固体物理第五章习题
固体物理学：第五章 习 题
第五章 习 题 P3051. 解：一维部洛赫电子的能带具有如下性质，)()(αsk E k E +=，⋅⋅⋅±±=210、、s于是有：αs k kE kk E+∂∂∂∂= ……①和kkE kk E -∂∂∂∂-= ……②而布里渊区在边界上，α2s k±=，取α2sk -=代入①、②两式，可得：αα22s kE s k E-∂∂∂∂=， αα22s kEs k E -∂∂∂∂-= 由上两式相容的条件立即得到：02=±∂∂αsk E ，即能量取极值。
（可参看附加题1、2，课本P288例1、P290例3） 2. 解：对面心立方格子，原胞的三个基矢为：)(21a +=α，)(22a +=α，)(23a +=α，倒格子基矢为：)(11b ++-=α)(12b +-=α ，)(13b -+=α倒格矢：332211n b n b n K n ++=])()()[(3213213211n n n n n n n n n -+++-+++-=α面心立方格子是一个边长为α2的体心立方格子，离原点最近的八个倒格点的坐标是：)111(1，，α ，)111(1，，α，)111(1，，α，)111(1，，α)111(1，，α，)111(1，，α，)111(1，，α，)111(1，，αα3=六个次近邻倒格点的坐标是：)002(1，，±α，)02,0(1，±α，)2,00(1±，α，α2= 由最近邻和次近邻倒格矢的中垂面围成的多面体——截角八面体（它是一个十四面体）便是面心立方格子的第一布里渊区。
如课本P261图5-3。
3. 解：（参考徐习P259～260,教材P191,4-19式）（1）按照定义，空间中E=E F的等能面称为费米面，由mk h E F 222=知道，这是半径为F k 的球面。
在绝对零度下，电子全部位于费米球内，T=0K 时，费米能级的能量32223220)3(2)83(2ππn mn m h E F ==式中n 为电子浓度，令3222)83(22πn m h k m h F =得，31)83(πn k F = 设晶体的电子总数为N ，体积为V,对于具有简单立方结构的单价金属，V=N α3，因此，所求费米球半径：m V N k F /10147.010345.3492.0492.0)183()83(101031331⨯=⨯====-ααππ（2）因简单立方边界为α，其第一布里渊区是空间中边长为1/α的立方体，体积为1/α3，故费米球刚好被包含在其内部。
阎守胜版固体物理习题解答--第五章
5.1证明：长波下单原子链运动方程为 )2(11n n n n u u u um -+=-+β （1）可化为连续介质弹性波动方程 )()(22222tu v tu ∂∂=∂∂（2）证明：在长波极限下位移n u 随n 的变化是非常缓慢的，即可看作是连续变化的∴（1）式可改写为 )},(2),(),({),(22t x u t a x u t a x u tt x u m --++=∂∂β=}),(21),(),(21),({22222xt x u a xt x u axt x u a xt x u ∂∂+∙∂∂-∙∂∂+∙∂∂β222),(a xt x u ∙∂∂=β∴22222222),(),(),(xt x u vxt x u matt x u ∂∂=∂∂=∂∂β其中：a mv ∙=2/1)(β为声速。
5.2从有关一维双原子链晶格振动的结果，从5.1.2式出发，说明当两原子的质量M m =时结果回到一维单原子链的情形解：从一维双原子链格波的色散关系有；})]21(sin)(41[1{2/1222qa m M Mm Mmm M w+-±+=±β当m M =时有： )21c o s1(22qa mw ±=±β∴有qa m w 41cos 422β=+ （1） qa mw 41sin422β=-a q m'=21s i n42β （2） 其中q 为一维双原子链的波失aa q ππ42/2==，q '为一维单原子链的波失aq π2='5.3 设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错的等于β和β10，若两种原子的质量相等，并最近邻间距为2a ，试求在波失0=q 和aq π=处的)(q w ，并画处其色散关系曲线。
解：设n u 和n v 分别代表两种 原子的相对平衡位置的位移，M 代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运动方程为)1110()()(1011n n n n n n n n u v v v u u v uM -+=---=--βββ （1） )11()(10)(11n n n n n n n n v u u u v v u vM -+=---=++βββ （2）设试探解为)(0nqa wt i n e u u --=，)(0nqa wt i n e v v --= 将试探波解代入方程中可得)1110(2u vev Mu w iqa-+=--β，)1110(2v ueu Mv w iqa-+=-β)10()11(0)11()10(22=++-=-++∴-u e v Mwu Mwv e iqaiqaββββ要想v u ,有解则须系数行列式为零可得：})]cos 1(20121[11{2/12qa mw--+=±β±w 分别对应于光学支与声学支当0=q 时有)22(2/1==-+w Mw β当aq π=时有2/1)20(M w β=+2/1)2(Mw