高中数学零点存在定理中取点问题
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x
当 x 0, 时，
h1 e 1 0 ，
h
1 2
e 2 0 ，又 h x 在 0, 上单调递增的，所以有唯
一的零点。
（II）若 a 0 ，则
当 x , 0 时， h x ex 1 a 0 恒成立，则没有零点；
【解析】
（1）当 a 1时，
f
x
x ex
ax
1 ，则
f
x
1 x ex
1
g
x
，
而
gx
x2 ex
0 在1,1 上恒成立，所以
g x
f
x 在1,1 上递减，
f
x
max
f 1
2e 1 0 ，
f
x
min
（3）如果关于 x 的方程 f x 2 有且只有一个解，求实数 b 的取值范围.
【答案】（1） b 1， f x 的最小值为 2（2）见解析（3） b 1，或 b 1
e
e
【解析】
（1）由 f 1 f 1 得： e b 1 1 ，解得 b e （舍），或 b 1 ，
零点存在定理中取点问题
如果函数 y f x 在区间[a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f a f (b) 0 ，那么，函数 y f x 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b) ，使得 f c 0 ，这个 c 也就是方程 f x 0 的根.
f
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
min
f
1 ,
f
1 min
f
1
2e，
所以， f x 在1,1 上的值域为2 e,1 .
（2）令
f
x
0 ，得
x ex
ax
1
0，
x 0 显然不是方程的根，
那么原方程等价于 ex 1 a 0 实根的个数，令 h x ex 1 a ， x , 0) (0,
eb
e
经检验
f
x
ex
1 ex
为偶函数
∴b 1 . e
又
f
x
ex
1 ex
2 ，当且仅当 x 0 时取等号，
∴ f x 的最小值为 2.
（2）假设 y f x 过定 点 x0, y0 ，则 y0 ex0 bx0 对任意 b 0 ，且 b 1恒成立.
令 b 2 得： y0 ex0 2x0 ；令 b 3 得： y0 ex0 3x0 ，
∴ 2x0 2x0 ，
3 x0 2
1，解得唯一解 x0 0
∴ y0 2
经检验当 x 0 时， f 0 2
∴函数 y f x 的图像经过唯一定点 0, 2 .
x
当 x 0, 时，
h
1 a
1
e a
0，
h
2
1
a
1
e 2a
2
1
e2
2
0
，又
hx
在 0, 上单调递
增的，所以有唯一的零点
（III）若 a 0 ，则
当 x , 0 时，由 ex x x R ，则 ex 1 a x 1 a 0, (x 0) ，
f
1
1
0，
所以 f x 在1,1 上存在唯一的 x0 0 ，使得 f 0 0 ，而且
当 x 1,0 时， f x 0 ， f x 递增；当 x 0,1 时 f x 0 ， f x 递减；
所以，当 x 0 时， f x 取极大值，也是最大值，即 f x f 0 1， max
1 a
1 a
1 a
h
1 2
a
1
e 2a
2
a
a
2
a
2
a
a
a
0 ，又
hx
在 0, 上单调递增的，所以有
唯一的零点
综上所述，当 a 0 时， f x 只有一个零点；当 a 0 时， f x 有两个零点．
【名师指点】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函 数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归 根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 类型二 利用放缩法取点
x
x
则 x2 ax 1 0, 取 x0 a
a2 2
4
0
，则
h x0
0
，又
h a
ea
1 a
a
0
，所以
hx
在
, 0 有唯一的零点，
当 x 0, 时， h 1 a e1a 1 a 1 a 1 a 1 1 0 ，
x
x
原命题也等价于 h x ex 1 a 在 x , 0) (0, 上的零点个数；
x
又因为 h x
ex
1 x2
0 ，所以 h x 在 , 0 和 0, 上都是单调递增的；
（I）若 a 0 ，则
当 x , 0 时， h x ex 1 0 恒成立，则没有零点；
典例 2 已知 b 0 ，且 b 1，函数 f x ex bx ，其中 e 为自然对数的底数：
（1）如果函数 f x 为偶函数，求实数 b 的值，并求此时函数的最小值；
（2）对满足 b 0 ，且 b 1的任意实数 b ，证明函数 y f x 的图像经过唯一的定点；
在实际应用中，如何取 a, b ，是解决问题的难点.
类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点
典例 1
已知函数
f
x
x ex
ax 1.
（1）当 a 1时，求 y f x 在 x 1,1 上的值域；
（2）试求 f x 的零点个数，并证明你的结论.
