第1讲-等腰三角形

第1讲-等腰三角形

3．（10广州）如图，BD

是△ABC的角平分

线，∠ABD＝36°，

∠C＝72°，则图中

的等腰三角形有

个．

【等腰三角形的性质和判定】

7．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AC，AD＝2cm，则BC ＝．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝

AC

，点D在BC上，且AD＝BD，AC＝CD，则∠B＝°．

8．如图，已知E为等腰△ABC的底边BC上一动点，过E作EF⊥BC交AB于D，交CA的延长线于F，问：

（1）∠F与∠ADF的关系怎样？说明理由；

（2）若E在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；

若成立，画出图形并给予证明．

图1

A

B C

D

图2

9．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，DE ∥AB 交BC 于E ，交AC 于F ，∠CDE ＝ ∠ACB ＝30°，BC ＝DE ．

（1）求证：△FCD 是等腰三角形； （2）若AB ＝4，求CD 的长．

【等边三角形的性质和判定】

10．如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 边上，且AE ＝CD ，AD ，BE 相

交于点P ．

（1）求证：△ABE ≌△CAD ； （2）求∠BPD 的度数；

（3）若BQ ⊥AD 于Q ，PQ ＝3，PE ＝1，求AD 的长．

11．已知：如图，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ． （1）求证：AD ＝AE ．

（2）若BE ∥AC ，试判断△ABC 的形状，并说明理由．

A B

C

D

E

P

Q

12．（13惠州）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）．A．16 B．18 C．20 D．16或20 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD 的长是．

14．（13南京）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝°．

第13题第14题

15．（13黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．

16．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E，若OD＝4cm，则PE＝cm．

第15题第16题

【等腰三角形的综合应用】

17．（13六中期中考）如图1：在△ABC中，AB＝AC，∠B，∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于E，F．

（1）图中有几个等腰三角形？且EF与BE，CF间有怎样的关系？

（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第（1）问中EF与BE，CF间的关系还存在吗？

（3）若在△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与∠ACB的外角的平分线CO相交于O，过点O作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有等腰三角形吗？

EF与BE，CF间的关系如何？为什么？

图1 图2 图3

C

D

B

A

A

B

C

O

P

D

E

18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的动点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；

（3）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

19．（13六中期中考）如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．

①证明：DM＝DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请

说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？

若不发生变化，求出其面积；

（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

20．（1）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （2，－1），P 是x 轴上的一个动点，使

△AOP 为等腰三角形，则符合条件的动点P 共有（ ）； A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

（2）如图所示，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是两格点，如果

C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）． A ．8 B ．6

C ．4

D ．2

21．（14呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的

底角的度数为 °．

22．如图，∠EAF ＝15°，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，则∠DEF ＝（ ）．

A ．90°

B ．75°

C ．70°

D ．60°

23．（12斗门区一模）

（1）在图1中，已知∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ．∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则能得如

下两个结论：a ．DC ＝BC ；b ．AD ＋AB ＝AC ，请你证明结论b ；

C

N

M

D

B

A

图1