β=-所以其色散关系如图：5.5 对于金属Al 计算在什么温度下晶格比热和电子比热相等 解：由德拜理论晶格比热为3411)(512DB T k n CvΘ=π，其中1n 为晶体的原子浓度，DΘ为德拜温度，Al 的德拜温度为385K 电子比热为2Cv FBT T k n 222π=其中2n 为晶体的电子浓度因为一个Al 原子可提供3个电子，所以晶体的电子浓度为329323232)(108.1)(108.11002.6277.23--⨯=⨯=⨯⨯⨯==m cm mZ n m ρKk T J mk mn k BFF F FF 518221103/12210357.1,10873.12,1075.1)3(⨯==⨯==⨯==--εεπ由21Cv Cv=可得：5.16K)8T 5(T 2/12F 3D=Θ=π5.7 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用m l u ,记第l 列，第m 行的原子垂直于格平面的 位移，每个原子的质量为M ，最近邻原子的力常数为β （1） 证明运动方程为： )}2()2{()(,1,1,,,1,12,2m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u dtu d M -++-+=-+-+β证明：系统总的势能为： })(){(212,1,21,,,m l m l m l ml m l u u u u v ++-+-=∑β（1）由运动方程ml m l u v uM ,,∂∂-= 若只考虑最近邻的原子则有)}2()2{(,1,1,,,1,1,m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u uM -++-+=-+-+β （2） （2） 设解的形式为)](exp[)0(,wt b mq a q i u u y x m l -+=这里a 是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的。
固体物理习题课第五章可打印
式中a为晶格常数。计速度；3）能带底部和能带顶部电子的有效质量 1）能带的宽度 能带底部
能带顶部 能带宽度
电子在波矢k的状态时的速度
电子的有效质量
能带底部
能带顶部
有效质量
有效质量
5.5 设电子等能面为椭球
外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为
1) 写出电子的准经典运动方程 2) 证明电子绕磁场回转频率为
其中
恒定磁场中电子运动的基本方程
电子的速度
电子能量
电子的速度
磁感应强度
代入电子运动方程 应用关系
电子运动方程
令
有非零解，系数行列式为零
无意义 旋转频率
其中
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
固体物理题库-zzk-第一至第五章
第一章 晶体结构和X 射线1、试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子2、如果基矢a,b,c 构成正交关系，证明晶面族（h k l ）的面间距满足：222)()()(1c l b k a hd hkl ++=3、证明以下结构晶面族的面间距：（1） 立方晶系：d hkl =a [h 2+k 2+l 2]-1/2（2） 六角晶系：2/12222])()(34[-+++=c l ahk k h d hkl 4、等体积的硬球堆积成体心立方结构和面心立方结构，试求他们在这两种结构中的致密度分别为0.68和0.74。
5、试证密积六方结构中，c/a=1.633。
6、在立方晶胞中，画出（1 0 1），（0 2 1），（221）和（012）晶面。
7、如下图，B 和C 是面心立方晶胞上的两面心。
（1） 求ABC 面的密勒指数；（2） 求AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
8、六角晶胞的基矢为.,223,223k c c j a i a b j a i a a =+-=+=求其倒格子基矢。
9、求晶格常数为a 的面心立方和体心立方晶体晶面族（h 1 h 2 h 3）之间的面间距（指导p30,10）。
10、讨论六角密积结构，X 光衍射的消光条件。
11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。
12、原胞和晶胞的区别？13、倒空间的物理意义？14、布拉格衍射方程，原子和几何结构因子在确定晶格结构上分别起何作用？15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？第二章 自由电子气1、设有一个长度为L 的一维金属线，它有N 个导电电子，若把这些导电电子看成自由电子气，试求：（1） 电子的状态密度（2） 绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。
（3） 电子的平均能量。
（4） 电子的比热。
2、二维电子气的能态密度2)( πm E N =，证明费米能 ]1ln[/2-=T mk n B F b eT k E π 3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的贡献。
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理第5章_能带理论_习题参考答案
