第1讲-等腰三角形

第1讲-等腰三角形3．（10广州）如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有个．【等腰三角形的性质和判定】7．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AC，AD＝2cm，则BC ＝．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，AC＝CD，则∠B＝°．8．如图，已知E为等腰△ABC的底边BC上一动点，过E作EF⊥BC交AB于D，交CA的延长线于F，问：（1）∠F与∠ADF的关系怎样？说明理由；（2）若E在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并给予证明．图1AB CD图29．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，DE ∥AB 交BC 于E ，交AC 于F ，∠CDE ＝ ∠ACB ＝30°，BC ＝DE ．（1）求证：△FCD 是等腰三角形； （2）若AB ＝4，求CD 的长．【等边三角形的性质和判定】10．如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 边上，且AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ．（1）求证：△ABE ≌△CAD ； （2）求∠BPD 的度数；（3）若BQ ⊥AD 于Q ，PQ ＝3，PE ＝1，求AD 的长．11．已知：如图，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ． （1）求证：AD ＝AE ．（2）若BE ∥AC ，试判断△ABC 的形状，并说明理由．A BCDEPQ12．（13惠州）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）．A．16 B．18 C．20 D．16或20 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD 的长是．14．（13南京）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝°．第13题第14题15．（13黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．16．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E，若OD＝4cm，则PE＝cm．第15题第16题【等腰三角形的综合应用】17．（13六中期中考）如图1：在△ABC中，AB＝AC，∠B，∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于E，F．（1）图中有几个等腰三角形？且EF与BE，CF间有怎样的关系？（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第（1）问中EF与BE，CF间的关系还存在吗？（3）若在△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与∠ACB的外角的平分线CO相交于O，过点O作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE，CF间的关系如何？为什么？图1 图2 图3CDBAABCOPDE18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，E，F分别是AB，AC上的动点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．19．（13六中期中考）如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．20．（1）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （2，－1），P 是x 轴上的一个动点，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的动点P 共有（ ）； A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（2）如图所示，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）． A ．8 B ．6C ．4D ．221．（14呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 °．22．如图，∠EAF ＝15°，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，则∠DEF ＝（ ）．A ．90°B ．75°C ．70°D ．60°23．（12斗门区一模）（1）在图1中，已知∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ．∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则能得如下两个结论：a ．DC ＝BC ；b ．AD ＋AB ＝AC ，请你证明结论b ；CNMDBA图1（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC ＝∠ADC ＝90°”改为∠ABC ＋∠ADC ＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．ABDM NC图2第一讲-参考答案1．A2．B3．34．C5．C6．47．（1）6；（2）36．8．（1）∠F＝∠ADF，证明如下：证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EF⊥BC，∴∠B＋∠BDE＝90°，∠C＋∠F＝90°∴∠BDE＝∠F，∵∠ADF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠F；（2）成立，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ECF，∴∠B＝∠ECF，∵EF⊥BC，∴∠B＋∠BDE＝90°，∠ECF＋∠F＝90°，∴∠BDE＝∠F即∠ADF＝∠F．9．证明：（1）∵DE//AB,∠B＝90°，∴∠DEC＝90°∴∠DCE＝90°－∠CDE＝60°∴∠DCF＝∠DCE－∠ACB＝30°∴∠CDE＝∠DCF∴DF＝CF∴△FCD是等腰三角形；（2）解：在△ACB和△CDE中，∵∠B＝∠DEC，BC＝DE，∠ACB＝∠CDE，∴△ACB≌△CDE（ASA），∴AC＝CD，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，∴AC＝2AB＝8，∴CD＝8．10．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC．又AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD．∴∠BPD＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠P AE＝∠BAC＝60°，（3）∵∠BPD＝60°，BQ⊥PQ，∴∠PBQ＝30°，∴PB＝2PQ＝6，∴BE＝PB＋PE＝7，∵由（1）得△ABE≌△CAD，∴AD＝BE＝7．