴拿赫
岛和半岛，用线代表桥。如图。
“一笔画”问题
• “七桥问题”可归结为“一笔画”问题。 “一笔画” 的条件要么没有奇点，要么最多只有两个 奇点，但是这个图形的四个点均为奇点， 所以无解。
• 这个问题和1751年欧拉证明的另一条定理： “任何一个凸多面体的顶点V、棱数E和面数 F之间有关系V-E+F=2”成为拓扑学的最早起 点。拓扑学的“拓扑” (Topology)一词最早 在1847年由利斯亭(J.B.Listing)所采用。
• 如果环的乘法满足交换律，称为交换环。如果交 换环关于乘法有单位元素，使它与集里任何元素 的积就是该元素，并且除零元素外的任何元素都 有逆元素，使任何元素与其逆元素的乘积是单位 元素，这样的环称为“域” (或“体”)。域论是系统 研究域的性质和应用的学科。
域论(2)
• “域”这个词是由戴德金给出的。域的抽象理论 研究比环更早些，它是由韦伯开始的， 1893年， 他曾对伽罗华理论以抽象的阐述，其中引进了域 作为群的一种。
第一章、拓扑学基础.doc
第一章.拓扑燈裹舷1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组（S, 0）,这里S是给定集合，0是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1 0, SeO（即，0, S 是开集）；T2若比,U2e0,则UicU?"（即，0对有限交封闭）; T3开集的任意并集还是开集（即，0对任意并封闭）。
註记满足上述开集公理的0,也称为集合S上的拓扑，（S, 0）为相应的拓扑空间，也记为S。
例子实数集合尺上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。
不难验证：这里定义的开集满足开集公理。
只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。
例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S,定义下列两个拓扑：（S,OJ: 6由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。
（S，6）：。
2二仙S},它是S上的拓扑（最小拓扑）。
练习给出实数集合図上三种不同的拓扑空间结构。
练习设S是一个集合，0由0, S及S的某个固定子集A的所有子集构成。
验证0是S上的拓扑。
从而，（S, 0）是一个拓扑空间。
概念设（S, 0）是拓扑空间，称AuS是闭集，如果S\A是开集。
拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。
命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 0, SeC：C2若A- A2eC,则AiUA2eC （即,G对有限并封闭）; C3闭集的任意交集还是闭集（即，E对任意交封闭）。
证明：利用下列等式可证。
S\ （AS）二（S\AJc（S\A2）, S\（Di BJ =Ui（S\BJ。
註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。
则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。
概念对拓扑空间S,点uwS的开邻域是指包含u的开集U；子集AuS的开邻域是指包含A的开子集：一个点（或子集）的邻域是一个子集, 它包含该点（或该子集）的一个开邻域。
例子对拓扑空间R, U=（-l, 1）是0的开邻域:W=[-l, 1]是0的邻域。
川大代数拓扑讲义
3.3 Van Kampen定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
本学期代数拓扑课程内容拟包括：1、拓扑空间的定义与例；2、基本群与复迭空间；3、同调群；4、上 同调群。 如果时间允许，我们会讨论同调群和上同调群的各种性质，最后讨论Poincaré对偶。 主要参考书目：
1. Armstrong：《基础拓扑学》，孙以丰译，北京大学出版社。 2. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press。 3. Massey: A Basic Course in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 127, Springer-Verlag。 4. 姜伯驹：《同调论》，北京大学出版社。 5. 尤承业：《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社。
2.3 基本群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 基本群的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
代数拓扑
地反应了逐步构建的观念.
定义 2.7: 拓扑空间 上的一个胞腔剖分或 CW 剖分, 是指在 中确定了一个闭空间上
的上升阶梯
称为 的 维骨架,使得:
(1) 是一个有限点集;
(2) 是往 上添加有限个 维胞腔面而得,
.
由(2)知:
是有限个开胞腔的拓扑和, 这些开胞腔设为
, 则称它们
为 的 胞腔. 如果约定 的边
例如,通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论.单纯复形的 n‐ 阶同调群的自由阶等于 n‐阶贝蒂数(Betti number),所以可以直接使用单纯复形的同调 群来计算它的欧拉特征数.作为另外一个例子,闭流形的最高维的积分上同调群可以 探测可定向性.这样,很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到.在只定义在单 纯复形的单纯同调之上,还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或 Čech 上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性.德拉姆证明所有 这些方法是相互关联的,并且对于闭可定向流形,通过单纯同调得出的贝蒂数和从德 拉姆上同调导出的是一样的.
代数拓扑—关于胞腔同调的一些笔记
应用数学(10 硕) 叶本利 学号：MG 1021034
0 引言 代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支,
并在 20 世纪取得了辉煌的成就和深远影响.而同调论在发展过程中产生了许多代数的 概念和方法,称为同调代数.同样,这是一门高度抽象和概括的课程.
J.H.C. Whitehead 引进了 CW 空间.这类空间的重要性，广泛性，同伦技巧的可施展 性已被公认. 粗略地说, CW 复形是由一些（有限多个或无穷多个）胞腔从低维到高 维逐层堆积而成的空间.同伦论中往往需要在拓扑空间上定义满足某种条件的连续映 射,这对非常一般的拓扑空间来说很难着手.但对于 CW 复形,则可以从低维到高维, 在一个一个胞腔上给出定义,采用“逐层扩张”的方式得到所需要的连续映射.如果 扩张到某一层遇到阻碍,就产生阻碍上闭链,阻碍上同调类等（见同伦论）,这样就能 利用同调来讨论关于连续映射的扩张或同伦等问题. 本文从同调的角度展示了其一 些优越性.
上海交通大学研究生(非数学专业)课程 - 上海交大数
上海交通大学数学学科硕士研究生课程大纲《代数拓扑》（Algebraic Topology）(2005试行稿)一．概况1．开课学院（系）和学科：理学院数学系数学2．课程代码：3．课程名称：代数拓扑4．学时/学分： 54/35. 开课时间：春季6．预修课程：基础代数学7．教材: Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, available at: /~hatcher/AT/ATpage.html主要参考书：a. Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960.Birkhäuser, Boston - Basel, 1989.b. Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Second Edition, Springer, 1980.c. Marvin J. Greenberg, John R. Harper, Algebraic Topology: A First Course, TheBenjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1981.d. Ioan Mackenzie James (editor), History of Topology, North-Holland, 1999.e. Jiří Matoušek, Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods inCombinatorics and Geometry, Springer, 2003.f. Tomasz Kaczynski, Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek, Computational Homology,Springer, 2004.g. J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press,1999, available at: /~may/CONCISE/ConciseRevised.pdfh. James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley PublishingCompany, 1984.i. Hajime Sato, Algebraic Topology: An Intuitive Approach, American MathematicalSociety, 1999.j. 沈信耀，同调论：代数拓扑学之一，科学出版社，2002.k. 苏竞存，流形的拓扑学，武汉大学出版社，1992.二．课程简介本课程介绍同调与上同调的基本理论. 大致内容有: 奇异同调; 同调的计算与应用; 同调公理; 上同调群, 杯积; Poincaré对偶, 上同调的计算与应用。