第六章 能带理论 (习题参考答案)1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m-=⨯，10b410m-=⨯（1）画出倒格子图（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子）解：（1）因为a =a i=20A i b =b j=40A j倒格子基矢为12a iA*=, 014bj A*=以a *b *为基矢构成的倒格子如图。
由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。
(2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点A i,次近邻点B i的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。
如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。
(3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。
简约布里渊区的面积21()8A a bA ***-=⨯=而状态密度22()16()N g K N A A*==当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为 22()216Fk FN g k kdk N k ππ=⨯=⎰所以1/211111()0.2()210()8F k A m π---=≈=⨯这就是费米圆的半径。
费米圆如下图所示2. 已知一维晶体的电子能带可写成()2271cos cos 2,88E k ka ka m a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭式中a 是晶格常数。
试求： （i ）能带的宽度；（ii ）电子在波矢k 状态时的速度； （iii ）能带底部和顶部电子的有效质量。
()()()()()()()()22222m in 2m ax 22m ax m in 22222m in 71cos cos 2,8811cos 24400,2;221sin 24sin 404k i E k ka ka m a ka m a k E k E am a E E E m am aii v E kv ka ka m aiii E k kk E E mπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦====∆=-=∴=∇∴=--==+解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得：()()()22m in 22m ax 22m ax 220342203k E mm m E k k E E k mk E mm m ππδδδ****=+∴===-=+∴=-在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k=+k 可得：aa3. 试证明：如果只计及最近邻的相互作用，用紧束缚方法导出的简单立方晶体中S 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 2s x y z E k E A J ak ak ak πππ⎡⎤=--++⎣⎦并求能带的宽度。
固体物理学_答案(黄昆)
《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ，V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34ar 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒=n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342ar342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r344ar344x 3333≈π=π⨯=π⨯=（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯=（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r338r 348ar348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
王淑华版固体物理第五章答案
姘去半V珩 留◇一泵Υ叩圉 ‘ 晔 首弼 壬 ‘ 弭弼 些驺匾町 佯 哭
裰 橛 擞 镢 黼
Cz=t手
〓 饣V=0Ⅱ 黟 r'昭 ″饣 〓
照叼 =’
'r
嘭鱼 嘭丁甲
r=凹 沪
・ 叼 曰钌击啷羽娣W苔 妊 ‘ 拐叩弼far钾 国汝△鹅 官 勹
r,c+【r-叫 江 C-,″ 歹 素
￠+,cJ9t罗 ￠-口 ″ 系
印
(z〉
~t~~~ˉ ~— — — 篙 鹅 豳 镙 灞 吝梨濠囤梁壬昏sJ唯 娶中鍪佯粥鹞 -孕 ‘ 吖鱼
(0%℃ 尸 +θ %艹 甲:挪 =(廴
(″ ~→ rz=fF9%(ε
,
・ ￥取叨早恶毒黎羿￡昏 苔决 0~J 冫
(湃 塑sg舀 盥-赘 Vr,