11．证明：（1）∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°， ∵AE ⊥AB ，∴∠E ＝90°＝∠ADB ， ∵AB 平分∠DAE ，∴∠1＝∠2，在△ADB 和△AEB 中，∵∠ADB ＝∠E ，∠1＝∠2，AB ＝AB ， ∴△ADB ≌△AEB （AAS ），∴AD ＝AE ； （2）△ABC 是等边三角形．证明如下：证明：∵BE ∥AC ，∴∠EAC ＝90°，∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠BAC ＝∠1＋∠3＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．12．C13．314．4015．1516．217．解：（1）有5个等腰三角形；EF 与BE 、CF 间的关系是：EF ＝BE ＋CF ＝2BE ＝2CF ．证明如下： 证明：∵EF ∥BC ，∴有∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB ，又∵∠B ，∠C 的平分线交于O 点， ∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB ， ∴∠EOB ＝∠OBE ，∠FCO ＝∠FOC ，∴OE ＝BE ，OF ＝CF ，∴EF ＝OF ＋OE ＝BE ＋CF ． 又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠EOB ＝∠OBE ＝∠FCO ＝∠FOC ， ∴EF ＝BE ＋CF ＝2BE ＝2CF ；（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE 和等腰△OCF ；第（1）问中的EF 与BE ，CF 的关系是：EF ＝BE ＋CF ．（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO ，△OCF ，EF ＝BE －CF ，理由如下：证明：∵EO ∥BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠EOC ＝∠OCG （G 是BC 延长线上的一点）， 又∵OB ，OC 分别是∠ABC 与∠ACG 的角平分线 ∴∠EBO ＝∠OBC ，∠ACO ＝∠OCG ， ∴∠EOB ＝∠EBO ，∠FCO ＝∠FOC ， ∴BE ＝OE ，∴CF ＝FO ，又∵EO ＝EF ＋FO ，∴EF ＝BE －CF ．18．（1）证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠A ＝90°，D 为BC 中点，∴2BCAD BD CD ===，且AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝45° 在△BDE 和△ADF 中，45BD AD B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△ADF （SAS ），∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF ，∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠ADF ＋∠ADE ＝90°，即∠EDF ＝90°．∴△EDF 为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF 面积不变．理解如下：证明：∵由（1）可知，△AFD ≌△BED ，∴S △BDE ＝S △ADF ，而S 四边形AEDF ＝S △AED ＋S △ADF ＝S △AED ＋S △BDE ＝S △ABD ， ∴四边形AEDF 面积不会发生变化．（3）解：△DEF 为等腰直角三角形．证明：若E ，F 分别是AB ，CA 延长线上的点，如图所示：连接AD ，∵AB ＝AC ，∴△ABC 等腰三角形，∵∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点，∴AD ＝BD ，AD ⊥BC ，∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°，∴∠DAF ＝∠DBE ＝135°，又∵AF ＝BE ，∴△DAF ≌△DBE （SAS ）．∴FD ＝ED ，∠FDA ＝∠EDB ．∴∠EDF ＝∠EDB ＋∠FDB ，＝∠FDA ＋∠FDB ＝∠ADB ＝90°．∴△DEF 仍为等腰直角三角形．19．证明：（1）①连接BD ， ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，点D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∠A ＝∠C ＝45°，∴BD ＝AD ＝CD ，∴∠ABD ＝∠A ＝45°，∠MBD ＝∠C ＝45°，∵∠MDB ＋∠BDN ＝90°，∠NDC ＋∠BDN ＝90°，∴∠MDB ＝∠NDC ，在△MDB 和△NDC 中，∵∠MBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠MDB ＝∠NDC ，∴△MDB ≌△NDC （ASA ），∴DM ＝DN ．②四边形DMBN 的面积不发生变化，理由如下：由①知S △BDM ＝S △CDN ，∴S 四边形DMBN ＝S △BCD ，∵△BDC 的面积是一个定值，∴四边形DMBN 的面积不发生变化，∵AB ＝AC ＝1，S △BCD ＝12S △ABC , ∴S 四边形DMBN ＝S △BCD ＝12S △ABC ＝14．（2）DM＝DN仍然成立．理由如下：连接BD，由（1）知BD⊥AC，BD＝CD∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∵∠ABD＋∠MBD＝180°，∠ACB＋∠NCD＝180°，∴∠MBD＝∠NCD，∵BD⊥AC，∴∠MDB＋∠MDC＝90°，∵∠NDC＋∠MDC＝90°，∴∠MDB＝∠NDC，在△MDB和△NDC中，∠MBD＝∠NCD，BD＝CD，∠MDB＝∠NDC，∴△MDB≌△NDC（ASA），∴DM＝DN．（3）DM＝DN仍然成立．20．（1）A（2）A21．63°或27°22．D23．（1）证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DCA＝∠BCA＝30°，∵在Rt△ACD中，∠DCA＝30°，Rt△ACB中，∠BCA＝30°，∴AC＝2AD，AC＝2AB，∴AD＋AB＝AC．（2）判断是：（1）中的结论a．DC＝BC；b．AD＋AB＝AC都成立．理由如下：如图，在AN上截取AE＝AC，连接CE，∵∠BAC＝60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC＝CE，∠AEC＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠DAC＝∠AEC∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，∴△ADC≌△EBC（ASA），∴DC＝BC，DA＝BE，∴AD＋AB＝AB＋BE＝AE，∴AD＋AB＝AC．。