30道小升初典型几何体解析

8 20
【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20 5 20) 8 2 140 (平方厘米)． 5．【等面积变形】如下图，长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形 ABCD 的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是多少?
A B
F D
E C
19．【表面积计算】如图，棱长分别为 1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 5 厘米的四个正方体紧贴 在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？
【解析】(法 1)四个正方体的表面积之和为： (12 22 32 52 ) 6 39 6 234 (平方厘米)，
重叠部分的面积为： 12 3 (22 2 12 ) (32 22 12 ) (32 22 12 ) 3 9 14 14 40 (平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为： 234 40 194 (平方厘米)．
30 道典型几何题解析
1．【加减法求面积】如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方 向旋转 60 ，此时 B 点移动到 B ' 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计算)．
B'
60 A B
【解析】面积 圆心角为 60 的扇形面积 半圆 空白部分面积(也是半圆) 圆心角为 60 3 60 的扇形面积 π 32 π 4.5(cm2 ) ． 360 2 2．【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积 (图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计 算)：
4
3
⑴
⑵
1
2
⑶
【解析】⑴ 4.5
1
1
⑷
⑵4
⑶1
⑷2
3 ．【差不变】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ， AB 8cm ，求 BC 的长度． A
I
I I B C
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1
【解析】由于阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ，根据差不变原理，直角三角形 ABC 面积减去半圆面积为 25cm2 ，则直角三角形 ABC 面积为
【 解析】 从图上可以知道，小长方形的长的 4 倍等于宽的 5 倍，所以长是宽的 5 4 1.25 倍．每个小长方形的面积为 45 9 5 平方厘米，所以 1.25 宽 宽 5 ，所以宽为 2 厘米， 长为 2.5 厘米．大长方形的周长为 (2.5 4 2 2.5) 2 29 厘米． 12 ．【梯形蝴蝶】如图， ABCD 与 AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为 6 平方厘 米，图中阴影部分的面积为 ．
图１ 图2 【 解析】 我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的 处理，移到两条边上 (如图 2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没 有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放 (101 1) 2 51 (块)，白
色 瓷 砖 组 成 的 正 方 形 的 边 长 上 能 放 ： 51 1 50 ( 块 ) ， 所 以 白 色 瓷 砖 共 用 了 ： (0 块)． 5 0 5 0 250 8. 【化整为零】正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起（如图），M、N 点为正方 2 形的边的中点，阴影部分的面积是 14cm ，三角形 BEF 的面积是多少平方厘米？
S△EAD S△EBD ,所以，
S阴影 S△EPD S△PDC S△EPD S△PDB S△EDA
1 1 S△ADEF 6.36 3.18 （平方厘米） 2 2
18 ．【一半模型】一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的
15% ，黄色三角形面积是 21cm2 ．问：长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】如下图，连接 BD，ED，BG，
有 EAD、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有 S
EAD