=fF9%〈 乙 冫 ?tnα叩
仞 〓 %(1冫 t呷 ⑶
I【
`=,百
’ Jn〓 (→ Jh疵 ,《 → 。
0卜
→ fK《
,+FI%簿
。
r-`〓 J`
’ -Eq:o四 ″ -→
封
=t0丬
I【
f-D-丬F了 《″ +→ f否 《口 t硒 -’ +⒚
(ε 〉
¨ △ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
¨ 冖
羽镁爸串笤弼留孕壬昏
ˉ
_
鼹 鼹 翻 髑 攫
(・
・ v=sl z饣
Jr7」 L-〓
ε
+sz
扌
珀乡
(・
z?勿 〓sl 犯
亻扌 丁廴
=冫
泊蟹
ar圉
″ ″ ″ 口 饣
(丢 +￡
y(r+szl=″ ″ 澎 饣
《固体物理》第5章课后题目答案
1、什么是Peierl不稳定性和Peierls相变？【解答】：假设的晶格内原子状态：假定一维系统是由晶格常数为 a 的N个原子组成，每个晶格原胞只带一个传导电子，电子波函数满足周期条件；第一布里渊区边缘在±π/a，第一布里渊区可以填充2N个电子，因为N个价电子正好填充了最低能带的一半，费米能量恰好位于能带1/2处(Kf=±π/2a)，空能级和占据能级各一半。
然而，Peierls指出这种等距离排列的一维晶格是不稳定的，在低温下，原子发生移动，晶格常数由a变为2a，即第一布里渊区边缘移至费米面且打开了一个能隙，系统总能量降低（。
这就说明，原来等距离排列的具有较高能量的一维晶格经原子移动后变成具有较低能量的畸变晶格，所以原来的晶格是不稳定的。
经过晶格畸变，从半满能带的导体变成为稳定的只有满带和空带的半导体，这就是Peierls不稳定性。
只有在0K时，体系才完全处于上述半导体基态中，当T升高，晶格原子的振动逐步加强以至畸变模糊。
存在相变温度Tp，T＜Tp，体系呈现半导体；T≥Tp，体系相变为导体，这种半导体变为导体的相变称为Peierls相变。
2、简述金刚石、石墨的结构和物性，比较它们性质的异同？【解答】：金刚石和石墨的化学成分都是碳，科学家们称之为“同质多像变体”，也有人称“同素异形体”。
从这种称呼可以知道它们具有相同的“质”，但“形”或“性”却不同，且有天壤之别，金刚石是目前最硬的物质，而石墨却是最软的物质之一。
大家都知道铅笔芯就是用石墨粉和粘土配比而制成的，石墨粉多则软，用“B“表示，粘土掺多了则硬，用“H”表示。
矿物学家用摩氏硬度来表示相对硬度，金刚石为10，而石墨的摩氏硬度只有1。
它们的硬度差别那么大，关键在于它们的内部结构有很大的差异。
石墨内部的碳原子呈层状排列，一个碳原子周围只有3个碳原子与其相连，碳与碳组成了六边形的环状，无限多的六边形组成了一层。
层与层之间联系力非常弱，而层内三个碳原子联系很牢，因此受力后层间就很容易滑动，这就是石墨很软能写字的原因。
固体物理答案第五章1
a∗
kx
第二区
作为原点， （2） 取任意倒格点 作为原点，由原点至其最近邻 Ai 、次近邻 ） 取任意倒格点o作为原点 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图 如上图)， Bi 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区 如上图 ，这 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 其结果如图所示。 其结果如图所示。
当每个原胞有两个电子时， 当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为
r r rr r r 1 ik⋅Rl at at ψ k,r = ∑e ϕα k − Rl N Rl
( )
(
)
r 一维晶体情况下， 一维晶体情况下，晶格常数 a ，Rl = na
所以
r r r 1 ψ k, x = ∑ e ikna ϕat ( x − na ) α n N
r r 1 −α x ϕ (x) = e α at
a i (k x − k y ) i a (k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e e 2 2 = E sat − A − 2J a i (− k x − k y ) i a (− k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e + e 2 2
Eg = 2Vn
是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由式 付里叶级数的系数， 其中 Vn 是周期势场 付里叶级数的系数
1 Vn = ∫ V ( x )e a −a 2
a 2
−i
2π nx a
dx
求得。 求得。 第一禁带宽度为
1 E g1 = 2 V1 = 2 ∫ V ( x )e a −a 2
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考pdf05第五章_金属电子论基础
8.45
×1022
⎤1/ ⎦
3
=
5.2 限制在边长为 L 的正方形的 N 个电子，单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
（1）求能量 E 到 E+dE 之间的状态数； (2) 求绝对零度时的费米能量。 解：（参考中南大学 4.6，王矜奉 6.2.2，林鸿生 1.1.83，徐至中 5-2） （1）如《固体物理学》图 5-1 所示，每个状态点占据的面积为
