静电场散度定理推导

静电场的散度和高斯定理

1、描述

1）、微分形式

E ρε∇=u r g 空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。

2）、积分形式

01S V E d S dV ρε=⎰⎰u r u r g Ñ

电场强度矢量穿过闭合曲面S 的通量等于该闭合面所包围的总电荷与0ε之比。

2、恒等式

31()R R R

∇=-u r 2'1()4()r r R

πδ∇=--u r r 3、推导 已知'301()()d 4πV r R E r V R

ρε'=⎰r r r r 得到：'011()()()d 4πV E r r V R ρε'=-∇⎰r r r

两边取散度：（是对r r

的计算，可以把算符∇移到内部） 2'011()()()d 4πV E r r V R

ρε'∇=-∇⎰r r r g 由于：2'1()4()r r R

πδ∇=--u r r 得到：''0

''00

1()()[4()]d 4π1

()()d V V E r r r r V r r r V ρπδερρδεε'∇=---'=-=⎰⎰u r r r r r g u r r r 两边取体积分：

V V EdV dV ρε∇=⎰⎰u r g

由高斯定理：

0V S V EdV E d S dV ρε∇==⎰⎰⎰u r u r u r g g Ñ