EA S AB
ABD
2S
ABD ．
同理 S
EAH

AH S AD
EAD
3S
EAD
6S
ABD ．
类似的，还可得
S
S
EAH
S
FCG
6S
FCG
6S
ABD
S
BCD
6S ABCD =30 平方厘米．
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 1 20 12 120 ． 2 6．【面积与旋转】如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米， ABC 60 ， 此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为中心，将 ABC 顺时针旋转 120 ，点 A 、 C 分别到达点 E 、 D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．( π 取 3)
14．【曲线型面积】如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直 径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．( π 取 3)
A D
A D
B
a
C
B
a
C
【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形， 不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影 部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．
17．【等积变形】图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90° )，以 AD 为一边向外作 长方形 ADEF，其面积为 6.36 平方厘米。连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC。则图中阴影部 分的面积是( )平方厘米。
6
F A P
E D
F A P
E D
B
C
B
C
【解析】如图,连接 AE，BD。因为 AD∥BC，则： S△PDC S△PDB ,又 AB∥ED，则：
E C
(2) (1) E
C
A
B
D
A
B
D
【解析】注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
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2
因为 EBD 60 ，那么 ABE 120 ，
1 则阴影部分为一圆环的 ． 3
7 ．【图形与平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它 地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多 少块？
C 13 12 O 13 12
13 D
13
12
12
A
B
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
3
把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为 13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个 边长为 12 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为 12 12 144 .(也可以用勾股定理) 10 ．【巧求周长】下图中的阴影部分 BCGF 是正方形，线段 FH 长 18 厘米，线段 AC 长 厘米． 24 厘米，则长方形 ADHE 的周长是
7
(法 2)三视图法．从前后面观察到的面积为 52 32 22 38 平方厘米,从左右 两个面观察到的面积为 52 32 34 平方厘米，从上下能观察到的面积为 52 25 平方厘米． 表面积为 38 34 25 2 194 (平方厘米)．
20．【表面积计算】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表 面积是多少平方厘米?
如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形Biblioteka Baidu我们可以求得，
2 1 a 1 a 1 S阴影 4 S半圆 S三角形 4 a a 2 2 2 2 2 2
15．【表面积计算】中是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中 心位置挖去一个边长 1 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米？
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成．
该图形的表面积等于 (9 7 7) 2 46 个小正方形的面积，所以该图形表面积 为 46 平方厘米．
21．【取特殊点】长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任 意一点，问阴影部分面积是多少？
黄 红 绿 红
【 解析 】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的 宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 50% ，而绿色三角形面积 占长方形面积的 15% ，所以黄色三角形面积占长方形面积的 50% 15% 35% ． 已知黄色三角形面积是 21cm2 ，所以长方形面积等于 21 35% 60 （ cm2 ）．
E F G H
A
B
C
D
【解析】本题需要注意，长方形 ADHE 的宽应等于正方形 BCGF 的边长． 由于图中阴影部分 BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形 ADHE 的 宽． FH AC 的和应为长方形 ADHE 的长加上正方形 BCGF 的边长，所以等于长方形 ADHE 的长与宽之和．所以长方形 ADHE 的周长为： (18 24) 2 84 厘米． 11．【周长与面积】有 9 个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这 9 个小长方形拼成的 大长方形的面积是 45 平方厘米，求这个大长方形的周长．
1 8 π 25 8π 25 ( cm2 )， 2 2
BC 的长度为 8π 25 2 8 2π 6.25 12.53 ( cm )．
2
4．【等量代换】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面 积.
20－5
5 8 20
【解析】因为 M、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下
F A M D N B C E B C F A M D N E
图形中的三角形面积都相等，阴影部分由 7 个三角形组成，且其面积为 14 平方厘米， 故一个三角形的面积为 2 平方厘米，那么三角形 BEF 的面积是 18 平方厘米。 9. 【割补法】如图所示的四边形的面积等于多少？
D
C
D
C
F H G
E
F H
E
A
B
G
A
B
【解析】如图，连接 AF ，比较 ABF 与 ADF ，由于 AB AD ， FG FE ，即 ABF 与 ADF 的底与高分别相等，所以 ABF 与 ADF 的面积相等，那么阴影部分面积与 ABH 的面积相等，为 6 平方厘米．
13．【曲线开型面积】如右图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成
5
【解析】根据题意可知，挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖 去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面 积为： 4 4 6 11 4 6 120 平方厘米． 16．【共高模型】如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米?
4
一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( π 取 3)
【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如右上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形．可以看 出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣 图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还 1 剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 4 2 2 4 π 1 19 (平方厘米)．
EFB
BCD ，有
连接 AC，AF，HC，还可得 S 有S
EFB
6S
ABC
，S
DHG
6S
ACD
，
S
DHG
6S
ABC
S
ACD
6S ABCD =30 平方厘米.
有四边形 EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为 30+30+5=65(平方厘米.)