G′(E) = 2 dZ ⋅ dk = 2 L2 k • dk dE 2π
m = L2m 2k π 2
得二维金属晶体中自由电子的状态密度为：
…………………………（4）
g(E)
=
G′(E) S
=
1 L2
L2m π2
=
m π2
………………………（5）
（2）根据《固体物理学》式 金属的电子浓度
3
∫ ∫ n =
2π i 2π = (2π )2
Lx Ly
L2
所以每个单位
k
空间面积中应含的状态数为
L2
(2π )2
，
d k 面积元中应含有的状态数为
dZ
=
L2
(2π )2
d
k
而单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
= 2k2 2m
E+dE E
可见在 k 空间中等能曲线为一圆，如图所示，在 E——E+dE 两个等能圆之间的
2
中山大学固体物理第五章参考答案
Blakemore 书也介绍了这个模型， p213 给出了p=2 的结果。
这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有关因而与金属的费米面结构有密切关系这些现象是研究金属费米面结构的有力工具上面对自由电子的讨论可以推广到bloch电子只需要用有效质量即可因为前者已经涵盖了周期场的影响上式推广到bloch电子有
3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，作图画出其前三个布
d2x 2 U(x)
U0
1区 2区 3区
b x
0 ca 1( x) Aeix Beix , 2( x) Aei 'x Bei 'x , 3( x) eika ( Aeix Beix ), 这里 2mE / , ' 2m(E U0 ) /
反。
构造一虚拟的 空穴带，以描 述空穴动力学
k
逸失一电子 后的价带
2、能隙的由来？利用能带理论解释导体、 半导体以及绝缘体？
要点：本质是由于原子与原子的相互作用能 级分裂成能带，能带之间即是能隙。晶体中 是由于周期性势场的影响，在布里渊区边界 处bloch波的散射形成了能隙。
导体半导体绝缘体：电子的填充+能隙的大 小
n
AeitN naq Aeitnaq
即：eiNaq 1
q 2 n
Na
n =任意整数，但考虑到 q 值的取值范围，n 取值 数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数值。
固体物理第五章答案
Cu 的费米能 Ef=7.0ev，试求电子的费米速度 Vf。在 273K 时，Cu 的电 阻率为Ρ ＝1.56×10-8Ω ·m,试求电阻的 0 平均自由时间τ 和平均自 由程 。
解：对金属处于费米面上的电子，其能量 其速度 又因为
K f m 2E f m
2K 2 E f＝ 2m
Vf＝
＝
K f＝
12.据上题，当电子浓度 n 增大时，费米球膨胀。证明当电子浓度 n 与原子浓度 na 之比 触。 解：由教材 p181 图 6－20，f.c.c 的第一 B、Z 为 14 面体，14 面体表 面离中心 T 点最近的点为 L 点。 坐标为
3 = 3 5.4/a 4 a
2 (1/2.1/2.1/2) a
2 N K＝ na
6.已知一维晶体的电子能带可写成
2 7 1 2 E( k )= ma ( 8 －coska+ 8 cos2ka)
其中 a 为晶格常数，求（1）能带宽度； （2）电子在波矢 k 状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。
解： （1）
2 7 1 2 E(k)= ma ( 8 －coska+ 8 cos2ka) 2 7 1 2 = ma 8 －coska+ 8 (2cos 2ka－1)]
(3)
沿Γ K（Kz=0, Kx= Ky=2π δ ／a，０≤δ ≤3/4）
E=Esa －A－4B（cos 2δ π ＋2cosδ π ） (4) 沿Γ W（Kz=0, Kx=2π δ ／a，Ky=π δ ／a，０≤δ ≤1） E=Esa －A－4B（cos δ π × cosδ π /2－cosδ π －cos δ π /2） 解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公
固体物理答案第五章1
∑ f ( x la )
∞
为某一确定的函数） （ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。 试求电子在这些状态的波矢。
r r r r r ir Rn 解： 由式 ψk r + Rn = e ψk (r )
(
)
可知， 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
ψ k ( x + a ) = e ikna ψ k ( x )
v* a =
1 v i o 2A v* 1 v b = j o 4A
v* v* 以 a ,b
为基矢构成的倒格子
B3
ky
B2
A2
b
B1
A1
如图6-11所示 图中“。” 所示,图中 如图 所示 图中“
A3
o
代表倒格点。由图可见， 代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是 矩形格子。 矩形格子。 第一区
(s = 0,1,2...
n = ±1,±2...)