【答案】（1） 2 e,1（2）当 a 0 时， f x 只有一个零点；当 a 0 时， f x 有两个零点．
当 x 0, 时，
h1 e 1 0 ，
h
1 2
e 2 0 ，又 h x 在 0, 上单调递增的，所以有唯
一的零点。
（II）若 a 0 ，则
当 x , 0 时， h x ex 1 a 0 恒成立，则没有零点；
【解析】
（1）当 a 1时，
f
x
x ex
ax
1 ，则
f
x
1 x ex
1
g
x
，
而
gx
x2 ex
0 在1,1 上恒成立，所以
g x
f
x 在1,1 上递减，
f
x
max
f 1
2e 1 0 ，
f
x
min
（3）如果关于 x 的方程 f x 2 有且只有一个解，求实数 b 的取值范围.
【答案】（1） b 1， f x 的最小值为 2（2）见解析（3） b 1，或 b 1
e
e
【解析】
（1）由 f 1 f 1 得： e b 1 1 ，解得 b e （舍），或 b 1 ，
零点存在定理中取点问题
如果函数 y f x 在区间[a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f a f (b) 0 ，那么，函数 y f x 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b) ，使得 f c 0 ，这个 c 也就是方程 f x 0 的根.
f
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
min
f
1 ,
f
1 min
f
1
2e，
所以， f x 在1,1 上的值域为2 e,1 .
（2）令
f
x
0 ，得
x ex
ax
1
0，
x 0 显然不是方程的根，
那么原方程等价于 ex 1 a 0 实根的个数，令 h x ex 1 a ， x , 0) (0,
eb
e
经检验
f
x
ex
1 ex
为偶函数
∴b 1 . e
又
f
x
ex
1 ex
2 ，当且仅当 x 0 时取等号，
∴ f x 的最小值为 2.
（2）假设 y f x 过定 点 x0, y0 ，则 y0 ex0 bx0 对任意 b 0 ，且 b 1恒成立.
令 b 2 得： y0 ex0 2x0 ；令 b 3 得： y0 ex0 3x0 ，
∴ 2x0 2x0 ，
3 x0 2
1，解得唯一解 x0 0
∴ y0 2
经检验当 x 0 时， f 0 2
∴函数 y f x 的图像经过唯一定点 0, 2 .
x
当 x 0, 时，
h
1 a
1
e a
0，
h
2
1
a
1
e 2a
2
1
e2
2
0
，又
hx
在 0, 上单调递
增的，所以有唯一的零点
（III）若 a 0 ，则
当 x , 0 时，由 ex x x R ，则 ex 1 a x 1 a 0, (x 0) ，
f
1
1
0，
所以 f x 在1,1 上存在唯一的 x0 0 ，使得 f 0 0 ，而且
当 x 1,0 时， f x 0 ， f x 递增；当 x 0,1 时 f x 0 ， f x 递减；
所以，当 x 0 时， f x 取极大值，也是最大值，即 f x f 0 1， max
1 a
1 a
1 a
h
1 2
a
1
e 2a
2
a
a
2
a
2
a
a
a
0 ，又
hx
在 0, 上单调递增的，所以有
唯一的零点
综上所述，当 a 0 时， f x 只有一个零点；当 a 0 时， f x 有两个零点．
【名师指点】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函 数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归 根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 类型二 利用放缩法取点
x
x
则 x2 ax 1 0, 取 x0 a
a2 2
4
0
，则
h x0
0
，又
h a
ea
1 a
a
0
，所以
hx
在
, 0 有唯一的零点，
当 x 0, 时， h 1 a e1a 1 a 1 a 1 a 1 1 0 ，
x
x
原命题也等价于 h x ex 1 a 在 x , 0) (0, 上的零点个数；
x
又因为 h x
ex
1 x2
0 ，所以 h x 在 , 0 和 0, 上都是单调递增的；
（I）若 a 0 ，则
当 x , 0 时， h x ex 1 0 恒成立，则没有零点；
典例 2 已知 b 0 ，且 b 1，函数 f x ex bx ，其中 e 为自然对数的底数：
（1）如果函数 f x 为偶函数，求实数 b 的值，并求此时函数的最小值；
（2）对满足 b 0 ，且 b 1的任意实数 b ，证明函数 y f x 的图像经过唯一的定点；
在实际应用中，如何取 a, b ，是解决问题的难点.
类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点
典例 1
已知函数
f
x
x ex
ax 1.
（1）当 a 1时，求 y f x 在 x 1,1 上的值域；
（2）试求 f x 的零点个数，并证明你的结论.
【答案】（1） 2 e,1（2）当 a 0 时， f x 只有一个零点；当 a 0 时， f x 有两个零点．