空间图形的公理(公开课)

空间图形的公理
必修2
第一章
立体几何初步
学习目标
1.在了解空间中点、线、面的位置关系的 基础上，正确理解空间图形的四个公理及空 间等角定理，会用文字语言、图形语言和符 号语言进行描述，并能够灵活运用； 2.了解异面直线所成的角的定义，并会求 异面直线所成的角。
问题1 观察下图，你能得到什么结论？ 桌面
不在同一条直线上的三点A、B、C⇒有且 只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面 α ，C ∈ 面α
思考交流 （1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定 一个平面吗？ B α LA C （2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ α A B Aa α a C C B b b (3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
1 AC 2
直线EH与FG必相交于一点，设为O. 因为 O EH , EH 平面ABD，所以 O 平面ABD ，同理 O 平面BCD 又因为平面ABD
I
平面BCD=BD,所以点O在直线BD上
诱思案5：
A B F C E H D G
M
例2.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB， CD在原正方体中的位置关系是（ D ）
如图,AB∥A/B/,BC∥D/C/, 则∠1=∠2, 或∠1+∠3=1800
A A’
B
1
3 C D’ B’
2
C’
定理:空间中,如果两 个角的两条边分别对 应平行,那么这两个角 相等或互补.
C3 2 α O
1
A B A/
β
O/
B/
※ 异面直线所成的角
a’ b
β
a
α
过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平 行线，则这两条平行线所成的锐角（或直角） 就是异面直线a,b所成的角
公理2的三个推论
推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
问题3 观察下图，你能得到什么结论？ 天花板
墙面
P
墙面

P
a
公理3：如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条 通过这个点的公共直线。
诱思案4、 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形. A
证明：如图，连结BD。 因为FG是ΔCBD的中位线， 所以 FG//BD， FG
E
B
H
D F C G
又因为EH是ΔABD的中位线
1 BD . 2
1 所以 EH//BD， EH BD 2
A、平行
C、异面直线
C A D
B、相交且垂直
D、相交成60°
C
A
B
B (D)
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。
所以，四边形EFGH是平行四边形。
A
诱思案4变式：
B F
E G C
H D
O
证明：E,F 分别是AB,BC的中点，所以EF//AC,且 EF
1 1 1 DH AD , DG CD GH AC, 因为 , 所以 GH//AC, 且 3 3 3 所以GH//EF,且 EF GH ,所以四边形EFGH为梯形，故
A B
公理1：如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内（即直线 在平面内）。 A B
l

若 A l , B l , A , B ，那么 l
作用：可判断直线是否在平面内，点是否在平面 内
问题2 观察下图，你能得到什么结论？
A
CBBiblioteka 公理2: 经过不在同一条直线上的三点， 有且只有一个平面（即可以确定一个 平面）。 B A C


P
l
P 且P
l且P l.
问题4
在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此 结论是否成立？举例说明
公理4：平行于同一条直线的两条直线平 行。
a b
c
a // b, b // c a // c
在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补。