5.2 电子在周期场中得势能
1 2 2 2 mω b ( x na ) V (x) = 2 0
[
]
当na b ≤ x ≤ na + b
当(n - 1)a + b ≤ x ≤ na b
是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 且 a = 4b, ω 是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 V(x) 解：
r k ya kza k xa at E k = E s A 8J cos cos cos 2 2 2
并求能带宽度。 并求能带宽度。 用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点 用紧束缚方法处理晶格的 态电子， 解： 态电子 的相互作用时，其能带的表示式为 的相互作用时，
上海师大固体物理 第五章(8)习题课及本章总结
Aeia Beia Ceb Deb eikab
i Aeia Beia Ceb Deb eikab
只有当A、B、C、D的系数行列式为零时，四个方程才有解，即有
2 2 sinh bsin a cosh b cos a cos k a b
2
其中
cosh x ex ex ,sinh x ex ex
2m / h2
1/2 a 给出，这一范围
是函数
sin a
P
cos a
取值1之间的范围。对能量的其
a
它取值，波动方程不存在行波解或类Bloch解，从而以此在
能谱中构成禁带。
在Kronig——Penny势场中的 能量关于波数的关系曲线，其 中P=3/2。请注意在ka=，2， 3，…处出现的能隙。
Kronig-Penney一维方形势场模型有着重要的意义：
为分割在各个顶角附近的曲面。
据以上分析可估计能态密度N(E)的大小。
在第一布里渊区内：
E
E
时，
A
N(E) C
E
E EA时, S N E
E EA时,
S N E
当E超过第二布里渊区的最低能量EB时：N(E)由0迅速增大。
E
E
EC
EB EC
EEB0
EA
EC>EB
N(E)
EC<EB
C· ··B A
在合金中，二价元素锌的浓度超过36%后，如果仍维持相，则由于能级 密度迅速减小，电子要填充到比较高的能级。
对于相结构，锌的浓度要到48%时，即E>EA后，能级密度才迅速减小， 电子可以填充到比较低的能级。因此当锌的浓度超过36%但低于48%时， 相比较稳定。同理也可以说明，当浓度再增加时，合金的结构又要改变 ，而进入相。
固体物理第五章习题
E C s J s [e
at s
e
i
a kx k y kz 2
e
i
a kx k y kz 2
e
i
a kx k y kz 2
24
(2) 选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢 有6个，它们是：b1, b2, (b1+b2)
这6个倒格矢中垂线围 成区间构成了两部分： 以原点为对称心正六边 形是第一布里渊区．正 六边形外的6个三角形 部分是第二布里渊区。 第一布里渊区内切圆半 径
k b2 2 2 . 3a
式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。 对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取 参考格点的坐标为(0, 0, 0)， 6个最近邻坐标为
( a, 0, 0) (0, a, 0) (0, 0, a )
简单立方晶体非简并s态电子的能带则为
Es (k ) Es at CS J S (cos kx a cos k y a cos kz a)
k ( x a)
l
f ( x l ' a)
由上式知 所以有
eika 1 2 4 6 k 0, , , , a a a
由此得在布里渊区内的值为k=0。
4
2. 一维周期势场为
1 2 2 2 mW [b ( x na) ], na b x na b V ( x) 2 0, (n 1)a b x na b
可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考05第五章_金属电子论基础
金属电子气模型的费米面是球形。
5.4 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？ 解答：本质是，对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子 才能从外界获得能量发生能态跃迁。 如对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子，能态能够发生变化的电子仅是费米面附近的电子，因为， 在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费 米面附近或以外的空状态上。只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。 对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级， 因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于它附近的能态已经被占据，没 有可以接受它设为空态，所以这些电子不可能从外场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。 热导与电导相似，
解答：在 T = 0 时，所有电子能量不超过费米能量 EF ，因此没有电子脱离金属；但是，当金属被加
热到很高温度时，将有一部分电子获得的能量大于逸出功，从而脱离金属表面形成热电子发射电流，这种 现象称为热电子效应。
5.10 产生接触电势差的原因是什么？
解答：当两块不同的金属 1 和 2 相接触，或用导线连接时，两块金属将彼此带电并产生不同的电势U1
5.5 自由电子气的许多性质与费米波矢有关，试列举或导出下列参数与费米波矢的关系： （1）绝对零度时时的费米能量； （2）电子数密度： （3）金属电子气的总能量； （4）与费米能级对应的能态密度； （5）电子比热。
解答：（1）根据《固体物理学》式
5-19，绝对零度时时的费米能量 EF0
固体物理 第五章例题
0 F 2
2 2 3
1.05 10 2 9.1 10
- 34 2 - 31
7.5 10 -19 J 4.7ev
2 3 3.5 10 -10
3
2
25 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成:
23
K n n1b1 n2b2
第三布里渊区
①n1 ②n1 ③n1 ④n1 ⑤n1 ⑥n1
2 , n2 0; K 1 2b1 0 , n2 2; K 2 2b2 2 , n2 2; K 3 2b1 2b2 -2 , n2 0; K 4 -2b1 -2 , n2 -2; K 5 -2b1 - 2b2 0 , n2 -2; K 6 -2b2
6
26 一维周期场中电子的波函数k(x)应当满足布罗赫定 理。若晶格常数是a，电子的波函数为：
x 3x 1 k x sin ; 2 k x i cos a a
3 k x
试求电子在 这些状态的 f x - la f是某个确定的函数。 波矢。
C 2.08T 2.57T
3
mJ/mol K
若一摩尔的钾有N＝6×1023 个电子，试求钾的费米 温度和德拜温度。 5
解：
e a CV CV CV T bT
Z 2 R Z 2 R e CV T T 0 2TF 2TF0
12 NkB T a bT 3 ; CV Θ 5 D
2
14
k 0 E 0 0
固体物理学1~6章习题解答
《固体物理学》习题解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么晶面族是（123）的离原点最近的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别是a1、(1/2)a2、(1/3)a3。
固体物理学中基矢的长度等于相邻两个格点的距离，所以只要“OA,OB 和OC 分别与基矢a1,a2,a3重合”，而O 又是格点，则A 、B 、C 一定是格点。
OA 、OB 、OC 间无格点，（234）情况一样。
结晶学以晶包基矢为坐标轴表示晶面指数，但称为米勒指数。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同理可得
2 2 m , mzz . 2 2 2J s a 2J s a
yy
其他交叉项的倒数全为零．
21
而在布里渊区边界上的
2 , 0, 0 , a 2 2 0, , 0 , 0, 0, a a
第一布里渊区[111]方向的能带曲线
20
(3) 由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当 kx=ky=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带 底，电子有效质量为
2 mxx 2 Es k 2 x 2 2J sa2 ki 0
其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求 出势能的平均值。
5
[求解] 图：一维周期势场
1 2 2 2 mW [ b ( x na ) ], na b x na b V ( x) 2 0, (n 1)a b x na b
6
由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周 期内求平均即可，于是得
e
ika
1
k
,
因此得
3 5 k , , , a a a
3
若只取布里渊区内的值： 则有
k
a
k
a
a
l
（2）
令 得
k ( x a)
l ' l 1
f ( x a la) f [ x (l 1)a]
l ika ( x ) e k ( x) k
平均速度曲线
14
电子的有效质量
2 2 m 2 E 2ka 2 2 J a cos( ) 2 S k 2
有效质量曲线
15
在[110]方向上有恒定电场情况下，电子受的力
F e
电子的加速度
a F m
e 2 J S a 2 cos( 2
2ka ) 2
设电场方向与[110]方向相反，加速度曲线则如图
25
19．证明迪· 阿哈斯－范阿耳芬效应的周期为
1 2 e , B S
其中Ｓ是kz=0平面在费密球上所截出的面积．
26
[解答]
由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H 所作的功
dU Vc HdB,
即系统内能的微分
U Vc H , B
其中Vc是晶体体积． 由电磁学可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关 系是
at i k Rn Es ( k ) Es C s J s e n i a kx k y kz 2 i
E C s J s [e
at s
e
i
a kx k y kz 2
e
i
a kx k y kz 2
e
i
a kx k y kz 2
a 3 a1 ai, a 2 i a j. 2 2
i和j是相互垂直的单位矢量． 取单位矢量k垂直与i和j 则
a1, a2 , k
构成的体积
倒格原胞的基矢为
3 2 a. 2 2 a2 k 2 2 b1 Байду номын сангаасi j a 3a 2 k a1 4 b2 j 3a
处是能带顶，电子的有效质量为
2 m m m 2J s a2
xx yy zz
其他交叉项的倒数也全为零．
22
13．平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求 (1) 正格矢和倒格矢；
(2) 画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内 切圆半径．
23
[解答] (1) 正格原胞的基矢如图所示取为
12
（2）在[110]方向上 能带变成 其中
k z 0, k y k x 2ka ) 2
2 k 2
Es (k ) E0 4 J S (cos
E0 Es at CS 2J S
在[110]方向上，在第一布里渊区内，电子的能 带如图所示
13
电子的平均速度
1 E 2 2 J S a 2ka v sin( ) k 2
n 0
28
令
EF
Vc c 2m 8 2 2
32
1 a, n c bn . 2
则电子系统的能量
U
0
EN ( E )dE
n 0 l
l
EF
aEdE
0
E bn
12
2 32 3 2 2 a EF bn a bn 3 n 0 3
at ik Rn Es (k ) Es CS J s e ,
R n 是最近邻格矢．
n
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0, 0, 0） 则８个最近邻格点的坐标为
a a a , , 2 2 2
18
将上述8组坐标代入能带的表示式，得
mW 2b 2
2
10
5. 对简立方结构晶体，其晶格常数为a。
（1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带；
（2）分别画出第一布里渊区[110]方向的能带、电 子的平均速度、有效质量以及沿[110]方向有恒定电 场时的加速度曲线。
11
[求解] 非简并s态电子的能带
ik Rn at Es (k ) Es CS J S e n
求得
第一个禁带宽度为
2 i x 1 a2 a Eg1 2 V1 2 a V ( x)e dx a 2
i x 1 b 1 2 2 2 2 mW (b x )e 2b dx 4b b 2
1 b 1 8mW 2b2 2 2 2 2 mW (b x ) cos( x)dx b 4b 2 2b 3
式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。 对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取 参考格点的坐标为(0, 0, 0)， 6个最近邻坐标为
( a, 0, 0) (0, a, 0) (0, 0, a )
简单立方晶体非简并s态电子的能带则为
Es (k ) Es at CS J S (cos kx a cos k y a cos kz a)
16
7．用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出 (1) s态电子的能带为
kya kx a kz a at Es (k ) Es CS 8 J s cos cos cos ; 2 2 2
(2) 画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线；
(3) 求出带底和带顶电子的有效质量.
17
[解答] (1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最 近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为
24
(2) 选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢 有6个，它们是：b1, b2, (b1+b2)
这6个倒格矢中垂线围 成区间构成了两部分： 以原点为对称心正六边 形是第一布里渊区．正 六边形外的6个三角形 部分是第二布里渊区。 第一布里渊区内切圆半 径
k b2 2 2 . 3a
k ( x a)
l
f ( x l ' a)
由上式知 所以有
eika 1 2 4 6 k 0, , , , a a a
由此得在布里渊区内的值为k=0。
4
2. 一维周期势场为
1 2 2 2 mW [b ( x na) ], na b x na b V ( x) 2 0, (n 1)a b x na b
l
2abn EF bn 2a bn
n 0
32
.
对上式求微分
l 2 a U 2 2 a 2 32 1 2 bn 32 1 2 bn EF bn a bn b a b n B n B n 0 3 B 3 B 3 3 B
e
i
a kx k y kz 2
e
at s
i
a kx k y kz 2
e
i
a kx k y kz 2
e
i
a kx k y kz 2
]
kx k y kz a i a ka E C s 2 J s [e cos e 2 cos z 2 2 a i kx k y kx k y kz a i a ka 2 2 e cos e cos z ] 2 2 a i a kya kx i kx kz a at 2 2 Es C s 4 J s e e cos cos 2 2 kya kx a ka at Es Cs 8 J s cos cos cos z 2 2 2
1 B . 0 H
27
由(1)，(2)两式可得
Vc B 1 U 0 B
其中0是真空中的磁导率．由上式可以看出，磁 化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能微商 U/B随1/B作振荡的反映． 当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀 的．当由磁场存在时，能态重新分布，磁场的作 用使电子的量子态高度简并，此时电子的状态密 度为 1 2 32 l Vc c 2m 1 N (E) E n c . 2 2 8 2
a kx k y 2
19
3 k, (2) 在[111]方向上 3 且第一布里渊区边界在 k x k y k z a 3ka 3 于是能带化成 E E0 8 J s cos 6 kx k y kz